专题2.3 函数的奇偶性、对称性、周期性 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦函数的奇偶性、对称性、周期性三大核心考点，按照定义判断、性质应用、综合拓展的逻辑层次梳理知识，构建“知识梳理-题型突破-真题训练”的复习体系，通过6大题型分类讲解，结合例题解析与跟踪训练，帮助学生突破奇偶性判断、参数求解、周期性应用等难点。 资料以高考真题为载体，注重数学思维的培养，如在函数对称性与周期性综合题中，引导学生通过抽象函数关系推导周期，发展逻辑推理能力。设置基础巩固、能力提升、综合应用分层练习，配合课后作业强化训练，确保学生高效掌握解题方法，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供实用指导。

专题2.3函数的奇偶性、对称性、周期性 知识梳理（阅读教材 人教A版必修1 P80-P86） 函数的奇偶性及应用 1．函数奇偶性的判断 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立. 2．函数奇偶性的应用 (1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值. (2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题. 3．常见奇偶性函数模型 (1)奇函数： ①函数或函数． ②函数． ③函数或函数 ④函数或函数． (2)偶函数：①函数．②函数． ③函数类型的一切函数．④常数函数. 函数的周期性与对称性应用 规律与方法 1.函数周期性的常用结论及应用（是不为0的常数） （1）若，则； （2）若，则； （3）若，则； （4）若，则； （5）若，则； （6）若，则（） 2.轴对称①若，则的对称轴为 ②若，则的对称轴为 3.点对称 ①若，则的对称中心为 ②若，则的对称中心为 4. 对称与周期： ①若，，其中，则的周期为： ②若，，其中，则的周期为： ③若，，其中，则的周期为： 【题型1 函数的奇偶性的判断与证明】 【例1】（2026·北京海淀·三模）以下函数既是偶函数又在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练 1.（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（   ） A． B． C． D． 2.（2025·西藏·模拟预测）若函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 3.（2025·浙江绍兴·三模）已知函数满足：对任意实数，，都有成立，且，则（    ） A．为奇函数 B．为奇函数 C．为偶函数 D．为偶函数 【题型2 根据函数的奇偶性求参数】 【例2】（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知函数为偶函数，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 跟踪训练 1.（25-26高三上·江苏盐城·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（   ） A．1 B．3 C． D． 2.（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知函数为奇函数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3.（2025·江西景德镇·三模）函数为偶函数的充要条件是（    ） A． B． C． D． 4.（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数是奇函数，则（     ） A． B．1 C． D．2 【题型3 已知函数的奇偶性求解析式、求值】 【例3】（2026·江西萍乡·一模）设和分别为上的偶函数和奇函数，若，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练 1.（2026·湖南株洲·一模）已知是奇函数，是偶函数，其定义域均为，且，则（ ） A．0 B．2 C． D．1 2.（2025·广东·模拟预测）已知是定义域为R的奇函数，当时，，则当时，的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3.（2022·全国·模拟预测）若的最大值和最小值分别为，，则（ ） A．0 B．1 C．2 D．4 【题型4 函数的周期性及其应用】 【例4】（2025·全国一卷·高考真题）设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 跟踪训练 1．（2024·内蒙古赤峰·一模）已知是定义在R上的偶函数，且周期.若当时，，则（ ） A．4 B．16 C． D． 2.（2025·四川攀枝花·模拟预测）已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则（    ） A． B． C．2 D．1 【题型5 函数的对称性及其应用】 【例5】（多选 2025·云南昭通·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，且对任意，有，当时，，则（    ） A．是以为周期的周期函数 B．点是函数的一个对称中心 C． D．函数有个零点 跟踪训练 1.（2026·山东日照·模拟预测）设为定义在上的奇函数，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 2.（25-26高三上·浙江·阶段检测）设定义在上的奇函数的导函数为，且对任意的，，，则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．2026 3.（2026·江苏南通·模拟预测）已知函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2. 4.（2026·河南周口·模拟预测）若定义在上的函数满足，是奇函数，，则（    ） A． B． C．1 D．9 5.（2026·河北雄安·三模）函数的图象的对称中心为________． 6.（多选 2025·福建福州·一模）已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（    ） A．的图象关于点对称 B．是以8为周期的周期函数 C． D． 【题型6 类周期函数】 【例6】（2024·云南昆明·二模）定义“函数是上的级类周期函数” 如下: 函数，对于给定的非零常数 ，总存在非零常数，使得定义域内的任意实数都有恒成立，此时为的周期. 若是上的级类周期函数，且，当时，,且是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练 1.（24-25高一上·浙江台州·期中）设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2. 设函数的定义域为R，且，当时，，若对于，都有恒成立，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 课后作业： 1. 下列函数中是偶函数的是（     ） A． B． C． D． 2．已知为奇函数，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 3.（25-26高二下·浙江·期中）已知是定义在上且周期为的偶函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 4.（25-26高三上·河南南阳·期末）已知函数是定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则 （    ） A． B． C． D． 5.（2025·吉林·模拟预测）已知定义域为R的奇函数满足，则（   ） A． B． C．的最小正周期为2 D．是曲线的一条对称轴 6.已知函数是定义在上的奇函数，且满足．若，则（   ） A．0 B．2025 C．2024 D．2 7.（2025·天津和平·三模）定义域为的函数满足，当时，，若时，，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8.（2026·西藏日喀则·模拟预测）若曲线关于直线对称，则（    ） A． B．2 C．0 D．1 9．（多选 2026·湖南株洲·模拟预测）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 10（多选 2026·湖南长沙·三模）已知函数及其导函数的定义域均为，若，函数和均为偶函数，则（    ） A． B． C．函数的图象关于点对称 D． 11．（多选 25-26高二下·湖南长沙·期中）已知函数，定义域均为，为偶函数，为奇函数，且，则（   ） A． B．函数图象关于点对称 C． D．当时， 12.（25-26高二下·黑龙江·期末）若奇函数的定义域为，当时，，则当时，_______． 13.（2026·湖南长沙·三模）若定义在 上的函数为奇函数，则__ 14.（2026·河南郑州·模拟预测）函数的图象关于点对称，且，则______． 15.（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）函数是定义在上的奇函数，且． (1)求的解析式，并用函数单调性的定义证明在区间上为增函数； (2)解不等式． 16.（25-26高二下·河北·期末）已知函数是定义在上的偶函数，其中、且． (1)求函数的解析式及值域； (2)若，实数满足，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3函数的奇偶性、对称性、周期性 知识梳理（阅读教材 人教A版必修1 P80-P86） 函数的奇偶性及应用 1．函数奇偶性的判断 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立. 2．函数奇偶性的应用 (1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值. (2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题. 3．常见奇偶性函数模型 (1)奇函数： ①函数或函数． ②函数． ③函数或函数 ④函数或函数． (2)偶函数：①函数．②函数． ③函数类型的一切函数．④常数函数. 函数的周期性与对称性应用 规律与方法 1.函数周期性的常用结论及应用（是不为0的常数） （1）若，则； （2）若，则； （3）若，则； （4）若，则； （5）若，则； （6）若，则（） 2.轴对称①若，则的对称轴为 ②若，则的对称轴为 3.点对称 ①若，则的对称中心为 ②若，则的对称中心为 4. 对称与周期： ①若，，其中，则的周期为： ②若，，其中，则的周期为： ③若，，其中，则的周期为： 【题型1 函数的奇偶性的判断与证明】 【例1】（2026·北京海淀·三模）以下函数既是偶函数又在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.82 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性、用导数判断或证明已知函数的单调性 【详解】选项A：，定义域为， 因为在单调递减，在单调递增，且是周期函数，在单调递增，在单调递减， 所以在上不能满足单调递增，所以A错误； 选项B：，定义域为，，是奇函数，所以B错误； 选项C：，定义域为，不关于原点对称，为非奇非偶函数，所以C错误； 选项D：，定义域为，，是偶函数； 又， 且当时，，所以， 所以在上单调递增，所以D正确. 跟踪训练 1.（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可. 【详解】对A，设，函数定义域为，但，，则，故A错误； 对B，设，函数定义域为， 且，则为偶函数，故B正确； 对C，设，， ，则不是偶函数，故C错误； 对D，设，函数定义域为， 因为，且不恒为0， 则不是偶函数，故D错误. 故选：B. 2.（2025·西藏·模拟预测）若函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】变形得到，从而得到为奇函数，其他选项不合要求. 【解答过程】因为， 所以， 由于定义域为， 又， 故为奇函数，故为奇函数， 其他选项均不合要求. 故选：C． 3.（2025·浙江绍兴·三模）已知函数满足：对任意实数，，都有成立，且，则（    ） A．为奇函数 B．为奇函数 C．为偶函数 D．为偶函数 【答案】D 【解题思路】由题意令，可得，令，可得，可得关于对称，据此逐项判断可得结论. 【解答过程】令，则，，所以， 令，则， 即，又， 所以关于对称， 所以关于对称，故A不正确； 关于对称，故B不正确； 由A可知关于对称，故C不正确； 由A可知关于对称，故为奇函数， 所以为偶函数，故D正确. 故选：D. 【题型2 根据函数的奇偶性求参数】 【例2】（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知函数为偶函数，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【解题思路】由题意可得为偶函数，则恒成立，从而可求出的值. 【解答过程】因为为偶函数，为偶函数， 所以为偶函数， 所以恒成立， 所以恒成立，所以. 故选：A. 跟踪训练 1.（25-26高三上·江苏盐城·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（   ） A．1 B．3 C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】函数奇偶性的应用、求函数值、由奇偶性求函数解析式 【分析】由题意求出，再由函数的奇偶性代值计算即得. 【详解】因函数是定义在上的奇函数，当时， 则，解得，则当时，， 故. 故选：C. 2.（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知函数为奇函数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】根据奇函数的性质求解即可． 【详解】由奇函数的定义域为，得，解得． 当时，0，则， 又时，，所以，所以 3.（2025·江西景德镇·三模）函数为偶函数的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由为偶函数，得到对任意的恒成立，求得，利用函数的奇偶性的定义进行验证，即可求解. 【解答过程】若为偶函数，则对任意的恒成立， 即， 所以对任意的恒成立，故； 若，则， 所以，故为偶函数， 所以为偶函数的充要条件为. 故选：B． 4.（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数是奇函数，则（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求对数函数的定义域、由奇偶性求参数 【分析】根据奇函数定义域关于原点对称求解，再利用奇函数的性质求解，最终计算. 【详解】 函数有意义需满足且，即， 由于是奇函数，定义域关于原点对称，因此也不在定义域内， 代入分子得，解得， 求参数： 将代入得： ， 由于在定义域内，奇函数满足，代入得： ，解得， 此时函数，， 则 ， 即，则是奇函数，满足题意， 故 . 【题型3 已知函数的奇偶性求解析式、求值】 【例3】（2026·江西萍乡·一模）设和分别为上的偶函数和奇函数，若，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】由指数函数的单调性解不等式、由奇偶性求函数解析式 【分析】先利用奇偶函数的性质，结合已知条件求出和的表达式，再代入不等式化简求解. 【详解】因为是偶函数，是奇函数，且对任意，有：， 所以，即， 解得：， 代入不等式：. 化简可得，即，即， 解得：. 所以不等式的解集为. 故选：D 跟踪训练 1.（2026·湖南株洲·一模）已知是奇函数，是偶函数，其定义域均为，且，则（ ） A．0 B．2 C． D．1 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的应用、求函数值、由奇偶性求函数解析式 【分析】利用奇偶性，结合恒等式可求解，从而可求出结果. 【详解】因为定义域均为且， 所以可得， 又因为是奇函数，是偶函数，所以 即上式可化简为， 再与相加可得， 代入可得， 所以即. 故选：A. 2.（2025·广东·模拟预测）已知是定义域为R的奇函数，当时，，则当时，的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、由奇偶性求函数解析式 【分析】由奇函数性质求出当时，，再由基本不等式求解． 【详解】当时，得， 由函数是定义域为R的奇函数， 得， 即当时，，等号成立时，， 则当时，的最小值为1， 故选：A 3.（2022·全国·模拟预测）若的最大值和最小值分别为，，则（ ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】D 【解析】设，函数定义域为，则，即为奇函数， 其图象关于原点对称，则的最大值与最小值之和为0，，故.故选：D. 【题型4 函数的周期性及其应用】 【例4】（2025·全国一卷·高考真题）设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为的范围中求解. 【解答过程】由题知对一切成立， 于是. 故选：A. 跟踪训练 1．（2024·内蒙古赤峰·一模）已知是定义在R上的偶函数，且周期.若当时，，则（ ） A．4 B．16 C． D． 【答案】B 【解析】因为.故选：B. 2.（2025·四川攀枝花·模拟预测）已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】奇偶函数对称性的应用、函数周期性的应用、对数的运算 【分析】根据已知确定在时，函数具有周期性，然后结合偶函数定义可把转化到已知解析式的区间上求解即可． 【详解】，都有， 即当时，函数具有周期性，且周期为4， 又是偶函数，. 故选：D. 【题型5 函数的对称性及其应用】 【例5】（多选 2025·云南昭通·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，且对任意，有，当时，，则（    ） A．是以为周期的周期函数 B．点是函数的一个对称中心 C． D．函数有个零点 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】判断证明抽象函数的周期性、奇偶函数对称性的应用、由函数的周期性求函数值、求函数零点或方程根的个数 【分析】A：根据奇偶性和对称性可判断出周期性；B：根据关于点中心对称以及关于直线对称，可作出判断；C：利用周期性可得，由此可计算出结果；D：在同一坐标系中作出的图象，根据图象可判断出结果. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以， 又因为，所以函数关于直线对称； 所以， 所以， 所以函数是周期为的周期函数，所以A选项错误； 由于函数是奇函数，关于点中心对称，且函数关于直线对称， 因此点是函数的一个对称中心，所以B选项正确； 由于函数是周期为的周期函数，且时，， 那么，因此，所以C选项正确； 作出函数与函数的图象如图所示， 根据图象可知，两个图象有个交点，因此函数有个零点，所以D选项正确， 故选：BCD． 跟踪训练 1.（2026·山东日照·模拟预测）设为定义在上的奇函数，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用、由函数的周期性求函数值 【分析】先根据奇函数性质和已知条件推出函数的周期，再利用周期性和奇函数性质求出的值，最后求出的值. 【详解】因为为定义在上的奇函数，所以，且， 又，即，则关于对称， 所以，所以，则， 所以，即的周期为， 所以， 所以. 2.（25-26高三上·浙江·阶段检测）设定义在上的奇函数的导函数为，且对任意的，，，则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．2026 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】奇偶函数对称性的应用、由函数对称性求函数值或参数、由函数的周期性求函数值 【分析】令，得到，所以，当时，求得，进而推得的周期为的周期函数，得到，再由为奇函数，求得，得到，即可求解． 【详解】令，可得， 因为，所以，所以， 当时，可得，因此， 故，所以，即的一个周期为， 因此， 又因为为奇函数，可得， 所以的图象关于直线轴对称，所以． 故选：C． 3.（2026·江苏南通·模拟预测）已知函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】判断证明抽象函数的周期性、函数奇偶性的应用、由函数的周期性求函数值 【分析】根据给定条件，利用奇偶函数的定义及周期函数的定义确定函数的周期，进而求出指定函数值. 【详解】函数的定义域为，由是偶函数，得， 即，则， 由是奇函数，得，因此， 则，因此， 函数是一个周期为4的函数，且， 所以. 4.（2026·河南周口·模拟预测）若定义在上的函数满足，是奇函数，，则（    ） A． B． C．1 D．9 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用、由函数的周期性求函数值 【分析】根据条件结合赋值法计算可得，即可得该函数周期，再利用，则可计算出的值，即可得解. 【详解】因为是奇函数，所以. 由，令，得，故， 由，令，得， 所以，即， 所以，故以4为周期， 由，则，， ，， ，， ，， 所以 . 5.（2026·河北雄安·三模）函数的图象的对称中心为________． 【答案】 【难度】0.75 【知识点】函数对称性的应用、由函数对称性求函数值或参数 【分析】设其对称中心为，则有恒成立，解出即可得. 【详解】设函数的图象的对称中心为， 则有， 即， 整理得， 则有，解得， 故函数的图象的对称中心为. 6.（2025·福建福州·一模）已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（    ） A．的图象关于点对称 B．是以8为周期的周期函数 C． D． 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】函数基本性质的综合应用、函数奇偶性的应用、函数的周期性的定义与求解、判断或证明函数的对称性 【分析】根据函数奇偶性以及表达式，可得，则的图象关于点对称，故A错误；化简可得，故B正确；又，可得，故C正确；利用赋值法可求得，故D错误. 【详解】对于A，由题意，，且， 又，即①， 用替换中的，得②， 由①+②得，所以的图象关于点对称，故A错误； 对于B，由，可得，即， 所以， 所以是以8为周期的周期函数，故B正确； 对于C，由①可得，则， 所以，故C正确； 对于D，因为，为偶函数，所以， 令，则有， 令，则有， 令，则有， ， 令，则有， 所以 ，故D错误. 故选：BC. 【题型6 类周期函数】 【例6】（2024·云南昆明·二模）定义“函数是上的级类周期函数” 如下: 函数，对于给定的非零常数 ，总存在非零常数，使得定义域内的任意实数都有恒成立，此时为的周期. 若是上的级类周期函数，且，当时，,且是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题可得，，然后利用函数的单调性即得. 【解答过程】∵时,， ∴当时,； 当时,， 即时,， ∵在上单调递增， ∴且，解得，∴实数的取值范围是.故选：C. 跟踪训练 1.（24-25高一上·浙江台州·期中）设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据给定条件分段求解析式及对应函数值集合，再利用数形结合即得. 【解答过程】因为函数的定义域为，满足， 且当时，， 当，时，， 则， 当，时，， 则， 当，时，， 则， 作出函数的大致图象， 对任意，都有，设的最大值为， 则，所以，解得或， 结合图象知m的最大值为，即的取值范围是. 故选：C. 2. 设函数的定义域为R，且，当时，，若对于，都有恒成立，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由和当时可以逐次推出，，上的解析式，根据每个区间上的函数最小值的规律，应求时，函数值等于时的自变量的值，得到满足的的范围，即得t的取值范围. 【解答过程】当时，，；因，即x每增大4，对应的纵坐标都变原来的2倍. 当时，，故，则， ； 当时，，故，则， ； 当时，，故，则，. 如图，依题意令，解得或，由图知当时，恒成立，即须使，故得： ． 故选：A. 课后作业： 1. 下列函数中是偶函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.92 【知识点】函数奇偶性的定义与判断 【分析】根据偶函数的定义逐项判断. 【详解】对于A：的定义域为，不关于原点对称，故是非奇非偶函数，A错误； 对于B：的定义域为，，故不是偶函数，B错误； 对于C：的定义域为，，故是偶函数，C正确； 对于D：的定义域为，，故是奇函数，D错误. 2．已知为奇函数，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.88 【知识点】函数奇偶性的应用、求函数值、由奇偶性求函数解析式 【详解】∵ 当时，，∴ . ∵ 是奇函数，满足，∴ . 3.（25-26高二下·浙江·期中）已知是定义在上且周期为的偶函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、对数的运算 【详解】∵ 是定义在上且周期为的函数，∴ . ∵ 是偶函数，∴ . ∵ 当时，，∴ ，即. 4.（25-26高三上·河南南阳·期末）已知函数是定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】对数的运算、由奇偶性求函数解析式、由函数的周期性求函数值 【分析】由题意知得出函数周期，由奇函数的性质得出时的解析式，结合对数恒等式即可求解． 【详解】由题意得，，对称轴为直线，则， 所以，所以， 所以，则的周期， 因为，所以， 又当时，，函数是定义在上的奇函数， 所以时，， 所以， 故选：A． 5.（2025·吉林·模拟预测）已知定义域为R的奇函数满足，则（   ） A． B． C．的最小正周期为2 D．是曲线的一条对称轴 【答案】B 【解题思路】根据奇函数的性质以及所给等式变形，结合对称性和周期性定义，赋值计算，对各选项逐一进行分析判断. 【解答过程】对于A选项，已知是定义域为的奇函数，则. 令，代入可得：，将代入得，即，所以A选项错误. 对于B选项，因为是奇函数，则. 由可得. 用代替可得，又因为，所以，即. 那么. 同理. . . 令，则，所以B选项正确. 对于C选项，由可知，所以的最小正周期不是，C选项错误. 对于D选项，由，得不是曲线的对称轴，D选项错误. 故选：B. 6.已知函数是定义在上的奇函数，且满足．若，则（   ） A．0 B．2025 C．2024 D．2 【答案】D 【分析】根据题意结合奇函数定义可得，可知4为的一个周期，且，结合周期性运算求解即可. 【详解】因为，且函数是定义在上的奇函数， 则，即， 令，可得； 令，可得； 可得，则， 可知4为的一个周期，且， 所以. 故选：D. 7.（2025·天津和平·三模）定义域为的函数满足，当时，，若时，，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】结合题意求出函数在区间上的最小值，根据题意得出，解该不等式即可得解. 【解答过程】当时，恒成立，则， 因为定义域为的函数满足， 当时，， 当时，， 则 ， 因为，此时； 当时，， 则， 因为，则，则，所以， 所以，函数在上的最小值为， 所以，，即，即，解得或. 因此，实数的取值范围是. 故选：A. 8.（2026·西藏日喀则·模拟预测）若曲线关于直线对称，则（    ） A． B．2 C．0 D．1 【答案】C 【难度】0.45 【知识点】求对数型复合函数的定义域、函数对称性的应用、对数的运算性质的应用、由函数对称性求函数值或参数 【分析】先求出函数定义域，再根据对称性得出，再代入解析式得出，最后代回验证即可. 【详解】令，由，得或，故函数的定义域为． 由曲线关于直线对称，得定义域关于直线对称，则， 此时必有，即，解得， 此时， 因此函数的图象关于直线对称，即，满足题意，故． 9．（多选 2026·湖南株洲·模拟预测）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性、判断指数函数的单调性、判断一般幂函数的单调性 【分析】先依据奇函数定义判断各函数的奇偶性，排除奇偶性不符的选项，再验证剩余函数的单调性，选出同时满足两个条件的选项 【详解】对选项A：，满足，是偶函数，且在上单调递增，上单调递减，不符合要求，故A错误； 对选项B：设，满足，是奇函数，且在上单调递增，故B正确； 对选项C：设，满足，是奇函数，其斜率，故在上单调递增，故C正确； 对选项D：，满足且，是非奇非偶函数，不符合要求，故D错误。 10（多选 2026·湖南长沙·三模）已知函数及其导函数的定义域均为，若，函数和均为偶函数，则（    ） A． B． C．函数的图象关于点对称 D． 【答案】BD 【难度】0.4 【知识点】导数的运算法则、函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用 【分析】根据是偶函数得出函数关于轴对称，即，两边求导得出导函数关于点中心对称；为偶函数，则，得出，由中心对称得出，进而得出，故是周期为4的周期函数；再根据上述性质求出判断选项A；由周期性判断选项B；由的性质判断选项C；求出一个周期内的和，再利用导函数的周期性计算判断选项D． 【详解】是偶函数，则，两边对求导得， 则导函数关于点中心对称，令，得， 为偶函数，则， 则导函数关于轴对称，故， 由中心对称性，， 联立可得， 令，则， 则，故是周期为4的周期函数； 选项A：由，令得， 已知，故，故A错误； 选项B：是周期为4的周期函数，故，故B正确； 选项C：关于轴对称，无法证明关于点中心对称，故C错误； 选项D：，，，， 一个周期内的和为：， 又，， 故，故D正确． 11．（多选 25-26高二下·湖南长沙·期中）已知函数，定义域均为，为偶函数，为奇函数，且，则（   ） A． B．函数图象关于点对称 C． D．当时， 【答案】ACD 【难度】0.38 【知识点】函数奇偶性的应用、函数对称性的应用、由函数的周期性求函数值 【分析】先根据为奇函数推出的对称中心，再结合与的关系分析的对称性、周期性、进而判断各选项. 【详解】A选项中，因为为奇函数，所以， 则，故A正确， B选项中，由A选项可知，，， 所以，即， 所以关于点对称，又的图象关于对称， 所以的对称中心为，，不是，故B错误， C选项中，由A项得关于对称，即，， ，，因为的图象关于对称， 所以，又，所以， 所以，即， 所以关于对称，即， 因此，， 所以，故C正确， D选项中，因为，所以， 又，所以，则， 所以，则的周期为4， 所以，又因为， 所以，所以，故D正确． 12.（25-26高二下·黑龙江·期末）若奇函数的定义域为，当时，，则当时，_______． 【答案】 【难度】0.75 【知识点】函数奇偶性的应用、由奇偶性求函数解析式 【分析】设则，将代入已知正区间函数式求出，再利用奇函数化简，得到时的表达式． 【详解】当时，， ， 所以， 即时，． 13.（2026·湖南长沙·三模）若定义在 上的函数为奇函数，则__ 【答案】 【难度】0.72 【知识点】函数奇偶性的应用、由奇偶性求参数 【详解】由题可知，，所以， 又，即，即对任意恒成立， 所以，所以 14.（2026·河南郑州·模拟预测）函数的图象关于点对称，且，则______． 【答案】 【难度】0.6 【知识点】函数对称性的应用、对数的运算性质的应用、由函数对称性求函数值或参数 【详解】已知函数的图象关于点对称， 则对任意有，则 ， 化简得， ，解得， 若，则，与题设矛盾，舍去； 若，则，解得， ． 15.（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）函数是定义在上的奇函数，且． (1)求的解析式，并用函数单调性的定义证明在区间上为增函数； (2)解不等式． 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【难度】0.72 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由奇偶性求参数、由奇偶性求函数解析式 【分析】（1）根据奇函数的定义可求得，根据可求得，进而根据函数单调性的定义判断的符号即可； （2）根据函数的奇偶性将已知不等式等价转化，再利用单调性列不等式求解即可. 【详解】（1）∵函数在上是奇函数， ∴，即，∴，. 又∵，即，解得， ∴的解析式为. 函数在区间上为增函数，证明如下： 证明：任取，且， 则， ∵，∴，，， ，，故， ∴，即， ∴函数在区间上为增函数. （2）∵函数在上是奇函数， ∴不等式等价于. 又∵在上是增函数， ，解得． 16.（25-26高二下·河北·期末）已知函数是定义在上的偶函数，其中、且． (1)求函数的解析式及值域； (2)若，实数满足，求实数的取值范围． 【答案】(1)，值域为 (2) 【难度】0.65 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式、由奇偶性求函数解析式、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】（1）由，求得，，并代回，用偶函数的性质检验其正确性；再结合二次函数 的值域求得函数的值域； （2）写出的解析式，判断其奇偶性及单调性，再利用奇偶性及单调性求解不等式. 【详解】（1）由题意知，即，解得，， 当，时，， 此时定义域为，定义域关于原点对称， 且，所以是偶函数， 所以． 因为，所以，所以， 所以函数的值域为． （2）由题意知，. 因为， 所以是偶函数， 当时，， 显然当时，， 所以在上单调递增， 所以函数在上单调递减. 所以， 所以，解得． 故实数的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $