精品解析：黑龙江省齐齐哈尔龙沙区 2025-2026学年度下学期七年级期末数学试题

2025-2026学年度下学期初一期末测试数学试卷 （答题时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（每题3分共30分） 1. 下列各式正确的是（　　）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平方根、算术平方根与立方根的定义，根据定义计算各选项即可判断正误． 【详解】解：算术平方根的结果为非负数， ，选项A错误． ， 选项B错误． ， 选项C错误． ，根据立方根定义可得， 选项D正确． 2. 在实数，，，，，，，（相邻的两个1之间依次多一个0）中是无理数的有（ ）个． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的概念，立方根，理解无理数就是无限不循环小数是解答本题的关键．根据无理数的概念先确定无理数个数即可． 【详解】解：， 则在实数，，，，，，，（相邻的两个1之间依次多一个0）中是无理数的有，，，（相邻的两个1之间依次多一个0）共4个， 故选：C． 3. 某不等式的解集在数轴上表示如图所示，则这个不等式可以是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用数轴表示不等式的解集，以及求不等式的解集，解答本题的关键是熟练掌握不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“＞”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线． 先根据不等式的解集在数轴上表示法求出不等式的解集，然后逐项分析即可． 【详解】解：由数轴可知，不等式表示图中的解集， A．∵，∴，故不符合题意； B．∵ ，∴，故符合题意； C．∵，∴，故不符合题意； D．∵，∴，故不符合题意； 故选B． 4. 如图，有下列条件：，其中能判定的有（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．根据平行线的判定定理对各小题进行逐一判断即可． 【详解】解：①，，故正确； ②，，故错误； ③，，故正确； ④，，故正确． 综上所述：正确的有①③④．共3个． 故选：C． 5. 已知点与在同一条平行于x轴的直线上，且点N到y轴的距离等于4，那么点N的坐标为（　　） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等可得点N的纵坐标为，再分点N在y轴的左边和右边两种情况求出点N的横坐标，然后解答即可． 【详解】解：∵点与点在同一条平行于x轴的直线上， ∴点N的纵坐标为， ∵点N到y轴的距离为4， ∴点N的横坐标为4或， ∴点N的坐标为或； 故选：B． 【点睛】此题考查了平面直角坐标系中点的坐标规律，熟练掌握平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等是解题的关键． 6. 如果，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，绝对值的意义，熟知不等式的性质是解题的关键： 不等式的基本性质为：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，根据不等式的性质逐项判断即可得出答案． 【详解】取，，则， ，， ，故选项A不成立．   ，但未说明a的符号，故选项B不一定成立． 将不等式  两边同时乘以 得到，然后两边同时加 5，得．故选项C一定成立． 当， 时，，故选项D不一定成立． 故选：C． 7. 小明用62元钱购买甲、乙两种学习用品，甲种学习用品每个4元，乙种学习用品每个5元，62元钱恰好用完，则小明的购买方案有（　　） A. 2种 B. 3种 C. 4种 D. 5种 【答案】B 【解析】 【分析】根据总费用列出方程，结合购买数量为非负整数，找出所有符合条件的解． 【详解】设小明购买甲种学习用品个，购买乙种学习用品个，均为非负整数， 由题意得 ， 变形得 ， 为非负整数， 且 是的倍数， 可得 ， 又 和均为偶数， 为偶数， 是奇数， 必为偶数， 则的可能取值为， 逐个验证得： 时，，符合； 时，，符合； 时，，符合； 共有种购买方案． 8. 如图，把一张长方形纸条沿着（在上，在上）向上方翻折，点落在点处，点落在边上点处，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平行线的性质解答即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 又由题意可知，， ∴． 9. 用2个相同的正方形个相同的长方形和1个正方形无缝拼接成如图所示的大长方形，若该大长方形的长为26，宽为14，则一个长方形的周长为（ ） A. 30 B. 32 C. 36 D. 40 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的几何应用． 设大正方形的边长为，小正方形的边长为，然后根据图2找出等量关系列方程组求解即可． 【详解】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为， 由题意，得， 解得， ∴小长方形的长为，宽为， 故小长方形的周长为． 故选D． 10. 如果关于x的不等式组有且只有4个整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先分别解两个不等式得到不等式组的解集，再根据不等式组有且只有4个整数解，确定含的式子的取值范围，进而求解的范围． 【详解】解：解不等式， 两边同乘得， 移项整理得． 解不等式， 移项得， 系数化为得． ∴不等式组的解集为． ∵不等式组有且只有个整数解， ∴个整数解为， 可得， 不等式三边同乘得， 移项得． 故选：A． 二．填空题（每题3分共30分） 11. 神舟二十二号飞船于北京时间2025年11月25日12时11分在酒泉卫星发射中心发射，二十二号载人航天飞船在发射前，需调查其零部件的质量，则采用最合适的调查方式为______．（填“普查”或“抽样调查”） 【答案】普查 【解析】 【分析】本题考查调查方式的选择，需根据调查的重要性与要求，结合普查和抽样调查的适用场景进行判断． 【详解】解：根据题意，飞船零部件质量直接关系发射安全，必须保证每个零部件都合格，因此需要对所有零部件进行检查，最合适的调查方式为普查． 12. 在平面直角坐标系中，点在轴上，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用点在 x轴上的坐标特征，得到纵坐标为0，求出m的值，代入横坐标，即可求出点坐标． 【详解】解：点在x轴上， ，解得． P点横坐标为． 故点P坐标为． 13. 如图，直线，交于点，平分，，若，则的度数为_________． 【答案】 ##25度 【解析】 【分析】首先根据垂直的定义得出，结合已知比例关系求出的度数，再利用对顶角相等得出的度数，最后根据角平分线的定义计算的度数． 【详解】解：，  ， ，且，  ，  直线，交于点，  ， 平分，  ． 14. 已知关于x，y的方程组和的解相同，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】先推导出，解得，继而推导出，解得，则，即可解答． 【详解】解：∵关于x，y的方程组和的解相同， ∴联立，解得， 将代入，得 ， 解得， ∴． 15. 导火线的燃烧速度为，爆破员点燃后跑开的速度为，为了点火后能够跑到150m外的安全地带，导火线的长度至少是___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次不等式的应用，设导火线应有x厘米长，根据题意可得跑开时间要小于等于爆炸的时间，由此可列出不等式，然后求解即可． 【详解】解：设导火线应有厘米长， 根据题意， 解得：． 故导火线至少应有24厘米． 故答案为：． 16. 我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为2，4，4，其面积介于整数和之间，那么的值是______ 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根以及算术平方根的估算，首先计算三角形的面积为，在估算的范围，可得，从而可得答案． 【详解】解：由题意得，， ， ，介于整数和之间， ， 故答案为：3． 17. 某商店将巧克力包装成甲、乙两种礼盒出售．晓雨原先想购买2盒甲种礼盒和5盒乙种礼盒，但他身上的钱还差3元；如果改成购买5盒甲种礼盒和2盒乙种礼盒，他身上的钱会剩下3元．每盒乙种礼盒比甲种礼盒贵________元． 【答案】 【解析】 【分析】解题思路为设出甲、乙礼盒的单价和晓雨身上的总钱数，根据两种购买方案的钱数关系列出方程组，消去总钱数后即可得到乙比甲贵的钱数． 【详解】解：设每盒甲种礼盒的价格为元，每盒乙种礼盒的价格为元，晓雨身上共有元钱 根据题意得  用第一个方程减去第二个方程，得  整理得  两边同时除以，得  即每盒乙种礼盒比甲种礼盒贵元． 18. 在三角形中，，，沿方向向右平移至，若四边形的周长是，．则平移距离是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平移的性质可得对应线段相等，即，，，设平移距离为，则，用含的代数式表示出的长，再根据四边形的周长列出方程求解即可． 【详解】解：设平移距离为，则． 由平移的性质可知，， ∵在同一直线上，且， ∴， ∵四边形的周长是， ∴， 即， 解得， ∴平移距离是． 19. 如图，直线上有两点、，分别引两条射线、，与在直线异侧．若，，射线，分别绕点，点以度/秒和度/秒的速度，同时开始顺时针在同一平面内转动，设时间为秒，在射线转动一周的时间内，请问当与平行时，的值为________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意可得在射线转动一周的时间内，始终在直线的上方，然后分三种情况：当在直线的下方时；当在直线的上方时；当再次在直线的下方时，即可求解． 【详解】解：∵， ∴射线转动一周所用时间为秒， ∵， ∴在射线转动一周的时间内，始终在直线的上方， 当在直线的下方时，此时，即， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，解得； 当在直线的上方时，此时，即， 此时，， ∵， ∴， ∴，解得； 当再次在直线的下方时，此时， ∵未旋转时， ∴， ∴此时，则与不平行，不符合题意； 综上所述，当与平行时，的值为或． 20. 在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点出发，按向右、向上、向右、向下的方向依次不断移动，每次移动，其行走路线如图所示，第1次移动到点，第2次移动到点……第次移动到点，则的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】先找出点的坐标变化规律，按照变化规律求出点的坐标，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：，，，，，，，， ，，，，（，1，2，…）， ， ，即， ， （）． 三、解答题（共60分） 21. 计算及解方程组 （1）计算：． （2）解方程组：． （3）解不等式组，并求出其所有整数解的和． 【答案】（1） （2） （3）；整数解的和为 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：原方程组可化为  用第二个方程减去第一个方程，得   解得  把代入，得   解得  因此原方程组的解为； 【小问3详解】 解：  解不等式，得   解不等式，得   因此不等式组的解集为 ∴整数解为 ∴整数解的和为． 22. 如图，三角形的三个顶点坐标分别是，，，将三角形先向下平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度后，得到三角形（点，，的对应点分别为，，）． （1）在图中画出三角形； （2）若点在轴上运动，当线段长度最小时，点的坐标是________； （3）若平移后的三角形内部有任意一点，则平移前对应点的坐标为________； （4）在平移过程中，线段扫过的图形的面积为________． 【答案】（1）如图所示，三角形即为所求； （2） （3） （4）18 【解析】 【分析】（1）根据平移变换的性质找出对应点即可求解； （2）由当轴时，线段长度最小，即可得出点P的坐标； （3）直接根据点的平移规律解答即可； （4）由图可知，线段扫过的图形的面积为平行四边形的面积，即为面积的2倍求解即可． 【小问1详解】 解：略 【小问2详解】 解：当轴时，线段长度最小，此时； 【小问3详解】 解：∵将三角形先向下平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度后，得到三角形， ∴三角形内部有任意一点向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，即可得到平移前对应点的坐标， ∴平移前对应点的坐标为； 【小问4详解】 解：在平移过程中，线段扫过的图形的面积为：． 23. 我市某学校为落实立德树人根本任务，构建“五育并举”教育体系，开设了“厨艺、园艺、电工、木工、编织”五大类劳动课程．为了解七年级学生对每类课程的选择情况，随机抽取了七年级若干名学生进行调查（每人必选且只选一类最喜欢的课程），将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图： 请根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）本次随机调查的学生人数为___________人； （2）请在答题卡上直接补全条形统计图； （3）扇形统计图中的值为___________，木工所在的扇形圆心角大小是___________； （4）若该校七年级共有1000名学生，请估计该校七年级学生选择“编织”劳动课程的人数． 【答案】（1）60；（2）见解析；（3）25，36°；（4）估计该校七年级学生选择“编织”劳动课程的有200人． 【解析】 【分析】（1）从两个统计图中可得，选择“园艺”的有18人，占调查人数的30%，可求出调查人数； （2）求出选择“电工”的人数，即可补全条形统计图； （3）样本中，选择“厨艺”的人数除以调查人数可得选择“厨艺”的人数的百分比，即可得m的值，求出选择“木工”的人数的百分比乘以360°即可得木工所在的扇形圆心角的度数． （4）样本中，选择“编织”的占，因此估计总体1000人的是选择“编织”的人数． 【详解】解：（1）本次随机调查的学生人数为：18÷30%=60（人）， 故答案为：60； （2）选择电工的有：60-15-18-6-12=9（人）， 补全的条形统计图如图所示； （3）选择“厨艺”的人数的百分比为：×100%=25%， ∴m=25， 木工所在的扇形圆心角为：360°×=36°， 故答案为：25，36°； （4）1000×=200（人）， 即估计该校七年级学生选择“编织”劳动课程的有200人． 【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 24. 为了更好治理河流水质，保护环境，某市治污公司决定购买10台污水处理设备，现有，两种型号的设备，其中每台的价格，月处理污水量如表： 型 型 价格（万元/台） a b 处理污水量（吨/月） 220 180 经调查：购买一台型设备比购买一台型设备多3万元，购买2台型设备比购买3台型设备少3万元． （1）求a，b的值； （2）经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过100万元，且每月要求处理的污水量不低于1880吨，你认为该公司有哪几种购买方案，并计算最省钱方案的费用． 【答案】（1）， （2）共有2种购买方案，分别为购买型设备台，则购买型设备台；购买型设备台，则购买型设备台；最省钱的购买方案是购买型设备台，则购买型设备台 【解析】 【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设购买型设备台，则购买型设备台，列出一元一次不等式组，求出的取值范围，根据实际情况，共有两种购买方案，分别计算即可． 【小问1详解】 根据题意可得方程组， 解得：． 【小问2详解】 设购买型设备台，则购买型设备台， 根据题意得：， 解得：， 为整数， 可以取或， 共有两种购买方案： 方案一：购买型设备台，则购买型设备台， 费用为：（万元）； 方案二：购买型设备台，则购买型设备台， 费用为：（万元）； ， 购买型设备台，则购买型设备台最省钱． 25. 如图，，一块三角板的顶点在直线上，、分别交于点、．已知，，． （1）如图1，，求的度数； （2）如图2，在（1）的条件下，当和的角平分线交于点时，求的度数． （3）如图3，点在的角平分线上，连接，使，且，此时的度数为________． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）过点B作，可得，从而得到，即可求解； （2）设交于点M，根据角平分线的定义可得，再由，可得，即可求解； （3）设交于点M，由（1）得：，设，则，，再由角平分线的定义以及，可得，， 根据，可得，从而得到，再由三角形内角和定理可得，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点B作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； 【小问2详解】 解：如图，设交于点M， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵和的角平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，设交于点M， 由（1）得：， 设，则， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：， 即． 26. 如图1，在平面直角坐标系中，点，，动点在直线L上运动（直线L上所有点的横坐标与纵坐标相等）． （1）如图2，当点C在第一象限时，依次连接三点，交y轴于点D，连接： ①试求出（用含m的式子表示）； ②当，求出点C的坐标； （2）如图3，当点C与两点在同一条直线上时，求出C点的坐标； （3）当，求m的取值范围． 【答案】（1）①；② （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）①；②由即可求解； （2）利用即可求解； （3）分类讨论C在第一象限、第三象限即可求解． 【小问1详解】 解：①， ②当时，， ，解得， . 【小问2详解】 解：连接，如图所示： ， ， . 【小问3详解】 解：，且 则：①C在第一象限 ， ， ， ②C在第三象限 ， ， 综上所述：或. 【点睛】本题考查坐标与图形．利用“割补法”表示三角形面积是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度下学期初一期末测试数学试卷 （答题时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（每题3分共30分） 1. 下列各式正确的是（　　）． A. B. C. D. 2. 在实数，，，，，，，（相邻的两个1之间依次多一个0）中是无理数的有（ ）个． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 3. 某不等式的解集在数轴上表示如图所示，则这个不等式可以是 （ ） A. B. C. D. 4. 如图，有下列条件：，其中能判定的有（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 已知点与在同一条平行于x轴的直线上，且点N到y轴的距离等于4，那么点N的坐标为（　　） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 6. 如果，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 小明用62元钱购买甲、乙两种学习用品，甲种学习用品每个4元，乙种学习用品每个5元，62元钱恰好用完，则小明的购买方案有（　　） A. 2种 B. 3种 C. 4种 D. 5种 8. 如图，把一张长方形纸条沿着（在上，在上）向上方翻折，点落在点处，点落在边上点处，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 用2个相同的正方形个相同的长方形和1个正方形无缝拼接成如图所示的大长方形，若该大长方形的长为26，宽为14，则一个长方形的周长为（ ） A. 30 B. 32 C. 36 D. 40 10. 如果关于x的不等式组有且只有4个整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（每题3分共30分） 11. 神舟二十二号飞船于北京时间2025年11月25日12时11分在酒泉卫星发射中心发射，二十二号载人航天飞船在发射前，需调查其零部件的质量，则采用最合适的调查方式为______．（填“普查”或“抽样调查”） 12. 在平面直角坐标系中，点在轴上，则点的坐标为______． 13. 如图，直线，交于点，平分，，若，则的度数为_________． 14. 已知关于x，y的方程组和的解相同，则的值是______． 15. 导火线的燃烧速度为，爆破员点燃后跑开的速度为，为了点火后能够跑到150m外的安全地带，导火线的长度至少是___________ 16. 我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为2，4，4，其面积介于整数和之间，那么的值是______ 17. 某商店将巧克力包装成甲、乙两种礼盒出售．晓雨原先想购买2盒甲种礼盒和5盒乙种礼盒，但他身上的钱还差3元；如果改成购买5盒甲种礼盒和2盒乙种礼盒，他身上的钱会剩下3元．每盒乙种礼盒比甲种礼盒贵________元． 18. 在三角形中，，，沿方向向右平移至，若四边形的周长是，．则平移距离是________． 19. 如图，直线上有两点、，分别引两条射线、，与在直线异侧．若，，射线，分别绕点，点以度/秒和度/秒的速度，同时开始顺时针在同一平面内转动，设时间为秒，在射线转动一周的时间内，请问当与平行时，的值为________． 20. 在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点出发，按向右、向上、向右、向下的方向依次不断移动，每次移动，其行走路线如图所示，第1次移动到点，第2次移动到点……第次移动到点，则的面积是________． 三、解答题（共60分） 21. 计算及解方程组 （1）计算：． （2）解方程组：． （3）解不等式组，并求出其所有整数解的和． 22. 如图，三角形的三个顶点坐标分别是，，，将三角形先向下平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度后，得到三角形（点，，的对应点分别为，，）． （1）在图中画出三角形； （2）若点在轴上运动，当线段长度最小时，点的坐标是________； （3）若平移后的三角形内部有任意一点，则平移前对应点的坐标为________； （4）在平移过程中，线段扫过的图形的面积为________． 23. 我市某学校为落实立德树人根本任务，构建“五育并举”教育体系，开设了“厨艺、园艺、电工、木工、编织”五大类劳动课程．为了解七年级学生对每类课程的选择情况，随机抽取了七年级若干名学生进行调查（每人必选且只选一类最喜欢的课程），将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图： 请根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）本次随机调查的学生人数为___________人； （2）请在答题卡上直接补全条形统计图； （3）扇形统计图中的值为___________，木工所在的扇形圆心角大小是___________； （4）若该校七年级共有1000名学生，请估计该校七年级学生选择“编织”劳动课程的人数． 24. 为了更好治理河流水质，保护环境，某市治污公司决定购买10台污水处理设备，现有，两种型号的设备，其中每台的价格，月处理污水量如表： 型 型 价格（万元/台） a b 处理污水量（吨/月） 220 180 经调查：购买一台型设备比购买一台型设备多3万元，购买2台型设备比购买3台型设备少3万元． （1）求a，b的值； （2）经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过100万元，且每月要求处理的污水量不低于1880吨，你认为该公司有哪几种购买方案，并计算最省钱方案的费用． 25. 如图，，一块三角板的顶点在直线上，、分别交于点、．已知，，． （1）如图1，，求的度数； （2）如图2，在（1）的条件下，当和的角平分线交于点时，求的度数． （3）如图3，点在的角平分线上，连接，使，且，此时的度数为________． 26. 如图1，在平面直角坐标系中，点，，动点在直线L上运动（直线L上所有点的横坐标与纵坐标相等）． （1）如图2，当点C在第一象限时，依次连接三点，交y轴于点D，连接： ①试求出（用含m的式子表示）； ②当，求出点C的坐标； （2）如图3，当点C与两点在同一条直线上时，求出C点的坐标； （3）当，求m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $