2.3 函数的奇偶性、周期性和对称性 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦函数的奇偶性、周期性和对称性核心考点，依据高考评价体系梳理了定义判断、参数求解、性质应用三大考查要求。通过近五年高考真题分析，明确奇偶性判断占45%、周期性计算占30%的高频考点分布，归纳出选择填空基础题、解答综合题等常考题型。 课件亮点在于“真题精讲+技巧提炼+素养提升”的备考模式，如以2023新课标Ⅱ卷偶函数求参数题为例，详解“定义法+性质法”解题步骤，培养学生的逻辑推理和数学抽象素养。特设“易错警示”模块，强调定义域对称前提等关键失分点，帮助学生掌握答题技巧。教师可依托课件系统开展专题复习，精准突破考点，助力学生高效冲刺高考。

2.3　函数的奇偶性、周期性和对称性 返回目录 五年高考 考点1　函数的奇偶性 1.★★(2024天津,4,5分)下列函数是偶函数的为 ( ) A. y= 　　    B. y=  C. y= 　　     D. y=      B     返回目录 解析　对于A,令f(x)=y= ,函数定义域为R, f(-1)= , f(1)= ,则f(-1)≠f(1),故A 不符合题意; 对于B,令f(x)=y= ,函数定义域为R, f(-x)= = =f(x),则f(x)为偶函数,故B符合题意; 对于C,令f(x)=y= ,易知函数定义域不关于原点对称, 则f(x)不是偶函数,故C不符合 题意; 对于D,令f(x)=y= ,函数定义域为R, f(1)= , f(-1)= ,则f(1)≠f(-1),故D 不符合题意.故选B. 小题速解　考虑到y=cos x,y=x2,y=x2+1都是偶函数,由性质法知B正确,故选B. 返回目录 2.★★(2023全国乙理,4,5分)已知f(x)= 是偶函数,则a=     ( ) A.-2　　    B.-1　　    C.1　　    D.2     D     解析　解法一　特值法    f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).由f(x)是偶函数,可得f(x)= f(-x),令x=1,得f(1)=f(-1),即 =- ,化简得e=ea-1,a-1=1,所以a=2. 解法二    f(x)= 的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞). 由f(x)为偶函数知f(x)=f(-x), 即 = ,即 =- , 化简得e2x=eax,所以a=2. 返回目录 小题速解    f(x)的定义域为{x|x≠0}. f(x)= =x· ,因为f(x)是偶函数,y=x是奇 函数,所以y= 是奇函数(奇×奇=偶),则a-1=1,a=2. 返回目录 3.★★(2023新课标Ⅱ,4,5分)若f(x)=(x+a)·ln 为偶函数,则a= ( ) A.-1　　    B.0　　    C. 　　    D.1     B     解析    f(-x)=(-x+a)ln =(-x+a)·ln =(x-a)ln ,∵f(x)为偶函数,∴f(x)=f(-x), ∴x+a=x-a,即a=0. 小题速解　考虑到y=ln 是奇函数,由奇×奇=偶知y=x+a也是奇函数,所以a=0. 返回目录 4.★★(2021全国乙理,4,5分)设函数f(x)= ,则下列函数中为奇函数的是 ( ) A. f(x-1)-1　　    B. f(x-1)+1 C. f(x+1)-1　　    D. f(x+1)+1     B     解析    f(x)=-1+ ,其图象的对称中心为(-1,-1),将y=f(x)的图象沿x轴向右平移1个单 位,再沿y轴向上平移1个单位可得函数f(x-1)+1的图象,关于(0,0)对称,所以函数f(x-1)+1 是奇函数,故选B. 返回目录 5.★★★(2021新高考Ⅱ,8,5分)设函数f(x)的定义域为R,且f(x+2)为偶函数, f(2x+1)为奇 函数,则 ( ) A. f  =0　　    B. f(-1)=0 C. f(2)=0　　     D. f(4)=0     B     返回目录 解析　因为函数f(x+2)为偶函数,所以f(x+2)=f(-x+2),即函数y=f(x)的图象关于直线x=2对 称, 又因为函数f(2x+1)为奇函数, 所以f(-2x+1)=-f(2x+1), 令t=2x,则f(-t+1)=-f(t+1), 故函数y=f(x)的图象关于点(1,0)对称, 又因为函数f(2x+1)为奇函数,且f(x)的定义域为R, 所以f(2×0+1)=0,即f(1)=0, 所以f(-1)=-f(3)=-f(1)=0,其他三个选项无法得出结果. 返回目录 6.★★★(多选)(2023新课标Ⅰ,11,5分)已知函数f(x)的定义域为R, f(xy)=y2f(x)+x2f(y),则 ( ) A. f(0)=0 B. f(1)=0 C. f(x)是偶函数 D.x=0为f(x)的极小值点     ABC     返回目录 解析　令x=y=0,则f(0)=0·f(0)+0·f(0)=0,故A正确. 令x=y=1,则f(1)=1×f(1)+1×f(1),所以f(1)=0,故B正确. 令x=y=-1,则f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1),所以f(-1)=0,令y=-1,则f(-x)=f(x)+x2f(-1)=f(x),所以f(x) 是偶函数,故C正确. 取特殊函数f(x)=0,满足f(xy)=y2f(x)+x2f(y),此时x=0不是f(x)的极小值点,故D错误,故选 ABC. 返回目录 7.★★★★(多选)(2025全国二卷,10,6分)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时, f(x) =(x2-3)ex+2,则 ( ) A. f(0)=0　　     B.当x<0时, f(x)=-(x2-3)e-x-2 C. f(x)≥2当且仅当x≥ 　　     D.x=-1是f(x)的极大值点     ABD     返回目录 解析　由f(x)是定义在R上的奇函数得f(0)=0,故A正确; 令x<0,则-x>0, f(-x)=(x2-3)e-x+2, 又f(-x)=-f(x), 所以f(x)=-(x2-3)e-x-2, 则x<0时, f(x)=-(x2-3)e-x-2,故B正确. f(-1)=2(e-1)>2,故C错误. 当x<0时, f(x)=-(x2-3)e-x-2, 求导得f '(x)= = , 当x∈(-∞,-1)时, f '(x)>0, f(x)单调递增,当x∈(-1,0)时, f '(x)<0, f(x)单调递减,所以x=-1是 f(x)的极大值点,故D正确.故选ABD. 返回目录 8.★★(2021新高考Ⅰ,13,5分)已知函数f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函数,则a=_________.     1     解析　∵f(x)=x3(a·2x-2-x)(x∈R)为偶函数,∴f(1)=f(-1), ∴2a- =- ,∴a=1. 当a=1时, f(x)=x3(2x-2-x),定义域为R,且满足f(-x)=f(x),即f(x)为偶函数. 返回目录 9.★★★(2021新高考Ⅱ,14,5分)写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x): _________________________. ①f(x1x2)=f(x1)f(x2);②当x∈(0,+∞)时, f '(x)>0;③f '(x)是奇函数. (x∈R)(答案不唯一)         f(x)=x4 解析　因为f(x1x2)=f(x1)f(x2),所以f(x)是幂函数;当x∈(0,+∞)时, f '(x)>0,所以函数f(x)在(0, +∞)上单调递增;因为f '(x)是奇函数,所以f(x)是偶函数.因此函数f(x)可以是f(x)=x4(x∈R). 故答案为f(x)=x4(x∈R)(答案不唯一). 返回目录 知识拓展　常见的抽象函数模型 1.一次函数y=kx+b(k≠0)型,特征式为f(x+y)=f(x)+f(y)-b. 2.指数函数y=ax(a>0且a≠1)型,特征式为f(x+y)=f(x)f(y)或f(x-y)= . 3.对数函数y=logax(a>0且a≠1)型,特征式为f(xy)=f(x)+f(y). 4.幂函数y=xa型,特征式为f(xy)=f(x)·f(y). 返回目录 三年模拟 1.★(2026届江西赣抚吉十二校联考,3)已知函数f(x)为偶函数,当x<0时, f(x)= ,则f(1) =( ) A. 　　    B.- 　　    C.6　　    D.-6     D     解析　因为函数f(x)为偶函数, 所以f(-x)=f(x), 又当x<0时, f(x)= , 则f(1)=f(-1)= =-6.故选D. 返回目录 2.★★(2026届湖北武汉调研,5)若函数f(x)= 是奇函数,则实数a= ( ) A.1　　    B.-1　　    C.2　　    D.-2     B     解析　∵f(x)= 为奇函数,且定义域为R,则f(0)=0,∴a=-1,故选B. 返回目录 3.★★(2025届广东八校联考,4)已知函数f(x)= 为偶函数,则a= ( ) A.-2　　    B.-1　　    C.0　　    D.2     A     解析　解法一     f(x)= = , 若f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x)在定义域内恒成立,则有  = = 在定义域内恒成立, 必有(x-2)(x-a)=(x+2)(x+a)在定义域内恒成立, 即x2-(a+2)x+2a=x2+(a+2)x+2a,必有a=-2.故选A. 返回目录 解法二　函数f(x)= = = · , 因为y= 是偶函数,所以y= 也是偶函数,因此a=-2,故选A. 小题巧解    f(x)的定义域为{x|x≠0,x≠-a且x≠-2},根据f(x)是偶函数得(-a)+(-2)=0,a=-2. 【定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提】 返回目录 4.★★(2026届江苏镇江监测,3)下列函数为偶函数的是( ) A. f(x)=2x-2-x B. f(x)=  C. f(x)=xln(x+ ) D. f(x)=-x3+      C     返回目录 解析　对于A,函数的定义域为R, f(-x)=2-x-2x=-(2x-2-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数;对于B,函 数的定义域为{x|x≠0}, f(-x)= = =-f(x),所以f(x)是奇函数; 对于C,函数的定义域为R, f(-x)=-xln[(-x)+ ]=-xln( -x)=-xln( +x)-1=xln( +x)=f(x),所以f(x)是 偶函数;对于D, f(1)=0, f(-1)=2,所以f(x)=-x3+ 既不是奇函数又不是偶函数.故选C. 返回目录 5.★★(2026届河北保定部分高中质检,3)以下函数是奇函数且在(-∞,0)上单调递减的 是 ( ) A.y= 　　    B.y= 　　     C.y=x|x|　　     D.y=-x|x|     D     返回目录 解析　对于A,y= 的定义域为[0,+∞),不为奇函数,故A不符合题意; 对于B,令f(x)=y= ,定义域为R,f(-x)= ,故f(x)=f(-x), 故f(x)为偶函数,故B不符合题意; 对于C,当x∈(-∞,0)时,y=x|x|=-x2, 在(-∞,0)上单调递增,因此C不符合题意; 对于D,令f(x)=y=-x|x|,定义域为R, f(-x)=x|x|, 有f(x)+f(-x)=0,因此f(x)为奇函数, 当x∈(-∞,0)时, f(x)=-x|x|=x2,在(-∞,0)上单调递减,故D符合题意.故选D. 返回目录 6.★★(2026届广东深圳模拟,5)若函数f(x)= 的图象关于y轴对称,则a= ( ) A.- 　　    B. 　　    C.-2　　    D.2     B     解析　由f(x)= 的图象关于y轴对称,得f(-x)=f(x),即 = ,即-xe-ax(ex-1)=xeax(e-x- 1), 即xeax· +x· =0⇔x(1-ex)· =0, 要想上式恒成立,则eax-x- =0恒成立,即e2ax-x-1=0,故2ax-x=0, 所以a= .故选B. 返回目录 7.★★(2026届安徽潜山源潭中学段考,8)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间 [0,+∞)上单调递减,则下列结论正确的是 ( ) A.f(0)<f(-1)<f(2)　　    B.f(2)<f(0)<f(-1) C.f(-1)<f(0)<f(2)　　    D.f(2)<f(-1)<f(0)     D     解析　因为函数f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(-1)=f(1), 因为函数在区间[0,+∞)上单调递减,所以f(2)<f(1)<f(0),即f(2)<f(-1)<f(0).故选D. 返回目录 8.★★(2026届河北石家庄一中开学考,5)设f(x)为偶函数,当x∈(0,+∞)时, f(x)=x-1,则使 f(x)>0的x的取值范围是 ( ) A.{x|x>1}　　     B.{x|-1<x<0} C.{x|x<-1或x>1}　　     D.{x|-1<x<0或x>1}     C     解析　因为f(x)为偶函数,所以f(x)>0⇒f(|x|)>0, 又因为x∈(0,+∞)时, f(x)=x-1,所以|x|-1>0,解得x<-1或x>1.故选C. 返回目录 9.★★(2025届云南昆明摸底测试,6)函数f(x)=ln( +kx)是奇函数且在R上单调递增, 则k的取值集合为 ( ) A.{-1}　　    B.{0} C.{1}　　    D.{-1,1}     C     解析　由f(x)为奇函数得f(x)+f(-x)=0(x∈R),即ln( +kx)+ln( -kx)=0,亦即(1-k2)x2 =0恒成立,故k=±1.当k=1时, f(x)=ln( +x)在R上为增函数,符合题意;当k=-1时, f(x)= ln( -x)=-ln( +x)在R上为减函数,不符合题意,故选C. 返回目录 10.★★★(2026届安徽江淮十校联考,4)已知定义在[1-m,2m-3]上的偶函数f(x),且当x∈ [0,2m-3]时, f(x)单调递增,则关于x的不等式f(2x-1)>f(x+3-2m)的解集是 ( ) A.(0,1)　　    B. 　　    C. 　　    D.      B     解析　因为函数f(x)是定义在[1-m,2m-3]上的偶函数, 所以1-m+2m-3=0,解得m=2,即函数f(x)的定义域为[-1,1], 当x∈[0,1]时, f(x)单调递增,所以当x∈[-1,0]时, f(x)单调递减, 关于x的不等式f(2x-1)>f(x+3-2m)可化为f(2x-1)>f(x-1), 所以 解得 <x≤1,因此原不等式的解集为 .故选B. 易错警示　利用单调性解不等式时,不能忘记定义域. 返回目录 11.★★★(2026届广东八校联盟质检,5)已知函数f(x)=ex-3-e3-x+x,则满足f(2m-2)+f(m+1)>6 的m的取值范围是 ( ) A.(3,+∞)　　    B.  C. 　　    D.      D     解析　令g(x)=f(x+3)-3=ex-e-x+x,x∈R, ∵g(x)+g(-x)=0,∴g(x)为奇函数,且易知g(x)在R上单调递增. ∵f(2m-2)=g(2m-5)+3, f(m+1)=g(m-2)+3, ∴原不等式可转化为g(2m-5)+g(m-2)>0,即g(2m-5)>g(2-m), ∴2m-5>2-m,解得m> .故选D. 返回目录 12.★★★(2026届江苏南京一中月考,5)已知函数f(x)的定义域为R,y=f(x)+ex是偶函数,y =f(x)-3ex是奇函数,则f(x)的最小值为 ( ) A.e　　    B.2 　　    C.2 　　    D.2e     B     解析　因为y=f(x)+ex为偶函数,所以f(-x)+e-x=f(x)+ex,即f(x)-f(-x)=e-x-ex,① 又函数y=f(x)-3ex为奇函数,则f(-x)-3e-x=-f(x)+3ex,即f(x)+f(-x)=3ex+3e-x,② 联立①②可得f(x)=ex+2e-x, 由基本不等式可得f(x)=ex+2e-x≥2 =2 ,当且仅当ex=2e-x,即x= ln 2时,等号成立, 因此函数f(x)的最小值为2 .故选B. 返回目录 13.★★★(2026届四川成都阶段检测,5)函数f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数, 且f(-1)=0,若∀x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2, >0恒成立,则不等式xf(x)<0的解集为 ( ) A.(-∞,-1)∪(0,1)　　     B.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(-1,0)∪(1,+∞)　　    D.(-1,0)∪(0,1)     D     解析　由题意得f(x)在(0,+∞)上单调递增,因为f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函 数, f(-1)=0,所以f(x)在(-∞,0)上单调递增, f(1)=-f(-1)=0,所以当-1<x<0或x>1时, f(x)>0,当x <-1或0<x<1时, f(x)<0,所以当-1<x<0或0<x<1时,xf(x)<0,所以不等式xf(x)<0的解集为(-1, 0)∪(0,1).故选D. 返回目录 14.★★★(2026届黑龙江龙东十校期中,5)定义域为R的函数f(x)满足f(x+1)为偶函数,且 当x2>x1>1时, >0恒成立,设a=f ,b=f ,c=f(2),则 ( ) A.c>b>a　　    B.c>a>b　　    C.a>c>b　　    D.b>c>a     A     解析　由f(x+1)为偶函数,得f(x)的图象关于直线x=1对称,则f(1-x)=f(1+x),又当x2>x1>1时,  >0恒成立,所以f(x)在区间(1,+∞)上单调递增,a=f =f =f , b=f =f =f =f ,因为2> >2- >1,所以c>b>a,故选A. 返回目录 15.★★★(2026届江苏扬州中学月考,12)已知函数f(x)= -2x,则满足f(x2-5x)+f(6)>0的实 数x的取值范围是_____________.     (2,3)     解析　函数f(x)的定义域为R,且f(-x)= -2-x=- =-f(x),即函数f(x)为奇函数, 又y= ,y=-2x在R上均为减函数,因此函数f(x)在R上为减函数, 由f(x2-5x)+f(6)>0得f(x2-5x)>-f(6),∴f(x2-5x)>f(-6),即x2-5x<-6, 解得2<x<3,因此x的取值范围为(2,3). 返回目录 16.★★★(2026届河南南阳一中期中,17)已知函数f(x)=loga (a>0,a≠1,m≠-1)是定 义在(-1,1)上的奇函数. (1)求实数m的值; (2)判断函数f(x)在(-1,1)上的单调性; (3)若f >0且f(b-2)+f(2b-2)>0,求实数b的取值范围. 返回目录 解析    (1)因为f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),即f(-x)+f(x)=0, 所以loga +loga =0, 则loga =0, 则 · =1, 即1-m2x2=1-x2对定义域中的x都成立,所以m2=1, 又m≠-1,所以m=1. (2)由(1)知f(x)=loga , 返回目录 设t= = =-1+ ,任取x1,x2∈(-1,1),且x1<x2, 则t1-t2= - = , ∵-1<x1<x2<1, ∴x2-x1>0,(x1+1)(x2+1)>0, ∴t1>t2. 当a>1时,logat1>logat2,即f(x1)>f(x2). ∴当a>1时,f(x)在(-1,1)上单调递减. 当0<a<1时,logat1<logat2, 即f(x1)<f(x2), 返回目录 ∴当0<a<1时, f(x)在(-1,1)上单调递增. (3)由f(b-2)+f(2b-2)>0得f(b-2)>-f(2b-2), ∵函数f(x)是奇函数, ∴f(b-2)>f(2-2b), ∵f =loga >0,∴0<a<1. 由(2)得f(x)在(-1,1)上单调递增, ∴ ∴ <b< , ∴b的取值范围是 . 返回目录 五年高考 考点2　函数的周期性和对称性 1.★★(2025全国一卷,5,5分)已知f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数,当2≤x≤3时, f(x)=5-2x,则f =( ) A.- 　　    B.- 　　    C. 　　    D.      A     解析　由f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数得, f =f =f =f , 又当2≤x≤3时, f(x)=5-2x, 则f =f =5-2× =- . 故选A. 返回目录 2.★★★(2022新高考Ⅱ,8,5分)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y), f(1)= 1,则 f(k)= ( ) A.-3　　    B.-2　　     C.0　　     D.1     A     返回目录 解析　令y=1,得f(x+1)+f(x-1)=f(x)①,故f(x+2)+f(x)=f(x+1)②.由①②得f(x+2)+f(x-1)=0,故 f(x+2)=-f(x-1),所以f(x+3)=-f(x),所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x),所以函数f(x)的周期为6. 令x=1,y=0,得f(1)+f(1)=f(1)·f(0),故f(0)=2, 令x=1,y=1,得f(2)=-1; 令x=2,y=1,得f(3)=-2; 令x=3,y=1,得f(4)=-1; 令x=4,y=1,得f(5)=1; 令x=5,y=1,得f(6)=2. 故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0, 所以 f(k)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=-3.故选A. 返回目录 3.★★★★(2021全国甲理,12,5分)设函数f(x)的定义域为R, f(x+1)为奇函数, f(x+2)为偶 函数,当x∈[1,2]时, f(x)=ax2+b.若f(0)+f(3)=6,则f = ( ) A.- 　　    B.- 　　    C. 　　    D.      D     返回目录 解析　由题意知 即  从而f(x+4)=-f(x+2),即f(x+2)=-f(x), 所以6=f(0)+f(3)=-f(2)+(-f(1))=-(4a+b)-(a+b)=-5a-2b,即5a+2b=-6.① 又由题知f(x+1)为奇函数,x∈R, 所以f(1)=0,即a+b=0.② 由①②得  从而f(x)=-2x2+2,x∈[1,2]. 所以f =f =-f =- = .故选D. 返回目录 4.★★★★(多选)(2022新高考Ⅰ,12,5分)已知函数f(x)及其导函数f '(x)的定义域均为R, 记g(x)=f '(x).若f ,g(2+x)均为偶函数,则( ) A. f(0)=0　　     B.g =0 C. f(-1)=f(4)　　    D.g(-1)=g(2)     BC     返回目录 解析　由f ,g(2+x)均为偶函数,得f =f ,g(2+x)=g(2-x),故f = f , 两边同时求导得-f ' =f ' ,即-g =g , 所以g(x)的图象关于直线x=2对称,且关于点 中心对称,从而可得g(x)的周期为T=4×  =2,由-g =g 可得-g =g ,即g =0, 所以g =g =g =0,故B正确. 返回目录 g(-1)=g(-1+2)=g(1)=g =-g =-g(2),故D不正确. 由导函数与原函数的关系知函数f(x)的周期为2, f(x)的图象关于直线x= 对称,关于点 (2,m)对称,若m=0,则f(0)=f(2)=0,若m≠0,则f(0)=f(2)≠0,故A不正确. 由f(x)的图象关于直线x= 对称,得f(-1)=f =f =f(4),故C正确. 返回目录 三年模拟 1.★★(2026届江苏南通调研,6)定义在R上的函数f(x)是周期为2的偶函数,当0≤x≤1时, f(x)=3-4x,则f = ( ) A.2　　     B.1　　     C.-2　　    D.-1     B     解析　已知函数f(x)是周期为2的偶函数,当0≤x≤1时, f(x)=3-4x, 则f =f =f =3- =3-2=1. 返回目录 2.★★(2025届重庆八中月考,5)下列函数的图象不存在对称中心的是 ( ) A.y=x3+1　　    B.y=  C.y= 　　    D.y=      D     返回目录 解析　对于A,y=x3+1的图象可由y=x3的图象向上平移1个单位长度得到,因为y=x3是奇 函数,所以其图象关于(0,0)对称,则y=x3+1的图象关于(0,1)对称,不符合题意. 对于B,y= =x-1+ ,其图象可由y=x+ 的图象向右平移1个单位长度得到,因为 y=x+ 是奇函数,所以其图象关于(0,0)对称,则y= 的图象关于(1,0)对称,不符合 题意. 对于C,函数定义域为R,易证y= 是奇函数,故其图象关于(0,0)对称,不符合题意. 对于D,y= 的定义域为{x|x≠0},易证y= 是偶函数,其图象关于y轴对称,符合题 意.故选D. 返回目录 3.★★(2025届湖南长沙长郡中学月考,4)若函数f(x)= 的最大值为M,最小值为N, 则M+N= ( ) A.1　　    B.2　　    C.3　　    D.4     B     解析    f(x)= = + =1+ ,令g(x)= ,定义域为R, 又g(-x)= =- =-g(x), 所以g(x)= 为奇函数, 则g(x)max+g(x)min=0, 所以M+N=f(x)max+f(x)min=g(x)max+1+g(x)min+1=2.故选B. 返回目录 4.★★(2024届湖南师大附中期末,5)已知定义在R上的函数f(x)是偶函数,且f(x)=f(2-x), 若f(x)在区间[1,2]上单调递减,则f(x)　　　     ( ) A.在区间[0,1]上单调递增,在区间[3,4]上单调递增 B.在区间[0,1]上单调递增,在区间[3,4]上单调递减 C.在区间[0,1]上单调递减,在区间[3,4]上单调递增 D.在区间[0,1]上单调递减,在区间[3,4]上单调递减     B     返回目录 解析　因为f(x)=f(2-x),所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称,又函数f(x)在区间[1,2]上 单调递减, 所以函数f(x)在[0,1]上单调递增, 又函数f(x)是偶函数,所以函数f(x)在[-2,-1]上单调递增,所以函数f(x)在[3,4]上单调递减. 故选B. 返回目录 5.★★(2026届江苏兴化中学摸底考,4)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(2-x)=f(x),当0 ≤x≤1时, f(x)=2x-1,则f(log212)= ( ) A.- 　　    B.- 　　    C. 　　    D.      A     解析　因为f(2-x)=f(x),所以f(x+2)=f(-x),【用-x代替x】 因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),则f(x+2)=-f(x), 则f(x+4)=-f(x+2),【用x+2代替x】 所以f(x+4)=f(x), 故f(x)是周期为4的函数. 因为8<12<16,所以3<log212<4,-1<log212-4<0, 返回目录 又当0≤x≤1时, f(x)=2x-1, 所以f(log212)=f(log212-4) =f =-f  =-f =-( -1)=- . 【-log2 =log2 =log2 】故选A. 返回目录 6.★★(2026届安徽合肥月考,6)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(4-x)=f(x),当0≤x≤  时,f(x)=3-2x,则f(-2 025)= ( ) A.-1　　    B.1　　    C.3　　    D.7     B     解析　因为f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(-x)=f(x).又因为f(4-x)=f(x),所以f(4-x)=f(-x), 所以f(x+4)=f(x),所以f(x)的周期为4.因为0≤x≤ 时,f(x)=3-2x,所以f(-2 025)=f(-1)=f(1)= 1. 故选B. 返回目录 7.★★★(2025届江苏连云港第一次检测,7)已知函数f(2x+1)为奇函数, f(x+2)为偶函数, 且当x∈(0,1]时, f(x)=log2x,则f = ( ) A.2　　    B.-2　　    C.1　　    D.-1     A     解析　由函数f(2x+1)为奇函数,得f(2x+1)+f(-2x+1)=0,则f(x)的图象关于点  ,即(1,0)中心对称. ∵函数f(x+2)为偶函数,∴f(x+2)=f(-x+2),即函数f(x)的图象关于直线x=2对称. 当x∈(0,1]时, f(x)=log2x, ∴f =f =f =f =-f =-f =-log2 =2.故选A. 返回目录 8.★★★(2026届广东深圳联考,6)已知f(x)是定义域为R的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x),若 f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)= ( ) A.10　　    B.2　　    C.0　　    D.4     C     解析　因为f(x)是定义域为R的奇函数,所以f(0)=0, 又f(1-x)=f(1+x),则f(x)的图象关于直线x=1对称,且f(-x)=f(2+x),又f(-x)=-f(x),所以f(2+x)= -f(x), 所以f(x)=f(x+4),所以周期为4, f(4)=f(0)=0,又f(2)=f(0)=0, f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0.故选C. 返回目录 9.★★★(2026届湖南长沙雅礼中学月考,6)已知奇函数f(x)的定义域为R,且函数y=f(x) 的图象关于直线x=2对称.若x∈[0,2], f(x)=x,则f(13)= ( ) A.1　　    B.-1　　     C.2　　    D.-2     B     返回目录 解析　因为函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,所以f(2+x)=f(2-x), 因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x), 所以f(2-x)=-f(x-2),即f(x+2)=-f(x-2),所以f(x+4)=-f(x), 所以f(x+8)=-f(x+4)=f(x),所以f(x)的周期为8, 所以f(13)=f(5+8)=f(5)=f(-3+8)=f(-3)=-f(3), 而f(3)=f(2+1)=f(2-1)=f(1), 又因为当x∈[0,2]时, f(x)=x,所以f(1)=1,即f(3)=f(1)=1, 所以f(13)=-f(3)=-1.故选B. 返回目录 10.★★★(教材溯源·人教A版87页T13)(2026届浙江杭州教学质量监测,8)设函数f(x) =x3+3x2+6x+5,若f(a)=15, f(b)=-13,则a+b= ( ) A.2　　    B.1　　    C.-1　　    D.-2     D     解析　因为f(x)=x3+3x2+6x+5, 所以f(x-1)-1=(x-1)3+3(x-1)2+6(x-1)+4=x3+3x,所以g(x)=f(x-1)-1是单调递增的奇函数. 又因为g(a+1)=f(a)-1=14,g(b+1)=f(b)-1=-14,所以g(a+1)=-g(b+1)=g(-b-1), 所以a+1=-b-1,即a+b=-2.故选D. 小题速解　由题意知f'(x)=3x2+6x+6,则f″(x)=6x+6,令f″(x)=0,得x=-1,又f(-1)=1,所以函 数f(x)的图象关于点(-1,1)对称,因为f(a)+f(b)=2,所以a+b=-2.故选D. 返回目录 11.★★★(2026届山东滨州质量检测,8)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+1)+f(x-1)=2, f(x+2)为偶函数,若f(0)=0, f(k)=111,则n的值为( ) A.107　　    B.118　　    C.109　　    D.110     D     解析　对任意的x∈R,由f(x+1)+f(x-1)=2可得f(x+3)+f(x+1)=2,所以f(x+3)=f(x-1),则f(x)= f(x+4),所以函数f(x)为周期函数,且周期为4,因为f(x+2)为偶函数,所以f(2-x)=f(2+x),所以 函数f(x)的图象关于直线x=2对称,则f(1)=f(3),因为f(1)+f(3)=2,则f(1)=f(3)=1,因为f(0)+ f(2)=2且f(0)=0,则f(2)=2,所以f(1)+f(2)=3, f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=4,又因为111=4×27+3,所以  f(k)=27×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)=111,故n=4×27+2=110.故选D. 返回目录 12.★★★(多选)(2026届广东深圳中学摸底,9)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)+ f(x)=0,且y=f(2-x)为偶函数,则下列结论正确的是 ( ) A.函数f(x)的周期为2 B.函数f(x)的图象关于直线x=2对称 C.函数f(x)的图象关于(1,0)对称 D.函数f(x)为奇函数     BC     返回目录 解析　选项A, f(x+2)+f(x)=0⇒f(x+2)=-f(x)⇒f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即函数f(x)的周期为4,所 以A错误;选项B,因为y=f(2-x)是偶函数,所以f(2-x)=f(2+x),即函数f(x)的图象关于直线x=2 对称,所以B正确;选项C,因为f(2-x)=f(2+x)=-f(x),则f(2-x)+f(x)=0,所以函数f(x)的图象关 于(1,0)对称,所以C正确;选项D,因为f(2-x)=f(2+x),则f(-x)=f(4+x)=f(x),所以函数f(x)为偶 函数,所以D错误.故选BC. 返回目录 13.★★★★(多选)(2026届湖北黄冈一模,10)定义在R上的函数f(x)和g(x), f(x+2)为奇函 数,g(x)为偶函数,且f(x+1)+g(3-x)=4,则 ( ) A.g(2)=2 B.f(6)=0 C.f(x)的图象关于直线x=4对称 D.8为g(x)的一个周期     BCD     返回目录 解析　因为f(x+2)为奇函数,所以f(x+2)的图象关于原点对称,则f(x)的图象关于点(2,0)对 称,即f(2)=0. 【定义在R上的奇函数的图象过原点,可以得到特殊值,这是求值的出发点】 已知f(x+1)+g(3-x)=4, 令x=1,得f(2)+g(2)=4, 将f(2)=0代入可得g(2)=4-f(2)=4,故A错误; 由g(x)为偶函数,可得g(x)=g(-x),因此g(2)=g(-2)=4, 在f(x+1)+g(3-x)=4中,令x=5,得f(6)+g(-2)=4,由g(-2)=4可得f(6)=0,故B正确; 返回目录 在f(x+1)+g(3-x)=4中,令x=6-x,可得f(7-x)+g(x-3)=4, 由g(x)为偶函数可知g(x-3)=g(3-x), 则f(x+1)=f(7-x),即f(x)=f(8-x), 故f(x)的图象关于直线x=4对称,故C正确; 由f(x+2)为奇函数,得f(-x+2)=-f(x+2),即f(1+x)+f(3-x)=0, 在f(x+1)+g(3-x)=4中, 令x=2-x,得f(3-x)+g(1+x)=4, 两式相加得f(x+1)+g(3-x)+f(3-x)+g(1+x)=8, 因此g(3-x)+g(1+x)=8,即g(4-x)+g(x)=8, 返回目录 由g(x)为偶函数,可得g(x)=g(-x), 所以g(4-x)+g(-x)=8,即g(x)+g(x+4)=8,则g(x+4)=8-g(x), 则g(x+8)=8-g(x+4)=8-[8-g(x)]=g(x),即8为g(x)的一个周期,故D正确,故选BCD. 返回目录 14.★★★★★(多选)(2026届福建三明一中开学考,11)已知函数f(x),g(x)的定义域均 为R, f(x+1)的图象关于直线x=-1对称,g(x-1)+1是奇函数,且g(x)=f(x+2)+4, f(4)=-3,则下列 说法正确的有( ) A.f(x)=f(-x)　　    B.g(-1)=0 C.g(2)=1　　     D. g(i)=-2 021     ACD     返回目录 解析　对于A,因为f(x+1)的图象关于直线x=-1对称,所以f(x)的图象关于y轴对称,所以 f(x)是偶函数,则f(x)=f(-x),因此A正确; 对于B,因为g(x-1)+1是奇函数,所以g(0-1)+1=0,即g(-1)=-1,因此B错误; 对于C,D,由g(-x-1)+1=-[g(x-1)+1]得g(-x-1)+g(x-1)=-2, 又g(x)=f(x+2)+4, 所以f(x)=g(x-2)-4,又f(-x)=f(x), 所以g(-x-2)-4=g(x-2)-4,即g(x-2)=g(-x-2),则g(x-3)=g(-x-1), 所以g(x-3)+g(x-1)=-2, 返回目录 所以g(x)+g(x+2)=-2①, 即g(x+2)+g(x+4)=-2②, ②-①得g(x)=g(x+4),所以函数g(x)的周期为4, 在g(x)+g(x+2)=-2中,令x=1,得g(1)+g(3)=-2, 令x=2,得g(2)+g(4)=-2, 所以g(1)+g(2)+g(3)+g(4)=-4, 又f(4)=-3,所以g(2)=f(4)+4=1, 所以 g(i)=g(1)+g(2)+…+g(2 023)=505×(-4)+g(1)+g(2)+g(3) =-2 020+(-2)+1=-2 021,故C,D正确.故选ACD. 返回目录 15.★★★★★(多选)(2025届皖豫名校联盟联考,11)已知函数f(x)与g(x)的导函数分别 为f '(x)与g'(x),且f(x),g(x), f '(x),g'(x)的定义域均为R,g(x)-f(6-x)=3, f '(x)=g'(x-2),g(x+4)为 奇函数,则 ( ) A.g(2)+g(6)=0　　    B. f '(x+4)为偶函数 C. f(x)=f(x+8)　　     D. g(k)=0     ACD     返回目录 解析　对于A,因为g(x+4)为奇函数,所以g(-x+4)=-g(x+4),令x=2,得g(2)+g(6)=0,故A正确;对于B,由g(x)-f(6-x)=3,得g'(x)+f '(6-x)=0,又f '(x)=g'(x-2),所以f '(x+2)=g'(x)=-f '(6-x),即f '(x+2) =-f '(6-x),所以f '(x+4)=-f '(4-x),又f '(x+4)的定义域为R,故f '(x+4)为奇函数,故B错误;对于C, 由f '(x)=g'(x-2),g(-x+4)=-g(x+4),可得f(x)=g(x-2)+b(b为常数), f(6-x)=g(4-x)+b=-g(x+4)+b, 又g(x)-f(6-x)=3,所以g(x)-f(6-x)=g(x)+g(x+4)-b=3,所以g(x)+g(x+4)=b+3,g(x+4)+g(x+8)=b +3,所以g(x)=g(x+8),所以g(x)是周期为8的函数,同理f(x)也是周期为8的函数,故C正确; 对于D,在g(-x+4)=-g(x+4)中,令x=0,得g(4)=-g(4),则g(4)=0,令x=4,得g(0)=-g(8),又g(x)是 周期为8的函数,所以g(0)=g(8)=0,因为g(-x+4)=-g(x+4),所以g(1)+g(7)=0,g(3)+g(5)=0,又 g(2)+g(6)=0,所以 g(k)=253[g(1)+g(2)+g(3)+g(4)+g(5)+g(6)+g(7)+g(8)]=253×0=0,故D 正确. 返回目录 方法技巧    两函数及其它们的导函数有4个,先将两函数的关系式求导,与导函数的关 系式结合得到导函数的性质,再将导函数的性质转化为原函数的性质,进而解决问题. 返回目录 16.★★★(2026届湖南长沙长郡中学入学考,14)f(x)对任意x∈R都有f(x+6)+f(x)=2f(3),y =f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,则f(2 025)=_________.     0     解析　因为f(x+6)+f(x)=2f(3), 所以f(x+12)+f(x+6)=2f(3), 所以f(x+12)=f(x), 【关键点拨:消去常数项,建立特殊的函数方程,确定周期】 所以函数f(x)的周期为T=12, 又y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称, 所以y=f(x)的图象关于点(0,0)对称,即f(x)为奇函数. 在f(x+6)+f(x)=2f(3)中,令x=-3,则f(-3)=f(3), 返回目录 又f(-3)=-f(3),所以f(-3)=f(3)=0, 所以f(2 025)=f(12×168+9)=f(9)=f(-3)=0. 返回目录 17.★★★★★(2026届江苏启东中学测试,19)若函数f(x)的定义域为D,∀x∈D都有f(m-x) +f(m+x)=2n,则称函数f(x)为中心对称函数,其中(m,n)为函数f(x)图象的对称中心. (1)已知定义在R上的函数f(x)的图象关于点(1,1)中心对称,且当x≥2时, f(x)=x2,求f(0), f(1) 的值. (2)探究函数g(x)= -x2是不是中心对称函数.若是,请求出对称中心并用定义证明;若不 是,请说明理由. (3)运用第(2)问的结论,求S(k)=g(-2k+1)+g(-2k+3)+…+g(-3)+g(-1)+g(1)+g(3)+g(5)+…+ g(2k-1)+g(2k+1)的值,其中k∈N*. 返回目录 解析    (1)由在R上的函数f(x)的图象关于点(1,1)中心对称,得f(1-x)+f(1+x)=2, 则f(0)+f(2)=2, f(1)+f(1)=2, ∴f(1)=1, 当x≥2时, f(x)=x2,∴f(2)=22=4, ∴f(0)=2-f(2)=2-4=-2, ∴f(0)=-2, f(1)=1. (2)若g(x)= -x2为中心对称函数,则在定义域内有g(m-x)+g(m+x)=2n恒成立, g(m-x)+g(m+x)= -(m-x)2+ -(m+x)2= +2mx2-2m2-2x2, 返回目录 根据中心对称函数的定义有 +2mx2-2m2-2x2=2n, 整理得(2m-2)x2+ =0, 为了使等式对定义域内的x成立,则有  解得  ∴g(x)= -x2是中心对称函数,且对称中心是 . (3)由(2)知,g(1)=- ,g(1-x)+g(1+x)=- , 【思路探究:由中心对称函数的定义,得出g(1-x)+g(1+x)=- ,其实质为“自变量之和为2, 返回目录 则函数值之和为- ”,可以分组求和】∴S(k)=g(-2k+1)+g(-2k+3)+…+g(-3)+g(-1)+g(1)+ g(3)+g(5)+…+g(2k-1)+g(2k+1)=[g(-2k+1)+g(2k+1)]+[g(-2k+3)+g(2k-1)]+…+[g(-3)+g(5)] +[g(-1)+g(3)]+g(1) =(2k+1)·g(1)=(2k+1)· =- ,即S(k)=- . 返回目录 $