精品解析：甘肃陇南市第一中学2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题

2025-2026学年陇南第一中学高二第二学期期末考试 （数学）试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需或动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合. 1. 已知数列满足，，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】，，，，， 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的定义求解即可. 【详解】由导数的定义可得： ． 故选：D. 3. 某地区举办演唱会时，举办方为防止观众私自携带灯牌等应援物品，使用了安检门进行辅助检测.依照以往数据，任一观众私自携带应援物品的概率为，若观众确实携带，安检门亮灯提示的概率为；若观众没有携带，安检门依旧有的概率因误检其他物品而亮灯提示.若某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全概率公式，以及条件概率公式即可求解. 【详解】设事件：该观众私自携带应援物品；事件：安检门亮灯提示， 则. 某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为 所以. 故选:B. 4. 下面是不同成对数据的散点图，从左到右对应的样本相关系数是，，，，其中最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由散点图的趋势可知且接近1，，与绝对值较小， 所以最大. 5. 援鄂医护人员A，B，C，D，E，F共6人（其中A是队长）圆满完成抗击新冠肺炎疫情任务返回本地，他们受到当地群众与领导的热烈欢迎．当地媒体为了宣传他们的优秀事迹，让这6名医护人员和当地的一位领导共7人站成一排拍照，则领导和队长A相邻且不站两端，B与C相邻，B与D不相邻的排法种数为（ ）． A. 120 B. 240 C. 288 D. 360 【答案】B 【解析】 【分析】先将领导和队长A，B和C分别“捆绑”，利用间接法求解：先排“B与C相邻，和D，E，F排列，按插空排M”，再排除“B与C相邻，B与D相邻，和D，E，F排列，按插空排M”的情况． 【详解】先将领导和队长A，B和C“捆绑”，分别当作一个整体M，N，有种不同的排法． 将N与D，E，F一起排列，有种不同的排法，再让M从中间的3个位置选1个位置排，有种不同的排法，所以共有种不同的排法． 当B与D相邻时，将B安排在中间，C，D安排在B的两侧，有种排法，然后将他们3人当作一个整体P，与E，F一起排列，有种不同的排法，再让M从中间的2个位置中选1个位置排，共有种不同的排法． 故共有种不同的排法． 故选：B． 6. 已知随机变量 的概率分布如下表，则（ ）  x 1 2 3 P 其中 A. 2 B. 0.6 C. 5 D. 2.4 【答案】D 【解析】 【详解】 ， ， ， ， ， 故选项D正确. 7. 已知线性相关的两个变量的取值如表所示，如果其线性回归方程为，则（ ） 3 4 6 7 20 40 80 A. 50 B. 60 C. 70 D. 75 【答案】B 【解析】 【分析】求出样本中心，代入回归方程求解即可. 【详解】因为， 又因为所有回归方程都过样本中心， 所以将点代入回归方程， 得， 解得. 8. 在概率论和统计学中用协方差来衡量两个变量的总体误差，对于离散型随机变量，，定义协方差为，已知，的分布列如下表所示，其中，则的值为（ ） 1 2 1 2 A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得的分布列，，和的值，再根据的公式计算即可. 【详解】解：的分布列为 1 2 4 ， ，， . 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知二项式的展开式中各二项式系数和为64，则下列说法正确的是（ ） A. 展开式共有6项 B. 二项式系数最大的项是第4项 C. 展开式的常数项为160 D. 展开式中各项的系数和为1 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，根据条件得到，即可求解；对于B，利用二项式系数的性质，即可求解；对于C，利用二项式的展开式的通项公式，即可求解；对于D，根据条件，通过赋值，即可求解. 【详解】由题知，得到，所以展开式共有项，故选项A错误， 对于选项B，因为，由二项式系数的性质知二项式系数最大的项是第项，所以选项B正确， 对于选项C，二项式的展开式的通项公式为， 由，得到，所以展开式的常数项为，所以选项C错误， 对于选项D，令，则，所以展开式中各项的系数和为，故选项D正确. 10. 设等差数列的公差为，前n项和．若，，，则下列结论正确的是（ ） A. 数列是递增数列 B. C. D. 中最大的是 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题设，利用等差数列的前项和公式可得，，即可判断A，对于B，根据条件，利用数列的对称性，即可求解，对于C，根据条件建立不等式，即可求解；对于D，利用，，即可求解. 【详解】设等差数列的首项为，因为，， 则，，整理得到，， 所以，，则，，所以， 所以，即， 所以数列是递减数列，故A错误， 对于B，因为，则，所以B正确， 对于C，由，得，由，可得，所以C正确； 对于D，因为时，，时，， 所以中最大的是，故D不正确． 11. 化学课上，老师带同学进行酸碱平衡测量实验，由于物质的量浓度差异，测量酸碱度pH值时会造成一定的误差，甲组的实验数据误差和乙组的实验数据误差均符合正态分布，其中，，已知正态分布密度函数，记和所对应的正态分布密度函数分别为，则（ ） A. B. 甲组的实验数据误差相对于乙组更集中 C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由正态分布密度函数曲线的图象及性质可判断A，B；利用正态分布密度函数曲线的对称性以及原则即可判断C，D. 【详解】对于A，B，由正态分布密度函数曲线可知，数据的标准差越小，数据越集中在均值附近，峰值越大， 反之，标准差越大，数据越分散，峰值越小， 对于两个小组的误差，甲组的标准差，乙组的标准差， 显然甲组的标准差更小，故峰值更大，数据误差相对乙组更集中，故A，B正确； 对于C,，， ，故C正确； 对于D，， ， 而对于任何正态分布都有， 故，故D错误． 故选：ABC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列的前项和为，且，，（，），则______． 【答案】 【解析】 【分析】先通过递推公式构造等比数列求出通项，再利用分组求和与等比数列的求和公式即可求解. 【详解】因为，，所以， 又因为， 所以是首项为3，公比为3的等比数列， 即， 所以， 所以 . 13. ，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由导数公式求，由此可求，再求即可. 【详解】因为， 所以，， 所以，故， 所以， 故答案为：. 14. 相关系数 ______. 【答案】 【解析】 【分析】略 【详解】略 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数， （1）当时，求在处的切线方程； （2）若函数在上的最大值为；求的值； （3）设，若，，使得，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出导函数，再代入得出导数值即可得出斜率，最后点斜式得出切线方程即可； （2）先求出导函数，再分类讨论函数的单调性结合定义域得出最值即可求解参数； （3）先根据任意及存在得出，结合导数得出函数单调性即可列式计算求解参数范围 【小问1详解】 ，，， ，，所以切线的斜率为2， 所以切线方程为 【小问2详解】 依题意可得， 当时，，此时在上单调递增； 当时，由得，得， 则在上单调递增，在上单调递减； 由以上分析知，当或时，在上单调递增； 所以，得（舍去）； 当，即时，在上单调递增，在上单调递减， 所以，得； 综上，若函数在上的最大值为，则， 【小问3详解】 由已知转化为， 又时，， 由（1）知，当时，在上单调递增，值域为，不合题意； 当时，在上单调递增，在上单调递减， 则，解得， 综上，的取值范围是． 16. 已知数列 的前n项和为，对任意 满足 且 数列 满足， ， 其前3项和为 （1）求数列 的通项公式； （2）将数列 的项按照“当n为奇数时，放在前面；当n为偶数时，放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新的数列： 求这个新数列的前33 项和 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可知数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求出数列的通项公式，可求出，再由可求出数列的通项公式，由等差中项法可知数列为等差数列，从而可得出数列为等比数列，且设该等比数列的公比为，结合题中条件求出和的值，即可求出数列的通项公式； （2）求出数列的前项和，对进行分类讨论，利用等差数列和等比数列的求和公式可得出. 【小问1详解】 且，所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，，. 当时，. 也适合上式，所以，. ，即， 所以，数列为等差数列，设其公差为，则， ，所以，数列是正项等比数列，设其公比为，则. 由题意可得，解得， 因此，； 【小问2详解】 数列的前项和为， 数列的前项和为， ①当时，； ②当时，， 特别地，当时，也适合上式； ③当时，. 综上所述，. 所以. 17. 在某次世界乒乓球锦标赛的团体比赛中，中国队将对阵韩国队．比赛实行5局3胜制，根据以往战绩，中国队在每一局中获胜的概率都是． （1）求中国队以的比分获胜的概率； （2）设事件“韩国队先胜第一局”，设事件“中国队获得最终的胜利”，求； （3）假设全场比赛的局数为随机变量，在韩国队先胜第一局的前提下，求的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2） （3）的分布列为： 3 4 5 【解析】 【分析】（1）由题意可知中国队前三局都获胜，根据公式计算即可； （2）由题意，有两种情况：①中国队连胜3局，②中国队在2到4局中胜2局，再胜第5局，利用公式计算即可； （3）由题意知，分别求出对应的概率，列出分布列，求出数学期望即可. 【小问1详解】 设中国队以的比分获胜的事件为， 则. 【小问2详解】 在韩国队先胜第一局的前提下，中国队获得最终的胜利有2种情况： ①中国队连胜3局，此时的概率为：； ②中国队在2到4局中胜2局，再胜第5局， 此时概率为：； 所以. 【小问3详解】 由题意知， 则， ， ， 所以的分布列为： 3 4 5 则. 18. 某公司邀请棋手与该公司研制的一款机器人进行象棋比赛，规则如下：棋手的初始分为，每局比赛，棋手胜加分；平局不得分；棋手负减分．当棋手总分为时，挑战失败，比赛终止；当棋手总分为时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续．已知每局比赛棋手胜、平、负的概率分别为、、，且各局比赛相互独立. （1）求两局后比赛终止的概率； （2）在局后比赛终止的条件下，求棋手挑战成功的概率； （3）在挑战过程中，棋手每胜局，获奖千元．记局后比赛终止且棋手获奖万元的概率为，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分析可知，棋手可能得分或分比赛终止，列出两种情况下棋手的胜负情况，结合独立事件的概率公式和互斥事件概率公式可求得所求事件的概率； （2）设“局后比赛终止”为事件，“局后棋手挑战成功”为事件，求出、的值，利用条件概率公式可求得的值； （3）分析可知，甲共胜局，对棋手甲分两种情况讨论：（i）棋手第局以分比赛终止；（ii）棋手第局以分比赛终止.计算出“局后比赛终止且棋手获得万元奖励”的概率，分析数列的单调性，即可得出结论. 【小问1详解】 设每局比赛甲胜为事件，每局比赛甲平为事件，每局比赛甲负为事件， 设“两局后比赛终止”为事件， 因为棋手与机器人比赛局，所以棋手可能得分或分比赛终止． （i）当棋手得分为分，则局均负，即； （ii）当棋手得分为分，则局先平后胜，即． 因为、互斥，所以 ． 所以两局后比赛终止的概率为． 【小问2详解】 设“局后比赛终止”为事件，“局后棋手挑战成功”为事件． 因为 ， ． 所以在局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为 ． 所以在局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为． 【小问3详解】 因为局获奖励万元，说明甲共胜局． （i）当棋手第局以分比赛终止，说明前局中有负胜，且是“负胜负胜负”的顺序，其余均为平局，共有种， （ii）当棋手第局以分比赛终止，说明前局中有负胜，且是先负后胜的顺序，其余均为平局，共有种， 则“局后比赛终止且棋手获得万元奖励”的概率 ，． 所以． 因为，所以， 所以，所以单调递减， 所以当时，取最大值为． 19. 已知函数（为常数），是函数的一个极值点. （1）求实数的值； （2）如果当时，不等式恒成立，求实数的最大值； （3）求证：. 【答案】（1） （2）2 （3）证明：由（2）得：时，，即， 整理得， 令，则，即， 时，，时，， …， 时，， 将以上不等式两端分别相加得： ， 即. 【解析】 【分析】（1）由题意得：，由是函数的一个极值点，得，即可得解； （2）问题等价于在上恒成立，构造函数，，利用导数求出函数在上得最小值，进而求出的范围； （3）由（2）得：时，，可得，令，则，即可证明. 【小问1详解】 由题意得：， 因为是函数的一个极值点， 所以，解得：， 则， 令，则，令，则， 所以是函数的一个极值点， 所以； 【小问2详解】 由（1）得，定义域为， 所以问题等价于在上恒成立， 构造函数，，则， 令，，则， 所以时，，在递增， 所以，所以， 所以在递增， 所以，所以， 所以实数的最大值为2； 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： （1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题. （3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年陇南第一中学高二第二学期期末考试 （数学）试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需或动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合. 1. 已知数列满足，，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 3. 某地区举办演唱会时，举办方为防止观众私自携带灯牌等应援物品，使用了安检门进行辅助检测.依照以往数据，任一观众私自携带应援物品的概率为，若观众确实携带，安检门亮灯提示的概率为；若观众没有携带，安检门依旧有的概率因误检其他物品而亮灯提示.若某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 下面是不同成对数据的散点图，从左到右对应的样本相关系数是，，，，其中最大的是（ ） A. B. C. D. 5. 援鄂医护人员A，B，C，D，E，F共6人（其中A是队长）圆满完成抗击新冠肺炎疫情任务返回本地，他们受到当地群众与领导的热烈欢迎．当地媒体为了宣传他们的优秀事迹，让这6名医护人员和当地的一位领导共7人站成一排拍照，则领导和队长A相邻且不站两端，B与C相邻，B与D不相邻的排法种数为（ ）． A. 120 B. 240 C. 288 D. 360 6. 已知随机变量 的概率分布如下表，则（ ）  x 1 2 3 P 其中 A. 2 B. 0.6 C. 5 D. 2.4 7. 已知线性相关的两个变量的取值如表所示，如果其线性回归方程为，则（ ） 3 4 6 7 20 40 80 A. 50 B. 60 C. 70 D. 75 8. 在概率论和统计学中用协方差来衡量两个变量的总体误差，对于离散型随机变量，，定义协方差为，已知，的分布列如下表所示，其中，则的值为（ ） 1 2 1 2 A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知二项式的展开式中各二项式系数和为64，则下列说法正确的是（ ） A. 展开式共有6项 B. 二项式系数最大的项是第4项 C. 展开式的常数项为160 D. 展开式中各项的系数和为1 10. 设等差数列的公差为，前n项和．若，，，则下列结论正确的是（ ） A. 数列是递增数列 B. C. D. 中最大的是 11. 化学课上，老师带同学进行酸碱平衡测量实验，由于物质的量浓度差异，测量酸碱度pH值时会造成一定的误差，甲组的实验数据误差和乙组的实验数据误差均符合正态分布，其中，，已知正态分布密度函数，记和所对应的正态分布密度函数分别为，则（ ） A. B. 甲组的实验数据误差相对于乙组更集中 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列的前项和为，且，，（，），则______． 13. ，则__________． 14. 相关系数 ______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数， （1）当时，求在处的切线方程； （2）若函数在上的最大值为；求的值； （3）设，若，，使得，求的取值范围． 16. 已知数列 的前n项和为，对任意 满足 且 数列 满足， ， 其前3项和为 （1）求数列 的通项公式； （2）将数列 的项按照“当n为奇数时，放在前面；当n为偶数时，放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新的数列： 求这个新数列的前33 项和 17. 在某次世界乒乓球锦标赛的团体比赛中，中国队将对阵韩国队．比赛实行5局3胜制，根据以往战绩，中国队在每一局中获胜的概率都是． （1）求中国队以的比分获胜的概率； （2）设事件“韩国队先胜第一局”，设事件“中国队获得最终的胜利”，求； （3）假设全场比赛的局数为随机变量，在韩国队先胜第一局的前提下，求的分布列和数学期望． 18. 某公司邀请棋手与该公司研制的一款机器人进行象棋比赛，规则如下：棋手的初始分为，每局比赛，棋手胜加分；平局不得分；棋手负减分．当棋手总分为时，挑战失败，比赛终止；当棋手总分为时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续．已知每局比赛棋手胜、平、负的概率分别为、、，且各局比赛相互独立. （1）求两局后比赛终止的概率； （2）在局后比赛终止的条件下，求棋手挑战成功的概率； （3）在挑战过程中，棋手每胜局，获奖千元．记局后比赛终止且棋手获奖万元的概率为，求的最大值． 19. 已知函数（为常数），是函数的一个极值点. （1）求实数的值； （2）如果当时，不等式恒成立，求实数的最大值； （3）求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $