精品解析：黑龙江省大庆市肇源县2025-2026学年七年级下学期7月期末数学试题

2025-2026学年度下学期期末学业质量监测初二数学 一、选择题（本题10小题，共30分） 1. 下列微信表情图标属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 小狗在如图所示的方砖上走来走去，随意停在黑色方砖上的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线，，．若，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（ ） A. ∠A=∠D B. AB=DC C. ∠ACB=∠DBC D. AC=BD 6. 如图是一张直角三角形纸片，，，将折叠使点B和点A重合，折痕为，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边长为( ) A. B. C. D. 或 8. 在实验课上，小亮利用同一块木板，测量了小车沿木板从不同高度h下滑的时间t，得到如表所示的数据，则下列结论不正确的是（　　） 高度 10 20 30 40 50 … 下滑时间 3.25 3.01 2.81 2.66 2.56 … A. 在这个变化中，高度是自变量 B. 当时，t约为 C. 随着高度的增加，下滑时间越来越短 D. 高度每增加，下滑时间就减少 9. 如图，三个边长均为4的正方形重叠在一起，O1，O2是其中左侧两个正方形的对角线交点，同时O1，O2也是右侧两个正方形的顶点，根据教材第63页《实践与探究》活动中有关内容，可知阴影部分面积是（　　　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 10. 如图，在长方形中，，，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点B匀速运动，点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点C匀速运动，点R从点C出发，以每秒a个单位长度的速度沿向点D运动，连接，．三点同时开始运动，当某一点运动到终点时，其它点也停止运动，若在某一时刻，与全等，则a的值为（ ） A. 2或4 B. 2或 C. 2或 D. 2或 二、填空题（本题8小题，共24分） 11. 在一个不透明的盒子中装有6个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球是白球的概率是，则黄球的个数为______． 12. 如果关于x，y的二次三项式是一个完全平方式，那么常数m的值是_____________． 13. 如图，在四边形中，连接，平分，添加一个条件后，能证明的是________． 14. 如图，在中，是边上的高，是的平分线，，，求的度数______ ． 15. 如图，中，，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且．若周长为，，，_______cm． 16. 如图①是健身器材上肢牵引器，在自然状态下，两条拉绳自然下垂并保持平行，抽象成如图②所示的几何图形，已知，若，，则的度数为___________． 17. 如图，四边形的面积是32，各边中点分别为与相交于点，图中阴影部分的总面积是____． 18. 如图，等腰三角形的底边长为6，面积是24，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则的最小值为 _______． 三、解答题（本题10小题，共66分） 19. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中，． 20. 如图所示． （1）作出关于轴对称的图形； （2）在轴上确定一点，使得最小； （3）求出的面积． 21. 如图，一个长方形中剪下两个大小相同的正方形（有关线段的长如图所示），留下一个“T”型的图形（阴影部分）． （1）用含x，y的代数式表示“T”型图形的面积并化简； （2）若，米，“T”型区域铺上价格为每平方米25元的草坪，请计算草坪的造价． 22. 小明骑单车上学，当他骑了一段路时，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的某书店，买到书后继续去学校，以下是他本次上学所用的时间与路程的关系示意图根据图中提供的信息回答下列问题： （1）小明家到学校的路程是______，小明在书店停留了______； （2）本次上学途中，小明一共行驶了______，一共用了______； （3）我们认为骑单车的速度超过就超过了安全限度，在整个上学途中哪个时间段小明的速度最快？其速度在安全限度内吗？ 23. 某商场文具卖场为了吸引顾客，推出了“购物转转盘”活动，该卖场设立了一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成20个扇形），并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色或绿色扇形区域（见扇形内的汉字注明），顾客就可以分别获得相应的奖品（如表）．小明和妈妈购买了125元的商品，获得一次转动转盘的机会，并参与了活动，请解答下列问题： 颜色 奖品 红色 笔袋 黄色 中性笔 绿色 橡皮 （1）小明获得中性笔的概率是多少？ （2）小明获得奖品的概率是多少？ （3）为了吸引更多顾客，商家决定将获得奖品的概率提高为，则需要在原转盘的基础上将空白扇形涂色，那么需要再将几个空白扇形涂上颜色？ 24. 按要求完成下列的证明： 已知：如图，于点，是上一点，． 求证：． 证明：∵（已知） ∴____________（依据：________________________） ∵（已知） ∴____________（依据：________________________） ∴（依据：________________________） 25. 如图，已知，．求证：． 26. 如图，在△ABC和△ADE中，AB=AD，∠B=∠D，∠1=∠2． 求证：BC=DE． 27. 如图，点，是线段的垂直平分线上两点，延长，交的延长线于点，连接，若点在线段上，且．求证：是的角平分线． 28. 【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线” 等条件时，可以考虑做辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求 的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法” 【初步感知】 （1）如图1，在中 ，，，D是 的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到 点E，使 ，连 接．可以判定， 从而得到．这样就能把线段、、 集中在中，利用三角形三边的关系，即可求出中线的取值范围是______ (请直接写出答案) 【实践应用】 （2）为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图2所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，用测角仪测得此时，测得旗杆高度， 教学楼高度，求 的长 ． 【拓展探究】 ( 3 ) 如 图 3 ， 和 均为等腰直角三角形，连接，，点 F 是 的中点，连接并延长，与 相交于点G．试探究： 和 的数量关系和位置关系并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度下学期期末学业质量监测初二数学 一、选择题（本题10小题，共30分） 1. 下列微信表情图标属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称的定义，逐项判断即可． 【详解】解：A项，不是轴对称图形，故本选项错误； B项，不是轴对称图形，故本选项错误； C项，是轴对称图形，故本选项正确； D项，不是轴对称图形，故本选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念．如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、，故原选项计算错误； B、，故原选项计算错误； C、，故原选项计算正确； D、，故原选项计算错误． 3. 小狗在如图所示的方砖上走来走去，随意停在黑色方砖上的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：由图可知，小狗在如图所示的方砖上走来走去，随意停在黑色方砖上的概率为． 4. 如图，直线，，．若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角形内角和求出，再利用平行线的性质即可求得. 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A ． 5. 如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（ ） A. ∠A=∠D B. AB=DC C. ∠ACB=∠DBC D. AC=BD 【答案】D 【解析】 【详解】A．添加∠A=∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意； B．添加AB=DC可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意； C．添加∠ACB=∠DBC可利用ASA定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意； D．添加AC=BD不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意． 故选D． 6. 如图是一张直角三角形纸片，，，将折叠使点B和点A重合，折痕为，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由三角形的内角和定理可求，由折叠的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵将折叠，使点B与点A重合， ∴， ∴，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了翻折变换，三角形内角和定理，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键． 7. 等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边长为( ) A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】分3cm长的边是腰和底边两种情况进行讨论即可求解． 【详解】解：当长是3cm的边是底边时，三边为3cm，5cm，5cm，等腰三角形成立； 当长是3cm的边是腰时，底边长是：13-3-3=7cm，而3+3＜7，不满足三角形的三边关系． 故底边长是：3cm． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的计算，正确理解分两种情况讨论，并且注意到利用三角形的三边关系定理，是解题的关键． 8. 在实验课上，小亮利用同一块木板，测量了小车沿木板从不同高度h下滑的时间t，得到如表所示的数据，则下列结论不正确的是（　　） 高度 10 20 30 40 50 … 下滑时间 3.25 3.01 2.81 2.66 2.56 … A. 在这个变化中，高度是自变量 B. 当时，t约为 C. 随着高度的增加，下滑时间越来越短 D. 高度每增加，下滑时间就减少 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了函数的表示方法，依据表格反映的规律回答问题是解题的关键．依据题意，根据列表法表示的函数，通过表格反映的规律，对每一个选项进行验证可以得解． 【详解】解：根据表格可知，高度是自变量，下滑时间是因变量， 选项正确． 从表中的对应值可以看到当时，， 选项正确． 从表中数据看到：当由10逐渐增大到50时，的值由3.25逐渐减小到2.56， 随高度增加，下滑时间越来越短． 选项正确． 因为时间的减少是不均匀的， 选项错误． 综上，只有选项错误． 故选：D． 9. 如图，三个边长均为4的正方形重叠在一起，O1，O2是其中左侧两个正方形的对角线交点，同时O1，O2也是右侧两个正方形的顶点，根据教材第63页《实践与探究》活动中有关内容，可知阴影部分面积是（　　　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】标注字母，作正方形两邻边的垂线，根据正方形的中心到各边的距离相等可得，根据同角的余角相等求出∠1=∠2，再利用“角边角”△≌△，再根据全等三角形的面积相等求出阴影部分的面积等于正方形的面积的，同理可得另一阴影部分的面积也等于正方形面积的，最后根据正方形的面积公式列式进行计算即可得解． 【详解】解：如图，作正方形两邻边的垂线， ∵是正方形的中心， ∴， ∵∠1+∠2+ ∴∠1=∠2， ∵在△和△中， ∴△≌△， ∴阴影部分的面积= S正方形， 同理可得：另一阴影部分的面积=S正方形， ∵正方形的边长为cm， ∴阴影部分的面积=× 故选：．D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定，作出辅助线构造出全等三角形，然后求出阴影部分的面积等于正方形的面积的是解题的关键． 10. 如图，在长方形中，，，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点B匀速运动，点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点C匀速运动，点R从点C出发，以每秒a个单位长度的速度沿向点D运动，连接，．三点同时开始运动，当某一点运动到终点时，其它点也停止运动，若在某一时刻，与全等，则a的值为（ ） A. 2或4 B. 2或 C. 2或 D. 2或 【答案】D 【解析】 【分析】设t秒后，与全等，表示出相应边长，再分，两种情况，根据对应边相等列出方程，解之即可． 【详解】解：设t秒后，与全等， 由题意可得：，，，， ∵与全等，， ∴当时，，， ∴，， ∴，； 当时，，， ∴，， ∴，； ∴a的值为2或， 故选D． 【点睛】本题考查了全等三角形综合问题，解题的关键是注意分类讨论，利用对应边相等列方程求解． 二、填空题（本题8小题，共24分） 11. 在一个不透明的盒子中装有6个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球是白球的概率是，则黄球的个数为______． 【答案】3 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的应用，以及概率公式的应用．设黄球的个数为x个，然后根据概率公式列方程，解此分式方程即可求得答案． 【详解】解：设黄球的个数为x个， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， ∴黄球的个数为3个． 故答案为：3． 12. 如果关于x，y的二次三项式是一个完全平方式，那么常数m的值是_____________． 【答案】或 【解析】 【分析】通过比较给定二次三项式与完全平方公式的形式，确定常数的值即可． 【详解】解：是完全平方式， ∴， ∴， 解得：或． 13. 如图，在四边形中，连接，平分，添加一个条件后，能证明的是________． 【答案】（答案不唯一，填或亦可） 【解析】 【分析】根据角平分线的定义可得，结合图形中的公共边，根据全等三角形的判定定理、或添加相应的条件即可． 【详解】解：∵平分， ∴， 又∵在和中，， 若添加， ∴； 若添加， ∴； 若添加， ∴． 14. 如图，在中，是边上的高，是的平分线，，，求的度数______ ． 【答案】 【解析】 【分析】由三角形高的定义得，即得，得到，进而根据角平分线的定义得，最后根据三角形内角和定理解答即可求解． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 15. 如图，中，，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且．若周长为，，，_______cm． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和判定．先根据线段垂直平分线的性质和判定得，再根据的周长为，，求出，然后等量代换可得答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴． ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴． ∵的周长为，， ∴， ∴， 则， ∴， 即． 故答案为：． 16. 如图①是健身器材上肢牵引器，在自然状态下，两条拉绳自然下垂并保持平行，抽象成如图②所示的几何图形，已知，若，，则的度数为___________． 【答案】##140度 【解析】 【分析】过点P作，则，根据平行线的性质得，，进而即可求解． 【详解】解：如图，过点P作， ， ， ，， ，， ，， ． 17. 如图，四边形的面积是32，各边中点分别为与相交于点，图中阴影部分的总面积是____． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了三角形中线的性质，三角形的中线平分三角形的面积，掌握这一性质是解题的关键．连接，根据三角形的中线把三角形分成面积相同的两部分求解即可． 【详解】解∶连接， ∵各边中点分别为M，N，P，Q， ∴， ∴， ， ， ， ，得 ， ∴ ． 故答案为；16． 18. 如图，等腰三角形的底边长为6，面积是24，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则的最小值为 _______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，连接，根据“垂直平分线上的点到两端距离相等”，得出，则当点A、M、D在同一直线上时，，此时取最小值，根据“三线合一”得出，再根据三角形的面积公式得出，即可求解． 【详解】解：连接， ∵是的垂直平分线， ∴， 当点A、M、D在同一直线上时，，此时取最小值， ∵点D为边的中点，为等腰三角形， ∴， ∵长为6，面积是24， ∴， ∴的最小值为8， 故答案为：8． 三、解答题（本题10小题，共66分） 19. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）－1；（2）14 【解析】 【分析】（1）先分别计算乘方运算、负整数指数幂运算和零指数幂运算，再由有理数加法运算求解即可得到答案； （2）先由完全平方差公式、平方差公式展开，再合并同类项，最后计算多项式除以单项式即可得到化简结果，然后将，代入化简结果计算即可得到答案． 【详解】解：（1） ； （2） ， 当，时，原式． 【点睛】本题考查实数的混合运算、整式化简求值等，涉及乘方运算、负整数指数幂、零指数幂、完全平方差公式、平方差公式、整式加减运算、整式除法运算等知识．熟练掌握有理数混合运算、整式混合运算法则等知识是解决问题的关键． 20. 如图所示． （1）作出关于轴对称的图形； （2）在轴上确定一点，使得最小； （3）求出的面积． 【答案】（1） 故即为所求． （2） 点P即为所求． （3） 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可； （2）过轴作点的对称点，连接，与轴交于点，此时点即为所求； （3）利用割补法求三角形的面积即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 作法：1．关于轴的对称点分别为， 2．顺次连接， 【小问2详解】 解：如（1）中图，点P即为所求． 作法：1．作点关于轴的对称点， 2．连接交轴于点， 【小问3详解】 解： ∴的面积为． 【点睛】本题考查作图﹣轴对称变换、轴对称﹣最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 21. 如图，一个长方形中剪下两个大小相同的正方形（有关线段的长如图所示），留下一个“T”型的图形（阴影部分）． （1）用含x，y的代数式表示“T”型图形的面积并化简； （2）若，米，“T”型区域铺上价格为每平方米25元的草坪，请计算草坪的造价． 【答案】（1） （2）草坪的造价16875元 【解析】 【分析】（1）根据图形可用割补法进行求解； （2）由（1）及把代入进行求解面积，然后再根据草坪的造价 “T”型区域的面积单价，进而问题可解． 【小问1详解】 解：由题意得：“T”型图形的面积为； 【小问2详解】 解：当时， （平方米）， ∴造价为（元）． 【点睛】本题主要考查多项式乘多项式的几何应用，熟练掌握多项式乘多项式的几何应用是解题的关键． 22. 小明骑单车上学，当他骑了一段路时，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的某书店，买到书后继续去学校，以下是他本次上学所用的时间与路程的关系示意图根据图中提供的信息回答下列问题： （1）小明家到学校的路程是______，小明在书店停留了______； （2）本次上学途中，小明一共行驶了______，一共用了______； （3）我们认为骑单车的速度超过就超过了安全限度，在整个上学途中哪个时间段小明的速度最快？其速度在安全限度内吗？ 【答案】（1）1500，4 （2）2700，14 （3）时间段小明的速度最快，其速度不在安全限度内 【解析】 【分析】（1）根据函数图象解答即可； （2）根据函数图象解答即可； （3）分四部分：内、内、内、内，根据速度等于路程除以时间解答即可． 【小问1详解】 解：由函数图象可知，小明家到学校的路程是， 小明在书店停留了． 【小问2详解】 解： ， 所以本次上学途中，小明一共行驶了， 由函数图象可知，一共用了． 【小问3详解】 解：内：小明的速度为， 内：小明的速度为， 内：小明停留在书店买书，此时小明的速度为， 内：小明的速度为， ∵， ∴在整个上学途中，时间段小明的速度最快，其速度不在安全限度内． 23. 某商场文具卖场为了吸引顾客，推出了“购物转转盘”活动，该卖场设立了一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成20个扇形），并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色或绿色扇形区域（见扇形内的汉字注明），顾客就可以分别获得相应的奖品（如表）．小明和妈妈购买了125元的商品，获得一次转动转盘的机会，并参与了活动，请解答下列问题： 颜色 奖品 红色 笔袋 黄色 中性笔 绿色 橡皮 （1）小明获得中性笔的概率是多少？ （2）小明获得奖品的概率是多少？ （3）为了吸引更多顾客，商家决定将获得奖品的概率提高为，则需要在原转盘的基础上将空白扇形涂色，那么需要再将几个空白扇形涂上颜色？ 【答案】（1） （2） （3）5 【解析】 【分析】（1）用黄色区域数除以20即可得到答案； （2）用黄色，绿色，红色的区域数之和除以20即可得到答案； （3）用20乘以获奖概率得到染色的区域总数，再减去原本染色的区域总数即可得到答案． 【小问1详解】 解：， ∴小明获得中性笔的概率是； 【小问2详解】 解：， ∴小明获得奖品的概率是； 【小问3详解】 解：∵获得奖品的概率提高为， ∴涂色的区域一共有个， ∵， ∴需要再将5个空白扇形涂上颜色． 24. 按要求完成下列的证明： 已知：如图，于点，是上一点，． 求证：． 证明：∵（已知） ∴____________（依据：________________________） ∵（已知） ∴____________（依据：________________________） ∴（依据：________________________） 【答案】见解析 【解析】 【详解】证明：∵（已知） ∴（依据：垂直的定义） ∵（已知） ∴（依据：同角的余角相等） ∴（依据：内错角相等，两直线平行） 25. 如图，已知，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】首先由已知条件 ，可得 且 ，再结合题目给出的边长条件 ，再根据“角边角”可判定． 【详解】证明：， ，． 在和中， ． 26. 如图，在△ABC和△ADE中，AB=AD，∠B=∠D，∠1=∠2． 求证：BC=DE． 【答案】 证明：∵∠1=∠2， ∵∠DAC+∠1=∠2+∠DAC ∴∠BAC=∠DAE， 在△ABC和△ADE中， ， ∴△ADE≌△ABC（ASA） ∴BC=DE， 【解析】 【分析】根据ASA证明△ADE≌△ABC即可得到答案； 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等． 27. 如图，点，是线段的垂直平分线上两点，延长，交的延长线于点，连接，若点在线段上，且．求证：是的角平分线． 【答案】 证明：点是的垂直平分线上的点， ． ． ， ． ． 是的角平分线． 【解析】 【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质，等边对等角，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 首先由垂直平分线的性质得到，然后得到，然后结合平行线的性质求解即可． 【详解】略 28. 【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线” 等条件时，可以考虑做辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求 的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法” 【初步感知】 （1）如图1，在中 ，，，D是 的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到 点E，使 ，连 接．可以判定， 从而得到．这样就能把线段、、 集中在中，利用三角形三边的关系，即可求出中线的取值范围是______ (请直接写出答案) 【实践应用】 （2）为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图2所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，用测角仪测得此时，测得旗杆高度， 教学楼高度，求 的长 ． 【拓展探究】 ( 3 ) 如 图 3 ， 和 均为等腰直角三角形，连接，，点 F 是 的中点，连接并延长，与 相交于点G．试探究： 和 的数量关系和位置关系并说明理由． 【答案】（1）；（2）； （3），，理由如下： 如图，延长，使，连接， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）延长到点，使，根据定理证明，可得结论； （2）如图，延长交于点．证明，得出，，再进一步结合线段的垂直平分线的性质，即可证明结论． （3）如图，延长，使，连接，证明，可得，，，再证明，可得，，在进一步可得结论． 【详解】解：（1）如图，延长到点，使， ∵是的中点， ， ， ， ， 在中，， ， ； （2）如图，延长交于点， ∵的中点为D， ∴， ∵由题意可得：， 而， ∴， ∴，， ∵，， ∴，是的垂直平分线， ∴； （3）略 【点睛】本题考查的是三角形的三边关系的应用，全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的定义与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $