吉林省通化市三校联考2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题

2023~2024学年度下学期三校联考期末考试·高二数学 参考答案、提示及评分细则 1.B由题意知M={x|2.x-1>5}={x|x>3},N={x∈N|-1<x<5}={1,2,3,4},所以(CrM)∩N ={1,2,3}.故选B. 2.C了+≥2√2·二=2，当且仅当产=时，等号成立，故r+的最小值为2.故选C 3.A因为函数f)=nx-2x+1,所以了()=上-2，则f(号）=2-2=0，故选A 4.B因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(一1)=-f(1)=一(1-3)=2.故选B. 5.A由题设知r+bc十c=(-2x-3).期6=-56=6，因此cr+bx+1=6r-5r+1≤0，可得号<≤ 号故选A. 6.B若1og4a>log46,则0<a<b,所以（号）广<（号）：若(2)）广<(2）广，则a<,但是无法判断正负，所以 “(号）<（号）广"是log4>1og产的必要不充分条件.故选B 7.A由f(x)=2x-sinx十cosx,得f(x)=2-cosx一sinx,当x∈(0,1)时，f(x)>0,所以f(x)在 (0,1)上单调递增，因为a∈(0,1)，所以0<a<√a<1,所以f(a)<f(√a),由函数f(x)在(0,1)上单调 递增，有f(x)>f(0)=1,所以f(a)>√f(a),综上，得√f(a)<f(a)<f(Wa).故选A. 8.B因为函数)在R上是单调函数，[/)一2一-]=一5，设x)-2-x=,所以)=2十x十1，所 以f[x)-2-x]=f()=2+1+1=2+21=-5,解得1=-2.所以)=2+x-2,又f(2）=2时 +号-2=巨-是<0f(1)=2+1-2=1>0,故fx)的零点所在的区间为（分1小故选B 9.BCD因为当c=0时，ac2=bc2,故A错误； 因为一3<a<2,1<<4,所以一4<-b<-1,所以-7<a一b<1,故B正确： 若Ka<0,可得0>石>}义m<0,所以g>兴，故C正确： 因为a>b>0,c>>0,所以ae>bc,bc>bd,所以ac>bd,故D正确.故选BCD. 10.ACD对于A:f(x)是R上的偶函数，对称轴为y轴，故正确： 对于B:广(x)=2.x(2x2一a),f(x)值域为R,f(x)=0至少有一个实数解，且两侧异号，因此∫(x)不可 能为单调函数，故错误： 对于C:因为f)=(r-号)广'+1-气≥0时)=1-号a<0时)=1，因此必存在最小 值，故正确： 对于D:设切点P(xo,x-az+1),f(x)=4x3-2a.x,则k=4xd-2axa, .f(x)在P处切线方程为y=(4.-2a.)(x一xo)+x一a.x+1, 它过原点，.3x一ax号-1=0， 令g(x)=3x-a-1,注意到4=a2+12>0,则2=+V+卫或x=“-V+卫（舍去 6 6 于是g(x)=0必然存在两个非零实数解， 因此对任意实数a,函数f(x)存在两条过原点的切线，故正确.故选ACD, 【高二数学参考答案第1页（共3页）】 24721B 11.AD当2023≤x<2024时，f(x)=x-[x]=x-2023,故A正确： f(x+1)-f(x)=x+1-[x+1]-(x-[x])=1-[x+1]+[x]=0,故B错误： 因为f(0.5)=0.5,f(1)=0,所以f(x)不是增函数，故C错误： 当n≤x<n十1时，其中n∈Z,所以f(x)=x一[x]=x一，可得0≤x一n<1,所以f(x)的值域为[0,1)，故 D正确.故选AD. 12.3x∈R,x十x2-3<0命题“x∈R,x+|x2-3|≥0”的否定是“3x∈R,x十|x2-3|<0” 13.y=x+2f(x)=x方，f(1)=1,f(1)=3,所求切线方程为y=x+2. 14.V3设g(x)=f(x)-1,所以g(x)=x2+e-e,所以g(-x)=(-x)3十e-e=一g(x),所以g(x)是 奇函数，又y=x3+e+1,y=e'在（一o∞，十oo)上单调递增，所以g(x)在（一o∞，十c∞）上单调递增，因为 f(3a2-3)+f(-1)=2,所以g(3a-3)+1+g(-1)+1=2,即g(3a2-3)=-g(-1)= g1-).所以-3=1-，所以3a+份=4，所以aV2牛不-号.。·V2+不<9.+2 3 =√3，当且仅当v3a=√2+6，即a°=1，b=1时等号成立，所以a√2+b的最大值为√3. 15.解：1由=号×(8+4十5十6+7)=6。……2分 y=5×(2+2.1+2.5+2.9+3.2)=2.54, …4分 79.45义6X2.54=0.32.………… 190-5×6 6分 公=2.54-0.32X6=0.62,…………8分 故y关于x的经验回归方程为y=0.32.x十0.62；…………9分 (2)由(1)知经验回归方程为y=0.32x+0.62,当x-14时，y=0.32×14+0.62=5.10, 所以预测该月的用户数量为510万人.…13分 16.解：(1)，g(x)=zlnx定义域为(0，十c∞)，且g(x)=lnx十1，……2分 令g()>0>>。令g(x)<0>0<< e ……5分 函数g(x)的单调递增区间为（仁，十o∞），单调递减区间为(0，）……………8分 (2)由(1)可知：当x=。时，g(x)取得极小值g(日)=- 10分 g(e)=e,g(侵)=。是，因此g(e)=e为最大值， 13分 所以《x)在区同[合]小上的最大值为e,最小值为-吉 15分 17.解：(1)由题意知△=a2一4<0，解得一2<a<2,即a的取值范围是（一2,2）：……3分 (2)因为a>0,易得f(x)在[t,t+1]上单调递增，所以f(x)mm=f(t)=log(+a1+1), f(x)mx=f(t十1)=log:[(1+1)2十a(1+1)十1]=log[+(a+2)1+a十2]，……7分 所以f(1十1)一f(1)≤1对任意t∈[0，十∞)恒成立， 所以log[+(a十2)t十a+2]一log(t十at十1)≤1对任意t∈[0，十c∞)恒成立， 即2r十(2a-2)1十1一公≥0对任意1∈[0，十0∞)恒成立，……………9分 令g(1)=2r十(2a-2)1+1-a,1∈[0，十c∞)，所以g(1)n≥0，…10分 当2a一2>0，即a>1时，g(1)m。=g(0)=1-a≥0，解得a≤1，所以无解；…12分 当2a-2<0,即a≤1时g)-=g(-0号）=-2>0，解得-1<a≤1，所以0<a≤1，…14分 综上，的取值范围是(0,1]。…………………15分 18.解：(1)由频率分布直方图可知，4×(0.0025+0.0175十2×0.0425十2×0.0625+0.08)=1，可得a= 【高二数学参考答案第2页（共3页）】 24721B 0.02:………… ……4分 (2)由频率分布直方图可得： x=34×0.0025×4+38×0.0175×4+42×0.0425×4+46×0.0425×4+50×0.0625×4+54×0.0625 ×4+58×0.02×4=48.6, 所以常参加体育锻炼人员一周内的平均睡眠时间T=8.6:…………………………8分 (3)常参加体育锻炼人员“睡眠足”的人数为：(0.0425×4+0.0625×4+0.0625×4+0.02×4)×200 =150, 则“睡眠不足”的人数为50；…………………………………………10分 不常参加体有锻炼人员“睡眠足”的人数为：(0.0725×4+0.035×4十0.015×4+0.015×4)×200=110， 则“睡眠不足”的人数为90，………………………12分 列联表如下： 睡眠足 睡眠不足 总计 常参加体育锻炼人员 150 50 200 不常参加体育锻炼人员 110 90 200 总计 260 140 400 …………14分 因为K=400X150X90-10X50)=1600≈17.58>10.828. 260×200×140×200 91 所以有99.9%的把握认为“睡眠足”与“常参加体育锻炼”有关.……………17分 19.解：(1)对于函数1(x）=x,当m>0,n>0时，f1(m)=m2>0,f(n)=>0, 又(m)+f1(n)-f(m+n)=m3+n3-(m+n)2=-3m2-3rm<0, 所以1(m)十f(n)<f1(m十n), 故f(x)=x是“速增函数”，………………5分 对于函数f2(x)=log:(x十1)，当m=n=1时，f(m)十f2(n)=2>og23=f2(m十n), 故f(x)=l0g2(x十1)不是“速增函数”；…8分 (2)当n>0,m>0时，由g(x)=2-1十2a(2+-1)是“速增函数”， 可知g()=2一1十2a(2“-1)>0,即(2”一1)(2一2a)>0对一切正数n恒成立，…10分 仅2”>0，可得2a<2”对切正数刀恒成立，所以a≤号，…12分 由g(n)十g(m)<g(n十m),可得2+"-2"一2十1+2a(2M-m一2-"一2”+1)>0， 即2"(2m-1)-(2m-1)+2a(2m-1)(2"-1)=(2m-1)(2-1)+2a(2"-1)(2*-1) =(2m-1)(2▣-1)十2a…2网0(2m-1)(2”一1)>0，……14分 故(2-1)(2-1)(2m++2a)>0,又(2-1)(2m-1)>0,故2m+#+2a>0, 2十2a>0对一切正数mn恒成立，可得2a十120，即a≥-.…… 综上可知a的取值范围是[一之·] ……………………………17分 【高二数学参考答案第3页（共3页）】 24721B2023~2024学年度下学期三校联考期末考试 (柳河一中 通化县七中集安一中) 高二数学 全卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上 的指定位置。 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区战内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非 答题区域均无效。 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡 上作答：字体工整，笔迹清楚。 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。 5.本卷主要考查内容：集合与常用逻辑用语，不等式，函数，导数，成对数据的统计分析。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.若集合M={x|2.x-1>5},N={x∈N|-1<x<5},则(CRM)∩N= A.{0,1,2,3} B.{1,2,3 C.{0,1,2} D.{1,2} 2.当x≠0时，x2+二的最小值为 A司 B.1 C.2 D.22 3.若函数fx)=1nx-2x+1,则f(2）= A.0 c n号 4.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x3一3x2,则f(一1) A.-2 B.2 C.3 D.-3 5.已知关于x的一元二次不等式x2十b.x十c≤0的解集为{x|2≤x≤3}，则关于x的不等式 cx2十b.x十1≤0的解集为 A{女3<≤号 B.{x2≤x≤3 C.{x-3≤x≤-2} D.{z-<≤-3 【高二数学第1页（共4页）】 24721B 6.已知a,b∈R,那么（受）广<（受）广“是1oga>1og斟6的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.已知函数f(x)=2x一sinx十cosx,若a∈(0,1)，则下列式子大小关系正确的是 A.vf(a)<f(a)<f(a) B.f(a)<f(a)<VT(a) C.√f(a)<f(a)<f(a) D.f(a)<vf(a)<f(va) 8.若函数fx)在R上是单调函数，且满足对任意x∈R,都有f儿(x)一2-x]=-5,则函数 f(x)的零点所在的区间为 A.(0,2】 (合 c(1,2) n.(32） 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列命题为真命题的是 A.若a>b,则ac2>bc2 B.若-3<a<2,1<b<4,则一7<a一b<1 C.若b<a<0,m<0,则">” D.若a>b>0,c>d>0,则ac>bd 10.已知定义域为R的函数f(x)=x一ax2十1，则 A.函数f(x)的图象是轴对称图形 B.存在实数a,使函数f(x)为单调函数 C.对任意实数a,函数f(x)都存在最小值 D.对任意实数a,函数f(x)都存在两条过原点的切线 11.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛 顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R,用[x]表示不超过x的 最大整数，则y=[x]称为高斯函数，如[3.24]=3，[一1.5]=一2，若f(.x)=x一[x],则下 列说法正确的是 A.当2023≤x<2024时，f(x)=x-2023B.f(x十1)-f(x)=1 C.函数f(x)是增函数 D.函数f(x)的值域为[0,1) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.命题“Hx∈R,x十x2-3≥0”的否定是 13.曲线f(x)=3x在点(1，f(1))处的切线方程为 14.已知函数f(x)=x3+e-ex+1,若实数a,b满足f(3a2一3)+f(b一1)=2，则a√/2+b 的最大值为 【高二数学第2页（共4页）】 24721B 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤 15.(本小题满分13分) 某收费APP(手机应用程序)自上架以来，凭借简洁的界面设计、方便的操作方式和强大的 实用功能深得用户的喜爱.该APP所在的公司统计了用户一个月月租减免的费用x(单位： 元)及该月对应的用户数量y(单位：万人)，得到如下数据表格： 用户一个月月租减免的费用x(元) 4 5 6 7 8 用户数量y(万人) 2 2.1 2.5 2.9 3.2 已知x与y线性相关， (1)求y关于x的经验回归方程（∑.x=190,∑xy:=79.4): (2)据此预测，当月租减免费用为14元时，该月用户数量为多少？ 参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据(G,y)(i=1,2,·,n),其经验回归直线y=x十a (x-)(y-)） i=1 xy:一n可 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为- 1 a=y-br 2x-) Sd-n 16.(本小题满分15分) 已知函数g(x)=xlnx,x>0. (1)求函数g(x)的单调区间； (2②)求函数g(x)在区间[是e]上的最大值与最小值。 17.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=log3(x2十ax十1)(a∈R). (1)若f(x)的定义域为R,求a的取值范围： (2)设a>0,若对任意t∈[0，十∞)，函数f(x)在区间[t,t十1]上的最大值与最小值的差不 超过1，求a的取值范围. 【高二数学第3页（共4页）】 24721B 18.(本小题满分17分) 每年的3月21日是世界睡眠日，保持身体健康的重要标志之一就是有良好的睡眠，某机构 调查参加体育锻炼对睡眠的影响，从辖区内同一年龄层次的人员中，常参加体育锻炼和不常 参加体育锻炼的人中，各抽取了200人，通过问询的方式得到他们在一周内的睡眠时间（单 位：小时)，并绘制出如下频率分布直方图. 频率 湖率 组距 0.072年知距. 0.0625 0.0675 0.0425 0.035 0.0178 0.015 0.Dl0 0.0025 V32364044482366而睡眠时创： 常参加休育锻练人员 03236404448525660师帐时间 不常参加休有锻炼人员 (1)求a的值： (2)根据频率分布直方图，求常参加体育锻炼人员一周内的平均睡眠时间（同一组的数据 用该组区间的中点值代替)： (3)若每周的睡眠时间不少于44小时的列为“睡眠足”，每周的睡眠时间在44小时以下的列 为“睡眠不足”，请根据已知条件完成下列2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认 为“睡眠足”与“常参加体育锻炼”有关 睡眠足 睡眠不足 总计 常参加体育锻炼人员 不常参加体育锻炼人员 总计 附：X= n (ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d,其中n=a+b+c+d. Q 0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 Ta 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 19.(本小题满分17分) 若函数f(x)满足：对于任意正数m,n,都有f(m)>0,f(n)>0,且f(m)+∫(n)< f(m十n),则称函数f(x)为“速增函数” (1)试判断函数f1(x)=x2与f2(x)=1og2(x十1)是否为“速增函数”； (2)若函数g(x)=2一1十2a(2一1)为“速增函数”，求a的取值范围. 【高二数学第4页（共4页）】 24721B