精品解析：内蒙古自治区巴彦淖尔市杭锦后旗2025-2026学年八年级下学期7月期末数学试题

2025-2026学年杭锦后旗八年级第二学期期末测试 数 学 考生须知 1．本试卷共8页，共三道大题，18道小题．满分100分．考试时间90分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 一、选择题（本题共24分，每小题3分，第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．） 1. 下列各点中，在直线 上的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将四个选项中的点分别代入解析式，成立者即为函数图象上的点． 【详解】将x=1代入y=2x得，y=2， 将x=2代入y=2x得，y=4，故C正确； 故选C． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，将点的坐标代入解析式，解析式成立者即为正确答案． 2. 如图，在中，，点为的中点，若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质，能根据直角三角形斜边上中线的性质得出 是解此题的关键． 【详解】解：在中，，点为的中点，， ， 故选：A． 3. 以下列长度的三条线段为边能组成直角三角形的是（ ） A. 6，7，8 B. 2，3，4 C. 3，4，6 D. 6，8，10 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理逆定理即两短边的平方和等于最长边的平方逐一判断即可． 【详解】解：．，不能构成直角三角形，故本选项错误； ．，不能构成直角三角形，故本选项错误； ．，不能构成直角三角形，故本选项错误； ．，能构成直角三角形，故本选项正确． 故选：． 【点睛】本题考查的是勾股定理逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键． 4. 下列各式中，运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 根据二次根式的运算法则进行判断． 【详解】解：A：已经是最简结果，并不等于，故该选项不合题意； B：，故该选项不合题意； C：，正确，故该选项符合题意； D：，故该选项不合题意．   故选：C ． 5. 已知一次函数. 若随的增大而增大，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵随的增大而增大， ∴ ， 即 ， 故选B. 6. 下表记录了某校4名同学游泳选拔赛成绩的平均数与方差： 队员1 队员2 队员3 队员4 平均数 （秒） 51 50 51 50 方差s2（秒2） 3.5 3.5 14.5 15.5 根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（　　） A. 队员1 B. 队员2 C. 队员3 D. 队员4 【答案】B 【解析】 【分析】据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 【详解】解：因为队员1和2的方差最小，队员2平均数最小，所以成绩好， 所以队员2成绩好又发挥稳定． 故选B． 【点睛】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 7. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴上，且，，则正方的面积是（ ） A. 13 B. 20 C. 25 D. 34 【答案】D 【解析】 【分析】作轴于M．只要证明，推出，由，，推出，推出，再利用勾股定理求出，最后求面积即可． 【详解】解：作轴于． 四边形是正方形， ，， ，， ， ， 在和中， ， ，， ，， ，， ， ， 正方形的面积． 故选：D． 【点睛】本题考查正方形的性质、坐标与图形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，正确添加辅助线、构造全等三角形解决问题是解题的关键． 8. 如图，有一个球形容器，小海在往容器里注水的过程中发现，水面的高度h、水面的面积S及注水量V是三个变量．下列有四种说法：①S是V的函数；②V是S的函数；③h是S的函数；④S是h的函数．其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】由函数的概念求解即可． 【详解】①：由题意可知，对于注水量的每一个数值，水面的面积S都有唯一值与之对应，所以V是自变量，S是因变量，所以S是V的函数，符合题意； ②：由题意可知，对于水面的面积S的每一个数值，注水量V的值不一定唯一，所以V不是S的函数，不符合题意； ③：由题意可知，对于水面的面积S的每一个数值，水面的高度h的值不一定唯一，所以h不是S的函数，不符合题意； ④：由题意可知，对于水面的高度h的每一个数值，水面的面积S都有唯一值与之对应，h是自变量，S是因变量，所以S是h的函数，符合题意； 所以正确的序号有①④， 故选：B． 【点睛】此题考查了函数的概念，解题的关键是熟记函数的概念． 二、填空题（共4 小题，每小题3分，共12分） 9. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得，解不等式，即可求解． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握被开方数为非负数是解题的关键． 10. 反映某城市9月份空气质量指数的箱线图如下图所示，则该城市9月空气质量指数的第三四分位数的值为__________________； 【答案】80 【解析】 【详解】解：由箱线图可知，该城市9月空气质量指数的第三四分位数的值为． 11. 小圣骑车从学校回家，中途在十字路口等红灯用了1分钟，然后继续骑车回家，若小圣骑车的速度始终不变，从出发开始计时，小圣离家的距离（单位：米）与时间（单位：分钟）的对应关系如图所示，则该十字路口与小圣家的距离为______米． 【答案】900 【解析】 【分析】根据图像可知，小圣的学校与家之间的距离为1200m，实际骑车的时间为5min，由此即可求出骑车的速度；再利用速度乘以时间即可得该十字路口与小圣家的距离． 【详解】解：根据题意，小圣骑车的速度为（）， 所以，该十字路口与小圣家的距离为（m）． 故答案为：900． 【点睛】此题主要考查了函数的图像，掌握函数图像的横、纵坐标的实际意义是解决此题的关键． 12. 在四边形中，有以下四个条件：①； ②； ③； ④．从中选取三个条件，可以判定四边形为矩形．则可以选择的条件序号是________________________________．（请写出全部正确答案） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】先利用平行线的性质和全等三角形的判定证明四边形是平行四边形，再结合对角线相等的平行四边形是矩形进行判定，逐一验证所有组合即可． 【详解】解：逐一验证所有选取三个条件的组合： 选取条件①③④：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形，此组合符合要求； 选取条件①②③：满足，，的四边形可以是等腰梯形，等腰梯形不是矩形，此组合不符合要求； 选取条件①②④：满足，，仅能判定四边形是平行四边形，平行四边形不一定是矩形，此组合不符合要求； 选取条件②③④：满足，，无法证明四边形是平行四边形，也无法判定为矩形，此组合不符合要求． 三、解答题（共6小题，共64分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 13. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2）2 （3） （4） 【解析】 【分析】（1）先利用二次根式的性质进行化简，再计算加减即可得出结果； （2）利用平方差公式计算即可得出结果； （3）利用代入消元法解二元一次方程组即可； （4）利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：， 将①代入②得， 解得， 将代入①得， ∴二元一次方程组的解为； 【小问4详解】 解：， 由得， 将代入②得， ∴， ∴二元一次方程组的解为． 14. 图是1个碗和4个整齐叠放成一摞的碗的示意图，碗的规格都是相同的．小亮尝试结合学习函数的经验，探究整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度（单位：）随着碗的数量（单位：个）的变化规律．下表是小亮经过测量得到的与之间的对应数据： 个 1 2 3 4 6 8.4 10.8 13.2 （1）依据小亮测量的数据，写出与之间的函数表达式，并说明理由； （2）若整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度不超过，求此时碗的数量最多为多少个？ 【答案】（1） （2）10个 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是： （1）求出每只碗增加的高度，然后列出表达式即可解答； （2）根据（1）中y和x的关系式列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：由表格可知，每增加一只碗，高度增加， ∴， 检验∶当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴； 【小问2详解】 解：根据题意，得， 解得， ∴碗的数量最多为10个． 15. 如图，有一架秋千，静止时踏板离地0.5米．向前推动秋千，当踏板的水平移动距离为3米时，离地1.5米，此时秋千的绳索是拉直的，求绳索的长度．设绳索的长度为x米． （1）线段OB= （用含有x的式子表示）； （2）线段OC= （用含有x的式子表示）； （3）根据题意列出方程，并解决问题 【答案】（1） （2） （3）在中，， ∴， 解得， 答：绳索的长度为米． 【解析】 【分析】（1）利用秋千摆动时绳索长度不变，直接得到； （2）通过踏板离地高度差，结合绳索总长即可得； （3）在中，用勾股定理列方程求解绳索长度即可． 【小问1详解】 解：由题意得，秋千摆动时绳索长度不变，故米； 【小问2详解】 解：∵静止踏板离地米，摆动时离地米， ∴踏板升高米， ∵绳索总长为米， ∴米； 【小问3详解】 略 16. 为迎接2022年冬奥会，鼓励更多的学生参与到志愿服务中来，甲、乙两所学校组织了志愿服务团队选拔活动．经过初选，两所学校各400名学生进入综合素质展示环节．为了了解两所学校学生的整体情况，从两校进入综合素质展示环节的学生中分别随机抽取了50名学生的综合素质展示成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲学校学生成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：，，，，，）； b．甲学校的学生成绩在这一组的是： 80 80 81 81.5 82 83 83 84 85 86 86.5 87 88 88.5 89 89 c．乙学校学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（85分及以上为优秀）如下： 平均数 中位数 众数 优秀率 83.3 84 78 46% 根据以上信息，回答下列问题： （1）被抽取的甲校学生成绩的中位数是______．若甲校学生A，乙校学生B的综合素质展示成绩同为83分，这两人在本校学生中的综合素质展示排名更靠前的是______（填“A”或“B”）； （2）根据上述信息，推断______学校综合素质展示的水平更高，理由为______（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）； （3）若每所学校综合素质展示的前120名学生将被选入志愿服务团队，预估甲学校分数至少达到______分的学生才可以入选． 【答案】（1）81.25；A （2）乙；乙校的中位数高于甲校，乙校的优秀率高于甲校 （3）88.5 【解析】 【分析】（1）根据中位数定义，即可求出甲校的中位数，发现A的成绩在中位数前，而读表得出B的成绩在中位线以下，以此判断排名； （2）计算出甲校的中位数，优秀率，比较回答即可； （3）根据120人入选可算得入选比例，然后用比例乘抽样人数得出样本中入选人数，根据排名确定入选成绩即可． 【小问1详解】 ∵甲校共有50名学生， ∴中位数为第25位和第26位的平均成绩， 由直方图和题干数据得，第25位和第26位的成绩为：81和81.5 ∴中位数为：， ∵A成绩为83分，高于中位数，则A排名在甲校为前半部分， ∵B成绩为83分，低于乙校中位数84，则B排名在乙校为后半部分， 故A的排名更靠前， 故答案为：81.25；A； 【小问2详解】 乙， 理由：①甲校的中位数是81.25分，乙校的中位数是84，与甲校相比，乙校的中位数更高，说明乙校综合展示水平较高的同学更多； ②甲校的优秀率为：，乙校优秀率为46%，与甲校相比，乙校的优秀率更高，说明乙校综合展示水平高分的人数更多； 故答案为：乙校，乙校的中位数高于甲校，乙校的优秀率高于甲校； 【小问3详解】 ∵120人入选， ∴入选比例为：， ∵抽样50人， ∴按照入选比例，抽样人数中，入选人数为：人， ∴选取前15名入选， 根据直方图知，90-100段成绩有12人， ∴还需选取80-90段的前3名， ∵80-90段的第3名为88.5分， ∴至少需要达到88.5分可入选， 故答案为：88.5． 【点睛】本题考查了中位数，数据的集中趋势，直方图，样本估计总体，熟练掌握中位数的定义，直方图的意义，用样本估计总体的思想是解题的关键． 17. 如图，直线l1：y＝x和直线l2：y＝kx+3交于点A(2，2)，P(t，0)是x轴上一动点，过点P作平行于y轴的直线，使其与直线l1和直线l2分别交于点D，E． （1）求k的值． （2）用t表示线段DE的长． （3）点M是y轴上一动点，当△MDE是等腰直角三角形时，求出t的值及点M的坐标． 【答案】（1）；（2）DE的长l＝；（3）t=时，M（0，）；t=-6时，M（0，0）；t=时，M（0，），M（0，）；；t=6时，M（0，6），M（0，0）． 【解析】 【分析】（1）将A点坐标代入l2解析式可求解k值； （2）根据平行于y轴的直线横坐标相等可求解D，E两点横坐标，再根据解析式可确定E（t，−t+3），再分当t≥2时，D点在E点的上方；当t＜2时，D点在E点的下方两种情况分别计算DE的长可求解； （3）①当t＜2时，分三种情况计算：若点M是直角顶点时，如图一；若点D是直角顶点时，如图二；若点E是直角顶点时，如图三；当t≥2时，分两种情况计算． 【详解】解：（1）由题意得，l2过点A（2，2），则将x＝2，y＝2，代入y＝kx+3得2＝2k+3， 解得k＝； （2）∵过点P的直线平行于y轴，∴D，E两点的横坐标是t，∴将x＝t代入y＝x中，y＝t， 代入y＝-x+3中，y=t+3，∴E点坐标（t，-+3）， 当t≥2时，D点在E点的上方，则DE的长l＝yD﹣yE＝t﹣（-+3）＝； 当t＜2时，D点在E点的下方；则DE的长l＝yE﹣yD＝（-+3）﹣t＝， 综上，DE的长l＝； （3）①当t＜2时，若点M是直角顶点时，如图一，则MF＝|t|＝， 解得t＝或﹣6， 则该情况存在，将t＝分别代入直线l1，l2，得D（,），E（,）， ∴M（0，）； 将t＝﹣6分别代入直线l1，l2，得D（﹣6，﹣6），E（﹣6，6）， ∴M（0，0）； 若点D是直角顶点时，如图二，则MD=|t|=DE=−t+3， 解得t=＜2，或t=6＞2（舍去）， 此时M（0，yD），即（0，）； 若点E是直角顶点时，如图三，则ME=|t|=DE=−t+3， 解得t=＜2， 此时M（0，yE），即（0，）． 当t≥2时，t=t-3， 解得t=6呀， ∴l2与x轴的交点就是（6，0），即E点（6，0），D（6，6）， ∴M（0，6），（0，0）． 综上：t=时，M（0，）；t=-6时，M（0，0）；t=时，M（0，），M（0，）；；t=6时，M（0，6），M（0，0）． 【点睛】本题考查的是一次函数的综合题，设计的知识点有：一次函数的应用，等腰直角三角形的性质，分段函数，分类讨论的思想的应用． 18. 在 中， 点 D在边上（不与点A， C重合），连接，平移线段，使点B移到点C，得到线段，连接． （1）若求证：与互余； （2）连接，若平分 ，用等式表示 与 之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）证明：， ， ∵平移线段得到线段， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ， 中， ， ∵点 D在边上， ∴， ∴， ∴和互余． （2）； 证明：连接，交于点O，延长至F，使，连接， 由（1）可得，四边形为平行四边形，则． ∵，， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵，即O为的中点， ∴是的中线， 由三线合一得 ∵连接，交于点O，， ∴ ∴四边形为菱形， ∴， ∴， 在中， 在中，， ∴， ∴. 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，得，，再根据三角形内角和定理和平行四边形的性质即可解答； （2）连接，交于点O，延长至F，使，连接，证明，结合平行四边形的性质得，再证明四边形为菱形，得继而求得，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年杭锦后旗八年级第二学期期末测试 数 学 考生须知 1．本试卷共8页，共三道大题，18道小题．满分100分．考试时间90分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 一、选择题（本题共24分，每小题3分，第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．） 1. 下列各点中，在直线 上的点是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，，点为的中点，若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 以下列长度的三条线段为边能组成直角三角形的是（ ） A. 6，7，8 B. 2，3，4 C. 3，4，6 D. 6，8，10 4. 下列各式中，运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知一次函数. 若随的增大而增大，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 下表记录了某校4名同学游泳选拔赛成绩的平均数与方差： 队员1 队员2 队员3 队员4 平均数 （秒） 51 50 51 50 方差s2（秒2） 3.5 3.5 14.5 15.5 根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（　　） A. 队员1 B. 队员2 C. 队员3 D. 队员4 7. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴上，且，，则正方的面积是（ ） A. 13 B. 20 C. 25 D. 34 8. 如图，有一个球形容器，小海在往容器里注水的过程中发现，水面的高度h、水面的面积S及注水量V是三个变量．下列有四种说法：①S是V的函数；②V是S的函数；③h是S的函数；④S是h的函数．其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 二、填空题（共4 小题，每小题3分，共12分） 9. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是_____． 10. 反映某城市9月份空气质量指数的箱线图如下图所示，则该城市9月空气质量指数的第三四分位数的值为__________________； 11. 小圣骑车从学校回家，中途在十字路口等红灯用了1分钟，然后继续骑车回家，若小圣骑车的速度始终不变，从出发开始计时，小圣离家的距离（单位：米）与时间（单位：分钟）的对应关系如图所示，则该十字路口与小圣家的距离为______米． 12. 在四边形中，有以下四个条件：①； ②； ③； ④．从中选取三个条件，可以判定四边形为矩形．则可以选择的条件序号是________________________________．（请写出全部正确答案） 三、解答题（共6小题，共64分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 13. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 14. 图是1个碗和4个整齐叠放成一摞的碗的示意图，碗的规格都是相同的．小亮尝试结合学习函数的经验，探究整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度（单位：）随着碗的数量（单位：个）的变化规律．下表是小亮经过测量得到的与之间的对应数据： 个 1 2 3 4 6 8.4 10.8 13.2 （1）依据小亮测量的数据，写出与之间的函数表达式，并说明理由； （2）若整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度不超过，求此时碗的数量最多为多少个？ 15. 如图，有一架秋千，静止时踏板离地0.5米．向前推动秋千，当踏板的水平移动距离为3米时，离地1.5米，此时秋千的绳索是拉直的，求绳索的长度．设绳索的长度为x米． （1）线段OB= （用含有x的式子表示）； （2）线段OC= （用含有x的式子表示）； （3）根据题意列出方程，并解决问题 16. 为迎接2022年冬奥会，鼓励更多的学生参与到志愿服务中来，甲、乙两所学校组织了志愿服务团队选拔活动．经过初选，两所学校各400名学生进入综合素质展示环节．为了了解两所学校学生的整体情况，从两校进入综合素质展示环节的学生中分别随机抽取了50名学生的综合素质展示成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲学校学生成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：，，，，，）； b．甲学校的学生成绩在这一组的是： 80 80 81 81.5 82 83 83 84 85 86 86.5 87 88 88.5 89 89 c．乙学校学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（85分及以上为优秀）如下： 平均数 中位数 众数 优秀率 83.3 84 78 46% 根据以上信息，回答下列问题： （1）被抽取的甲校学生成绩的中位数是______．若甲校学生A，乙校学生B的综合素质展示成绩同为83分，这两人在本校学生中的综合素质展示排名更靠前的是______（填“A”或“B”）； （2）根据上述信息，推断______学校综合素质展示的水平更高，理由为______（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）； （3）若每所学校综合素质展示的前120名学生将被选入志愿服务团队，预估甲学校分数至少达到______分的学生才可以入选． 17. 如图，直线l1：y＝x和直线l2：y＝kx+3交于点A(2，2)，P(t，0)是x轴上一动点，过点P作平行于y轴的直线，使其与直线l1和直线l2分别交于点D，E． （1）求k的值． （2）用t表示线段DE的长． （3）点M是y轴上一动点，当△MDE是等腰直角三角形时，求出t的值及点M的坐标． 18. 在 中， 点 D在边上（不与点A， C重合），连接，平移线段，使点B移到点C，得到线段，连接． （1）若求证：与互余； （2）连接，若平分 ，用等式表示 与 之间的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $