26.2.1 二次函数y=ax²的图象和性质 教案 2026-2027学年人教版数学九年级上册

教案：26.2.1 二次函数y=ax²的图象和性质

一、核心素养目标

1. 直观想象

通过描点法画二次函数y=ax²的图象，感受从"数"到"形"的转化过程，体会数形结合的数学思想。能够从图象中直观地观察抛物线的开口方向、对称轴、顶点等几何特征，建立二次函数解析式与图象之间的对应关系。借助几何画板动态演示，直观感受参数a的变化对抛物线开口大小和方向的影响，培养几何直观素养。

2. 逻辑推理

通过"画y=x²的图象→观察特征→归纳性质→推广到一般形式y=ax²（a>0）→类比研究a<0"的完整探究过程，经历从特殊到一般的归纳推理。在探究a>0和a<0的对比中，

体会分类讨论的思想方法。通过对比y=ax²与y=-ax²（a>0）的关系，推理出二者关于x轴对称的结论，发展合情推理与演绎推理能力。

3. 数学抽象

从具体的二次函数y=x²、y=2x²、y=½x²等图象中，抽象出抛物线、对称轴、顶点等数学概念，并从这些具体图象的性质中归纳出一般形式y=ax²的图象特征和函数性质。理解"抛物线y=ax²是轴对称图形，对称轴是y轴"、"顶点是抛物线与对称轴的交点"等抽象结论的几何意义，提升数学抽象能力。

4. 数学运算与数据分析

在描点法画图象的过程中，能够准确计算自变量x取不同值时对应的函数值y，熟练完成列表中的代数运算。在列表取点时，能根据对称性合理安排取点策略（如以对称轴为中心对称取点），提高运算效率。在练习中，能根据函数解析式快速判断图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，发展运算能力。

二、教学重难点

教学重点

1. 会用描点法画二次函数的图象，理解抛物线是轴对称图形，知道抛物线的对称轴和顶点。

2. 掌握抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性，能根据a的符号判断顶点是最高点还是最低点。

3. 理解a的绝对值大小对抛物线开口大小的影响：|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大。

教学难点

1. 从图象特征中归纳出二次函数y=ax²的增减性规律：当a>0时，x<0时y随x增大而减小，x>0时y随x增大而增大；当a<0时则相反。学生容易混淆两种情况的增减性，需要通过反复观察图象来强化记忆。

2. 理解a的绝对值大小对抛物线开口大小的影响，能在无图的情况下仅凭a值的大小比较不同抛物线的开口大小。

3. 在无图的情况下，仅凭a的符号和数值，快速准确地判断二次函数y=ax²的所有性质，形成"见解析式脑中即有图象"的直觉反应。

三、教学过程

环节一：情境导入与回顾旧知（3分钟）

【教师活动】同学们，上一节课我们学习了二次函数的概念。请大家回忆一下：二次函数的一般形式是什么？它有哪些特征？

二次函数的一般形式是（），其中二次项系数a不能为0，自变量x的最高次数是2，函数解析式是整式。最为特殊的是当b=0、c=0时，二次函数变为。

【教师活动】记得非常准确！那么，以前我们学习一次函数时，是怎样研究它的图象和性质的？

【学生活动】我们学习一次函数时，先用描点法画出正比例函数y=kx的图象，发现它是一条过原点的直线。然后研究k>0和k<0时图象的位置和增减性。最后研究一般的一次函数y=kx+b，发现它的图象也是一条直线，可以通过平移正比例函数图象得到。

【教师活动】非常好！你对一次函数的研究方法记忆犹新。今天我们将用类似的方法来研究二次函数的图象和性质。我们的研究思路是：从最简单、最特殊的二次函数——也就是y=ax²开始，先研究a>0的情况，再类比研究a<0的情况，最后归纳出一般规律。这就是从特殊到一般的数学研究方法。

请看大屏幕。从二次函数的一般形式（）出发，我们首先聚焦于最简单的二次函数。而其中最简单的是，即a=1的情况。所以我们从画的图象开始。

【过渡语】通过复习二次函数概念和一次函数的研究方法，唤醒学生的已有认知，将一次函数的研究范式（描点法画图→观察图象特征→归纳函数性质）自然迁移到二次函数的研究中。同时，通过"从一般到特殊再到一般"的框架图，帮助学生建立清晰的研究思路。

【设计意图】以复习旧知引入，既巩固了二次函数的概念，又为新的研究方法——描点法画图象做好了铺垫。通过回顾一次函数的研究方法，让学生认识到"画图→观察→归纳"是研究函数图象与性质的通用方法，降低学习新内容的心理难度。从y=ax²+bx+c到y=ax²再到y=x²的"聚焦"过程，体现了从一般到特殊的研究思路，符合学生的认知规律。

环节二：探究a>0时y=ax²的图象和性质（15分钟）

一、画y=x²的图象

【教师活动】请同学们拿出坐标纸，我们用描点法来画y=x²的图象。描点法画函数图象一般分为哪几步？

【学生活动】描点法画函数图象一般分为三步：第一步列表，选取一些自变量的值，计算对应的函数值；第二步描点，在平面直角坐标系中描出对应的点；第三步连线，用平滑的曲线将这些点顺次连接起来。

【教师活动】总结得很到位！下面我们先来列表。请同学们注意，在选取自变量x的值时，我们以0为中心，对称地选取正数和负数，这样便于观察图象的对称性。请在x=0左右两侧各取几个值试试看。