26.2.1 二次函数y=ax²的图象和性质2026-2027学年九年级数学上册人教版

该初中数学课件聚焦二次函数y=ax²的图象和性质，通过复习一次函数研究方法，回顾二次函数特殊形式及描点法步骤，搭建新旧知识联系的学习支架，引导学生逐步深入。 其亮点是采用“合作探究+类比探究”模式，先描点分析y=x²的对称轴、顶点等性质，再对比a>0与a<0的图象特征，结合表格归纳性质，渗透数形结合与类比迁移思想。巩固练习含中考真题，课堂小结明确研究方法，助力学生发展几何直观与推理意识，教师可通过结构化流程提升教学效果。

人教版数学九年级上册 第二十六章 二次函数 26.2二次函数的图象和性质 26.2.1 二次函数y=ax2 的图象和性质 学习目标 1 2 会用描点法画出形如y=ax2的二次函数图象，了解抛物线的有关概念. 通过观察图象，能说出二次函数y=ax2的图象特征和性质. 3 在类比探究二次函数y=ax2的图象和性质的过程中，进一步体会研究函数图象和性质的基本方法和数形结合的思想. 目录 1 4 2 3 巩固练习 类比探究 复习引入 合作探究 5 6 当堂检测 课堂小结 7 布置作业 1 复习引入 二次函数 概念 相关概念 图象 和性质 一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫作二次函数.其中x是自变量. a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 与方程的关系 实际应用 答：y=ax2，y=ax2+bx，y=ax2+c. 1 复习引入 1.二次函数除有一般形式y=ax2+bx+c(a≠0)外，还有哪些特殊形式？ 一次函数y=kx+b 正比例函数y=kx 特殊 二次函数y=ax2+bx+c 二次函数y=ax2 特殊 答：利用描点法画出函数图象，借助函数图象研究函数性质. 研究了正比例函数图象的形状、位置，函数的增减性. 1 复习引入 2.我们是如何研究正比例函数的图象和性质的？研究了它的哪些性质？ 答：列表，描点，连线. 3.描点法画函数图象的步骤有哪些？ 问题 用描点法画出二次函数y=x2的图象. 2 合作探究 x ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ... y=x2 ... ... 1.列表： 2.描点： 3.连线： • • • • • • • y=x2 9 说一说自变量的取值范围？ 1 4 4 1 0 9 2 合作探究 二次函数y=x2的图象是一条曲线，它的形状类似投篮或掷铅球时球在空中经过的路线，只是这条曲线开口向上.实际上，二次函数的图象都是类似的曲线，它们的开口或者向上或者向下.我们把二次函数y=ax2+bx+c的图象叫作抛物线y=ax2+bx+c. 2 合作探究 抛物线y=x2与其对称轴的交点(0，0)叫作抛物线y=x2的顶点，它是抛物线y=x2的最低点. • 顶点 抛物线y=x2是轴对称图形，y轴是它的对称轴. 对称轴 在抛物线y=x2上任取一点(m，m2)，因为该点关于y轴的对称点(−m，m2)也在抛物线y=x2上，所以抛物线y=x2关于y轴对称. 图象对称性的代数解释 抛物线y=x2是轴对称图形，y轴是它的对称轴. 抛物线y=x2与其对称轴的交点(0，0)叫作抛物线y=x2的顶点，它是抛物线y=x2的最低点. 2 合作探究 • 顶点 对称轴 实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫作抛物线的顶点.顶点是抛物线的最低点或最高点. 2 合作探究 从二次函数y=x2的图象可以看出: 在对称轴的左侧，抛物线从左到右 ； 在对称轴的右侧，抛物线从左到右 . 函数的增减性 下降 上升 也就是说， 当x<0时， ； 当x>0时， . y随x的增大而减小 y随x的增大而增大 例1 在同一平面直角坐标系中，画出函数y=x2 ，y=2x2的图象. x ... -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ... y=x2 ... ... 解：分别列表，再画出它们的图象： x ... -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ... y=2x2 ... ... 8 0 0.5 4.5 2 0.5 2 4.5 8 8 0 0.5 4.5 2 0.5 2 4.5 8 2 合作探究 y=x2 y=x2 y=2x2 思考 (1)函数y=x2 ，y=2x2的图象与函数y=x2的图象相比，有什么共同点和不同点? 2 合作探究 y=x2 y=x2 y=2x2 2 合作探究 二次函数 y=ax2（a>0） 图象与性质 形状 开口方向 开口大小 对称轴 顶点 最值 增减性 抛物线 向上 y轴 （0，0） 当x=0时，y取得最小值0 当x<0时，y随x的增大而减小当x>0时，y随x的增大而增大 a越大，开口越小 3 类比探究 探究 回顾上面研究二次函数y=ax2(a>0)的图象和性质的过程，你能用类似的方法研究二次函数y=ax2(a<0)的图象和性质吗? 在同一平面直角坐标系中，画出函数y=-x2，y=-x2，y=-2x2的图象， 观察这些抛物线有什么共同点和不同点. 3 类比探究 二次函数 y=ax2（a<0） 图象与性质 形状 开口方向 开口大小 对称轴 顶点 最值 增减性 抛物线 向下 y轴 （0，0） 当x=0时，y取得最大值0 当x<0时，y随x的增大而增大当x>0时，y随x的增大而减小 a越小，开口越小 y=−x2 y=x2 y=−2x2 3 类比探究 信息技术验证 3 类比探究 二次函数 y=ax2（a>0） y=ax2（a<0） 图象与性质 形状 开口方向 开口大小 对称轴 顶点 最值 增减性 抛物线 向下 y轴 （0，0） 当x=0时，y取得最大值0 当x<0时，y随x的增大而增大当x>0时，y随x的增大而减小 a越小，开口越小 抛物线 向上 y轴 （0，0） 当x=0时，y取得最小值0 当x<0时，y随x的增大而减小当x>0时，y随x的增大而增大 a越大，开口越小 4 巩固练习 1. 在同一平面直角坐标系中，画出下列二次函数的图象: (1) y=3x2； (2) y=−3x2. y=x2 y=x2 4 巩固练习 2. 填表. 抛物线 开口方向 对称轴 顶点 增减性 y=4x2 y=−4x2 y=x2 y=− x2 向上 向下 向上 向下 y轴 y轴 （0，0） y轴 y轴 （0，0） （0，0） （0，0） 当x<0时，y随x的增大而增大当x>0时，y随x的增大而减小 当x<0时，y随x的增大而减小当x>0时，y随x的增大而增大 当x<0时，y随x的增大而增大当x>0时，y随x的增大而减小 当x<0时，y随x的增大而减小当x>0时，y随x的增大而增大 4 巩固练习 3. (2024广东)若点(0，y1)，(1，y2)，(2，y3)都在二次函数y=x2的图象上，则（    ） A．y3>y2>y1 B．y2>y1>y3 C．y1>y3>y2 D．y3>y1>y2 A 5 当堂检测 1. 下列各点在函数y=x2的图象上的是（    ） A．(0，1) B．(1，2) C．(2，2) D．(4，4) C 5 当堂检测 2.抛物线 y = -2x2的图象可能是( ) A． B． C． D． A 3. 抛物线y=x2的顶点坐标是（    ） A．（1，0） B．（0，1） C．（0，0） D．（1，1） C 5 当堂检测 4. 嘉嘉用软件绘制抛物线y=2x2时，将“2”按成了“−2”，和原图象相比，发生改变的是（    ） A．开口大小 B．开口方向 C．对称轴 D．顶点坐标 B 5 当堂检测 5. 已知三个二次函数的图象如图所示，那么a1，a2，a3的大小关系是（   ） A．a1<a2<a3 B．a3<a1<a2 C．a1<a3<a2 D．a3<a2<a1 D 5 当堂检测 6. 已知抛物线y=ax2(a≠0)经过两个不同的点A(m，8)和B(2，8)，那么m的值是（    ） A．2 B．−2 C．8 D．−8 B 5 当堂检测 6 课堂小结 2.谈一谈研究二次函数的图象与性质的一般方法. 解析式 图象 性质 描点法 形状 位置 开口方向 顶点 ··· 增减性 对称性 最值 ··· 1.说一说二次函数y=ax2的图象与性质. 6 课堂小结 3.本节课你体会到了哪些数学思想方法？ 分类讨论 数学归纳 数形结合 类比迁移 7 布置作业 A B 习题26.2：第1题. 请你借鉴今天的学习经历设计“探究二次函数y=ax2+k(a、k是常数，k≠0)的图象与性质”的方案. 函数 二次函数y=ax2+k(a、k是常数，k≠0) 图 象 与 性 质 $nullnull