精品解析：广东阳江市2025-2026学年高二下学期7月期末质量监测数学试题

2025-2026学年度第二学期期末质量监测题 高二数学 本试卷共5页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、班级、学号、考生号填写在答题卡上． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 2. 在等差数列中，已知，，则（ ） A. B. C. D. 3. 设随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 某调味品企业研究豆豉的发酵时间（单位：天）与每千克豆豉中某种物质含量（单位：）的关系，所得数据资料如下表： 发现y与x之间具有线性相关关系，其经验回归方程为，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 5. 已知等比数列的前项和为，，，则（ ） A. 120 B. 210 C. 220 D. 850 6. 甲、乙两班各人参加数学竞赛，人分两排合影留念，若从甲班的人和乙班的人中各选人站在前排，后排的人要求甲班的人必须相邻，同时乙班的人也必须相邻，则不同的站法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 7. 若事件，满足，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，则（） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某校高二年级共有男生500人，女生500人，现对该年级期中考数学成绩进行分析，记男生成绩为，女生成绩为，且，，则下列结论正确的是（ ） （参考数据：；；） A. B. 女生成绩的标准差为 C. 男生成绩在区间的约有人（计算结果四舍五入取整） D. 当成绩达到分为及格，则男生和女生及格人数一样多 10. 设等差数列的前项和为，，公差为，则下列说法正确的是（ ） A. 是等比数列 B. 当且仅当时，取得最大值 C. 若，则的最大值为 D. 若的前项和为，则 11. 英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯定理，随机事件、存在如下关系：．张同学每天可以选择学校的甲或乙餐厅用餐．张同学第一天选择甲餐厅用餐的概率为，选择乙餐厅用餐的概率为．如果第一天选择甲餐厅用餐，那么第二天继续选择甲餐厅用餐的概率为：如果第一天选择乙餐厅用餐，那么第二天选择甲餐厅用餐的概率为．则张同学（ ） A. 第二天选择甲餐厅用餐的概率为 B. 第二天选择乙餐厅用餐且第一天选择甲餐厅用餐的概率为 C. 若第二天选择甲餐厅用餐则第一天选择乙餐厅用餐的概率为 D. 若第二天选择乙餐厅用餐，则第一天选择甲餐厅用餐的概率为 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线在点处的切线方程为__________． 13. 已知的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则该展开式中的常数项为__________． 14. 已知数列的通项公式为．在与之间插入个，使它们和原数列的项构成新的数列．记数列的前项和为，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求函数的单调区间与极值； （2）求函数在区间上的最值． 16. 研究表明，春季早晚温差大，由于个人体质不同，可能会导致感冒．某医学研究小组为了解20-30岁年轻人的体质健康是否与性别有关，在4月感冒易发季节对某一小区中该年龄段的年轻人进行了随机抽样，得到列联表． 性别 健康状况 感冒 不感冒 合计 男 20 80 女 10 90 合计 （1）在上述感冒的年轻人中按照性别采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机选取3人访谈，记参与访谈的男性人数为，求的分布列及均值： （2）补全上表，并判断在犯错误的概率不超过0.05的前提下，20-30岁年轻人的体质健康与性别是否有关？ 参考数据： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参考公式：，其中． 17. 已知等差数列的前项和为，且，， （1）求数列的通项公式； （2）若，令，求数列的前项和， 18. 某农业科技公司开发了一套AI作物健康系统，每天对于、、三种经济作物进行病虫害识别．系统识别的准确率分别为，，，且三种作物的识别结果相互独立． （1）求第一天AI系统识别准确的作物数量的分布列及均值； （2）针对AI作物健康系统：若前一天识别准确，则第二天识别准确的概率为；若前一天识别错误，则第二天识别准确的概率为．公司规定：当作物的识别准确率不低于时，继续使用当前模型；否则更换此模型．问：一个检测模型最多可以连续使用多少天？参考数据：，． 19. 对于正数，且，定义为，的对数平均值，且，我们把上述不等式称为对数平均不等式．人工智能DeepSeek给出了不等式右端的证明： 不妨设，则等价于，即证：， 令，即证：对一切恒成立． 记，则，所以在上单调递增，从而有证毕． （1）请参照以上方法证明：； （2）已知函数． （i）若有两个极值点，，求的取值范围； （ii）在（i）的条件下证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期末质量监测题 高二数学 本试卷共5页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、班级、学号、考生号填写在答题卡上． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，故B正确. 2. 在等差数列中，已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】在等差数列中，由，，得公差， 所以. 3. 设随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用二项分布的期望和方差的公式，求得且，结合方差的性质，即可求解. 【详解】由随机变量，因为，可得，解得， 所以，则. 4. 某调味品企业研究豆豉的发酵时间（单位：天）与每千克豆豉中某种物质含量（单位：）的关系，所得数据资料如下表： 发现y与x之间具有线性相关关系，其经验回归方程为，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】A 【解析】 【详解】，， 则，得. 5. 已知等比数列的前项和为，，，则（ ） A. 120 B. 210 C. 220 D. 850 【答案】D 【解析】 【分析】根据为等比数列计算. 【详解】由题意得，为等比数列， 则为等比数列，得公比为， 则，，得，. 6. 甲、乙两班各人参加数学竞赛，人分两排合影留念，若从甲班的人和乙班的人中各选人站在前排，后排的人要求甲班的人必须相邻，同时乙班的人也必须相邻，则不同的站法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】B 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理求解即可. 【详解】因为第一排的站法有种，第二排的站法有种， 所以不同的站法有种. 故选：B. 7. 若事件，满足，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用对立事件的概率公式及条件概率公式求解. 【详解】因为，所以， ，，两式相除得，化简得：， 所以. 8. 已知，，，则（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，研究其单调性，进行比较大小. 【详解】，由于，所以， 设，则，当时，，当时，， 所以在单调递增，在上单调递减， 所以，即， 所以，两边同乘以得：，即，又， 所以，两边同乘以得：，即， 综上：. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某校高二年级共有男生500人，女生500人，现对该年级期中考数学成绩进行分析，记男生成绩为，女生成绩为，且，，则下列结论正确的是（ ） （参考数据：；；） A. B. 女生成绩的标准差为 C. 男生成绩在区间的约有人（计算结果四舍五入取整） D. 当成绩达到分为及格，则男生和女生及格人数一样多 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正态分布的性质、期望的性质及正态分布的原则求解即可. 【详解】对于A，已知，所以， 所以，A正确. 对于B，女生成绩，则标准差为8，B错误. 对于C，男生成绩，区间即， 所以该区间的人数约为（人），C正确. 对于D，男生：， 所以， 所以及格人数约为（人）； 女生：， 所以， 所以及格人数约为（人）； 所以当成绩达到分为及格，则男生和女生及格人数一样多，D正确. 10. 设等差数列的前项和为，，公差为，则下列说法正确的是（ ） A. 是等比数列 B. 当且仅当时，取得最大值 C. 若，则的最大值为 D. 若的前项和为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】先根据已知条件求出等差数列的通项公式和前项和公式，再根据公式逐一分析选项. 【详解】已知等差数列 中 ， 则，. 对于选项A，， 因为 是等差数列，公差 ，所以 ， 则 ，且 ， 所以 是以 为首项， 为公比的等比数列， A选项正确； 对于选项B，的图象开口向下，对称轴为 ， 因为 为正整数，所以当 或 时， 可以取得最大值， 而 ， 即 的最大值为 30 ，B选项错误； 对于选项C，令 ，即 ，解得 ； 因为为正整数，所以使 成立的的最大值为 11，C选项正确； 对于选项D，令 ，解得 ． 当 时， ；当 时，. ， ， ， 所以 ，D选项正确. 11. 英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯定理，随机事件、存在如下关系：．张同学每天可以选择学校的甲或乙餐厅用餐．张同学第一天选择甲餐厅用餐的概率为，选择乙餐厅用餐的概率为．如果第一天选择甲餐厅用餐，那么第二天继续选择甲餐厅用餐的概率为：如果第一天选择乙餐厅用餐，那么第二天选择甲餐厅用餐的概率为．则张同学（ ） A. 第二天选择甲餐厅用餐的概率为 B. 第二天选择乙餐厅用餐且第一天选择甲餐厅用餐的概率为 C. 若第二天选择甲餐厅用餐则第一天选择乙餐厅用餐的概率为 D. 若第二天选择乙餐厅用餐，则第一天选择甲餐厅用餐的概率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用条件概率公式、全概率公式和贝叶斯公式计算可得. 【详解】设表示张同学第一天选择甲餐厅用餐，表示张同学第二天选择甲餐厅用餐， 表示张同学第一天选择乙餐厅用餐，表示张同学第二天选择乙餐厅用餐. 则，，，，，， 对于A，，故A正确； 对于B，因为，故B正确； 对于C，因为，故C错误； 对于D， 因为，故D正确. 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线在点处的切线方程为__________． 【答案】 【解析】 【详解】，. 所以曲线在点处的切线方程为，即. 13. 已知的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则该展开式中的常数项为__________． 【答案】210 【解析】 【详解】由的展开式中第项与第项的二项式系数相等，得，解得， 二项式的展开式通项公式， 由，得，所以该展开式中的常数项为. 14. 已知数列的通项公式为．在与之间插入个，使它们和原数列的项构成新的数列．记数列的前项和为，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】分析可知在数列中为第项，利用分组求和法求，再结合错位相减法以及并项求和法运算求解. 【详解】由题意可知：在数列中为第项， 且与之间插入个的和为， 因为，， 则， 设，则， 可得，且，即，所以； 当为奇数时，则， 可得， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求函数的单调区间与极值； （2）求函数在区间上的最值． 【答案】（1）递减区间为，递增区间为和，极大值为，极小值为 （2）最小值为，最大值为 【解析】 【分析】（1）求得，得到函数单调区间，结合极值的定义，即可求解； （2）由（1）得到的单调性，结合极值和区间端点的函数值，进而求得的最值. 【小问1详解】 解：由函数，可得其定义域为， 且， 令，得；令，得或； 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为和， 则的极大值为， 极小值为． 【小问2详解】 解：由（1）可知在上单调递减，在上单调递增， 且，， 又由，可得，所以， 所以在区间上的最小值为，最大值为． 16. 研究表明，春季早晚温差大，由于个人体质不同，可能会导致感冒．某医学研究小组为了解20-30岁年轻人的体质健康是否与性别有关，在4月感冒易发季节对某一小区中该年龄段的年轻人进行了随机抽样，得到列联表． 性别 健康状况 感冒 不感冒 合计 男 20 80 女 10 90 合计 （1）在上述感冒的年轻人中按照性别采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机选取3人访谈，记参与访谈的男性人数为，求的分布列及均值： （2）补全上表，并判断在犯错误的概率不超过0.05的前提下，20-30岁年轻人的体质健康与性别是否有关？ 参考数据： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参考公式：，其中． 【答案】（1）的分布列为： 1 2 3 期望 （2）补全后的列联表： 性别 感冒 不感冒 合计 男 20 80 100 女 10 90 100 合计 30 170 200 在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为20-30岁年轻人的体质健康与性别有关. 【解析】 【分析】（1）先根据感冒人群的男女比例，确定分层抽样抽取的6人中的男女人数，再计算各取值对应的概率得到分布列，最后求期望； （2）先补全列联表，代入卡方公式计算观测值，与临界值比较得出结论. 【小问1详解】 已知感冒的年轻人中男性20人、女性10人，男女比例为，分层抽样抽取6人时，抽取男性人数为，女性人数为. 随机变量的所有可能取值为1,2,3，对应概率计算如下： ，， . 所以参与访谈的男性人数的分布列为 1 2 3 期望为. 【小问2详解】 男性合计，女性合计，感冒总人数，不感冒总人数，总样本量. 则列联表如下： 性别 感冒 不感冒 合计 男 20 80 100 女 10 90 100 合计 30 170 200 零假设：20-30岁年轻人的体质健康与性别无关. . 由于，因此拒绝零假设，即在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为20-30岁年轻人的体质健康与性别有关. 17. 已知等差数列的前项和为，且，， （1）求数列的通项公式； （2）若，令，求数列的前项和， 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出公差，根据等差数列通项公式和求和公式基本量计算得到方程组，求出首项和公差，得到通项公式； （2）在（1）基础上，得到，利用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 设数列的公差为，由，， 得，解得， 所以数列的通项公式为． 【小问2详解】 由（1）及题设知， 因为， ， 两式相减，得 ， 所以． 18. 某农业科技公司开发了一套AI作物健康系统，每天对于、、三种经济作物进行病虫害识别．系统识别的准确率分别为，，，且三种作物的识别结果相互独立． （1）求第一天AI系统识别准确的作物数量的分布列及均值； （2）针对AI作物健康系统：若前一天识别准确，则第二天识别准确的概率为；若前一天识别错误，则第二天识别准确的概率为．公司规定：当作物的识别准确率不低于时，继续使用当前模型；否则更换此模型．问：一个检测模型最多可以连续使用多少天？参考数据：，． 【答案】（1） 0 1 2 3 （2）3天 【解析】 【分析】（1）判断的可能取值，根据概率加法公式及独立事件的概率乘法公式计算对应的概率，即可得到分布列；代入数学期望公式即可求出均值. （2）根据递推关系及等比数列定义求出，进而得到关于的不等式，结合指数与对数的互化及对数的运算求解即可. 【小问1详解】 依题设可知，第一天AI系统识别准确的作物数量可能取值为0，1，2，3， 又系统识别的准确率分别为，，，且三种作物的识别结果相互独立． 所以， ， ， ， 故的分布列为 0 1 2 3 均值． 【小问2详解】 设为第天作物识别准确的概率， 由题意得递推关系， 所以， 又，所以是以为首项、为公比的等比数列， 所以数列的通项为， 令，整理得，化简得， 即， 又，的最大值为3， 故一个检测模型最多可以连续使用3天． 19. 对于正数，且，定义为，的对数平均值，且，我们把上述不等式称为对数平均不等式．人工智能DeepSeek给出了不等式右端的证明： 不妨设，则等价于，即证：， 令，即证：对一切恒成立． 记，则，所以在上单调递增，从而有证毕． （1）请参照以上方法证明：； （2）已知函数． （i）若有两个极值点，，求的取值范围； （ii）在（i）的条件下证明． 【答案】（1）不妨设， 则等价于，即， 令，，即证， 令，，则， 可知函数在上单调递减，则， 所以，即成立. （2）（i）； （ii）由（i）得，，． 不妨设，则 ， 可得， 由（1）可知，对于，即， 可得，可得， 因为，则，可得， 所以，所以在（i）的条件下得证． 【解析】 【分析】（1）原不等式等价为，构建，，利用导数证明，即可得结果； （2）（i）求导，分析可知方程有两个正根，结合二次函数零点分别运算求解；（ii）整理可得，结合由（1）可知，进而分析证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）因为函数，， 所以， 令，得， 若有两个极值点，，则方程有两个正根， 则，解得， 所以的取值范围是； （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $