甘肃省酒泉市2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题

酒泉市普通高中2025~2026学年度第二学期期末考试 高二数学试卷 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米，黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米，黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答 题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：湘教版选择性必修第一册第4章、选择性必修第二册。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(4,1,3),B(2,-5,1),C(一3,7，一5)， 则顶点D的坐标为 A.(1,-13,3) B.(-5,1,-7) C.(5,-1,7) D.(-1,13,-3) 2.已知f(x)=sin2x+e2,则f(x)= A.2cos 2x+2e2r B.cos 2x+e2r C.2sin 2x++2e2r D.-2cos 2x++2e2 3.算盘是中国古代的一项重要发明，迄今已有2600多年的历史.现有一算盘，取其两档（如 图1)，自右向左分别表示十进制数的个位和十位，中间一道横梁把算珠分为上下两部分，梁 上一珠拨下，记作数字5，梁下四珠，上拨一珠记作数字1（如图2算盘表示整数51）.若拨动图 1的两枚算珠，则可以表示不同整数的个数为 A.6 B.8 C.10 十位个位 十位个位 D.15 图1 图2 4.若PAB)=P(B1A)=,P(A)=}则P(B)等于 A司 B吉 c 5.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表： 广告费用x(万元) 2 3 6 销售额y(万元) 19 25 34 38 44 根据上表可得回归直线方程为y=6.3x十a,则下列说法正确的是 【高二期末考试·数学第1页（共4页）】 A.回归直线y=6.3.x十a必经过样本点(2,19)，(6,44) B.这组数据的样本中心点(x,y)未必在回归直线y=6.3.x十a上 C.回归系数6.3的含义是广告费用每增加1万元，销售额实际增加6.3万元 D.据此模型预报广告费用为7万元时销售额为50.9万元 6.函数f(x)的定义域为R,它的导函数f(x)的部分图象如图所示，则下y 列结论正确的是 A.在(1,2)上函数f(x)为增函数 B.在(3,5)上f(x)为增函数 C.在(3,5)上函数f(x)有极大值 D.x=3是函数f(x)在[1,5]上的极小值点 7.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面ABCD是正方形，PA=AB,则下列数 量积中最大的是 A.BD·PC B.PB.PC C.BC.PC D.PA.PC 8.若e一a.x≥lna.x一x(a>0,x>0),则实数a的取值范围为 A.(o.] B[日+∞) C.(0,e D.e,+o) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.将2男2女共4个优秀毕业生分配给A,B,C,D四个公司，每人只去一个公司，则下列说法 正确的是 A.共有24种分配方法 B.每个公司都有分配到人，有24种分配方法 C.恰好有一个公司未分配到人，有144种分配方法 D.每个公司都有分配到人，且公司A只要女生，有12种分配方法 10.下列结论正确的是 A若随机变量X服从两点分布，P(X=1)=,则E(X)=2 B.若随机变量Y的方差D(Y)=3,则D(2Y+1)=6 C若随机变量：服从二项分布B(,),则Pξ=3)-号 D.若随机变量？服从正态分布N(1,o),P(7<2)=0.82,则P(0<<2)=0.64 11.如图，在正三棱柱ABC-A,B,C中，AB=2,AA,=3,D为BC的中点，则 A.直线A,B⊥平面ADC B.点B,到平面ADC,的距离是3@ C异面直线A,B,和C,D所成角的余弦值为四 20 D.平面A,BC⊥平面ADC 【高二期末考试·数学第2页（共4页）】 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在(1+x)5+(1-x)展开式中，含x的项的系数是 .(用数字表示) 13.某校有20名同学报名参加全市数学竞赛选拔赛，其中来自高一的有8人，来自高二的有8人， 来自高三的有4人.高一、高二、高三学生能通过选拔进入比赛的概率分别为0.4,0.7,0.9，则 从报名的学生中任选一名能通过选拔进入比赛的概率是 D 14.如图，平行六面体ABCD-A,B,C,D中，∠A1AB=∠A1AD=∠BAD =60°，AB=AD=AA,=1,则AC= 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知函数f(x)=x3十a.x十1在x=一1处取得极值. (1)求实数a的值； (2)当x∈[一1,2]时，求函数f(x)的最大值和最小值， 16.(本小题满分15分) 某校从学生文艺部6名成员(4男2女)中，挑选2名参加学校举办的文艺汇演活动. (1)求男生甲被选中的概率； (2)在已知男生甲被选中的条件下，求女生乙被选中的概率： (3)在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率. 17.(本小题满分15分) 如图，在正方体ABCD-A,BCD1中，棱长为2，P为棱BC的中点，Q为侧面A1ABB1内 的一点，已知BQ=AQ,PQ=2. (1)求证：PQ∥平面AA,C,C; (2)求PQ与平面ABB1A,所成角的正弦值； B (3)求点Q到平面A,CP的距离. 18.(本小题满分17分)》 已知函数f(x)=号x2-(a+1)z+alnx(其中u为常数). (1)若a=一2，求曲线y=f(x)在点(2，f(2)处的切线方程； (2)当a<0时，求函数y=f(x)的最小值； (3)当0≤a<1时，试讨论函数y=f(x)的零点个数，并说明理由. 【高二期末考试·数学第3页（共4页）】 19.(本小题满分17分)》 直播带货是扶贫助农的一种新模式，这种模式是利用主流媒体的公信力，聚合销售主播的力 量助力打通农产品产销链条，切实助力贫困地区农民脱贫增收.某贫困地区有统计数据显 示，2025年该地利用网络直播形式销售农产品的销售主播年龄等级分布如图1所示，一周 内使用直播销售的频率分布扇形图如图2所示.若将销售主播按照年龄分为“年轻人” (20岁~39岁)和“非年轻人”(19岁及以下或者40岁及以上)两类，将一周内使用的次数为 6或6以上的称为“经常使用直播销售用户”，使用次数为5或不足5的称为“不常使用直播 销售用户”，则“经常使用直播销售用户”中有号是“年轻人”， 直播销售主播年龄等级分布 一周内直播销售的频率分布 50.0% 45546 8-9次 40.0% 4.57 19.2% 30.0% 6-7次 超过9次 30.1% 10.7% 20.0% T4.1% 不超过3次 10.0% 4.7% 4-5次 182% 1.2% 21.8% 19岁及以下20-29岁30-39岁40-49岁50-59岁 图1 图2 (1)现对该地相关居民进行“经常使用网络直播销售与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方 法，抽取一个容量为200的样本，请你根据图表中的数据，完成2×2列联表，并根据列联 表判断是否有85%的把握认为是否经常使用网络直播销售与年龄有关； 年轻人 非年轻人 合计 经常使用直播销售用户 不常使用直播销售用户 合计 附： P(x2≥) 0.15 0.10 0.050 0.025 0.010 Zo 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 n(ad-bc)? 其中x=a+b+a+cb+Dn=a+b+c+d. (2)某投资公司在2026年初准备将1000万元投资到“销售该地区农产品”的项目上，现有 两种销售方案供选择： 方案一：线下销售.根据市场调研，利用传统的线下销售，到年底可能获利30%，可能 711 亏损15%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为：10，方，0： 方案二：线上直播销售.根据市场调研，利用线上直播销售，到年底可能获利50%，可能 亏损30%，可能不暗不境，且这三种情况发生的概率分别为：号，品，。 针对以上两种销售方案，请你从期望和方差的角度为投资公司选择一个合理的方案，并 说明理由。 【高二期末考试·数学第4页（共4页）】酒泉市普通高中2025~2026学年度第二学期期末考试·高二数学试卷 参考答案、提示及评分细则 1.D2.A3.B4.B5.D6.A7.B8.C 9.BCD 10.AD 11.BC 12.2013.0.6214.√2 15.解：(1)因为f(x)=3x2十a, 2分 因为f(x)在x=一1处取得极值，所以∫(-1)=0，解得a=一3，经检验符合题意， 所以=-3.… 4分 (2)由(1)得f(x)=x3-3x+1,f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1), 令f(x)=0,解得x=一1或x=1.… 8分 当x变化时，f(x)和f(x)的变化情况如下表所示： -1 (-1,1) 1 (1,2) 2 f(z) 0 负 0 正 f(z) 3 递减 极小值一1 递增 3 11分 所以当x∈[一1,2]时，函数f(x)的最大值为3，最小值为一1. 13分 16.解：(1)记4名男生为A,B,C,D,2名女生为a,b,从6名成员中挑选2名成员，有AB,AC,AD,Aa,Ab,BC, BD,Ba,Bb,CD,Ca,Cb,Da,Db,ab共有15种情况， 记“男生甲被选中”为事件M,不妨假设男生甲为A,事件M所包含的基本事件数为AB,AC,AD,Aa,Ab,共 有5种，故PM=是 …5分 或PM-是=是= …5分 (2)记“女生乙被选中”为事件N,不妨假设女生乙为b,则事件MN包含的基本事件为Ab,只有1种，所以 P(MN)-15. …7分 或PMW=&- 7分 又由()知P(MD=号，所以在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率为 P(NIM)-P(MN)_1 P(M) 5· 10分 (3)记“挑选的2人一男一女”为事件S,则事件S包含的基本事件有8种， 所以P(S= 8 12分 或P(S)=CC-8 C 5 12分 【高二期末考试·数学参考答案第1页（共4页）】 记“女生乙被选中”为事件N,则P(SN)=5, 4 13分 或P(SN)= C%-15 13分 则在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，女生乙被选中的概率为 PNs》== …15分 17.(1)解法一：以A为原点，建立如图空间直角坐标系. 则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),A1(0,0,2),C(2,2,2). 因为P为棱BC的中点，所以P(2,1,0).…1分 因为Q为侧面AABB内的一点，且BQ=AQ,所以可设Q(1,0,t),0≤t2. Q 因为PQ=2,所以(2-1)2+(1-0)2+(0-)2=4→1=√2 所以Q(1,0,2). 2分 所以PQ=(-1,-1,W2). 又因为BD⊥AC,BD⊥AA,AC,AA1C平面AACC,且AC∩AA=A, 所以BD⊥平面AACC 所以BD=(-2,2,0)为平面AA,CC的法向量. 3分 因为P夜·BD=(-1,-1,2)·(-2,2,0)=0,且PQ女平面AACC, 所以PQ∥平面AACC.…5分 解法二：因为BQ=AQ,设AB的中点为M,连接QM,则QM⊥AB, 所以在正方形ABB1A中，QM∥AA,且QM过平面ACCA,AAC平面ACCA,, 所以QM∥平面ACCA. 又因为P为棱BC的中点，M为AB中点，连接PM,则PM∥AC, 且PM平面ACCA1,ACC平面ACCA,所以PM∥平面ACC1A, 因为QM∩PM=M,QM,PMC平面PQM,所以平面PQM∥平面ACCA, PQC平面PQM,所以PQ∥平面ACC1A.… 5分 (2)说明：若第(1)问用解法二，则第(2)问需要先建立空间直角坐标系，若第(1)问用解法一，则第(2)问可直 接利用第一问的向量坐标，从求平面法向量开始即可. 以A为原点，建立如图空间直角坐标系. 则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),A1(0,0,2),C(2,2,2). A 因为P为棱BC的中点，所以P(2,1,0). B 因为Q为侧面AABB内的一点，且BQ=AQ,所以可设Q1,0,t),0≤≤2. 因为PQ=2,所以(2-1)2+(1-0)2+(0-t)2=4→t=√2. Q 所以Q(1,02),所以PQ=(-1,-1,W2).… 6分 A M D B 在正方体ABCD-A1BCD中，AD⊥平面ABBA, 所以AD=(0,2,0)是平面ABBA1的一个法向量， 7分 【高二期末考试·数学参考答案第2页（共4页）】 又因为PQ=(-1,一1，√2)，设PQ与平面ABB1A,所成角为0， 则sin0=cos{P0,A访1=P·A L21 PQAD 2X272 即直线PQ与平面ABBA所成角的正弦值为2： 1 。。。。。。。 10分 (3)因为AC=(2,2,0),A1P=(2,1,-2). 设平面ACP的法向量为m=(x,y,之)， mLAC,m·AC=2a+2y=0, 则 令x=2可得m=(2,一2,1).…11分 mLA P,m.AP=2x+y-2s=0, 所以PQ·m=(-1,-1,W2)·(2,-2,1)=√2. 所以Q点到平面A,CP的距离为P·ml √瓦 m √/22+(-2)2+1下 3· 15分 18解：(1当a=-2时，可得f)=号2+x-21nx,可得了()=x+1-2-+2x-D, x 所以f(2)=2且f(2)=4-2n2,……2分 所以切线方程为y一(4-2ln2)=2(x一2)，即2x一y-2ln2=0, 所以曲线y=f(x)在点(2，f(2)处的切线方程为2x一y一2ln2=0.…5分 (2)由函数f)=号2-(a+1)x十alhx,可得函数f(x)的定义域为(0，+o), 又由f()=--D,令f)=0,解得m=a,=1, 2 当a<0时，f(x)与f(x)在区间(0，+∞)的情况如下表： (0,1) 1 (1,+∞) f'(x) 0 + f(z) 极小值 所以函数的极小值为f(1)=一a一 2,也是函数f(x)的最小值， 所以当a<0时，函数f(x)的最小值为一a-2 10分 (3)当a=0时，fx)=2x2-x,令f(x)=0,解得=2,2=0（舍去）， 所以函数y=f(x)在(0，十∞)上有一个零点；… 13分 当0<a<1时，f(x)与子(x)在区间(0，+o∞)的情况如下表： x (0,a) a (a,1) 1 (1,+∞) f(z) + 0 0 + f(x) 极大值 极小值 所以函数f(x)在(0，a)上单调递增，在(a,1)上单调递减，此时函数f(x)的极大值为f(a)=一 2a2-a+ 【高二期末考试·数学参考答案第3页（共4页）】 alna<0,所以函数y=f(x)在(0,1)上没有零点： 14分 又由f(1)=-号-a<0且函数f()在(1，十∞)上单调递增，且当x+oo时，fx)+∞， 所以函数f(x)在(1，十0∞)上只有一个零点.…16分 综上可得，当0≤a<1时，f(x)在(0，十∞)上有一个零点.… 17分 19.解：(1)由图2知，样本中经常使用直播销售的用户有(30.1%+19.2%+10.7%)×200=120人，其中年轻 人有120X6白100人)…1 由图1知，样本中的年轻人有(45.5%十34.5%)×200=160人，…2分 补充完整的2X2列联表如下， 年轻人 非年轻人 合计 经常使用直播销售用户 100 20 120 不经常使用直播销售用户 60 20 80 合计 160 40 200 4分 现提出统计假设H:是否经常使用网络直播销售与年龄无关. 根据列联表数据求得：X-200XC00X2020X60》≈2.083， 120×80×160×40 6分 由于2.083>2.072， 故有85%的把握认为是否经常使用网络直播销售与年龄有关 …8分 (2)方案一：设获利X万元，则X的所有可能取值为300，一150,0，…9分 E(X0=300X0+(-150)X号+0Xb=180,… 10分 DX0=(30-180y2×0+(-150-180)2X号+(0-180)×品=3510. 11分 方案二：设获利Y万元，则Y的所有可能取值为500，一300,0，…12分 EB00=500Xg+(-30)X是+0X=210, 13分 D00=(500-210)32×号+(-300-210)9×0+0-2102×b=13290,. 14分 因为E(X)<E(Y),D(X)<D(Y), 15分 从获利的期望上看，方案二获得的利润更多些，但方案二的方差比方案一的方差大得多， 从稳定性方面看方案一更稳妥，故从获利角度考虑，选择方案二：从规避风险角度考虑，选择方案一. …17分 【高二期末考试·数学参考答案第4页（共4页）】