吉林长春市实验中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题

**基本信息** 长春市实验中学2025-2026下学期高二数学期末试卷，以函数、概率、导数等核心知识为载体，通过投篮、摸球等现实情境设计解答题，考查数学抽象、运算推理及数据分析能力，实现基础巩固与创新应用的有机统一。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合运算、函数奇偶性与周期性、充分必要条件|注重基础概念辨析，如第4题结合周期偶函数考查函数值计算| |多选题|3/18|条件概率、不等式性质、函数对称性与周期性|强调知识综合，如第11题融合函数对称性与导数性质判断| |填空题|3/15|二项式常数项、奇函数解析式、函数零点|突出运算能力，如第12题直接考查二项展开式计算| |解答题|5/77|函数最值与单调性、概率分布列与期望、导数极值与不等式恒成立、摸球游戏中的概率计算、切线与数列综合|梯度设计明显，第16题（投篮概率）基础，第19题（切线与等差数列结合）创新，体现数学建模与逻辑推理|

建设满足时代发展需求的创新高中 长春市实验中学 2025-2026学年度下学期期末考试 ( 团结 · 勤奋 · 求实 · 创新 )高二数学试卷 第Ⅰ卷 选择题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 2．是的(     ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则 A． B． C． D． 5．设函数，则下列函数中为奇函数的是(　　) A. B. C. D. 6．在暑假期间，甲、乙、丙、丁四名实验员到某生物研究所的分子生物学、生态学、遗传学三个实验室实习，每个实验室至少有一人，且每人只去一个实验室.已知甲在分子生物学实验室实习，则甲与乙不在同一实验室实习的概率为（     ） A． B． C． D． 7．为正实数，且，当取最小值时，的展开式中项的系数为 （     ） A． B． C． D． 8．已知不等式 对任意恒成立，则正数的取值范围（     ）A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分） 9．甲箱中有个红球和个白球，乙箱中有个红球和个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件表示从乙箱中取出的两球都是红球，则（     ） A． B． C． D． 10．已知，且，则下列不等式成立的是（     ） A． B． C． D． 11．已知定义在R上的函数的图象关于直线对称，且∀x∈R，都有，定义在R上的函数为的导函数，则以下结论一定正确的是(　　) A.是偶函数 B.为偶函数 C. D.4是的一个周期 第Ⅱ卷 非选择题 3、 填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．的二项展开式的常数项为_______________． 13．已知是定义在上的奇函数，当时，，则时，的解析式为________________． 14．，若有且只有两个零点，则实数的取值范围是______________． 四、解答题（本大题共5个小题，共77分） 15．已知函数． (1)若，求在上的最值； (2)若在R上单调递减，求a的值． 16．甲、乙、丙三人各投篮1次．已知甲、乙、丙投篮的命中率分别是0.5，0.6，0.8．每个人能否投中相互独立． (1)在甲、乙、丙三人共投中2次的条件下，求其中有1次是甲投中的概率； (2)记甲、乙、丙三人共投中次，求的分布列和期望． 17．已知函数. (1)求函数的极值； (2)当时，不等式在上能成立，求整数k的最小值. 18．有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有6个红球和4个黑球，这些球除颜色外完全相同．游戏规定：每位参与者进行次摸球，每次从袋中摸出一个球，有两种摸球方式：一是有放回摸球，每次摸球后将球均放回袋中，再进行下一次摸球，摸到红球的次数记为X；二是不放回摸球，每次摸球后将球均不放回袋中，直接进行下一次摸球，摸到红球的次数记为Y． (1)若， （i）求随机变量Y的分布列和数学期望： （ii）游戏规定摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖，在这个规则下，设有放回摸球中奖概率为，无放回摸球中奖概率为，求和并比较它们大小． (2)若，求当取得最大值时的k值，并说明理由． 19．已知函数设是函数图象上一点，在点处的切线为，且与轴的交点为，若是公差为的等差数列. (1)求的解析式； (2)若 （i）若，求的值； （ii）求证：有 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $《期末》参考答案 题号 1 2 3 4 7 8 9 10 11 答案 D A C C 0 B A ABC BCD BD 12.160 13.fx)=x2+4x 14.（0,-6U(3e,+w) 15. 解：（山由a-时，可得/=2x+2x-2x 则f)=6r+4r-2=2x+103x-1)） …1分 当e(3-,w0:当e9时，<0，当*e传 时， f'(x)>0. 所以函数2单调造，在号上单酒能减.有后 单调递增，…4分 又庙f(-2)=4f(-=2f9=号fQ)=20,…5分 所以图数在区同-2习上的最大值为20，最小值为4…6分 3由5改9-46-ar-2江，两/0=6r+6-2ar- ,…8分 因为函数 (四在R上单调递减，所以f≤0在R上恒成立，…10分 [a<0 则满足△=(6-2a}+48a≤0，…12分 整理得(6+20≤0且a<0,解得a=-3…13分 16.解：(1)记“甲、乙、丙三人共投中2次”为事件A,“甲投中”为事件B.1 分 答案第1页，共5页 P(4)=0.5×0.6×(1-0.8)+0.5×0.8×(1-0.6)+0.6×0.8×(1-0.5)=0.46 3分 P(AnB)=0.5×0.6×(1-0.8)+0.5×0.8×(1-0.6)=0.22 .…4分 Pa4-82器-号6分 (2)X的所有可能取值为0,1,2,3.7分 PX=0)=1-0.5)x1-0.6)×1-0.8)=0.04,…8分 P(X=1)=0.5×(1-0.6)×(1-0.8)+(1-0.5)×(1-0.6)×0.8+(1-0.5)×0.6×(1-0.8)=026 …9分 P(X=2)=P(4)=0.46,…10分 P(X=3)=0.5×0.6×0.8=0.24 ,…11分 所以X的分布列为 X 0 2 3 0.04 0.26 0.46 0.24 13分 E(X)）=∑xp-0x0.04+1x0.26+2x046+3x0.24=1.9 .15分 7【销解】少依超痘可得8)-a+h,所以g)=a+(>0) 1分 0若a≥0，g()=>0,gy)在0，+四)单调递豫…2分 ②若a<0:令g()=0,则x=- a s 答案第2页，共5页 单调递增， 当（台所，s的在 单调递减，…4分 所以当0≥0时 g)无极值： 当<0所，8（似布在袋大位1-h(回） 无极小值5分 (2)当a=2时，f)=2x+xhx 因为xcL+切），所以原不等式可化为x-)>2x+x血x。 即k>2x+xnx x-1 在x∈(1，+0）能成立.7分 令F()=2x+xnx x-1，要使原不等式能成立，即k>F(x), F'(x)=-nx-3 则 (x-1)2,8分 令（四=x-hx-30>） 则(-=1-->0,9分 xX 所以h在xe+o） 上单调递增 因为h4)=1-n40,h(5)=2-h5)0 10分 所以玉(4.5)，使()=0.即F(=0,…1分 答案第3页，共5页 h(x)<0 当 1<x<时， ,即 F'(x)<0 当x>时， h(x)>0F'(x)>0 ，即 12分 所以F(四在（仁）上单调递减，在（氏，+切）上单调递增 由)=6-血6-3=0，得血，=名-3.13分 =F6)-2-学=4列1分 得到 x。-1x0-1 所以 >Fm=,因为ke乙，所以km=5.…l5分 18.解：(1)()对于不放回摸球，各次试验的结果不独立， Y可取0,1,2,3,4,1分 m老-0m0-瓷-若v-答号 =71 POY=3)-CCL-PY=4)-CiCL- C。21 C14,5分 Y服从超几何分布，Y的分布列为： 0 1 2 3 4 1 8 P 3-7 1 210 35 21 .6分 n=4,M=6,N=10,所以E)=n4=12 N5:7分 (ⅱ)由题意得游戏规定摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖， 答案第4页，共5页 P 在这个规则下，设有放回摸球中奖概率为，无放回摸球中奖概率为 对于有放回摸球，各次试验的结果互相独立， 测Px=2=c0-x==c-到-恕 Px0-c0号.散片=x=2》x-=+x= 625,…10分 由①可知B=PY=2)+PY=3)+PY=4=3 42,…12分 51337 因为625<42，所以P<B:13分 (2) x). 当n=10,则 c(cg 若 最大，即 P(X=k) c.s 33 得5≤k≤516分 又k∈Nt,.k=6,…17分 19,解：(1)fx=2lnaa2x∴fx,=21naa2, 1分 在点Pn处的切线l为-a=21naa(x-x 又l与*轴的交点为X0,0-a=2na0x1-X…3分 答案第5页，共5页 :×是公差为1的等差数列 .xn+1xn=-1 .'.-a2%=-2In aa2 .2Ina=1 ∴a=e2=Ve4分 .fx=Ve2x=e5分 o“g1x=em-2x-mgx=em-2x-2到…6分 令gx=0氛=m-2 2 则子时，国09华调验.号时，以0g单调陆藏 m-2 ∴gxnr=gm,2=2e号-m 2 m-2 .∵gx≤0 .2e2-m≤0 ①…8分 m-2 m-2 设hml=2e2-m 则hm=e2-19分 令hm=0,得m=2 m<2时，成m<0,hmc单调递减：m>2时，成m>0,hm 单调递增 hm=h2=0,.hml≥0 m-2 .2e2-m≥0 ②.10分 m-2 由①②知，∴.2e2-m=0∴.m=2…11分 (i)由0知，gk=e2-2X-2s0,又gx=g022 g0=0 答案第6页，共5页 ∴.e*1-x≤1，当且仅当x=0时等号成立 .0<x<1时，e*,1 1-X...13分 0N有“T1+1*2吉n 空女co+-时sa 答案第7页，共5页