精品解析：辽宁省锦州黑山县2025-2026学年七年级下学期期末数学试卷

黑山县2025—2026学年度第二学期期末质量检测七年级数学试卷 亲爱的同学，这份试卷将记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光，请认真审题，看清要求，仔细答题，预祝你取得好成绩！ 考试时间：90分钟 试卷满分：100分 一、选择题（本题共10个题．每题2分，计20分．每小题的四个选项中只有一个符合题意，请将符合题目要求答案的英文字母代号填写在括号内．） 1. 下列剪纸作品中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 随着电子技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占有面积， 0.00000065用科学记数法表示为（ ） A. B. 6.5×10⁶ C. D. 4. 下列说法中正确的是（ ） A. “三角形的内角和是”是随机事件 B. “两直线平行，同位角相等”是必然事件 C. “概率为0.000001的事件”是不可能事件 D. 任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的次数一定是5次 5. 如图，已知，下列数量关系正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知：如图，在中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 某兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图1，已知、画一个，使得．在已有的条件下，图2，图3分别是嘉嘉、琪琪两位同学的画图过程．下列说法错误的是（ ） A. 嘉嘉第一步作图时，是以为圆心，线段的长为半径画弧 B. 嘉嘉作图判定两个三角形全等的依据是 C. 琪琪第二步作图时，是以为圆心、线段的长为半径画弧 D. 琪琪作图判定两个三角形全等的依据是 9. 洗衣机在洗涤衣服时，每浆洗一遍都经历了注水、清洗、排水三个连续过程（工作前洗衣机内无水）．在这三个过程中，洗衣机内的水量y（升）与浆洗一遍的时间x（分）之间关系的图象大致为（　　） A. B. C. D. 10. 已知的面积为24，是边上的高，若，，则的长为（ ） A. 1 B. 1或11 C. 7 D. 7或17 二、填空题（本题共5个题．每题3分，计15分．请将正确的答案填写在横线上．） 11. 已知等腰三角形的两边长分别为3和7，那么它的周长等于________． 12. 苗圃技术人员对某种花苗移植的成活情况进行调查，将调查数据整理后结果如表所示： 移植总数 成活数 成活的频率 根据表中数据，估计这种花苗移植的成活概率为_____．（精确到） 13. 如图，将长方形纸条折叠，折痕为，折叠后点，分别落在点，处，与交于点，若，则的度数是__． 14. 为打造良好的班风和浓厚的学风，数学老师为七年级（1）班的学生购买了5包卡通橡皮和支钢笔，卡通橡皮每包12元，钢笔每支30元，共花费元，则与的关系式为________． 15. 如图，等腰的底边长为6．面积是24，腰的垂直平分线分别交、于点、．若点为底边的中点，点为线段上一动点，则的周长的最小值为______． 三、解答题（本题共2个题，16题10分，17题6分，计16分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤．） 16. 计算： （1）； （2）先化简，再求值：，其中，． 17. 某人制成了一个如图所示的转盘，转盘被分成8个相同的扇形，取名为“开心大转盘”．游戏规定：参与者自由转动转盘，转盘停止后，若指针指向字母“A”，则交费2元；若指针指向字母“B”，则获奖3元；若指针指向字母“C”，则获奖1元． （1）任意转动转盘一次，转盘停止后，参与者交费2元，参与者获奖3元，参与者获奖1元的概率各为多少？ （2）任意转动转盘一次，参与者获奖的概率是多少？ 四、解答题（本题共2个题．18题6分19题7分，计13分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤．） 18. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于轴对称的，并写出点的坐标； （2）求的面积． 19. 某学习活动小组要测池塘两端的距离，小华同学设计出如下方案：如图，先在平地上取一个点，从点不经过池塘可以直接到达点和．连接并延长到点，使，连接并延长到点，使，连接，量出的长即为的距离．你认为小华同学设计的方案是否可行？如果可行，请证明；如果不可行，请说明理由． 五、解答题（本题共2个题．20题7分，21题8分，计15分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤．） 20. 为保证游泳池水质的清洁，游泳池应定期换水．某游泳池在一次换水前存水930立方米，换水时关闭进水孔打开排水孔，以每小时70立方米的速度将水放出．当放水时间增加时，游泳池的存水也随之减少，它们的变化情况如下表： 放水时间（t）/时 1 2 3 4 5 6 7 游泳池的存水量（V）/立方米 860 720 650 510 440 （1）在这个变化过程中，反应的是哪两个变量之间的关系，其中自变量是什么，因变量是什么？ （2）请将上述表格补充完整； （3）在游泳池的水放完之前，说一说这两个变量之间的关系． 21. 定义：对于一组多项式：，，(a，b，c都是非零常数)，当其中一个多项式的平方与另外两个多项式的乘积的差除以x是一个常数m时，称这样的三个多项式是一组和谐多项式，m的值是这组和谐多项式的和谐值．例如：对于多项式，，，因为 ，所以，，是一组和谐多项式，和谐值为. （1）小明发现多项式，，是一组和谐多项式，求其和谐值； （2）若多项式，， (p为非零常数)是一组和谐多项式，求p的值． 六、探究题（本题共2个题．22题8分；23题13分，计21分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤．） 22. 赛龙舟是传统节日端午节的主要习俗．某市在端午节期间，举行赛龙舟比赛，已知甲、乙两队参加比赛时的路程（米）与时间（分钟）之间的关系如图所示，请根据图象，回答下列问题： （1）这次龙舟比赛全程为 　　米； （2）龙舟比赛先到达终点的是 　　队；（填“甲”或“乙” ） （3）比赛时甲队龙舟的平均速度是 　　米分钟； （4）甲队和乙队相遇时，乙队龙舟的速度是 　　米分钟； （5）直接写出相遇之前甲队和乙队龙舟何时相距10米． 23. 探究与运用： 角是我们学习的简单轴对称图形中较常见图形之一，我们已学过“角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴”在探究角的对称性这一特征时“智慧”小组的四名同学展开深入的讨论： 【探究】： （1）小慧同学设计了如下的一个问题（如图①）：若是的角平分线，点P是上一点，，连接，则和是关于直线成轴对称的两个三角形，即和全等，请帮助智慧小组说明和全等的理由； （2）在小慧同学的基础上继续探究，是的平分线，请你利用图形②画一对以所在直线为对称轴的全等三角形，画出图形，写出添加的全等条件标，并写出全等的理由． 【运用】： （3）如图③，在中，是直角，，分别是和的平分线，相交于点F． ①求的度数； ②请判断与之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黑山县2025—2026学年度第二学期期末质量检测七年级数学试卷 亲爱的同学，这份试卷将记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光，请认真审题，看清要求，仔细答题，预祝你取得好成绩！ 考试时间：90分钟 试卷满分：100分 一、选择题（本题共10个题．每题2分，计20分．每小题的四个选项中只有一个符合题意，请将符合题目要求答案的英文字母代号填写在括号内．） 1. 下列剪纸作品中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合轴对称图形的概念求解即可． 【详解】A、不是轴对称图形，本选项正确； B、是轴对称图形，本选项错误； C、是轴对称图形，本选项错误； D、是轴对称图形，本选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可． 【详解】解：、与不属于同类项，不能合并，故不符合题意； B、，故符合题意； C、，故不符合题意； D、，故不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 3. 随着电子技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占有面积， 0.00000065用科学记数法表示为（ ） A. B. 6.5×10⁶ C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，对于绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，与较大数不同的是其所用的是负指数幂，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，确定与的值是解题关键． 【详解】解：， 故选：D 4. 下列说法中正确的是（ ） A. “三角形的内角和是”是随机事件 B. “两直线平行，同位角相等”是必然事件 C. “概率为0.000001的事件”是不可能事件 D. 任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的次数一定是5次 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型． 【详解】解：A. “三角形的内角和是”是必然事件，原说法错误，故本选项不符合题意； B. “两直线平行，同位角相等”是必然事件，原说法正确，故本选项符合题意； C. “概率为0.000001的事件”是随机事件，原说法错误，故本选项不符合题意； D. “任意掷一枚质地均匀的硬币 10次，正面向上的次数可能是 5次”，原说法错误，故本选项不符合题意； 故选：B． 5. 如图，已知，下列数量关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，；故选项错误，选项D正确； ∵，故选项B错误； 故选D． 6. 已知：如图，在中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据三角形内角和定理得到，然后利用垂直平分线的性质得到，，进而得到，然后求解即可． 【详解】解：， ， 的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点， ，， ，， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 7. 某兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，添加合适的辅助线是解题的关键．过点C作，先证明，然后根据平行线的性质求出，，最后利用角的和差关系求解即可． 【详解】解：过点C作， ∵， ∴， ∴，， 又，， ∴，， ∴． 故选：A． 8. 如图1，已知、画一个，使得．在已有的条件下，图2，图3分别是嘉嘉、琪琪两位同学的画图过程．下列说法错误的是（ ） A. 嘉嘉第一步作图时，是以为圆心，线段的长为半径画弧 B. 嘉嘉作图判定两个三角形全等的依据是 C. 琪琪第二步作图时，是以为圆心、线段的长为半径画弧 D. 琪琪作图判定两个三角形全等的依据是 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，用尺规作图：作一个三角形，读懂两人作图的步骤及作图原理是解题的关键． 根据两人作图的过程即可对选项作出判断． 【详解】解：嘉嘉同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长，第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长，则判定的依据是，故选项A、B符合题意； 琪琪同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长，第二步作图时，截取的长度是线段的长度，则判定的依据是，故选项C不符合题意，选项D符合题意． 故选：C． 9. 洗衣机在洗涤衣服时，每浆洗一遍都经历了注水、清洗、排水三个连续过程（工作前洗衣机内无水）．在这三个过程中，洗衣机内的水量y（升）与浆洗一遍的时间x（分）之间关系的图象大致为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：每浆洗一遍，注水阶段，洗衣机内的水量从0开始逐渐增多； 清洗阶段，洗衣机内的水量不变且保持一段时间； 排水阶段，洗衣机内的水量开始减少，直至排空为0． 纵观各选项，只有D选项图象符合． 故选D． 10. 已知的面积为24，是边上的高，若，，则的长为（ ） A. 1 B. 1或11 C. 7 D. 7或17 【答案】D 【解析】 【分析】分在三角形内部和外部两种情况计算． 【详解】解：当在三角形内部时，如图： 的面积为24，是边上的高，，， ， ； 当在三角形外部时，如图： 的面积为24，是边上的高，，， ， ， ， 综上所述，的长为7或17， 故选D． 【点睛】本题考查了三角形的高，根据高的位置进行分类讨论是解题的关键． 二、填空题（本题共5个题．每题3分，计15分．请将正确的答案填写在横线上．） 11. 已知等腰三角形的两边长分别为3和7，那么它的周长等于________． 【答案】17 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，分两种情况讨论：当腰长为3时及当腰长为7时，根据三角形的三边关系判断是否构成三角形． 【详解】解：当腰长为3时，三边分别为3、3、7，由于，不满足三角形三边关系，舍去； 当腰长为7时，三边分别为7、7、3，由于，满足三角形三边关系，周长为； 故答案为：17． 12. 苗圃技术人员对某种花苗移植的成活情况进行调查，将调查数据整理后结果如表所示： 移植总数 成活数 成活的频率 根据表中数据，估计这种花苗移植的成活概率为_____．（精确到） 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：由表格数据可得，随着样本数量不等增加，这种花苗种植成活的频率稳定在左右， ∴估计这种花苗移植的成活概率为， 故答案为：． 13. 如图，将长方形纸条折叠，折痕为，折叠后点，分别落在点，处，与交于点，若，则的度数是__． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据四边形是长方形，可得，根据两直线平行，内错角相等可得，然后根据折叠的性质进行解答即可． 【详解】解：四边形是长方形， ， ， ， 由折叠得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了长方形的性质，平行线的性质以及折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键． 14. 为打造良好的班风和浓厚的学风，数学老师为七年级（1）班的学生购买了5包卡通橡皮和支钢笔，卡通橡皮每包12元，钢笔每支30元，共花费元，则与的关系式为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据总花费等于购买橡皮的总费用加上购买钢笔的总费用，分别计算两种物品的费用，即可得到与的关系式． 【详解】解：购买5包卡通橡皮的总费用为：（元），购买支钢笔的总费用为：（元）， 由总花费等于两种物品费用之和，可得． 15. 如图，等腰的底边长为6．面积是24，腰的垂直平分线分别交、于点、．若点为底边的中点，点为线段上一动点，则的周长的最小值为______． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，中垂线的性质，利用轴对称解决线段和最小问题．连接，的周长为，为定值，要使的周长最小，则的值最小，的垂直平分线为，得到关于对称，得到，当三点共线时，，最小，进行求解即可． 【详解】解：∵的周长为，为定值， ∴当的值最小时，的周长最小， 连接， ∵的垂直平分线为， ∴关于对称， ∴， ∴当三点共线时，， ∵等腰，点为底边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长的最小值为； 故答案为：． 三、解答题（本题共2个题，16题10分，17题6分，计16分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤．） 16. 计算： （1）； （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1） （2）化简结果为，值为 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 当，时，原式． 17. 某人制成了一个如图所示的转盘，转盘被分成8个相同的扇形，取名为“开心大转盘”．游戏规定：参与者自由转动转盘，转盘停止后，若指针指向字母“A”，则交费2元；若指针指向字母“B”，则获奖3元；若指针指向字母“C”，则获奖1元． （1）任意转动转盘一次，转盘停止后，参与者交费2元，参与者获奖3元，参与者获奖1元的概率各为多少？ （2）任意转动转盘一次，参与者获奖的概率是多少？ 【答案】（1）参与者交费2元的概率为，参与者获奖3元的概率为，参与者获奖1元的概率为； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算： （1）用对应的区域数除以区域总数即可得到答案； （2）用获奖的区域数除以区域总数即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，参与者交费2元的概率为， 参与者获奖3元的概率为， 参与者获奖1元的概率为； 【小问2详解】 解：， 答：任意转动转盘一次，参与者获奖的概率是． 四、解答题（本题共2个题．18题6分19题7分，计13分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤．） 18. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于轴对称的，并写出点的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1）见解析, （2） 【解析】 【分析】（1）关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此可得点的坐标，描出点，并顺次连接点即可； （2）利用割补法求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求，则点的坐标为； 【小问2详解】 解：． 19. 某学习活动小组要测池塘两端的距离，小华同学设计出如下方案：如图，先在平地上取一个点，从点不经过池塘可以直接到达点和．连接并延长到点，使，连接并延长到点，使，连接，量出的长即为的距离．你认为小华同学设计的方案是否可行？如果可行，请证明；如果不可行，请说明理由． 【答案】小华同学的方案可行，详见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用，根据全等三角形的判定及性质即可求解，熟练掌握其判定及性质是解题的关键． 【详解】小华同学的方案可行，理由如下， 在和中， ， ∴， ∴， ∴小华同学的方案可行． 五、解答题（本题共2个题．20题7分，21题8分，计15分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤．） 20. 为保证游泳池水质的清洁，游泳池应定期换水．某游泳池在一次换水前存水930立方米，换水时关闭进水孔打开排水孔，以每小时70立方米的速度将水放出．当放水时间增加时，游泳池的存水也随之减少，它们的变化情况如下表： 放水时间（t）/时 1 2 3 4 5 6 7 游泳池的存水量（V）/立方米 860 720 650 510 440 （1）在这个变化过程中，反应的是哪两个变量之间的关系，其中自变量是什么，因变量是什么？ （2）请将上述表格补充完整； （3）在游泳池的水放完之前，说一说这两个变量之间的关系． 【答案】（1）反映的是放水时间和游泳池的存水量之间的关系，其中自变量是放水时间，因变量是游泳池的存水量 （2）790；580 （3）随着放水时间的增加，游泳池的存水量逐渐减少（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查用表格表示变量之间的关系： （1）直接根据表格作答即可； （2）根据表格可知，放水时间每增加1小时，游泳池的存水量减少70立方米，补全表格即可； （3）根据两个量的变化情况进行说明即可． 【小问1详解】 解：由题意，可知：反映的是放水时间和游泳池的存水量之间的关系，其中自变量是放水时间，因变量是游泳池的存水量； 【小问2详解】 由表格可知：， ∴放水时间每增加1小时，游泳池的存水量减少70立方米， ∴小时，游泳池的存水量为立方米，5小时，游泳池的存水量为立方米； 填表如下： 放水时间（t）/时 1 2 3 4 5 6 7 游泳池的存水量（V）/立方米 860 790 720 650 580 510 44 【小问3详解】 由表格可知：随着放水时间的增加，游泳池的存水量逐渐减少． 21. 定义：对于一组多项式：，，(a，b，c都是非零常数)，当其中一个多项式的平方与另外两个多项式的乘积的差除以x是一个常数m时，称这样的三个多项式是一组和谐多项式，m的值是这组和谐多项式的和谐值．例如：对于多项式，，，因为 ，所以，，是一组和谐多项式，和谐值为. （1）小明发现多项式，，是一组和谐多项式，求其和谐值； （2）若多项式，， (p为非零常数)是一组和谐多项式，求p的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，多项式乘多项式．理解题意，熟练掌握完全平方公式，多项式乘多项式是解题的关键． （1）根据，计算求解即可； （2）由题意知，分当，时；当，时；当，时；分别求解作答即可． 【小问1详解】 解：由题意知，， ∴和谐值为； 【小问2详解】 解：∵多项式，， (p为非零常数)是一组和谐多项式， ∴当，时，即，此时多项式，， (p为非零常数)是一组和谐多项式； 当，时，即，此时多项式，， (p为非零常数)是一组和谐多项式； 当，时，此时不成立； 综上所述，的值为或． 六、探究题（本题共2个题．22题8分；23题13分，计21分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤．） 22. 赛龙舟是传统节日端午节的主要习俗．某市在端午节期间，举行赛龙舟比赛，已知甲、乙两队参加比赛时的路程（米）与时间（分钟）之间的关系如图所示，请根据图象，回答下列问题： （1）这次龙舟比赛全程为 　　米； （2）龙舟比赛先到达终点的是 　　队；（填“甲”或“乙” ） （3）比赛时甲队龙舟的平均速度是 　　米分钟； （4）甲队和乙队相遇时，乙队龙舟的速度是 　　米分钟； （5）直接写出相遇之前甲队和乙队龙舟何时相距10米． 【答案】（1）1000 （2）乙 （3）160 （4）175 （5）1分钟或分钟 【解析】 【分析】（1）根据函数图象，即可求解； （2）根据函数图象，可以得出甲乙到达终点时间，即可求解； （3）根据路程以及甲队的时间，即可求解； （4）根据乙队提速后的路程和时间，即可求解； （5）分为两种情况，乙队提速前后，分别求解即可． 【小问1详解】 解：从图象可以看出，这次龙舟赛的全程是1000米， 故答案为：1000； 【小问2详解】 从图象可以看出，乙队先到达终点， 故答案为：乙； 【小问3详解】 比赛时甲队龙舟的平均速度是（米分）， 故答案为：160； 【小问4详解】 由图象可知，甲队和乙队相遇时，乙队龙舟的速度是（米分）， 故答案为：175； 【小问5详解】 ①乙队在提速之前， 根据题意得， 解得； ②乙队在提速之后，与甲相遇之前， 根据题意，得， 解得． 综上所述，在乙队与甲相遇之前，经过1分钟或分钟相距10米． 【点睛】此题考查了函数图象与路程问题，解题的关键是读懂函数图像，能够正确的从函数图象获取信息． 23. 探究与运用： 角是我们学习的简单轴对称图形中较常见图形之一，我们已学过“角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴”在探究角的对称性这一特征时“智慧”小组的四名同学展开深入的讨论： 【探究】： （1）小慧同学设计了如下的一个问题（如图①）：若是的角平分线，点P是上一点，，连接，则和是关于直线成轴对称的两个三角形，即和全等，请帮助智慧小组说明和全等的理由； （2）在小慧同学的基础上继续探究，是的平分线，请你利用图形②画一对以所在直线为对称轴的全等三角形，画出图形，写出添加的全等条件标，并写出全等的理由． 【运用】： （3）如图③，在中，是直角，，分别是和的平分线，相交于点F． ①求的度数； ②请判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）解：∵是的平分线， ， 在和中 ， ∴； （2）如图，添加的条件并画出图形：作于M，于N， 解：∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴， 在和中 ， ∴； （3）①； ②．理由如下：（答案不唯一） 如图，在上截取，连接． ∵是的平分线， ∴， 在和中 ∵， ∴， ∴，， ∴． 又∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴． ∴． 【解析】 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理等知识点，解题的关键是正确作出辅助线． （1）根据是的平分线，得出，根据“”即可证明； （2）如图，添加的条件并画出图形：作于M，于N，根据是的平分线得出，再结合，根据“”即可证明； （3）①如图，根据，．得出，再根据、分别是和的平分线，得出，．根据三角形内角和定理即可求出，即可求解； ②如图，在上截取，连接．证明，得出，，即可得．，再证明，即可得出，． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：①如图， ∵，． ∴， ∵、分别是和的平分线， ∴，． ∴， ∴． ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $