精品解析：甘肃省临洮中学2025-2026学年高二下学期期末数学试卷

甘肃省临洮中学高二年级期末考试卷（二） 数学 考生注意： 1．满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3．本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则的实部为（ ） A. B. C. 3 D. 5 2. 已知集合，，若，则实数（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 已知直线的倾斜角为，直线的方向向量为，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 在中，，且，则的面积是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数对任意的，总满足以下不等关系：，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆台的上､下底面半径之比为，若圆台的上､下底面圆周都在半径为5的球（球心在圆台内部）的表面上，且圆台的高为7，则圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若，则（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 8. 已知，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 为了强化安全管理工作，某市路政部门对市区内的营运车辆的实际载客人数进行了抽查，并整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ） A. 的值为0.005 B. 从频率分布直方图可以看出该市营运车辆中实际载客人数最多是60 C. 从频率分布直方图可以估计出该市营运车辆实际平均载客人数为31 D. 这组数据的85%分位数约为46 10. 已知点在双曲线（，）上，则下列结论正确的是（ ） A. C的实轴长小于2 B. C的渐近线方程可能为 C. C的离心率大于 D. C的焦距不可能为4 11. 等比数列的公比为，前项和为，已知，且，，成等差数列，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则，，成等差数列 B. 若，则的前项和为 C. 若，则，， D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是___________． 13. 某学校组织科技竞赛，现有6名指导教师负责命题、监考、阅卷三项工作，要求每项工作至少安排1名指导老师，每名指导老师都只能参加一项工作，则不同的分配方法共有_____种． 14. 小李家共有10只信鸽，其中戴盔鸽有3只，李种鸽有且只，其余的为蓝鸽，且随机取出2只信鸽，其品种不相同的概率是.现随机取出2只信鸽，若取出1只蓝鸽记10分，取出1只戴盔鸽记20分，取出1只李种鸽记30分.用表示取出的2只信鸽的分数之和，则的数学期望为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知函数的最小正周期为． （1）求及； （2）若的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，求在区间上的值域． 16. 近些年来，促进新能源汽车产业发展政策频出，新能源市场得到很大发展，销量及渗透率远超预期，新能源几乎成了各个汽车领域的热点． （1）为了更好了解大众对新能源汽车的接受程度，某市汽车行业协会依据年龄采用分层随机抽样的方式，从40岁以下和40岁及以上两个年龄层中各抽取100名市民进行调查，并对他们选择新能源汽车还是选择传统汽车进行意向调查，得到了以下统计数据．完成列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为选择新能源汽车与年龄有关； 选择新能源汽车 选择传统汽车 总计 40岁以下 70 40岁及以上 60 100 总计 200 （2）某车企通过市场调研并进行粗略模拟，得到研发投入x（亿元）与经济收益y（亿元）的数据，统计如下： 研发投入x/亿元 1 2 3 4 5 经济收益y/亿元 2.5 4 6.5 9 10.5 依据表中统计数据，求出y关于x的经验回归方程并预测研发投入8亿元时的经济收益． 参考数据：，． 参考公式：，其中． 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 经验回归方程的斜率，截距． 17. 已知抛物线与圆相交于、两点，且． （1）求抛物线的方程； （2）若、是上两点，且线段的中点为，求． 18. 如图，在几何体中，四边形是边长为2的正方形，平面，四边形与都是直角梯形，为的中点． （1）棱上是否存在点，使得平面，并证明； （2）若，求： （i）点到平面的距离； （ii）平面与平面夹角的余弦值． 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围； （3）若对任意恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 甘肃省临洮中学高二年级期末考试卷（二） 数学 考生注意： 1．满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3．本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则的实部为（ ） A. B. C. 3 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据共轭复数的概念可得，然后利用乘法运算求得，进而利用实部的概念求解即可. 【详解】因为，所以，则， 所以的实部为5. 故选：D. 2. 已知集合，，若，则实数（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合相等列方程求解即可. 【详解】因为，，， 所以，解得. 故选：C 3. 已知直线的倾斜角为，直线的方向向量为，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求得直线的一个方向向量为，结合向量垂直的坐标表示，以及充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由直线的倾斜角为，可得直线的斜率为，直线的一个方向向量为， 又由直线的方向向量为，设， 当时，可得，此时， 所以，即充分性成立； 反之：若，可得，所以， 解得，所以必要性成立， 综上可得，“”是“”的充要条件. 4. 在中，，且，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的数量积公式得，再根据三角形面积公式计算即可. 【详解】由， 故. 故选：A 5. 已知函数对任意的，总满足以下不等关系：，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由可得： 当时，有， 当时，有， 说明在上严格单调递减. 已知， 可知是一个斜率为的一次函数，在上单调递减， 是一个开口向下的二次函数，对称轴为轴， 在上单调递减，故满足即可实现在上严格单调递减. ，，则， 解得. 6. 已知圆台的上､下底面半径之比为，若圆台的上､下底面圆周都在半径为5的球（球心在圆台内部）的表面上，且圆台的高为7，则圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设圆台的上､下底面半径分别为，利用勾股定理求出，再根据台体的体积公式即可得解. 【详解】设圆台的上､下底面半径分别为， 由题意可得，解得， 所以圆台的体积为. 故选：A. 7. 已知函数，若，则（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数解析式判断函数的对称性有，结合已知求函数值. 【详解】由，其定义域为R， 又， 所以，则. 故选：D 8. 已知，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别设，和，以及，以及其中，利用导数求得其单调性，结合单调性和的值，得到，和，进而得到答案. 【详解】设，可得， 所以函数在上为单调递减函数，可得， 因为，所以， 即，即，所以； 设，可得， 所以在上单调递减，所以，即， 即当时，，即当时，， 令，可得，所以， 即，所以； 设，可得， 所以在上单调递增，所以， 所以当时，，即， 令，可得，即， 令，可得， 所以在上单调递增，所以，即， 所以，两边同乘，可得，即， 因为且，所以， 综上可得：，且，所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 为了强化安全管理工作，某市路政部门对市区内的营运车辆的实际载客人数进行了抽查，并整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ） A. 的值为0.005 B. 从频率分布直方图可以看出该市营运车辆中实际载客人数最多是60 C. 从频率分布直方图可以估计出该市营运车辆实际平均载客人数为31 D. 这组数据的85%分位数约为46 【答案】ACD 【解析】 【详解】A选项，由题意得，解得，A正确； B选项，区间的频率最大， 故从频率分布直方图可以看出该市营运车辆中实际载客人数最多不是60，B错误； C选项，， 从频率分布直方图可以估计出该市营运车辆实际平均载客人数为31，C正确； D选项，， ， 故平均载客人数位于内，设为，则， 解得， 这组数据的85%分位数约为46，D正确. 10. 已知点在双曲线（，）上，则下列结论正确的是（ ） A. C的实轴长小于2 B. C的渐近线方程可能为 C. C的离心率大于 D. C的焦距不可能为4 【答案】AC 【解析】 【分析】根据即可得，根据实轴的定义即可求解A，根据渐近线方程以及离心率公式即可求解BC，根据焦距求解D. 【详解】将代入可得， 对于A：，故，因此，所以实轴长为，则，故A正确； 对于B：渐近线方程为，若渐近线方程为，则， 结合可得，则，该方程无实数根，故渐近线方程不可能为，故B错误； 对于C：离心率为，故C正确； 对于D：若焦距为4，则，故，故D错误. 故选：AC 11. 等比数列的公比为，前项和为，已知，且，，成等差数列，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则，，成等差数列 B. 若，则的前项和为 C. 若，则，， D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】A根据等差数列、等比数列求出公比，再求和即可；B求等差数列的和；C检验；D利用，等号成立时. 【详解】由题意得，，则，得或， 若，则，若为奇数，则， 则数列，，即为，显然不是等差数列，故A错误； 若，则，，则， 则的前项和为，故B正确； 若，则，则当时，，故C正确； 若，则； 若，则， 则，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程直接可得. 【详解】由曲线表示焦点在轴上的椭圆， 所以，即的取值范围是． 故答案为：. 13. 某学校组织科技竞赛，现有6名指导教师负责命题、监考、阅卷三项工作，要求每项工作至少安排1名指导老师，每名指导老师都只能参加一项工作，则不同的分配方法共有_____种． 【答案】540 【解析】 【分析】把6名教师分成3组，每组至少1人，对应三项不同工作，分组为：人数为，人数为，人数为，分别按照分组情况求出分组的组数，再求出分配到3项工作的种数，利用分类加法计算原理求解. 【详解】把6名教师分成3组，每组至少1人，对应三项不同工作，分组为： 人数为 ，人数为 ，人数为 当分组为时，分组的组数有种，再分配到3项工作有种， 则共有种， 当分组为时，分组的组数有种，再分配到3项工作有种， 则共有种， 当分组为时，分组的组数有种，再分配到3项工作有种， 则共有种， 综上可得，不同的分配方法共有. 14. 小李家共有10只信鸽，其中戴盔鸽有3只，李种鸽有且只，其余的为蓝鸽，且随机取出2只信鸽，其品种不相同的概率是.现随机取出2只信鸽，若取出1只蓝鸽记10分，取出1只戴盔鸽记20分，取出1只李种鸽记30分.用表示取出的2只信鸽的分数之和，则的数学期望为__________. 【答案】38 【解析】 【分析】根据题意可知“任意取出2只信鸽，这两只信鸽的品种相同”的概率为，进而列出等式可求出n的值，进而根据题意可知的可能取值，求出其分布列，进而可求数学期望. 【详解】设“任意取出2只信鸽，这两只信鸽的品种相同”为事件， 则， 整理得，解得或（舍去）， 所以李种鸽有3只，蓝鸽有4只， 所以的所有取值为， 且 ， 所以. 故答案为：38 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知函数的最小正周期为． （1）求及； （2）若的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，求在区间上的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式化简函数式，结合三角函数的周期性可计算参数并求值； （2）根据三角函数图像变换先得解析式，再利用正弦函数的性质计算值域即可. 【小问1详解】 易知， 又最小正周期为，所以， 即，则 【小问2详解】 的图象向右平移个单位长度得到， 因为时，， 根据正弦函数的单调性可知即时，， 时即，，即，则. 16. 近些年来，促进新能源汽车产业发展政策频出，新能源市场得到很大发展，销量及渗透率远超预期，新能源几乎成了各个汽车领域的热点． （1）为了更好了解大众对新能源汽车的接受程度，某市汽车行业协会依据年龄采用分层随机抽样的方式，从40岁以下和40岁及以上两个年龄层中各抽取100名市民进行调查，并对他们选择新能源汽车还是选择传统汽车进行意向调查，得到了以下统计数据．完成列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为选择新能源汽车与年龄有关； 选择新能源汽车 选择传统汽车 总计 40岁以下 70 40岁及以上 60 100 总计 200 （2）某车企通过市场调研并进行粗略模拟，得到研发投入x（亿元）与经济收益y（亿元）的数据，统计如下： 研发投入x/亿元 1 2 3 4 5 经济收益y/亿元 2.5 4 6.5 9 10.5 依据表中统计数据，求出y关于x的经验回归方程并预测研发投入8亿元时的经济收益． 参考数据：，． 参考公式：，其中． 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 经验回归方程的斜率，截距． 【答案】（1） 2×2列联表如下： 选择新能源汽车 选择传统汽车 总计 40岁以下 70 30 100 40岁及以上 40 60 100 总计 110 90 200 能认为选择新能源汽车与年龄有关； （2） 经验回归方程为 ，预测研发投入8亿元时的经济收益为17亿元. 【解析】 【分析】（1）先补全2×2列联表，计算卡方统计量后与对应的临界值比较，判断两个变量是否独立； （2）利用给定参考数据计算回归系数，得到经验回归方程后代入求解预测值. 【小问1详解】 40岁以下选择传统汽车的人数为，总计100； 40岁及以上选择新能源汽车的人数为； 总计选择新能源汽车人数为，选择传统汽车人数为. 补全2×2列联表如下： 选择新能源汽车 选择传统汽车 总计 40岁以下 70 30 100 40岁及以上 40 60 100 总计 110 90 200 提出零假设：选择新能源汽车与年龄无关。 代入卡方公式计算得 ，由于， 根据小概率值的独立性检验，拒绝，即能认为选择新能源汽车与年龄有关. 【小问2详解】 由题给参考数据可知斜率 ， 样本均值，， 截距 . 故关于的经验回归方程为 . 将代入回归方程得 ， 即预测研发投入8亿元时经济收益为17亿元. 17. 已知抛物线与圆相交于、两点，且． （1）求抛物线的方程； （2）若、是上两点，且线段的中点为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用抛物线与圆都关于轴对称，得到垂直轴，结合弦长求出点坐标，代入抛物线即可求出. （2）用点差法，根据中点纵坐标求出直线的斜率，写出直线方程；再联立抛物线方程，利用韦达定理和弦长公式求出. 【小问1详解】 因为抛物线与圆都关于轴对称， 所以交点关于轴对称，弦垂直于轴， 因为，所以点纵坐标， 把代入圆方程：，解得， 因为，所以，所以， 将代入抛物线方程， 得到，解得，即， 抛物线的方程为：. 【小问2详解】 设，，两点都在抛物线上， 则有， 两式作差可得 ， 由中点，得， 直线斜率， 直线方程：，整理得， 联立， 把代入抛物线，得到 ， 由韦达定理可得：， 又 则， . 18. 如图，在几何体中，四边形是边长为2的正方形，平面，四边形与都是直角梯形，为的中点． （1）棱上是否存在点，使得平面，并证明； （2）若，求： （i）点到平面的距离； （ii）平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 为的中点时，平面， 证明如下： 取的中点，连接．因为为中点， 所以， 因为平面，平面， 所以平面， 因为为中点，为中点， 所以， 因为平面，平面， 所以平面， 因为，平面 所以平面平面， 因为平面， 所以平面. （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，证明平面平面，即可判定； （2）结合题意证明两两垂直，进而建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）因为平面，平面， 所以 因为四边形是边长为2的正方形， 所以 所以两两垂直， 因为四边形与都是直角梯形，， 所以， 故以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系． ， 设平面的法向量， 则，即，取，得， 所以 所以点到平面的距离为. （ii），得， 设平面的法向量， 则，即，取，得， 设平面与平面夹角为， 则. 所以平面与平面夹角的余弦值为 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围； （3）若对任意恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）时，的递减区间是，递增区间是； 时，的递增区间是，无递减区间； 时，的递增区间是和，递减区间是； 时，的递增区间是和，递减区间是. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）函数求导，根据参数进行分类，讨论函数的单调性即得； （2）将函数有两个零点，转化为与有两个交点问题，利用导数研究并作出函数的图象，即得的取值范围； （3）由原不等式恒成立转化为恒成立，设，就参数分类讨论，找到使恒成立时的情况，即得的取值范围. 【小问1详解】 的定义域为， 当时，时，时，； 当时，时，； 当时，时，；时； 当时，时；时； 综上，时，的递减区间是，递增区间是； 时，的递增区间是，无递减区间； 时，的递增区间是和，递减区间是； 时，的递增区间是和，递减区间是. 【小问2详解】 令得， 设，则， 当时，在上递减；当时，在上递增， 则. 又因时，时，作出函数的图象， 由图可得，要使直线与函数的图象有两个交点，须使， 即，故的取值范围是. 【小问3详解】 由得， 因，即得，（*）， 易得时，不等式成立， 设，， 则， 当时，，函数在上单调递增，故，（*）恒成立； 当时，设， 则方程有两根，，可得 当时，，则，在上单调递减； 又，所以当时，，不满足条件， 综上，的取值范围是. 【点睛】思路点睛：本题主要考查函数的零点和不等式恒成立问题，属于难题. 对于函数零点的探究，一般考虑参变分离法，不易分离变量的则考虑根据参数，分析讨论函数的图象性质判断求解；对于由不等式恒成立的求参问题，一般是分离变量后，将其转化为求函数的最值问题解决，对于不易转化时，可以通过构造函数，根据参数范围，讨论函数不等式何时恒成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $