广东潮州市2025-2026学年第二学期高二期末教学质量监测数学试卷

2025一2026学年度第二学期高二级期末教学质量监测 数学 本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟。 注意事项：1.考生务必用R色学迹的钢笔或签宇笔将自己的灶名和考号填写在答题卡上。 2.进择题每小题进出答崇后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需玫动，用橡 皮擦干净后，再选涂其它答案：答崇不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色宇迹钢笔或签字笔作答，答策必须写在各题目指定区煜内相应位置上；如 需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答秦：不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答 的答靠无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束，将答题卡交回。 一、选择题（本题共11道小题，其中1至8小题为单项选择题，9至11小题为多项选择题） (一)单项选择题（本题共8道小题，每小题只有一个选项正确，每小题6分，共40分） 1.某项测试的成绩c近似服从正态分布N(85,σ2)，若P(85≤c≤95)=0.3，则 P(c>95)=() A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.6 2.曲线y=2+在x=0处的切线斜率为（) A.3 B.1 C.2 D.0 3.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，a+a5+a,=9,则S,=() A号 g号 C.66 D.33 4.(3x-5)展开式中所有项的二项式系数之和与所有项的系数之和分别为（) A.8:8 B.-8:8 C.8:-8 D.-8;-8 5.将A,B,C,D,E,F共6本书平均分给甲、乙、丙三个学生，且书本A分给学生甲， 则不同的分书方法共有()种 A.15 B.20 C.30 D.60 6.若函数f(x)=x3+m2-3bx+2c的单调递减区间为(-1，)，则a+b等于（) A.-1 B.1 C.-3 D.3 7双曲线C:兰卡=〔a>06>0的一条新近线饭解角为号，则双曲线C的高心率为 () 高二数学试卷第1页共4页 餐S扫描全能王 输3觉人群在用的日量Ae 02…-。 A.2 B.5 c.6 D.23 3 3 8.若函数(x)=2e-ax2+1有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是（) A.a>e B.a≥e C.a>2e' D.a22e （二)多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，每小题有多个选项正确，每小 题全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分) 9.下列说法正确的是() A.若随机变量5，刀满足n=25+1,则D(7)=4D(5) B.在独立性检验中，随机变量x2的观测值越大，“认为两个变量有关这种判断犯错误的 概率越小 C.变量y关于变量x的经验回归方程为)=4x+1,则样本点(2,9)的残差为1 D.若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的值越大 10、如图，在直三棱柱ABC-AB,C中，AB LAC,BD=2DC,则()， A.向量而在向量而上的投影向量为子西 A B B.向量D在向量AC上的投影向量为2AC C.而=a+硒+子c 3 D.AD与AB的夹角为锐角 B 11.抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线l:y=k(x-2)过点F且与抛物线E交于 AB两点，点A在第一象限，则（) A.抛物线E的焦点F到准线的距离为4 B.若点P的坐标为(3，V⑤)，则△APF周长的最小值为9 C.当AF=3B时，k=3 D.当k变化时，AB的最小值为8 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.设等比数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=5,S2=0,则S,=_ 13.有一批产品共10件，其中7件是正品，3件是次品.质检员对这批产品进行抽检，从中 随机抽取3件，若至少有2件是次品，则这批产品不合格，那么质检员检测到这批产品 高二数学试卷第2页共4页 蠡巴全任 2。-2 不合格的概率为 14.已知点M是矩形ABCD内的动点，且MB=2MA,AB=3,D=4,点N为边BC上的动 点，则MN+D的最小值为· 三、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16、17题每题15分，第18、19题每题17 分，共77分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.（本题满分13分)设等差数列(an}的前n项和为Sn,S,=2S+5,a2=24-1. (1)求数列{an}的通项公式： 2)设么=。，求数列6，}的前n项和7. anant! 16.(本题满分15分)四楼锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,AB/IDC,AB⊥AD,且 PA=AD=DC=1,AB=2,M是PB的中点. (1)证明：BC⊥平面PAC: (2)求直线PB与平面AMC所成角的正弦值， 17.（本题满分15分)有4支队伍参加一场知识竞赛，其中2支强队，2支弱队.每队派1名 代表进行比赛，小明来自强队.在某一轮比赛中，随机挑选两名代表进行比赛。若强队 与弱队进行比赛，则强队获胜的概率为}：若同类队伍进行比赛，则双方获胜的概率均 为站， (1)已知小明参赛，求在一轮比赛中，小明获胜的概率： (2)现增加新的比赛规则：与强队比赛获胜得2分，与弱队比赛获胜得1分，失败均得0 分若小明分别与每个代表进行一轮比赛，记比赛结束时小明获得的积分为X,求X的 分布列与期望， 高二数学试卷第3页共4页 餐巴扫描全能王 签3觉人群在用的日量A中 -。。…-42… 18.(本题满分17分)已知函数fx)=1nx+-1. (I)当a=e时，求f(x)的极值： (2)讨论f(x)的单调性： (3)若对任意的xe(0,o),都有f(x)>0恒成立，求实数a的取值花围 16(*愿满分17分)已知满圆C:若+长=1a>5>0经过点(5，引】 其右焦点为 F(5,0,左、右顶点分别为4,4· (1)求椭圆C的标准方程： (2)已知点P为椭圆C上任意一点（不与左、右项点4,4合），求证：直线P4,P4的 斜率之积为定值，并求出该定值： (3)若过点B(-3,0)的直线1与椭圆C交于P,2两点，求△A,P2的面积的最大值. 高二数学试卷第4页共4页 鬈巴全目 …-242…2025一2026学年度第二学期高二级期末教学质量监测 数学参考答案 一、选择题 题号 2 4 6 7 8 10 11 答案 A 小 D C B 0 A AB BCD ABC 二、填空题 第12题：5第13题： 1 60 第14题：√65-2 【各题详解】 1.由成绩c近似服从正态分布N(85,。2),可知正态密度曲线的对称轴为=85， 则P(c>85)=0.5,所以P(c>95)=0.5-P(85≤c≤95)=0.2 2,y=2+e,.y'=e,将x=0代入y'=e,得切线斜率为e=1. 3.解法一：因为{a}是等差数列，所以4+a6+4=34=9,则46=3， 所以S1=1(6+4.1×241h,=3. 2 2 解法二：设等差数列{a}的公差为d,由a4+a。+4,=9得3(q+5d)=9,则a+5d=3, 所以，=11a+11x10d=1a+5d=33. 2 4.展开式中所有项的二项式系数之和为23=8， 令x=1,得展开式中所有项的系数之和为(3×1-5)3=-8. 5.把书本A分给甲，则从其余5本书中再取1本给甲，共有C种不同方法：再将剩下的4本书平均分给 乙、丙，共有C2=6种不同方法.所以共有5×6=30种不同方法. 6.因为函数f(x)的单调递减区间为(-1,1)，且f"(x)=3x2+2r-3b, 所以不等式3x2+2r-3b<0的解集为(-1,1)， 敌-1,1是3x2+2-3边=0的两根，故-1+1=？-1x1=二乃 3 所以a=0,b=1,所以a+b=1. 7.由题意有b-am”-5→b-5a, a 63 义=6g,所以e=-2g 3 a 3 8.依题意得f'(x)=2e-2ax=0有2个不同的实数根，显然，x=0不是方程2e'-2ax=0的根， 高二数学答案第1页共8页 故a=C有2个不同的实数根， 令8)-兰，则g(--,令g)0,得x>1,令g<0,得r<0或0<<1， x2 所以g(x)在(-0,0)，(0,1)上单调递减，在(1，+0)上单调递增， 因此g(x)有极小值g(1)=e, 又因为当x<0时，g(x)<0,所以g(x)图象如图所示： 由图象可得：当a>e时，a=有2个不同的实数根，函数f(x)=2e-m2+1有两个不同的极值点. 9.A选项，若随机变量5，刀满足7=25+1，由方差的性质可得D()=2D(5)=4D(),故A正确： B选项，在独立性检验中，随机变量x的观测值越大，“认为两个变量有关这种判断犯错误的概率越小， 故B正确： C选项，当x=2时，=9，所以样本点(2,9)的残差为9-9=0，故C错误： D选项，若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的绝对值越大，故D错误 1O.如图所示，过点D作DU⊥BC交BC于点U,过点U作UN⊥AB交AB于点V,过点U作UW⊥AC 交AC于点W,易证AB⊥平面DUUV,从而AB⊥DV,同理可证AC⊥DW 故向量AD在向量AB上的投影向量为A下，向量AD在向量AC上的投影向量为Am, A B 出起车易将指-号把-号位心-写，A不正路：Am-言，5正路 因为D-4+A码+RD=M+A8号8G =4+48+4C-4码)=4+}西+号4c,故c正确， 高二数学答案第2页共8页 因为D丽-（4+兮西+号4C4西=5+店+号4c西-68，所以D与的夹角为 锐角，故D正确. 11.A选项，直线1：y=k(x-2)与x轴的交点为(2,0)，所以焦点F为(2,0)，所以=2，p=4,所以抛 2 物线E的焦点F到准线的距离为4，所以A选项正确； B选项，因为P(3,V15),F(2,0),所以PF=4,且点P在抛物线E的开口内，过点A作准线的垂线，垂 足为A',三角形APF周长为AP+AF+PF=AP+APF+4=AP+AA+4≥|PA+4≥5+4=9，所以B 选项正确： C选项，设直线I与抛物线的准线交于点D,过点B作准线的垂线，垂足为B, 设BF=t,则AF=3tBB=t,AA1=3t,AB=4t, 根据三角形相似，得D8=AD,所以D8=21=2BB1,所以∠D8'=60, 所以直线l的倾斜角为60°，则k=√3.所以C选项正确： YA D选项，联立=8r 在2)得2x2-(4R+8x+4K=0,所以A=+5+p=”2+4=8+9>8, 以D选项错误 12.因为S=0,所以4=-5，所以q=-1,所以S=5 13.从这10件产品中随机抽取3件，至少有2件次品的概率为CC+CC_ㄐ Cto 60 14.如图，以点A为原点，建立平面直角坐标系，则A(0,0),B(3,0),D(0,4),设点Mc,y): 高二数学答案第3页共8页 个y D 因为MB=2MA,所以V(x-3)2+y2=2x2+y2,化简得：(x+1)2+y=4(x>0,y>0) 则点M的轨迹是以点P(-1,0)为圆心，r=2的圆在第一象限的部分圆弧， 因为点D(0,4)关于直线BC的对称点D(6,4), 所以(N+WD)mn=N+ND')mm=PD'-r=V(6+1)2+4-2=V65-2. 三、解答题 15.（本题满分13分)(1)设等差数列{4}的公差为d,…1分 由S=2S3+5,可得5a+10d=2(3a+3d+5,即4=4d-5;…2分 又因为4=2a-1,即4+d=2a-1,即4=d+1;3分 解得4=3，d=2,…5分 故{an}的通项公式为a,=4+(n-1)d=2n+1.…7分 (2)因为b,=。1 1111） 4.a+1(21+1)(21+3)221+12n+3 …9分 以xg)0)-如 …10分 111,11,,11 23557 2m+12m+3 …11分 111 232n+3 …12分 n …13分 6n+9 16.(本题满分15分)(1)取AB中点E,连接ME,CE 因为AE/DC,ABE=DC,所以四边形AECD为平行四边形，1分 因为AB⊥AD,所以AB L EC,…2分 高二数学答案第4页共8页 所以AC=BC=√2,3分 所以AC2+BC2=AB2,所以AC⊥BC,…4分 因为PA⊥平面ABCD,BCC平面ABCD,所以PA⊥BC,5分 因为PA∩AC=A,PA,ACC平面PAC,…6分 所以BC⊥平面PAC…7分 D (2)如图，以点A为原点，以AD,AB,AP所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，…8分 则P00,1),A0,0,0,(0,2,0,C01,0)，M(0,1, …9分 4c=a1o,c=a.02,BP=0,-20. 设平面MAC的一个法向量为1=(：，乃，)， mAC=+=0 则 MC=- 0 1 取=(1，-1,2)，12分 设直线PB与平面AMC所成角为O, PB.m 则sin0=cos<PB,m X 230 …14分 V4+1×W1+1+4 15 所以，直线PB与平面AMC所成角的正弦值为2W30 …15分 15 M B L D C 高二数学答案第5页共8页 17.（本题满分15分)(1)设A=“对手为强队代表”，A=“对手为弱队代表”，C=“小明获胜”…1 分 由思意可知P(4)P(4)号，P(CLA)3P(C4)} …3分 板P4C)=P)(e4+nc4)-日5子号 ，…6分 (2)由题意可知X的取值为0,1,2,3,4，…7分 Px-o品 …8分 326 P(X=1)=5×C×2× …9分 5525 x-2)品 .…10分 Px=-*号 …11分 …12分 故X的分布列为： X 0 1 2 3 4 13 6 9 25 2 50 25 50 …13分 2+4x9=u 所以()=0名+答+2品3 50 505 …15分 18(体题满分17分)0消a=e时.因=血名1，所以)-士，e0+）)1 分 令f'(x)=0,得x=e 令f'(x)>0,解得x∈(e,+o),故f(x)在(e,+o)单调递增，…2分 令f'(x)<0,解得x∈(0，e),故f(x)在(0，e)单调递减，3分 所以。八)在=e处取得极小值fe=he。1H,无极大值…5分 高二数学答案第6页共8页 (2)由题意可得xe(0,+o),f(y)=1==0 …6分 当a≤0时，f'(x)>0在x∈(0，+o)恒成立，所以f(x)在(0，+o)单调递增：…7分 当a>0时，令f"(x)>0,解得x∈(a,+o),故f(x)在(a,+o)单调递增，…81分 令f'(x)<0,解得x∈(0，a),故f(x)在(0，a)单调递减，…9分 综上所述，当a≤0时，∫()在(0，+o)单调递增； 当a>0时，f(x)在(0，a)单调递减，在(a,+o)单调递增.…10分 (3)因为对任意的x∈(0，+o),都有f(d)>0恒成立，所以hx+a-1>0,即a>x-xnx,l1分 1 令g(x)=x-xlnx,xe(0,+o),则g'(x)=-hx,…l2分 令g'(x)=0,得x=1…13分 令g'(x)>0,解得x∈(0,1)，故g(x)在(0,1)单调递增，…14分 令8'(x)<0,解得x∈(1，+∞)，故8(x)在(1，+∞)单调递减，…15分 所以8(x)在x=1处取得唯一的极大值，所以g(x)x=8()=1,…16分 故当a>1时，对任意的x∈(0，+o),a>x-xnx恒成立，即f(x)>0恒成立.…17分 c=V3 19.(本题满分17分)(1)依题意可得， +4hL,2分 31 2=b2+c2 解得a=2,b=1,…4分 所以椭圆℃的标准方程为+y=1.5分 (2)设点P(,%),则5+乃=1，即=41-6)6分 4 因为4(-20).4(2,0，所以4k4-h-96-05 61 6+2名-25-441-项)-4-4好=-4 所以直线P4,P4,的斜率之积为定值，该定值为-4 1 …9分 (3)易知直线P9不垂直于坐标轴，且过点B(-3,0) 高二数学答案第7页共8页 故可设P9:x=y-3,m≠0，P(1,),2(x2,y2）,…10分 x2 +y2=1 由 4 可得，(4+m2)y2-6y+5=0,…11分 x=y-3 4+m44+m,由△=36r-20(4+m）>0,得m2>5()…12分 6 5 所以y+y3 因为A(2,0),所以4B=5 所以48小s48g4l-为+为-4 3622 20 m2-5 =10 21(4+m) 4+ …14分 V(4+m2)） 设m2-5=t,则由(*)得t>0, t t 1 所以S4Pg=1 1 Vt+9y2-1 Vt2+81+18t =10 ≤10 81 V+ +18 81 3, …15分 +18 t 当且仅当：=81，即4=9时取等号 …16分 此时△4PQ的面积的最大值为3…17分 高二数学答案第8页共8页