第16讲 直线与圆的位置关系（思维导图+3知识点+6大题型+综合通关）（暑假预习讲义）新高二数学人教A版

第16讲 直线与圆的位置关系 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型01 判断直线与圆的位置关系 题型02 由直线与圆的位置关系求参数 题型03 求切线方程及参数问题 题型04 切线长(切点弦)问题 题型05 弦长及参数问题 题型06 直线与半圆相交问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 1.直线与圆的位置关系 2.切线 3.弦长 1. 理解直线与圆的三种位置关系,培养直观想象的核心素养. 2. 能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系,提升数学运算与逻辑推理的核心素养. 3. 能解决有关直线与圆的位置关系的问题,强化数学运算的核心素养. 4. 能正确理解直线与圆的方程,培养数学抽象的核心素养. 5. 能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题,提升数学建模、数学运算的核心素养. 6. 体会坐标法解决平面几何问题的“三步曲”,强化数学运算的核心素养. 学习重点：理解直线与圆的三种位置关系，能判断直线与圆的位置关系 学习难点：掌握直线与圆的位置关系中的切线、弦长问题 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 直线与圆的位置关系 一、直线与圆的三种位置关系 直线与圆 的位置关 系的图象 直线与圆的 位置关系 相交 相切 相离 二、判断直线与圆的位置关系的两种方法 1、几何法（优先推荐） 图象 位置关系 相交 相切 相离 判定方法 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相交。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相切。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相离。 2、代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 ①直线与圆相交 ②直线与圆相切 ③直线与圆相离 即时即练 1．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）判断圆与下列直线的位置关系 (1)； (2)． 【答案】(1)相交 (2)相切 【分析】求出圆心和半径，利用点到直线距离公式求出圆心到直线的距离，即可判断. 【详解】（1）， 故圆心为，半径为5， 则圆心到直线的距离为， 故直线与圆相交； （2）圆心到直线的距离为， 故直线与圆相切. 2．（25-26高二下·上海浦东新·期末）若直线与圆相切，则实数的值为__________． 【答案】2或 【分析】利用直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径的性质，列方程即可求解. 【详解】圆的圆心为，半径， 因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离，化简得，即或. 【方法总结】 直线与圆的位置关系反映在三个方面:一是圆心到直线的距离与半径大小的关系,二是直线与圆的公共点的个数,三是两方程组成的方程组解的个数.因此,若给出图形,可根据公共点的个数判断;若给出直线与圆的方程,可选择用几何法或代数法,几何法计算量小,代数法可一同求出交点.解题时可根据条件作出恰当的选择. 知识点02 直线与圆相交 记直线被圆截得的弦长为的常用方法 1、几何法（优先推荐） ①弦心距（圆心到直线的距离） ②弦长公式： 2、代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 弦长公式： 即时即练 1．（25-26高二上·广东汕头·期中）已知圆心为C的圆经过，，三点. (1)求此圆的标准方程; (2)求直线被此圆截得的弦长. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据题设有圆心C为，再由及两点距离公式求得，进而可得圆心和半径，即得圆的标准方程； （2）应用点线距离公式、几何法求所截弦长即可. 【详解】（1）由题知，圆心C在线段OM的垂直平分线上，可设圆心C为， 又，即，解得， 所以圆心C为，半径， 所以圆C的方程为. （2）由（1）知圆心到直线的距离， 所以直线被此圆截得的弦长 2．过点，被圆所截的弦长为的直线方程为______. 【答案】或 【分析】根据满足题意的直线斜率是否存在进行讨论，结合圆心到直线的距离公式、弦长公式进行验算或者求解即可. 【详解】当满足题意的直线斜率不存在即直线方程为时， 圆心到该直线的距离为，而圆的半径为， 此时该直线被圆所截的弦长为， 故直线方程满足题意； 当满足题意的直线斜率存在时，不妨设直线方程为， 圆心到该直线的距离为，而圆的半径为， 若该直线被圆所截的弦长为， 则有，解得， 即此时满足题意的直线方程为. 故答案为：或 【方法总结】 设直线l的方程为ax+by+c=0,圆O的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2(r>0),求弦长的方法通常有以下两种 (1) 几何法:由圆的性质知,过圆心O作l的垂线,垂足C为线段AB的中点,如图所示.在Rt△OCB中,|BC|2=r2-d2,则弦长|AB|=2|BC|=2. 知识点03 直线与圆相切 1、圆的切线条数 ①过圆外一点，可以作圆的两条切线 ②过圆上一点，可以作圆的一条切线 ③过圆内一点，不能作圆的切线 2、过一点的圆的切线方程（） ①点在圆上 步骤一：求斜率：读出圆心，求斜率，记切线斜率为，则 步骤二：利用点斜式求切线（步骤一中的斜率+切点） ②点在圆外 记切线斜率为，利用点斜式写成切线方程；在利用圆心到切线的距离求出 （注意若此时求出的只有一个答案；那么需要另外同理切线为） 3、切线长公式 记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求； 即时即练 1．（25-26高二上·贵州遵义·阶段检测）圆在点处的切线方程为______. 【答案】 【分析】根据题意，由点在圆上，求得，结合圆的性质，得到切线斜率为，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】将圆化为标准方程，可得圆心坐标为， 由点在圆上，可得圆心与点连线的斜率， 因为圆的切线与圆心和切点连线垂直，可得切线斜率为， 所以切线方程为，即． 故答案为：． 2．（24-25高二上·云南楚雄·阶段检测）若直线与圆相切，则实数________． 【答案】0或 【分析】由圆的方程可求得圆心和半径，根据圆心到直线距离等于半径可构造方程求得结果. 【详解】由可得：， 所以圆心为，半径为2， 由题意可得：， 解得：或， 故答案为：0或 3．（24-25高二上·广东茂名·期末）过点作圆的切线，则直线的方程为__________.（写出一条方程即可） 【答案】或（写出一条即可） 【分析】设出直线方程，根据点到直线的距离等于半径即可求解. 【详解】由可知：直线一定有斜率， 故设：， 则，化简可得，故或， 当时，切线方程为，当时，切线方程为， 故切线方程为：或， 故答案为：或， 【方法总结】 1、求圆的切线方程的三种方法 （1）几何法：设出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出未知量，此种方法需要注意斜率不存在的情况，要单独验证，若符合题意，则直接写出切线方程． （2）代数法：设出切线方程后与圆的方程联立消元，利用判别式等于零，求出未知量，若消元后的方程为一元一次方程，则说明要求的切线中，有一条切线的斜率不存在，可直接写出切线方程． （3）设切点坐标：先利用切线的性质解出切点坐标，再利用直线的两点式写出切线方程． 2、与圆的切线相关的结论 （1）过圆上一点的圆的切线方程为． （2）过上一点的圆的切线方程为： （3）过外一点作圆的两条切线，切点分别为，，则切点弦所在直线方程为：． （4）过圆外一点引圆的两条切线，则过圆外一点的切线长为 题型01 判断直线与圆的位置关系 1．（2026高二·全国·专题练习）判断直线与圆的位置关系（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】B 【分析】根据点到直线的距离公式，结合直线与圆的位置关系判断即可． 【详解】圆中，圆心坐标为，半径， 直线即， 所以圆心到直线的距离， 故该直线与圆相切． 2．（25-26高二上·浙江宁波·期末）直线与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 【答案】B 【分析】计算圆心到直线的距离并与半径比较. 【详解】圆，则圆心，半径， 则圆心到直线的距离为， 故直线与圆的位置关系是相交. 故选：B 3．直线与圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．与m的取值有关 【答案】A 【详解】圆，则圆心，半径， 所以圆心C到直线l的距离，所以直线l与圆C相交． 4．（24-25高二上·广东深圳·阶段检测）已知点在圆内，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 【答案】C 【分析】根据点与圆的位置关系，结合圆心到直线距离与半径的大小关系进行判断即可. 【详解】∵点是圆内不同于原点的一点， ， ∵圆心到直线的距离， 故直线和圆相离. 故选：C 5．（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）已知圆，直线，则圆上到直线的距离等于1的点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据圆的标准方程得到圆的圆心和半径，计算圆心到直线的距离并判断直线和圆的位置关系，再结合半径，判断到直线的距离为1的两条直线与圆的位置关系即可. 【详解】易知圆的圆心为，半径为2， 圆心到的距离， 所以直线与圆相交，结合圆半径为2，到直线的距离为1的直线有两条， 可得一条与圆相切，一条与圆相交， 因此圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1. 故选：C. 【技巧归纳】 直线与圆的位置关系反映在三个方面:一是圆心到直线的距离与半径大小的关系,二是直线与圆的公共点的个数,三是两方程组成的方程组解的个数.因此,若给出图形,可根据公共点的个数判断;若给出直线与圆的方程,可选择用几何法或代数法,几何法计算量小,代数法可一同求出交点.解题时可根据条件作出恰当的选择. 题型02 由直线与圆的位置关系求参数 1．（25-26高二下·广东广州·期中）已知圆与直线恰有2个交点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线与圆有2个交点的位置关系，等价于圆心到直线的距离小于半径，表示出距离，列出不等式求解即可. 【详解】解：由题意得，，半径，直线为， 设圆心到直线的距离为，则由点到直线的距离公式，可得， 若圆与直线有2个交点，则，即，解得，所以. 2．已知直线：，圆C：，则“”是“直线与圆C相切”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为直线：，圆C：， 若直线与圆C相切，则，解得， 所以“”是“直线与圆C相切”的充分不必要条件. 3．（25-26高二下·广东广州·阶段检测）若圆上有且仅有2个点到直线的距离为，则r的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得圆心到直线的距离，结合图象，需使，求解即得. 【详解】由知圆心为， 因圆心到直线的距离， 作出其图象如下，由图知，要使圆上有且仅有2个点到直线的距离为， 需使，解得． 4．（25-26高二下·福建厦门·阶段检测）若过点的直线l与圆只有一个公共点，则l的斜率为______． 【答案】 【分析】确定给定圆的圆心及半径，再利用直线与圆相切求出斜率. 【详解】圆的圆心，半径， 点在圆外，而直线与圆相交， 依题意，直线与圆相切，且斜率存在，设其方程为， 由，解得，所以的斜率为. 5．（25-26高二下·广西贺州·阶段检测）若直线与圆心为的圆相离，则该圆的半径的取值范围是______． 【答案】 【分析】先求点到直线的距离，结合直线与圆的位置关系即可得结果. 【详解】因为点到直线的距离， 所以该圆的半径的取值范围是． 题型03 求切线方程及参数问题 1．（2026高二·全国·专题练习）已知点是圆上一点，则过点且与圆相切的直线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点P在圆上，代入可得m值，根据圆的几何性质可得过点P的直线l与直线CP垂直，根据斜率的关系，求出直线l的斜率，即可得答案. 【详解】因为点在圆上， 所以，解得，即圆C的方程为， 则圆心，所以直线CP的斜率， 则过点P与圆相切的直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 2．（25-26高二下·贵州毕节·期中）过原点且与圆相切的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分直线斜率是否存在，设出直线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径求解. 【详解】圆的圆心是，半径为. 直线过原点，且斜率不存在时，方程为， 圆心到直线的距离是，此时直线和圆不相切，故直线斜率不存在时无法成立； 当斜率存在时，设直线方程为：，即， 圆心到直线的距离为，解得， 即，即. 故选：C 3．（25-26高二上·重庆·期中）直线与圆相切，则实数m等于（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】由直线与圆的位置关系，应用点到直线距离公式列方程求参数值. 【详解】由的圆心为，半径为1， 由直线与圆相切，则，可得. 故选：C 4．（24-25高二上·广东深圳·阶段检测）过点可以作圆的两条切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程表示圆以及点与圆的位置关系列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】由圆的一般式方程知：， 所以，，即，解得或， 又知过点可作两条切线，得点在圆外， 即，即，综上可知：. 故选：A 5．（25-26高二上·广东深圳·期末）在平面直角坐标系中，过点与圆相切的直线方程是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】分为切线的斜率是否存在两种情况，结合直线与圆相切的条件列式即可得到答案. 【详解】圆的圆心为，半径， 当斜率不存在时，直线为，此时圆心到直线的距离为，符合题意， 当斜率存在时，设直线的斜率为，则直线方程为，即， 若直线与圆相切，则圆心到直线的距离， 所以，解得，所以直线方程为， 综上，过点与圆相切的直线方程是或. 故选：D. 6．已知圆C与y轴相切于点，且与直线相切，则圆C的标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据圆的切线性质，结合圆的标准方程，可得答案. 【详解】因为圆C与y轴相切于点，所以可设圆C的标准方程为． 因为圆C与直线相切，所以，所以或， 所以圆C的标准方程为或． 故选：C. 7．（2026高二·全国·专题练习）过点与圆相切的两条切线的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意可得圆心为，半径，设，切点分别为、，即可得到且，求出，再由二倍角公式计算可得. 【详解】圆的圆心为，半径，设， 过点的圆的切线的切点分别为、，连接、、，    则且， 又，，所以， 所以. 故选：C 8．（24-25高二上·浙江台州·阶段检测）过点与圆相切的两条直线垂直，则（    ） A． B．-1 C．1 D． 【答案】D 【分析】根据圆的切线性质、正方形的判定定理进行求解即可. 【详解】， 设该圆的圆心为，半径为，设点为点， 如图所示：过与圆相切的直线为，切点为， 连接，显然， 由题意可知相切的两条直线垂直， 所以四边形是矩形，又因为， 所以四边形是正方形， 因此有， 故选：D    【技巧归纳】 1、过圆上一点的圆的切线方程为． 2、过上一点的圆的切线方程为： 题型04 切线长(切点弦)问题 1．已知点是圆外一点，过P作圆C的两条切线，切于A，B两点，则切线长（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用切线长公式计算. 【详解】由题意知，，半径， 则. 故选：A 2．（2026高二·全国·专题练习）过坐标原点作圆的两条切线，切点分别为，，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据题意可得为等边三角形，可得结果. 【详解】圆化为标准方程为， 其圆心为，半径为1，    由题意知，,,,, 所以,所以. 所以,且, 所以为等边三角形， 所以. 故选:C． 3．（2026高二·全国·专题练习）已知圆的方程为，过直线上任意一点作圆的切线，若切线长的最小值为，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】由题意得，过某点的切线长最小时，该点到圆心的距离也为最小值，即为圆心到直线的距离，结合，即可求得的值. 【详解】由题意得，圆心，半径，切线长为， 过某点的切线长最小时，该点到圆心的距离也为最小值，则有， 即为圆心到直线的距离，解得， 故选：A. 4．已知 过坐标原点O作的两条切线，切点为A、B，则四边形的面积为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】求出⊙C圆心坐标，半径，，求出和，求出四边形的面积. 【详解】 由题意得⊙C圆心为，半径，， 则， 则四边形的面积. 故选：B. 5．（25-26高二上·广东东莞·期中）过点作圆的两条切线，设两切点分别为A、B，则直线的方程为_________. 【答案】 【分析】根据题意，由切线长公式求出的长，进而可得以为圆心，为半径为圆，则为两圆的公共弦所在的直线，联立两个圆的方程，分析可得答案． 【详解】解：根据题意，过点作圆的两条切线，设两切点分别为、， 则， 则以为圆心，为半径为圆为，即圆， 为两圆的公共弦所在的直线，则有， 变形可得：； 即直线的方程为， 故答案为： 6．（2026高二·全国·专题练习）已知圆，点在直线上运动，直线与圆相切，切点为，当最小时，弦所在直线的斜率为___________． 【答案】1 【分析】根据给定条件，利用切线长定理确定直线与直线的位置关系，再求出直线的斜率. 【详解】由直线与圆相切，得，且， 当且仅当最小时，最小，此时，因此， 所以直线的斜率. 故答案为：1 【技巧归纳】 1、过外一点作圆的两条切线，切点分别为，，则切点弦所在直线方程为：． 2、过圆外一点引圆的两条切线，则过圆外一点的切线长为 题型05 弦长及参数问题 1．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）直线被圆截得的弦长为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】D 【详解】圆可化为，得圆心，半径 用点到直线的距离公式，直线，圆心到直线的距离： 弦长 2．（2026高二·全国·专题练习）已知圆：与轴相切，则圆被轴截得的弦长为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】由圆心到x轴的距离等于半径即可求出的值，再由直线与圆的相交弦长公式解出答案. 【详解】圆：的标准方程为： 所以圆心，半径， 因为圆与轴相切， 所以圆心到轴的距离等于半径，即，解得, 所以圆的半径， 所以圆被轴截得的弦长为：. 3．（25-26高二下·广东广州·期中）已知圆截直线所得弦的长度为4，则实数的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将圆的方程化为标准方程，再由弦长公式求解. 【详解】原方程：，配方整理， 所以圆心为 ，半径 （需满足 ，即 ）, 圆心 到直线的距离是 由弦长公式，得 ，得, 由 ，得. 4．（25-26高二上·广西百色·期末）已知圆C：，直线l：，则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求直线所过定点，确定定点在圆内，则有时，直线l被圆C截得的弦长最小，依此求解即可. 【详解】直线， 令，即，所以直线恒过定点， 圆的圆心为，半径为， 且，即点P在圆内， 当时，圆心C到直线l的距离最大为， 此时，直线l被圆C截得的弦长最小，最小值为. 故选：A. 5．（25-26高二下·上海·期中）以为圆心，在直线上截得弦长为的圆方程为______. 【答案】 【分析】先由点到直线的距离公式可得，再由圆的弦长公式可得圆的半径，进而可得圆的方程. 【详解】因为圆心为，所以圆心到直线的距离， 由圆的弦长公式得，解得， 所以圆的方程为. 6．（25-26高二下·安徽合肥·阶段检测）已知圆的圆心在直线上，若直线与被圆所截得的弦长均为2，则圆的标准方程为______. 【答案】 【分析】根据直线与直线的垂直及直线与圆的位置关系求解即可. 【详解】两平行直线，均与直线垂直， 且交点分别为，， 所以圆心为的中点，所以， 点到直线的距离， 所以圆的半径， 所以圆的标准方程为. 7．（25-26高二上·山东泰安·期末）已知圆经过两点，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)过点作直线交圆于两点，若，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据垂径定理，判断圆心横坐标，联立方程组，求出圆心坐标，根据两点之间的距离公式，求出半径，进而写出圆的标准方程； （2）根据弦长公式和直线与圆的位置关系，求出弦心距，根据点到直线的距离公式，求出结果即可. 【详解】（1）∵线段的中垂线为，∴圆心在直线上， 又因为圆心在直线上，联立，得，即圆心为， ∴半径， ∴圆的标准方程为：. （2）设圆心到直线的距离为，， ，，， 当斜率不存在时，直线的方程为， ，符合题意， 当斜率存在时，设其斜率为， ∴直线的方程为，即， ∴圆心到直线的距离，解得， ∴直线的方程为，即， ∴综上所述，直线的方程为或. 【技巧归纳】 （1）利用垂径定理：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法． （2）利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长． （3）利用弦长公式：设直线，与圆的两交点，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：． 题型06 直线与半圆相交问题 1．若直线：与曲线有两个交点，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】先求出直线所过定点，再将曲线转化为，可知其为半圆，结合图象，即可求出的取值范围. 【详解】由题意得，直线的方程可化为，所以直线恒过定点， 又曲线可化为， 其表示以为圆心，半径为2的圆的上半部分，如图. 当直线与该曲线相切时，点到直线的距离， 解得，设，则， 由图可得，若要使直线与曲线有两个交点，则实数， 即实数的取值范围是. 2．（25-26高二下·上海·期中）若直线l：与曲线C：有公共点，则实数b的取值范围是_______ 【答案】 【分析】曲线C：是以原点为圆心半径为1的上半圆，画出图象，平行移动直线观察与半圆有交点的情况，得出的取值范围. 【详解】如图所示，曲线C：是以原点为圆心半径为1的上半圆， 直线是斜率为的直线，是直线的纵截距. 当直线过点时，取得最小值，此时； 当在第二象限与曲线相切时，取得最大值， 此时，到，即的距离为1， 所以，所以. 显然，所以. 所以实数b的取值范围是. 3．（25-26高二下·上海·期中）若关于的方程有且只有两个不同的实数根，实数的取值范围为_____． 【答案】 【分析】把方程有且只有两个不同的实数根的问题转化为直线与曲线交点的问题，作图象，结合图象求出的取值范围． 【详解】方程有且只有两个不同的实数根，可转化为， 即上半圆与过定点的直线有且只有两个不同的交点，如下图所示， 结合图象可知，当直线斜率时，直线与半圆有且只有2个交点， 的取值范围为． 故答案为：． 4．（25-26高二上·陕西渭南·期末）若关于的方程有且仅有一个实数根，则实数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将方程根的个数转化为曲线与直线交点个数，数形结合即可求解． 【详解】方程的解的个数即为曲线与直线交点个数， 因为， 所以曲线表示圆心为，半径为3的半圆， 因为，所以直线过定点， 在同一直角坐标系中画出半圆与直线，如图所示， 当直线过点时，有两个交点，此时， 当直线过点时，有两个交点，此时， 所以当半圆与直线有1个交点时，， 故选：A． 5．（25-26高二上·山东菏泽·期末）过点作直线与曲线相交于，两点，为坐标原点，当时，直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】曲线 是以原点为圆心，为半径的圆的上半部分，由得圆心 到直线 的距离为，设直线 的方程为 ， ，利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由 ，则 ， ，即 ， 所以曲线 是以原点为圆心，为半径的圆的上半部分，如图． 因为， ，即 ，所以 ， 所以圆心 到直线 的距离为 ． 设直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 ， ， 圆心 到直线 的距离 ，解得 ， 因为 ，所以 ． 故选：C． 6．（25-26高二上·四川·期末）过点引直线与曲线相交于两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的斜率等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题知表示以原点为圆心，为半径的半圆，设，进而根据面积公式得，时，的面积取得最大值，此时原点到直线的距离为，设直线的方程为，再根据距离公式求解即可得答案 【详解】曲线即为，表示以原点为圆心，为半径的半圆， 设 所以的面积， 所以，当时，的面积取得最大值，此时原点到直线的距离为， 设直线的方程为， 因为原点到直线的距离为，解得， 所以，整理得，解得（正舍）. 所以的面积取最大值时，直线的斜率等于 故选：B 1．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）直线与圆的位置关系（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 【答案】C 【分析】由圆心到直线的距离与半径的大小关系判断. 【详解】圆的标准方程为：， 圆心为：半径为：， 圆心到直线的距离为， 所以， 所以直线与圆相交， 故选：C 2．（25-26高二上·浙江杭州·期末）直线与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．与m，r的取值有关 【答案】C 【分析】根据题意，得到直线恒过圆心，即可得到直线与圆的位置关系. 【详解】由直线，可化为，可得直线恒过定点， 又由圆，可得圆心为， 所以直线过圆心，此时直线与圆一定相交. 故选：C. 3．若圆与直线只有一个公共点，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据给定条件可知直线是已知圆的切线，由点到直线距离公式求解即得. 【详解】因圆与直线只有一个公共点， 则直线与圆切线，圆心到该直线距离为半径1， 即，而，则有， 所以的值为2. 故选：C 4．（25-26高二上·山东·阶段检测）过圆上一点作圆的切线，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆的方程得圆心，即可求得直线的斜率，由切线的性质求得切线的斜率，然后写出切线方程. 【详解】圆的圆心为，则直线的斜率， 因为过圆上一点的切线与该点和圆心所在的直线垂直，即， 所以，则切线的斜率， 所以直线的方程为，即. 故选：C. 5．（25-26高二上·江苏南通·期末）已知圆，直线，则圆上到直线的距离等于1的点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先求圆心到直线的距离，再结合半径关系判断即可. 【详解】由题知圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 因为，， 所以圆上到直线的距离等于1的点的个数为2. 故选：B 6．（25-26高二上·江西·阶段检测）过点作圆：的切线，则的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】根据给定条件，按直线的斜率是否存在分类，利用点到直线距离公式列式求解. 【详解】圆：的圆心，半径， 点到直线的距离为，则直线的方程可为； 当的斜率存在时，设的方程为，由直线与圆相切，得， 解得，则的方程为，即， 所以直线的方程为或. 故选：B 7．（25-26高二下·云南昭通·期中）与轴交于点，与轴交于点，与交于、两点，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为直线与轴交于，与轴交于， 所以，所以， 圆的半径为， 圆心到直线的距离为， 故，解得，故选． 8．（25-26高二上·江苏南京·期末）已知直线：与圆：，若点在直线上，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】B 【分析】依题意可得，再求出圆心到直线的距离，即可判断. 【详解】因为点在直线上，所以，即， 圆：的圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离， 所以直线与圆相切. 故选：B 9．已知直线和曲线交于A，B两点，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】求出直线所过定点，确定曲线的形状，再利用圆的性质求出最小值. 【详解】直线过定点， 曲线，即表示以原点为圆心，2为半径的上半圆， 点在半圆内，当且仅当时，线段的长最短， 所以. 10．过点且与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出示意图，B，D为切点，则，可求得的值，利用二倍角的正切公式可求得. 【详解】如图，B，D为切点，则，，， 由圆可得，，又， 所以， 所以，则， 故. 故选：A. 11．（25-26高二下·湖北·期中）已知圆，直线，则直线被圆截得的最短弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆的圆心为，半径． 将直线的方程整理为关于的式子：． 令，解得，即直线恒过定点．    由于恒过定点，故当时，直线被圆截得的弦最短． 计算． 最短弦长 12．已知圆，直线的方程为，若在直线上存在点，过点作圆的切线，切点分别为点，使得为直角，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圆的对称性及切线的性质进行转化，将问题转化为点到直线的距离求解. 【详解】连接，如图，    则由圆的对称性及切线的性质，可得四边形为正方形， 又， 所以点到直线的距离必须小于或等于， 即，所以， 故选：D. 13．（24-25高二上·浙江金华·期末）点P为直线上一动点，过点P作圆的切线，切点为Q，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】由题意可求出的最小值，结合圆的性质，利用勾股定理可求得的最小值. 【详解】设点的坐标为，，圆的圆心坐标为，半径， 则 由圆的几何性质可得， 又， 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 故选：C 14．（24-25高二下·贵州毕节·期末）若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据半圆与直线的位置关系，求出切线斜率，数形结合得解. 【详解】由得， 直线经过定点，如图， ， 当直线与半圆相切时，， 所以恰有两个公共点时，由图可知，， 故选：D． 15．（25-26高二上·四川遂宁·期中）点为直线上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为（   ） A． B．2 C．2 D．4 【答案】A 【分析】当圆心与点的距离最小时，切线长最小，则四边形的面积最小，此时是点到已知直线的垂线段. 然后利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再结合弦长公式和面积公式进行计算即可． 【详解】由圆方程知圆心为，半径为1， 因为为圆的切线，所以，   ，要使得最小，只要最小， 由切线长公式知，只要最小． 当时，，此时， 所以的最小值是， 故选：A 16．（25-26高二上·广东广州·期中）过点作直线与曲线相交于，两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定方程确定曲线形状，再利用圆的性质，结合点到直线距离公式求解. 【详解】由，得，，即（）， 因此曲线是以原点为圆心，2为半径的圆的上半部分，，如图：    而，则， 当且仅当，即时取等号，即面积取最大值， 此时，圆心到直线的距离为， 设直线的斜率为，则直线的方程为，即， 因此，解得. 故选：A 17．直线与曲线相交于，两点，则弦长______． 【答案】 【详解】曲线的方程可化为，是一个圆， 其圆心为，半径， 直线即到圆心的距离， 则弦长. 18．（25-26高二下·上海·阶段检测）若直线与圆相离，则实数的取值范围是_________________ 【答案】 【分析】根据点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离，再根据相离的性质解不等式即可得解. 【详解】由圆的标准方程可知圆的圆心坐标为，半径为， 则圆心到直线的距离， 直线和圆相离则有，即， 解含绝对值不等式可得或， 即. 19．（25-26高二下·上海闵行·期中）已知圆的方程为，直线的方程为.若直线与圆相交所得弦长，则________. 【答案】或 【详解】由，得， 所以圆的圆心为，半径为. 若直线与圆相交所得弦长，则圆心到直线的距离为. 所以，化简得，解得或. 20．过点作圆的切线，，则切线长为__________；过切点A，B的直线方程为__________． 【答案】 【分析】利用切线长公式求出切线长度；求出以为直径的圆的方程，两圆相减得到AB直线方程 【详解】圆，则圆心，半径， 在中，，， ，． 以为直径的圆的方程，即以为圆心， 以为半径的圆的方程为：， 又圆，两圆方程相减可得． 故答案为：； 21．（25-26高二上·江苏常州·期末）若直线与曲线恰好有一个公共点，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据直线过定点，以及直线和圆的位置关系，利用数形结合作出图象进行研究即可. 【详解】直线过定点， 曲线为以为圆心，1为半径，且位于轴上部分的半圆， 当直线过点时，直线与曲线有两个不同的交点，即，解得， 当直线与曲线相切时，直线与圆有一个交点， 圆心到直线的距离，解得， 结合图象可知，当或时，直线与曲线恰有一个交点， 所以，实数的取值范围为. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第16讲 直线与圆的位置关系 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型01 判断直线与圆的位置关系 题型02 由直线与圆的位置关系求参数 题型03 求切线方程及参数问题 题型04 切线长(切点弦)问题 题型05 弦长及参数问题 题型06 直线与半圆相交问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 1.直线与圆的位置关系 2.切线 3.弦长 1. 理解直线与圆的三种位置关系,培养直观想象的核心素养. 2. 能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系,提升数学运算与逻辑推理的核心素养. 3. 能解决有关直线与圆的位置关系的问题,强化数学运算的核心素养. 4. 能正确理解直线与圆的方程,培养数学抽象的核心素养. 5. 能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题,提升数学建模、数学运算的核心素养. 6. 体会坐标法解决平面几何问题的“三步曲”,强化数学运算的核心素养. 学习重点：理解直线与圆的三种位置关系，能判断直线与圆的位置关系 学习难点：掌握直线与圆的位置关系中的切线、弦长问题 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 直线与圆的位置关系 一、直线与圆的三种位置关系 直线与圆 的位置关 系的图象 直线与圆的 位置关系 相交 相切 相离 二、判断直线与圆的位置关系的两种方法 1、几何法（优先推荐） 图象 位置关系 相交 相切 相离 判定方法 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相交。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相切。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相离。 2、代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 ①直线与圆相交 ②直线与圆相切 ③直线与圆相离 即时即练 1．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）判断圆与下列直线的位置关系 (1)； (2)． 2．（25-26高二下·上海浦东新·期末）若直线与圆相切，则实数的值为__________． 【方法总结】 直线与圆的位置关系反映在三个方面:一是圆心到直线的距离与半径大小的关系,二是直线与圆的公共点的个数,三是两方程组成的方程组解的个数.因此,若给出图形,可根据公共点的个数判断;若给出直线与圆的方程,可选择用几何法或代数法,几何法计算量小,代数法可一同求出交点.解题时可根据条件作出恰当的选择. 知识点02 直线与圆相交 记直线被圆截得的弦长为的常用方法 1、几何法（优先推荐） ①弦心距（圆心到直线的距离） ②弦长公式： 2、代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 弦长公式： 即时即练 1．（25-26高二上·广东汕头·期中）已知圆心为C的圆经过，，三点. (1)求此圆的标准方程; (2)求直线被此圆截得的弦长. 2．过点，被圆所截的弦长为的直线方程为______. 【方法总结】 设直线l的方程为ax+by+c=0,圆O的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2(r>0),求弦长的方法通常有以下两种 (1) 几何法:由圆的性质知,过圆心O作l的垂线,垂足C为线段AB的中点,如图所示.在Rt△OCB中,|BC|2=r2-d2,则弦长|AB|=2|BC|=2. 知识点03 直线与圆相切 1、圆的切线条数 ①过圆外一点，可以作圆的两条切线 ②过圆上一点，可以作圆的一条切线 ③过圆内一点，不能作圆的切线 2、过一点的圆的切线方程（） ①点在圆上 步骤一：求斜率：读出圆心，求斜率，记切线斜率为，则 步骤二：利用点斜式求切线（步骤一中的斜率+切点） ②点在圆外 记切线斜率为，利用点斜式写成切线方程；在利用圆心到切线的距离求出 （注意若此时求出的只有一个答案；那么需要另外同理切线为） 3、切线长公式 记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求； 即时即练 1．（25-26高二上·贵州遵义·阶段检测）圆在点处的切线方程为______. 2．（24-25高二上·云南楚雄·阶段检测）若直线与圆相切，则实数________． 3．（24-25高二上·广东茂名·期末）过点作圆的切线，则直线的方程为__________.（写出一条方程即可） 【方法总结】 1、求圆的切线方程的三种方法 （1）几何法：设出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出未知量，此种方法需要注意斜率不存在的情况，要单独验证，若符合题意，则直接写出切线方程． （2）代数法：设出切线方程后与圆的方程联立消元，利用判别式等于零，求出未知量，若消元后的方程为一元一次方程，则说明要求的切线中，有一条切线的斜率不存在，可直接写出切线方程． （3）设切点坐标：先利用切线的性质解出切点坐标，再利用直线的两点式写出切线方程． 2、与圆的切线相关的结论 （1）过圆上一点的圆的切线方程为． （2）过上一点的圆的切线方程为： （3）过外一点作圆的两条切线，切点分别为，，则切点弦所在直线方程为：． （4）过圆外一点引圆的两条切线，则过圆外一点的切线长为 题型01 判断直线与圆的位置关系 1．（2026高二·全国·专题练习）判断直线与圆的位置关系（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 2．（25-26高二上·浙江宁波·期末）直线与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 3．直线与圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．与m的取值有关 4．（24-25高二上·广东深圳·阶段检测）已知点在圆内，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 5．（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）已知圆，直线，则圆上到直线的距离等于1的点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【技巧归纳】 直线与圆的位置关系反映在三个方面:一是圆心到直线的距离与半径大小的关系,二是直线与圆的公共点的个数,三是两方程组成的方程组解的个数.因此,若给出图形,可根据公共点的个数判断;若给出直线与圆的方程,可选择用几何法或代数法,几何法计算量小,代数法可一同求出交点.解题时可根据条件作出恰当的选择. 题型02 由直线与圆的位置关系求参数 1．（25-26高二下·广东广州·期中）已知圆与直线恰有2个交点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知直线：，圆C：，则“”是“直线与圆C相切”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高二下·广东广州·阶段检测）若圆上有且仅有2个点到直线的距离为，则r的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·福建厦门·阶段检测）若过点的直线l与圆只有一个公共点，则l的斜率为______． 5．（25-26高二下·广西贺州·阶段检测）若直线与圆心为的圆相离，则该圆的半径的取值范围是______． 题型03 求切线方程及参数问题 1．（2026高二·全国·专题练习）已知点是圆上一点，则过点且与圆相切的直线的方程为（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·贵州毕节·期中）过原点且与圆相切的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·重庆·期中）直线与圆相切，则实数m等于（   ） A． B． C． D．1 4．（24-25高二上·广东深圳·阶段检测）过点可以作圆的两条切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·广东深圳·期末）在平面直角坐标系中，过点与圆相切的直线方程是（    ） A． B． C．或 D． 6．已知圆C与y轴相切于点，且与直线相切，则圆C的标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 7．（2026高二·全国·专题练习）过点与圆相切的两条切线的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·浙江台州·阶段检测）过点与圆相切的两条直线垂直，则（    ） A． B．-1 C．1 D． 【技巧归纳】 1、过圆上一点的圆的切线方程为． 2、过上一点的圆的切线方程为： 题型04 切线长(切点弦)问题 1．已知点是圆外一点，过P作圆C的两条切线，切于A，B两点，则切线长（    ） A． B． C． D． 2．（2026高二·全国·专题练习）过坐标原点作圆的两条切线，切点分别为，，则（    ） A． B． C． D．2 3．（2026高二·全国·专题练习）已知圆的方程为，过直线上任意一点作圆的切线，若切线长的最小值为，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．已知 过坐标原点O作的两条切线，切点为A、B，则四边形的面积为（    ） A．1 B． C．2 D． 5．（25-26高二上·广东东莞·期中）过点作圆的两条切线，设两切点分别为A、B，则直线的方程为_________. 6．（2026高二·全国·专题练习）已知圆，点在直线上运动，直线与圆相切，切点为，当最小时，弦所在直线的斜率为___________． 【技巧归纳】 1、过外一点作圆的两条切线，切点分别为，，则切点弦所在直线方程为：． 2、过圆外一点引圆的两条切线，则过圆外一点的切线长为 题型05 弦长及参数问题 1．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）直线被圆截得的弦长为（    ） A．2 B． C．3 D．4 2．（2026高二·全国·专题练习）已知圆：与轴相切，则圆被轴截得的弦长为（    ） A．1 B． C．2 D． 3．（25-26高二下·广东广州·期中）已知圆截直线所得弦的长度为4，则实数的值是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·广西百色·期末）已知圆C：，直线l：，则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·上海·期中）以为圆心，在直线上截得弦长为的圆方程为______. 6．（25-26高二下·安徽合肥·阶段检测）已知圆的圆心在直线上，若直线与被圆所截得的弦长均为2，则圆的标准方程为______. 7．（25-26高二上·山东泰安·期末）已知圆经过两点，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)过点作直线交圆于两点，若，求直线的方程. 【技巧归纳】 （1）利用垂径定理：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法． （2）利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长． （3）利用弦长公式：设直线，与圆的两交点，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：． 题型06 直线与半圆相交问题 1．若直线：与曲线有两个交点，则实数的取值范围是__________． 2．（25-26高二下·上海·期中）若直线l：与曲线C：有公共点，则实数b的取值范围是_______ 3．（25-26高二下·上海·期中）若关于的方程有且只有两个不同的实数根，实数的取值范围为_____． 4．（25-26高二上·陕西渭南·期末）若关于的方程有且仅有一个实数根，则实数为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·山东菏泽·期末）过点作直线与曲线相交于，两点，为坐标原点，当时，直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·四川·期末）过点引直线与曲线相交于两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的斜率等于（ ） A． B． C． D． 1．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）直线与圆的位置关系（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 2．（25-26高二上·浙江杭州·期末）直线与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．与m，r的取值有关 3．若圆与直线只有一个公共点，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 4．（25-26高二上·山东·阶段检测）过圆上一点作圆的切线，则的方程为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·江苏南通·期末）已知圆，直线，则圆上到直线的距离等于1的点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（25-26高二上·江西·阶段检测）过点作圆：的切线，则的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 7．（25-26高二下·云南昭通·期中）与轴交于点，与轴交于点，与交于、两点，，则为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·江苏南京·期末）已知直线：与圆：，若点在直线上，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 9．已知直线和曲线交于A，B两点，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D． 10．过点且与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高二下·湖北·期中）已知圆，直线，则直线被圆截得的最短弦长为（    ） A． B． C． D． 12．已知圆，直线的方程为，若在直线上存在点，过点作圆的切线，切点分别为点，使得为直角，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高二上·浙江金华·期末）点P为直线上一动点，过点P作圆的切线，切点为Q，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 14．（24-25高二下·贵州毕节·期末）若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 15．（25-26高二上·四川遂宁·期中）点为直线上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为（   ） A． B．2 C．2 D．4 16．（25-26高二上·广东广州·期中）过点作直线与曲线相交于，两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 17．直线与曲线相交于，两点，则弦长______． 18．（25-26高二下·上海·阶段检测）若直线与圆相离，则实数的取值范围是_________________ 19．（25-26高二下·上海闵行·期中）已知圆的方程为，直线的方程为.若直线与圆相交所得弦长，则________. 20．过点作圆的切线，，则切线长为__________；过切点A，B的直线方程为__________． 21．（25-26高二上·江苏常州·期末）若直线与曲线恰好有一个公共点，则实数的取值范围为______． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $