第11章 整式的乘除（习题课件）2026-2027学年数学华东师大版八年级上册

该初中数学课件聚焦“同底数幂的乘法”，从知识回顾填空（如a²×a⁵=a⁷）入手，通过基础计算（如x³·x²）、辨析同底数幂（如-x²与x²）到法则逆用（如3ˣ=y求3ˣ⁺²），搭建从概念理解到应用的学习支架。 其亮点在于分层设计“夯实四基-提升四能-发展素养”，融入《孙子算经》数学文化题、新定义运算题，培养抽象能力、运算能力与应用意识。学生通过变式练习深化理解，教师可借助系统题型提升教学效率。

第11章 整式的乘除 11.2 整式的乘法 2.单项式与多项式相乘 1 知识点1 单项式与多项式相乘 1.填空： （1）单项式乘多项式依据的运算律是___. C A.加法交换律 B.乘法结合律 C.乘法分配律 （2） ___ ____ ___________. （3） ______ _____ ______ _________________. 返回 1 夯实四基 2 2.计算： ______________. 返回 1 夯实四基 3 3.［2025西安月考］计算 的结果是( ) C A. B. C. D. 返回 1 夯实四基 4 4.［2025郑州期中］数学课上，老师讲了单项式与多项式相乘.放学回到 家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题： ， 的地方被钢笔水弄污了， 你认为 内应填写( ) A A. B. C. D. 返回 1 夯实四基 5 5.式子与 的值的关系是( ) A A.相等 B.互为相反数 C.不相等 D.不能确定 返回 1 夯实四基 6 6.［教材P练习T 变式］计算： （1） ； 解：原式 . （2） ； 解：原式 . （3） ； 解：原式 . 1 夯实四基 7 （4） . 解：原式 . 返回 1 夯实四基 知识点2 单项式与多项式相乘的应用 7.如果一个三角形的底边长为，高为 ，则这个三角 形的面积是( ) A A. B. C. D. 返回 1 夯实四基 9 8.［2025郑州月考］下列计算错误的是( ) B A. B. C. D. 返回 2 提升四能 10 9.已知，则 的值是( ) D A.3 B.4 C.5 D.6 返回 2 提升四能 11 10.已知，则式子 的值为 ( ) A A.16 B. C.12 D. 返回 2 提升四能 12 11. 某同学在计算 乘一个多项式时错误地计算成了 加法，得到的答案是 ，由此可以推断正确的计算结果是 ( ) C A. B. C. D.无法确定 返回 2 提升四能 13 12.如图，两个正方形并排在一起，左边大正方形的边长为 ，右边小正 方形的边长为 ，则图中阴影部分的面积可表示为( ) B A. B. C. D. 返回 2 提升四能 14 13.要使的展开式中不含项，则 的值为___. 2 返回 2 提升四能 15 14.若 恒成立，则 ____. 返回 2 提升四能 16 15.先化简，再求值： ，其中 . 解：原式 . 当时，原式 . 返回 2 提升四能 17 16. 已知， 为有理数，现规定一种新运算： . （1）求 的值； 解：因为 ， 所以 . （2）化简： ； 解： . 2 提升四能 18 （3）探索与 的关系，并用等式把它们表示出来. 解：因为 ， 所以 ， ，所以 . 返回 2 提升四能 19 17. 阅读：已知，求 的值. 分析：考虑到， 的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑用整体思 想，将 整体代入. 解： 3 发展素养 20 . 你能用上述方法解决以下问题吗？试一试！ 已知，求 的值. 解：原式 ，因为 ， 所以原式 . 返回 3 发展素养 $第11章 整式的乘除 11.1 幂的运算 1.同底数幂的乘法 1 知识点1 同底数幂的乘法法则 1. 填空： （1） ； 7 （2） ___. 6 返回 64 1 夯实四基 2 2.计算 的结果是( ) B A. B. C. D. 返回 1 夯实四基 3 3.下列各项中，两个幂是同底数幂的是( ) D A.与 B.与 C.与 D.与 返回 1 夯实四基 4 4.在等式中，“ ”所表示的代数式为( ) A A. B. C. D. 返回 1 夯实四基 5 5.已知，则 的值为___. 4 返回 1 夯实四基 6 6.［教材练习 变式］计算： （1） ； 解：原式 . （2） ； 解：原式 . （3） ； 解：原式 . 1 夯实四基 7 （4） . 解：原式 . 返回 1 夯实四基 知识点2 同底数幂的乘法法则的逆用 7. . 8 2 8 返回 1 夯实四基 9 8.若，则 ____. 返回 1 夯实四基 10 9.已知，，则 ____. 12 1 夯实四基 11 【变式题】 若，，则 ____. 11 返回 1 夯实四基 12 10. 《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万 万亿曰兆.”说明了大数之间的关系：1亿万万，1兆万 万 亿，则1兆等于( ) C A. B. C. D. 返回 2 提升四能 13 11.若，则 ___. 1 2 提升四能 14 【变式题】 若，则 ___. 4 返回 2 提升四能 15 12.已知，，，若，求 的值. 解：因为 ， 所以，即 . 因为，， ， 所以.所以 . 返回 2 提升四能 16 13.［2025南阳期末］已知 ，且 ，求 的值. 解：由题意，得，且 ， 所以解得 所以 . 返回 2 提升四能 17 14. 同底数幂的乘法法则为（其中， 为正整数），类似地，规定关于任意正整数， 的一种新运算： .若，则 ________. 返回 3 发展素养 18 $第11章 整式的乘除 11.1 幂的运算 4.同底数幂的除法 1 知识点1 同底数幂的除法法则 1.填空： __. - 返回 1 夯实四基 2 2.墨迹覆盖了等式“ ”中的运算符号，则覆盖的是 ( ) D A. B.- C.× D. 返回 1 夯实四基 3 3.计算 的结果是( ) A A. B. C. D. 返回 1 夯实四基 4 4.若，则 ___. 4 返回 1 夯实四基 5 5.［教材练习 变式］计算： （1） ； 解：原式 . （2） ； 解：原式 . （3） ； 解：原式 . （4） ； 解：原式 . 1 夯实四基 6 （5） . 解：原式 . 返回 1 夯实四基 7 知识点2 同底数幂的除法法则的逆用 6.填空： . 6 9 6 返回 1 夯实四基 8 7.若，，则 ___. 4 1 夯实四基 9 【变式题1】 若，，则 ____. 12 1 夯实四基 10 【变式题2】 已知，，则的值用含， 的代数式 表示为___. 返回 1 夯实四基 11 8.下列计算正确的是( ) B A. B. C. D. 返回 2 提升四能 12 9.若，，则 的值为__. 返回 2 提升四能 13 10.已知，，则 ___. 9 返回 2 提升四能 14 11.计算： （1） ； 解：原式 . （2） . 解：原式 . 返回 2 提升四能 15 12.［2025南阳月考］已知 ，求 的值. 解：由题意得 ， 所以，解得 ， 所以原式 . 返回 2 提升四能 16 13. 某种液体每升含有 个有害细菌，某种杀菌剂1滴 可以杀死个此种有害细菌，若要将 这种液体中的有害细菌杀死， 要用这种杀菌剂多少滴？若10滴这种杀菌剂为 ，要用多少毫升？ 解： （滴）， . 答：要用这种杀菌剂3 000滴，要用 . 返回 2 提升四能 17 14.［2025南充期末］已知关于，的方程组 的解满 足，则 的值是___. 8 [解析] 点拨：，得 ， 所以，因为 ，所以 ，所以 . 返回 3 发展素养 18 $第11章 整式的乘除 专项突破4 巧用乘法公式解题 1 2.计算： （1） ； 解：原式 . （2） . 解：原式 . 2 类型2 变位应用 3.计算： （1） ； 解：原式 . （2） ； 解：原式 . （3） . 解：原式 . 3 类型3 整体应用 4.计算： （1） ； 解：原式 . （2） . 解：原式 . 4 类型4 连续应用 5.计算： （1） ； 解：原式 . （2） . 解：原式 . 5 类型5 逆向应用 6.计算： （1） ； 解：原式 . （2） . 解：原式 . 6 类型6 变形应用 7.用简便方法计算： （1） ； 解：原式 . 7 （2） . 解：原式 . 8 $第11章 整式的乘除 专项突破5 整式的化简与求值 1 类型1 整式的化简 1.计算： （1） ； 解：原式 . （2） ; 解：原式 . （3） ; 解：原式 . 2 （4） ; 解：原式 . （5） . 解：原式 . 返回 3 类型2 先化简，再求值 2.已知，求 的值. 解：原式，当 时，原式 . 返回 4 3.先化简，再求值： ， 其中 . 解：原式 ， 当时，原式 . 返回 5 4.先化简，再求值： ， 其中， . 解：原式 . 当， 时， 原式 . 返回 6 5.已知，求 的值. 解：原式 . 因为，所以 . 所以原式 . 返回 7 6.已知的展开式中不含和 项. （1）求， 的值； 解： ， 因为 的展开式中不含和 项， 所以， ， 解得， . 8 （2）先化简，再求值： . 解：，当， 时，原式 . 返回 类型3 运用整式的运算进行推理说明 7.试说明代数式的值与 的取值无关. 解：原式 . 因为计算结果中不含字母 ， 所以代数式的值与 的取值无关. 返回 10 8.化简： . 解：原式 . （1）若， 是任意整数，请观察化简后的结果，它能被3整除吗？ [答案] . 因为，是任意整数，所以是整数，所以 是3的倍数， 所以它能被3整除. 11 （2）当 时，求代数式的值. [答案] 因为 ， 所以， . 所以， . 当， 时， 原式 . 返回 12 9.已知关于，的方程组其中 是实数. （1）________，______；（用含 的式子表示） （2）若，求 的值； 解：因为 ， 所以 ， 所以，所以 ， 将，代入，得，解得 ， 所以 . 13 （3）试说明：不论取何实数， 的值始终不变. 解：因为 ， 所以不论取何实数， 的值始终不变. 返回 14 10.【发现】 任意五个连续整数的平方和是5的倍数. 【验证】 （1） 的结果是5的___倍； 3 15 （2）设五个连续整数的正中间的数为 ，求出它们的平方和，并说明是 5的倍数. 解：因为五个连续整数的正中间的数为 ，所以其余的四个整数分别是 ，，， ， 所以它们的平方和为 ， 因为是整数，所以 是整数， 所以 是5的倍数，所以五个连续整数的平方和是5的倍数. 16 【延伸】 （3）任意三个连续整数的平方和被3除的余数是几呢？请写出理由. 解：余数是2.理由：设三个连续整数分别为，， ，它们的 平方和为，因为 是整数，所以 是整数，所以任意三个连续整数的平方和被3除的余数是2. 返回 17 $第11章 整式的乘除 11.1 幂的运算 2.幂的乘方 1 知识点1 幂的乘方法则 1.填空： ___. × 返回 1 夯实四基 2 2.计算： ( ) B A. B. C. D. 返回 1 夯实四基 3 3.下列运算正确的是( ) B A. B. C. D. 返回 1 夯实四基 4 4.［教材练习 变式］计算： （1） ； 解：原式 . （2） ； 解：原式 . （3） ； 解：原式 . 1 夯实四基 5 （4） . 解：原式 . 返回 1 夯实四基 6 知识点2 幂的乘方法则的逆用 5.填空： . 3 3 返回 1 夯实四基 7 6.若，，则_____， _____. 125 375 返回 1 夯实四基 8 7.已知，则___，____， ____. 3 27 81 返回 1 夯实四基 9 8.［2024河南中考］计算 的结果是( ) D A. B. C. D. 返回 2 提升四能 10 9.已知，则 的值是____. 27 返回 2 提升四能 11 10. 若，则 ________. 12或 返回 2 提升四能 12 11. 若的个位数字是9,则 的个位数字是___. 1 返回 2 提升四能 13 12.［2025长春期中］若（且，， 是正整数），则 .你能利用上面的结论解决下面的问题吗？试试看，相信你一定行！ （1）如果，求 的值； 解：因为，所以 ， 解得 . （2）如果，求 的值. 解：因为 ， 所以，解得 . 返回 2 提升四能 14 13.［2025太原期中］已知，，则 的值是 ___. 3 [解析] 点拨：因为， ， 所以，所以 ，所以 ，所以，所以 . 返回 3 发展素养 15 $第11章 整式的乘除 11.3 乘法公式 1.两数和乘以这两数的差 1 知识点1 平方差公式的几何意义 1.如图①，长方形的面积可以表示为______________，将图①裁剪拼接 为图②，图②阴影部分的面积可以表示为________，由图①到图②的变 化过程可以得到数学公式：________________________. 返回 1 夯实四基 2 知识点2 平方差公式 2.下列各式能用平方差公式计算的是( ) C A. B. C. D. 返回 1 夯实四基 3 3.填空：（________） . 返回 1 夯实四基 4 4.计算： （1） __________； （2） _________. 返回 1 夯实四基 5 5.［教材P37练习T1变式］计算： （1） ; 解：原式 . （2） ； 解：原式 . （3） . 解：原式 . 返回 1 夯实四基 6 知识点3 平方差公式的应用 6.若三角形的底边长为，底边上的高为 ，则此三角形的面 积为( ) D A. B. C. D. 返回 1 夯实四基 7 7.［教材 例3变式］小明在月历的纵列上圈出了三个数，如图 所示.若设中间的数为 ，则上、下两个数的乘积为( ) A A. B. C. D. 返回 1 夯实四基 8 8.［2025信阳期中］如果，，那么 _______. 2 025 返回 1 夯实四基 9 9.［教材 例2变式］利用平方差公式计算下列各式： （1）（____-____） （________）_____-______ __________; （2）（__________） （_______-___） ________- ____ _________； 60 0.2 60 0.2 1 000 7 1 000 7 999 951 （3） . 解：原式 . 返回 1 夯实四基 10 10.已知，求 的值. 解：原式 . 当时，原式 . 返回 1 夯实四基 11 11.在运用乘法公式计算 时，下列变形正确的 是( ) D A. B. C. D. 返回 2 提升四能 12 12.［2025开封期中］若，则 的值为 ( ) B A.4 B.16 C.24 D.32 返回 2 提升四能 13 13. 若，则 ____. 2 提升四能 14 【变式题】 若，则 ___. 7 返回 2 提升四能 15 14.计算： . 解：原式 . 返回 2 提升四能 16 15.求证：对任意整数，整式 的值 都能被10整除. 证明：原式 . 因为为整数，所以 为整数， 所以能被10整除，所以对任意整数 ，整式 的值都能被10整除. 返回 2 提升四能 17 16.（1）数学课堂上，老师留了一道数学题，如图①，下面是甲、乙两 名同学所列的式子.甲：；乙： ，所 列式子正确的同学是____；（填“甲”或“乙”） 乙 2 提升四能 18 （2）如图②，有一块长为 ， 宽为 的长方形空地，计划修 建东西、南北走向的两条道路，其余部分 进行绿化，已知两条道路的宽分别为 和，求绿化的面积.（用含， 的式子来表示） 解：由题意得 . 答：绿化的面积为 . 返回 2 提升四能 19 17.某同学在计算时，发现把3写成 后，可以连续 运用平方差公式计算： （1） ； .请借鉴该同学的经验，计算： 解：原式 . 3 发展素养 20 （2） . 解：原式 . 返回 3 发展素养 21 $第11章 整式的乘除 11.4 整式的除法 1.单项式除以单项式 1 知识点 单项式除以单项式 1.计算 的结果是( ) B A. B. C. D. 返回 1 夯实四基 2 2.［2025咸阳月考］计算： ( ) C A. B. C. D. 返回 1 夯实四基 3 3.［2025临汾期中］计算 的结果是( ) D A. B. C. D. 返回 1 夯实四基 4 4.已知 ★ ，则“★”所表示的式子是( ) B A. B. C. D. 返回 1 夯实四基 5 5.［2025信阳期末］若长方形的面积是，宽为 ，则它的长为 ______. 返回 1 夯实四基 6 6.［教材 例1变式］计算： （1） ； 解：原式 . （2） ； 解：原式 . （3） ； 解：原式 . （4） . 解：原式 . 返回 1 夯实四基 7 7.已知，那么， 的值分别为( ) A A.4，3 B.4，1 C.1，3 D.2，3 返回 2 提升四能 8 8.已知，若，则_____；若，则 __. 返回 2 提升四能 9 9.计算： （1） ________; （2） ___________ . 返回 2 提升四能 10 10.［2025成都月考］先化简，再求值： ，其中， . 解： ， 当，时，原式 . 返回 2 提升四能 11 11. 地球表面平均上的空气质量约为 ，地球的 表面积大约是，地球的质量约为 . （1）地球表面全部空气的质量约为多少？ 解：地球表面全部空气的质量约为 . （2）地球质量大约是其表面全部空气质量的多少倍？（结果用科学记 数法表示） 解： . 答：地球质量大约是其表面全部空气质量的 倍. 返回 2 提升四能 12 $第11章 整式的乘除 11.2 整式的乘法 3.多项式与多项式相乘 1 知识点1 多项式与多项式相乘 1.填空： （1） _________ __________ ____. （2） _______ ____ _______ __________________ . 1 返回 1 夯实四基 2 2.计算 的结果是( ) C A. B. C. D. 返回 1 夯实四基 3 3.已知，则与 的值分别是( ) C A.， B.， C.， D.， 返回 1 夯实四基 4 4.下列多项式相乘的结果为 的是( ) D A. B. C. D. 返回 1 夯实四基 5 5. 如图，利用图形的面积可以说明的等式是( ) D A. B. C. D. 返回 1 夯实四基 6 6.［教材P 练习变式］计算： （1） ； 解：原式 . （2） ； 解：原式 . （3） ； 解：原式 . （4） . 解：原式 . 返回 1 夯实四基 7 7.先化简，再求值：，其中 . 解：原式，当 时，原 式 . 返回 1 夯实四基 8 知识点2 多项式与多项式相乘的应用 8.三个连续奇数，若中间一个数为 ，则它们的积是( ) C A. B. C. D. 返回 1 夯实四基 9 9. ［2025商丘期中］河南是我国的农业大省，某农户计 划扩建一块长方形小麦地，将一块长为、宽为 的长方形小麦地 的长、宽分别增加， ，则这块小麦地现在的面积为___________ __________ . 返回 1 夯实四基 10 10.唐河县所产的泗洲火腿是一道传统美食，且享有很高的盛誉.若每千 克泗洲火腿售价元，则李阿姨购买 千克泗洲火腿需要 花费_________________元（结果需化简）. 返回 1 夯实四基 11 11.若的化简结果中不含的一次项，则常数 的值为 ( ) A A. B. C.0 D.2 返回 2 提升四能 12 12.［2025许昌期中］小黄计算一道整式的乘法： ，由于 他抄错了前面的符号，把“”写成“-”，得到的结果为 ，则 的值为( ) B A.0 B.2 C.4 D.6 返回 2 提升四能 13 13.观察如图两个多项式相乘的运算过程，根据你发现的规律，若 ，则， 的值可能分别是( ) A A.， B.，7 C.2， D.2，7 返回 2 提升四能 14 14. 形如 的式子叫做二阶行列式，它的运算法则 为，那么当时， 的值为 ( ) D A.17 B.18 C.19 D.20 [解析] 点拨：根据题意，得 ， 所以 ， 所以 ， 所以 . 返回 2 提升四能 15 15.如图，现有类，类正方形卡片和 类长方形卡片各若干张，如果 要拼一个长为、宽为的大长方形，那么需要 类卡片 的张数是____. 11 返回 2 提升四能 16 16.已知整式，， 为任意有理数. （1） 的值可能为负数吗？请说明理由. 解：的值不可能为负数.理由：因为, ， 所以 , 所以 的值不可能为负数. 2 提升四能 17 （2）求 的值. 解：因为, ， 所以 . 返回 2 提升四能 18 17.探究题. （1）计算： _______； _______； _______； _______； …… 3 发展素养 19 （2）观察以上等式，发现规律，利用所得规律，解决下列问题： ①直接写出 _______. ②直接写出 _________. ③计算 的值. 解：原式 . 返回 3 发展素养 20 $第11章 整式的乘除 11.5 因式分解 第2专题 运用公式法分解因式 1 知识点1 运用平方差公式分解因式 1.［2025长春期中］下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( ) D A. B. C. D. 返回 1 夯实四基 2 2.［2025周口期中］分解因式： ( ) A A. B. C. D. 返回 1 夯实四基 3 3.［2025晋城期末］若多项式 能用平方差公式分解因式，则单 项式 __________________. （答案不唯一） 返回 1 夯实四基 4 4.把下列多项式分解因式： （1） ; 解：原式 . （2） ; 解：原式 . （3） ； 解：原式 . 1 夯实四基 5 （4） . 解：原式 . 返回 1 夯实四基 知识点2 运用两数和（差）的平方公式分解因式 5.［2025洛阳月考］下列多项式中，可以用两数和（差）的平方公式分 解因式的是( ) D A. B. C. D. 返回 1 夯实四基 7 6.分解因式： （1） _________； （2）［2024常州中考］ __________； （3） ____________； （4）［2024广元中考］ _________. 返回 1 夯实四基 8 7.［2024淄博中考］若多项式 能用两数和（差）的平 方公式因式分解，则 的值是_____. 返回 1 夯实四基 9 8.把下列多项式分解因式： （1） ； 解：原式 . （2） ； 解：原式 . 1 夯实四基 10 （3） . 解：原式 . 返回 1 夯实四基 知识点3 运用公式法分解因式的应用 9.把多项式 分解因式的结果是( ) B A. B. C. D. 返回 1 夯实四基 12 10.已知，且，则 ____. 返回 1 夯实四基 13 11.当，时，代数式 的值为__. 返回 1 夯实四基 14 12.［教材习题 变式］计算： （1） _______； （2） _______. 1 600 13.如图，在半径为的圆形钢板上挖去四个半径为 的小 圆，小刚测得， ，利用因式分解求 出剩余部分的面积为_____.（结果保留 ） 返回 1 夯实四基 15 14.若为任意整数,则 的值总能( ) B A.被2整除 B.被3整除 C.被5整除 D.被7整除 返回 2 提升四能 16 15.［2025南阳月考］若，， 是一个三角形的三边长，则式子 的值( ) A A.大于0 B.小于0 C.等于0 D.不能确定 返回 2 提升四能 17 16.已知，，则 ____. 36 返回 2 提升四能 18 17.［教材习题 变式］把下列多项式分解因式： （1） ； 解：原式 . （2） . 解：原式 . 返回 2 提升四能 19 18. 学完“因式分解”之后，某数学兴趣小组对多项式 进行因式分解，过程如下： 解：设 . 则原式 . （1）该小组因式分解的结果是否彻底？答：________（填“彻底”或“不 彻底”）；若不彻底，请直接写出正确的结果：_________； 不彻底 2 提升四能 20 （2）该过程用到的因式分解方法是________； 公式法 （3）请你模仿上面的方法对多项式 进 行因式分解. 解：设 . 则原式 . 返回 2 提升四能 21 19.有一张边长为 厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形桌面 的边长增加 厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案（单位：厘米）： 小明发现这三种方案都能验证公式： . 对于方案一，小明是这样验证的： . 请根据方案二、方案三，写出公式的验证过程. 3 发展素养 22 解：方案二： . 方案三： . 返回 3 发展素养 23 $第11章 整式的乘除 综合与实践 1 （1）用若干张图①中的纸片（三种纸片都要用到）拼成一个长方形， 使其面积为 ，请画出你所拼出的图形，并根据图形写 出一个代数恒等式：________； 解：拼出的图形如图（拼法不唯一） ; 2 （2）写出根据图②得到的代数恒等式，并解答问题：若 ，，求 的值； 解：由题图②可知，大正方形的面积可表示为 ，也可表示 为 ，所以代数恒等式为 . 所以 . 因为， ， 所以 . 3 【迁移运用】 （3）若有3张A类纸片，6张B类纸片，10张C类纸片，每种纸片至少取 一张（三种纸片都要取到），把取出的这些纸片拼成一个正方形，则拼 成的正方形边长最长可以是________； [解析] 点拨：易知3张A类纸片的面积为，6张B类纸片的面积为 ， 10张C类纸片的面积为，因为 ，所以 拼成的正方形边长最长可以是 . 4 （4）小明同学用张A类纸片，张C类纸片， 张B类纸片拼出一个面 积为的长方形，求 的值. 解：因为 ，所以 ，，，所以 . 5 $第11章 整式的乘除 11.1 幂的运算 2.幂的乘方 微专项2 利用幕的乘方法则比较大小 1 2.，，的大小关系是：________________.（用“ ”连接） 2 类型2 化为同底数幂比较——底数有公共的幂因数 3.比较大小：___.（填“ ”“ ”或“ ”） 3 4.已知，，，则，， 的大小关系是：_______ ____.（用“ ”连接） 4 $第11章 整式的乘除 阶段练习（二）（11.1~11.2） 1 建议用时：45分钟 一、选择题（每题4分，共32分） 1.计算 的结果是( ) C A. B. C. D. 返回 2 2.下列计算中正确的是( ) B A. B. C. D. 返回 3 3.在“单项式与多项式相乘”的课堂上，有这样一道题的计算过程： ，则“ ”内应填的符号为 ( ) A A. B.- C.· D. 返回 4 4.信息技术的存储设备常用B，，， 等作为存储单位，其中 ，， .对于一个存储量为 的硬盘，其容量是( ) C A. B. C. D. 返回 5 5.若的展开式中不含项，则实数 的值为( ) D A. B.0 C.4 D.8 返回 6 6.已知，则下列， 的值正确的是 ( ) B A.， B.， C.， D.， 返回 7 7.［2025南阳期中］如图，通过计算，比较图①，图②中阴影部分的面 积，可以验证的算式是( ) B A. B. C. D. 返回 8 8.［2025驻马店期中］已知， ，则代数式 的值是( ) B A.3 B.6 C.7 D.8 返回 9 二、填空题（每题4分，共24分） 9.计算: ______. 返回 10 10.若，，则 的值为___. 返回 11 11.［2025上海期中］已知是关于的一次二项式，且 的积 是二项式，请写出一个满足条件的 ______________________. （只要写一个即可） （答案不唯一） 返回 12 12.［2025重庆期中］， 两块长方形板材的规格如图所示 （为正整数），设板材，的面积分别为，，则， 的大小 关系是________. 返回 13 13.，，的大小关系是_________________（用“ ”连接）. 返回 14 14.如果，那么我们规定.例如：因为 ，所以 .根据上述规定，若，， ，且满 足，则 _____. 128 返回 15 三、解答题（共44分） 15.（16分）计算： （1） ； 解：原式 . （2） ; 解：原式 . （3） ； 解：原式 . （4） . 解：原式 . 返回 16 16.（10分）先化简，再求值： （1），其中， ； （2），其中 . 解：原式 ， 当，时，原式 . 解：原式 . 因为 ， 所以原式 . 返回 17 17.（8分）［2025晋中期中］甲、乙两人共同计算一道整式乘法题： ，由于甲抄错了的符号，得到的结果是 ， 乙漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果是 . 18 （1）求， 的值； 解：因为甲抄错了的符号，得到的结果是 ， 所以 ， 所以， ， 因为乙漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果是 ，所 以 ，所以 ， ， 所以解得 （2）请计算这道题的正确结果. 解： . 返回 19 18.（10分）［2025焦作期中］观察以下等式： ； ； ； …… （1）按以上等式的规律，填空：（_____________） ； （2）利用整式的乘法法则，说明（1）中的等式成立； 解： . 20 （3）利用（1）中的公式化简： . 解： . 返回 21 $第11章 整式的乘除 阶段练习（三）（11.3~11.4） 1 建议用时：45分钟 一、选择题（每题4分，共32分） 1.计算 的结果为( ) B A. B. C. D. 返回 2 2.［2025吉林期中］已知 ★ ，则“★”所表示的式子是 ( ) B A. B. C. D. 返回 3 3.下列计算正确的是( ) D A. B. C. D. 返回 4 4.下列不能运用乘法公式进行计算的是( ) C A. B. C. D. 返回 5 5.［2025南阳期中］若，则， 的值分别为( ) A A.4，2 B.4，0 C.5，2 D.5，0 返回 6 6.已知一个长方形的面积为，长为 ，则它的宽为 ( ) D A. B. C. D. 返回 7 7.运用乘法公式将 变形正确的是( ) D A. B. C. D. 返回 8 8.［2025大同期中］如图①，在边长为的正方形中剪去一个边长为 的 小正方形 ，把剩下部分沿图①中的虚线剪开后重新拼成一个梯 形（如图②），利用这两幅图的面积，可以验证的乘法公式是( ) D A. B. C. D. 返回 9 二、填空题（每题4分，共24分） 9.计算： _________________. 返回 10 10.若，则 _________. 返回 11 11.计算：_______； __________. 399.96 返回 12 12.如图，输入一个非零数，则输出数是___. 2 返回 13 13.已知，，则 ____. 返回 14 14.［2025濮阳期中］设，则 的个位数字是___. 1 [解析] 点拨：，（ 为正整 数）的个位数字以3，9，7，1为一组循环，，则 的个位数 字是1. 返回 15 三、解答题（共44分） 15.（16分）计算： （1） ； 解：原式 . （2） ； 解：原式 . （3） ； 解：原式 . 16 （4） . 解：原式 . 返回 17 16.（8分）先化简，再计算： （1），其中 ； 解：原式 ， 当时，原式 . 18 （2），其中 满足 . 解：原式 . 因为，所以 . 所以原式 . 返回 19 17.（8分）下面是两名同学化简 的 过程，请认真阅读并完成下面的问题. 小颖的方法： 解：原式［ . 小明的方法： 解：原式 =… 20 （1）第①处用到的乘法公式是________________________； （用字母表示公式） （2）第②处错误的原因是_______________________________________ ___； 运用两数差的平方公式时漏掉“”这一项 （3）请你补全小明的计算过程. 解：原式 . 返回 22 18.（12分）［2025宜宾期末］对于两数和（差）的 平方公式 中的三个代数 式：，和 ，若已知其中任意两个代 数式的值，则可求第三个代数式的值.由此解决下列 问题： （1）若，，则 ____； 12 （2）若满足，则 的值为 _____； 23 （3）如图，在长方形中，，，点， 分别是边 ，上的点，且，分别以，为边在长方形 外侧作正方形和正方形，的延长线与 的延长线交于 点，若长方形 的面积为40，求两个正方形的面积之和. 解：因为，，且，所以易得 ， . 因为长方形 的面积为40， 所以 ， 所以两个正方形的面积之和为 . 返回 24 $第11章 整式的乘除 章末整合练 1 温馨提示：点击 进入讲评 1 5 9 2 6 10 3 7 11 4 8 12 D -8 27 72 3 C D ±5 答 案 呈 现 13 14 15 16 -6 习题链接 2 答 案 呈 现 17 18 19 20 A B 21 22 23 24 B 6075 25 26 201030 A 习题链接 3 核心知识巩固 一、基础考点演练 考点1 幂的运算 1.［2025新乡期中］下列计算正确的是( ) D A. B. C. D. 返回 4 2. ____. 返回 5 3.若，则 ____. 27 返回 6 4.若，，则 ____. 72 返回 7 5.［2025眉山期中］若，则 ___. 3 返回 8 考点2 乘法公式 6.如图，在边长为的正方形正中间剪去一个边长为 的小正方形，把剩 下部分沿虚线分割成四个等腰梯形，并拼成一个平行四边形.剪拼前后 的图形可以验证的乘法公式是( ) C A. B. C. D. 返回 9 7.若，满足,,则 的值为( ) D A.2 B. C.8 D. 返回 10 8. 若 是两数和（差）的平方公式的展开式， 则 的值为________. 18或 返回 11 9.计算： （1） ____； （2） ________. 41 209 返回 12 10.［2025三门峡月考］若,则 的值为 ____. 返回 13 11.如图，已知在边长为 的正方形中，阴影部分的 面积为10，边长为 的正方形的周长为12，求 的值. 解：由题意，得 ， 所以 . 因为阴影部分的面积为10， 所以 . 所以原式 . 返回 14 12. 已知：整式，， 为任意 有理数. （1） 的值可能为负数吗？请说明理由； 解： 的值不可能为负数，理由：因为 ， 所以 的值不可能为负数. 15 （2）请通过计算说明：当是整数时， 的值一定是偶数. 解：，因为 是整数， 所以一定是偶数，所以当是整数时， 的值一定是 偶数. 返回 16 考点3 整式的乘除 13.如图，小飞的作业本被撕掉了一角，留下一道残缺不全的题目，请 你帮他推测出被除式为__________________. 返回 17 14.若与的乘积中不含的一次项，则 的值为____. 返回 18 15. 对于实数，，我们规定一种新运算为 ★ ，则★ _________. 返回 19 16.小王和小明计算同一道整式乘法题： ，小王抄错了 多项式中的符号，计算结果为 ，小明抄错了第二个多 项式中的系数，计算结果为 ，则正确的结果应为 ______________. 返回 20 17.先化简，再求值： ， 其中 . 解：原式 ， 因为，所以，，当， 时， 原式 . 返回 21 18.如图，某社区有两块相连的长方形空地，一块 长，宽 ；另一块长 ，宽 .现将两块空地进行改造，计 划在中间边长为 的正方形（空白部分） 中种花，其余部分种植草坪. （1）求种植草坪的面积； 解： . 答：种植草坪的面积为 . 22 （2）已知，，若草坪的价格为10元/ ，求种植草坪投入 的资金是多少元. 解：当， 时， ， （元）. 答：种植草坪投入的资金是12 110元. 返回 23 考点4 因式分解 19.下列分解因式正确的个数为( ) ； ； ； . A A.1 B.2 C.3 D.4 返回 24 20.［2025白城联考］若，则， 的值分别是 ( ) B A.3，3 B.9，3 C.3， D.9， 返回 25 21.已知，则代数式 的值为( ) B A.30 B.36 C.42 D.48 返回 26 22.若，，则 _______. 6 075 返回 27 23.因式分解： （1） ； 解：原式 . （2） . 解：原式 . 返回 28 二、思想方法演练 思想1 数形结合思想 24.［2025南阳期中］图形是一种重要的数学语言，能有效地表示一些 数量关系，请你利用数形结合的思想解决以下数学问题. （1）根据图①中大长方形面积的两 种不同表示方法，可得出代数恒等 式：___________________________ ______. 29 （2）如图②，将一张大长方形纸板按图中线裁剪成9块，其中2块是边 长为的大正方形，2块是边长为的小正方形，5块是长 ， 宽 的全等小长方形. ①观察图形，可以发现代数式 可以因式分解为_______ ___________； 30 ②若阴影部分的面积为，大长方形纸板的周长为 ，求图② 中空白部分的面积. 解：因为阴影部分的面积为 ， 所以 ， 所以 . 因为大长方形纸板的周长为 ， 所以，所以 ， 所以 ，所以空白部分的面积为 . 返回 31 思想2 类比思想 25.［2025咸阳期中］在日常生活中如取款、上网等都需要密码.有一种 用“因式分解”法产生的密码,方便记忆.原理是:如对于多项式 ,因 式分解的结果是.若取,,则 , , ,于是就可以把“018162”作为一个六位数的密 码.对于多项式,取, 时,写出一个用上述方法产生的 密码：______________________（写出一个即可）. 201030（答案不唯一） [解析] 点拨:因为,所以当, 时,, .所以密码为201030 或203010或102030或103020或302010或301020,任选一个即可. 返回 32 思想3 方程思想 26.［2025太原期中］如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方 差，那么称该正整数为“和谐数”（如， ，即8， 16均为“和谐数”）.在不超过2 024的正整数中，所有的“和谐数”之和为 ( ) A A.257 048 B.257 024 C.255 048 D.255 024 [解析] 点拨：设相邻的两个奇数为， ，则 ，解得，因为当 时，， ，所以在不超过2 024的正整数中， 所有的“和谐数”之和为 . 返回 33 $第11章 整式的乘除 专项突破6 因式分解及其应用 1 类型1 运用提公因式法因式分解 1.因式分解： （1） ； 解：原式 . （2） . 解：原式 . 返回 2 类型2 运用公式法因式分解 2.因式分解： （1） ； 解：原式 . （2） . 解：原式 . 返回 3 类型3 先提公因式后运用公式法因式分解 3.因式分解： （1） ； 解：原式 . （2） ; 解：原式 . （3） . 解：原式 . 返回 4 类型4 展开整理后再进行因式分解 4.因式分解： （1） ； 解：原式 . （2） ； 解：原式 . （3） . 解：原式 . 返回 5 类型5 运用十字相乘法因式分解 5.【阅读材料】由多项式乘法： ， 将该式从右到左使用，即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的公式： .示例：分解因式： . 【问题解决】因式分解： （1） ______________； （2） ______________； （3） ______________； 6 【拓展训练】因式分解： （4） _______________； （5） _______________. 返回 7 类型6 运用分组分解法因式分解 （1）因式分解： . 解：原式 . 6.阅读材料：分解因式： ，以上分解因式的方法 称为分组分解法.对于四项式的分组，可以是“二、二分组（如此例）”， 也可以是“三、一（或一、三）分组”. 根据以上材料解决问题： 8 （2）已知，，为 的三边长， ，求 的周长. 解：因为 ，所以 ， 所以 ， 所以，， ， 所以，， ， 所以的周长为 . 返回 9 类型7 运用拆项法因式分解 7.【学习材料】在进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项 或多项，再分组进行因式分解.如分解因式： （1）因式分解： _______________； （2）运用拆项法因式分解： . 解：原式 . . 【知识应用】请根据以上方法，解决下列问题： 返回 10 类型8 因式分解的应用 8.计算： ________. 返回 11 9.若，则 的值为___. 1 返回 12 10.在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好 奇，比如：如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这 个正整数为“智慧数”，例如：， ， ，我们称12，20，28这三个数为“智慧数”. （1）44____“智慧数”；（填“是”或“不是”） 是 （2）设两个连续偶数是和（其中 取正整数），由这两个连 续偶数构造的“智慧数”是8的倍数吗？为什么？ 解：不是，理由如下：因为 ，所以这两个连续偶数构造的“智慧数” 是4的倍数，不是8的倍数. 13 （3）如图，拼叠的正方形边长是从2开始的连续 偶数，按此规律拼叠到正方形 ，其边长为 200，则阴影部分的面积是________. 20 200 [解析] 点拨： 所以阴影部分的面积是20 200. ， 返回 14 $第11章 整式的乘除 11.1 幂的运算 3.积的乘方 1 知识点1 积的乘方法则 1.填空： （1） ___; × （2） ______. 返回 1 夯实四基 2 2.计算 的结果是( ) B A. B. C. D. 返回 1 夯实四基 3 3.计算 的结果是( ) D A. B. C. D. 返回 1 夯实四基 4 4.［教材练习 变式］计算： （1） ； 解：原式 . （2） ； 解：原式 . （3） ; 解：原式 . （4） . 解：原式 . 返回 1 夯实四基 5 知识点2 积的乘方法则的逆用 5.计算：（___×__） ____. 3 10 1 返回 1 夯实四基 6 6.若，则 ____. 64 返回 1 夯实四基 7 7.［2025洛阳期中］已知，则 的值为____. 返回 1 夯实四基 8 8.已知，求 的值. 解：因为， ， 所以，解得 . 返回 1 夯实四基 9 9.如果，，那么 ____. 2 提升四能 10 【变式题】 若，则_________.（用含， 的式子表示） 返回 2 提升四能 11 10.［2025临汾期末］如图，从棱长为的正方体中挖去一个棱长为 的小正方体，则剩余几何体的体积是______. 返回 2 提升四能 12 11.［2025重庆期末］已知，则 的值为____. 56 返回 2 提升四能 13 12.计算： （1） ； 解：原式 . （2） . 解：原式 . 返回 2 提升四能 14 13.［2025南阳期中］若，，，试探究，， 之 间满足的等量关系. 解：因为，且 ， 所以 . 返回 3 发展素养 15 $第11章 整式的乘除 专项突破2 幂的运算法则的应用 1 类型1 直接利用幂的运算法则进行计算 1.［2024烟台中考］下列计算结果为 的是( ) D A. B. C. D. 返回 2 2.［2025南阳期中］下列运算正确的是( ) A A. B. C. D. 返回 3 3.［2025阳泉期末］规定 . （1） _____； （2）若，则 ___. 125 1 返回 4 4.计算： （1） ; 解：原式 . （2） ; 解：原式 . （3） ； 解：原式 . （4） ； 解：原式 . 5 （5） . 解：原式 . 返回 6 类型2 逆用幂的运算法则 方法指导 1.将指数相加的幂写成同底数幂的积， 即<m></m>； 2.将指数相乘的幂写成幂的乘方， 即<m></m>； 3.将相同指数幂的积写成积的乘方， 即<m></m>; 4.将指数相减的幂写成同底数幂的商， 即<m></m>. 7 5.（1） ___； （2）若，，则 ___； （3）若，则 的值为____. 8 返回 8 6.用含， 的式子表示下列代数式： （1）若，，则 _ __； （2）若，，则 ______. 7.（1）已知，求 的值； 解：因为 ， 所以，所以 ， 所以 . 返回 9 （2）已知，求 的值. 解：因为 ， 所以 ， 所以 ， 所以，解得 . 10 8. 判断（ 为正整数）是否能 被13整除. 解： . 因为为正整数，所以是正整数.所以 能 被13整除. 返回 11 $第11章 整式的乘除 11.2 整式的乘法 1.单项式与单项式相乘 1 知识点1 单项式与单项式相乘 1.填空：________ ____. 2 3 返回 1 夯实四基 2 2.计算： （1） ________; （2） ________. 返回 1 夯实四基 3 3.［2025开封月考］下列计算正确的是( ) B A. B. C. D. 返回 1 夯实四基 4 4.［教材P练习T 变式］计算： （1） ; 解：原式 . （2） ; 解：原式 . （3） . 解：原式 . 返回 1 夯实四基 5 知识点2 单项式与单项式相乘的应用 5.［2025西安月考］一个长方体的长、宽、高分别为，， ，则 该长方体的体积为______. 返回 1 夯实四基 6 6.［2025郑州月考］某电子计算机每秒可进行 次运算，则 秒可进行运算的次数为( ) A A. B. C. D. 返回 1 夯实四基 7 7.已知单项式与的积为，那么 _____. 返回 2 提升四能 8 8.若长方形的宽是 ，长是宽的2倍，则长方形的面积为 _____________ . 返回 2 提升四能 9 9.计算： （1） __________； （2） _______. 返回 2 提升四能 10 10.先化简，再求值： ，其中 ， . 解：原式 .当 ，时，原式 . 返回 2 提升四能 11 11.已知与的积和是同类项，求， 的值. 解： ， 由题意得 解得 返回 3 发展素养 12 $第11章 整式的乘除 11.3 乘法公式 2.两数和（差）的平方 1 知识点1 两数和（差）的平方的几何意义 1.如图所示的图形可以验证下列哪个乘法公式？( ) C A. B. C. D. 返回 1 夯实四基 2 2.［2025鹤壁期中］如图，将图①中的正 方形沿图中虚线用剪刀平均分成四个小 正方形，然后拼成图②所示的大正方形. （1）图①中阴影部分的面积可表示为 __________，图②中阴影部分的面积可 表示为______________； （2）根据（1）中得到的结果，我们可以验证一个等式：____________ _____________. 返回 1 夯实四基 3 知识点2 两数和（差）的平方公式 3.计算 的结果是( ) D A. B. C. D. 返回 1 夯实四基 4 4.下列各式中，可用两数和（差）的平方公式计算的是( ) D A. B. C. D. 返回 1 夯实四基 5 5.下列计算正确的是( ) B A. B. C. D. 返回 1 夯实四基 6 6.计算： ________. 返回 1 夯实四基 7 7.若，则 的值为____. 返回 1 夯实四基 8 8.［教材 例5变式］计算： （1） ； 解：原式 . （2） ； 解：原式 . （3） ; 解：原式 . 1 夯实四基 9 （4） . 解：原式 . 返回 1 夯实四基 知识点3 两数和（差）的平方公式的应用 9.将 变形正确的是( ) C A. B. C. D. 返回 1 夯实四基 11 10.一块方巾铺在正方形的茶几上，四周刚好都垂下 ，设方巾的边 长为，用关于 的式子表示茶几的面积为____________________ . 返回 1 夯实四基 12 11.已知，，则 _____. 1 夯实四基 13 【变式题】 ［2024乐山中考］已知，，则 ____. 29 返回 1 夯实四基 14 12.运用两数和（差）的平方公式进行简便计算： （1） ； 解： . （2） . 解： . 返回 1 夯实四基 15 13.计算 的结果为( ) C A.10 000 B.20 000 C.20 002 D.20 006 返回 2 提升四能 16 14.已知，则 的值是 ( ) D A.6 B. C. D.4 返回 2 提升四能 17 15.在下面的正方形分割方案中，可以验证 的 是( ) D A. B. C. D. 返回 2 提升四能 18 16.定义运算“◎”：◎，若 ◎ ，则 的值为____. 返回 2 提升四能 19 17.同一价格的某种商品，在三个不同的商场都进行了两次价格调整， 具体情况如下表： 商场 第一次调价 第二次调价 甲 降价的百分率为 降价的百分率为 乙 降价的百分率为 降价的百分率为 丙 降价的百分率为 降价的百分率为 其中，,且 ，则降价最少的商场为____.（填“甲”“乙”或 “丙”） 乙 返回 2 提升四能 20 18.（1）计算： ； 解：原式 . （2）［教材习题变式］已知实数，满足 ， ，求 的值. 解：因为， ，所以 .又因为 ，所以 .所以 .所以 . 返回 2 提升四能 21 19.［2025鹤壁月考］如图，某市有一块长为 ，宽为 的长方形地块，规 划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一 座雕像，则绿化面积是多少平方米？求出当 ， 时的绿化面积. 解：绿化面积为 . 当，时， .所以当 ，时的绿化面积为 . 返回 2 提升四能 22 20.我国宋代数学家杨辉发现了 展开式系数的 规律： 以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律， 展开式中所 有项的系数和是____. 64 3 发展素养 23 [解析] 点拨：当时，展开式中所有项的系数和为 ；当 时，展开式中所有项的系数和为；当 时，展开式 中所有项的系数和为；当 时，展开式中所有项的系 数和为；…；当 时，展开式中所有项的系数和 为 . 返回 3 发展素养 24 $第11章 整式的乘除 专项突破3 两数和（差）的平方公式 的变形运用 1 ①， ， ，得 ， 即 . ，得 ，即 . 2 类型1 求 1.若，，求 的值. 解：因为, ,所以 . 3 2.已知，，求 的值. 解：因为， , 所以 . 4 3.已知，求 的值. 解：易知.将两边同时除以，得 ,所 以,所以 . 5 类型2 求ab 4.已知，，求 的值. 解：因为,所以，因为 , 所以，，得, 即 . 6 5.如果，,求 的值. 解：因为, ,所以 ,所以 . 7 类型3 求 6.若，，求 的值. 解：因为, , 所以 . 8 7.已知，求 的值. 解：因为 , 所以 . 9 $第11章 整式的乘除 11.4 整式的除法 2.多项式除以单项式 1 知识点 多项式除以单项式 1.计算 的结果为( ) B A. B. C. D. 返回 1 夯实四基 2 2.计算 的结果是( ) B A. B. C. D. 返回 1 夯实四基 3 3.下列计算正确的是( ) C A. B. C. D. 返回 1 夯实四基 4 4.若三角形的面积是，一边长为 ，则这条边上的高为 ( ) A A. B. C. D. 返回 1 夯实四基 5 5. 小明在做作业的时候，不小心把墨水滴到了作业本 上，，“ ”即为被墨水弄污的部分，那么被墨水 弄污的部分是( ) A A. B. C. D. 返回 1 夯实四基 6 6.［教材P练习T 变式］计算： （1） ； 解：原式 . （2） ； 解：原式 . （3） ； 解：原式 . 1 夯实四基 7 （4） . 解：原式 . 返回 1 夯实四基 7.［教材习题 变式］先化简，再求值： ，其中， . 解：原式 ， 因为，，所以原式 . 返回 1 夯实四基 9 8.［2025泉州期末］下列运算中，错误的是( ) B A. B. C. D. 返回 2 提升四能 10 9.［2025许昌月考］已知，是多项式，在计算 时，小 马虎同学把看成了，结果得，则 的结果为 ( ) C A. B. C. D. 返回 2 提升四能 11 10.［2025南阳期末］定义新运算符号★：★，则 ★ ________. 返回 2 提升四能 12 11. 如图，一个窗框由一个长方形和一个半圆组成.若要把 窗框形状设计成一个新的长方形，面积保持不变，且底边长仍为 ，则 高度应为_________. 返回 2 提升四能 13 12.计算： . 解：原式 . 返回 2 提升四能 14 13.［2025重庆模拟］先化简，再求值： ，其中， 满足 . 解：原式 ， 因为 ， 所以， ， 所以， ， 所以原式 . 返回 2 提升四能 15 14.小虎同学发现课堂笔记本中的一道题“ ”，被除式的第二项及商 的第一项被墨水污染了.请你利用所学的知识帮小虎复原出整个算式. 解：因为 ，所以 ，即表示 ，易知 ，则 ，所以整个算式为 . 返回 2 提升四能 16 15.如图①所示的瓶子中盛满水，如果将这 个瓶子中的水全部倒入如图②的杯子中，那 么一共需要多少个这样的杯子？ （单位： ） 解： . 所以一共需要 个这样的杯子. 返回 2 提升四能 17 16. 两个多项式相除， 可以先把这两个多项式都按照同一字母 降幂排列，然后仿照两个多位数相除的 计算方法，用竖式进行计算.例如 ，仿照 计算如下： 因此 . 3 发展素养 18 （1）阅读上述材料后，试判断能否被 整除，并 说明理由； 解：能被 整除.理由： 3 发展素养 19 （2）若多项式能被整除，则 的值 为____. 3 发展素养 20 [解析] 点拨：因为多项式 能被 整除，所以 所以解得 所以 . 返回 3 发展素养 21 $第11章 整式的乘除 11.5 因式分解 第1专题 因式分解及提公因式法分解 因式 1 知识点1 因式分解的概念 1.［2025南阳期中］下列从左到右的变形，属于因式分解的是( ) C A. B. C. D. 返回 1 夯实四基 2 2.对于; 从左到右的变 形,表述正确的是( ) C A.都是乘法运算 B.都是因式分解 C.①是乘法运算,②是因式分解 D.①是因式分解,②是乘法运算 返回 1 夯实四基 3 3.把多项式因式分解，得到，则， 的值 分别是( ) B A.2，3 B.， C.，3 D.2， 返回 1 夯实四基 4 知识点2 公因式 4.［2025长春期中］与 的公因式是( ) C A. B. C. D. 返回 1 夯实四基 5 5.［2025太原开学考］多项式 的公因式是( ) D A. B. C. D. 返回 1 夯实四基 6 6.下列各组式子中,没有公因式的是( ) B A.与 B.与 C.与 D.与 返回 1 夯实四基 7 知识点3 用提公因式法分解因式 7.下列多项式中,不能用提公因式法分解因式的是( ) C A. B. C. D. 返回 1 夯实四基 8 8.分解因式： （1）［2024镇江中考］ _________； （2）［2024南通中考］ _________； （3）［2024枣庄中考］ __________； （4） ____________. 返回 1 夯实四基 9 9.［2024徐州中考］若，，则代数式 的值 是___. 2 返回 1 夯实四基 10 10. 一个多项式,把它因式分解后有一个因式为 ,请 你写出一个符合条件的多项式:______________________. （答案不唯一） 返回 1 夯实四基 11 11.将下列各式分解因式： （1） ； 解：原式 . （2） ； 解：原式 . （3） ; 解：原式 . 1 夯实四基 12 （4） . 解：原式 . 返回 1 夯实四基 13 12.将多项式 提公因式后，另一个因 式为( ) B A. B. C. D. 返回 2 提升四能 14 13. 已知为实数，则整式 的值 ( ) A A.不是负数 B.恒为负数 C.恒为正数 D.不等于0 返回 2 提升四能 15 14.如图，长、宽分别为， 的长方形的周长为15，面积为10，则 _____. 225 返回 2 提升四能 16 15.若，则 的值为___. 2 返回 2 提升四能 17 16.［2025郑州月考］计算： . 解：原式 . 返回 2 提升四能 18 17.（1）已知，，求 的值； 解：因为， ， 所以原式 . （2）已知实数满足，求 的值. 解：因为 ， 所以原式 . 返回 2 提升四能 19 18.［2025成都期末］已知，，是 的三边长，且 ，试判断 的形状，并说明理由. 解： 是等腰三角形， 理由：因为 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 所以或 ， 即或 ， 所以 是等腰三角形. 返回 2 提升四能 20 19.［2025晋中期末］阅读下面因式分解的过程，再回答所提出的问题： . （1）上述因式分解的方法是____________，共用了___次； （2）因式分解 的结果 是____________； 提公因式法 2 3 发展素养 21 （3）依照上述方法分解因式： 为正整数 . 解： . 返回 3 发展素养 22 $