精品解析： 广东省梅州市五华县2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷

广东省梅州市五华县2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷 说明： 1．全卷共6页，23小题，满分为120分，考试用时为120分钟． 2．答卷前，考生先用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡上填上自己的学校、班级、姓名、座号、考号． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项上涂上答案，答案不能写在试卷上． 4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 5．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时只交回答题卡． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，下列不等式成立的是（ ） A B. C. D. 3. 下列各式从左到右变形，是因式分解的是（ ） A B. C. D. 4. 如图，某社会实践学习小组为测量学校与河对岸江景房之间的距离，在学校附近选一点，利用测量仪器测得，，AC=300米．由此可求得学校与江景房之间的距离等于　　 A. 150米 B. 600米 C. 800米 D. 1200米 5. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平行四边形中，对角线、交于点，点是的中点．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的分式方程有增根，则的值是（ ） A. B. C. D. 8. 将一个三角尺按如图所示方式放置在一张平行四边形的纸片上，∠EFG＝90°，∠EGF＝60°，∠AEF＝50°，则∠EGC的度数为（　　） A. 100° B. 80° C. 70° D. 60° 9. 如图，正五边形绕点旋转了，当时，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知，点D是的平分线上的一个定点，点E，F分别在射线和射线上，且．下列结论：①是等边三角形；②四边形的面积是一个定值；③当时，也平行于．其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 因式分解：________． 12. 已知一个凸多边形的内角和等于五边形外角和的2倍，则这个凸多边形的边数是______． 13. 进行心肺复苏急救措施时，一般胸外心脏按压速度x（单位：次）的范围如图所示，则x的取值范围可表示为________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，将线段平移后得到了线段，点A、B的对应点分别是点C、D，已知点，，，则点C的坐标为______． 15. 如图，在中，，，，点为上任意一点，连接，以为邻边作，连接，则的最小值为______． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 解不等式组，并写出它的所有正整数解． 18. 认真观察图中阴影部分构成的图案，回答下列问题． （1）请你写出这四个图案都具有的三个共同特征； （2）请在下面所给的两个网格纸中分别设计出一个图案（用阴影表示），使它也具备你所写出的上述三个特征． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，在中，E，F是对角线上的两点，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若．求线段长． 20. 若且满足，求的值． 解：设， 则， ， ， 请仿照上面方法解答下面的问题： （1）若且满足，求的值． （2）如图，已知正方形的边长为x，E，F分别是上的点，且，长方形的面积是48，分别以为边长作正方形和正方形，求阴影部分的面积． 21. 第九届亚洲冬季运动会以“冰雪同梦，亚洲同心”为主题，于2025年2月7日在哈尔滨隆重开幕．吉祥物滨滨和妮妮在市场热销，某特许商店准备购进吉祥物滨滨和妮妮，已知每件滨滨的进价比每件妮妮的进价贵10元．用360元购买滨滨的件数恰好与用300元购买妮妮的件数相同． （1）求滨滨、妮妮每件的进价分别是多少元？ （2）计划购买这两种商品共50件，且投入的经费不超过2650元，那么最多可购买多少件滨滨？ （3）在（2）的条件下，若滨滨的售价为每件80元，妮妮的售价为每件65元，则这50件商品全部售出后获得的最大利润是多少？ 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与直线轴分别交于点． （1）不等式的解集为______． （2）在轴上是否存在一点，使得是以为腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． （3）若D，E分别是直线和轴上的动点，是否存在点D，E，使得以A，B，D，E为顶点，为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 23. 综合与实践 【问题情境】在综合与实践课上，老师出示了这样一个情境： 在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，点D，E的对应点分别是点B，C． 【初探感知】（1）如图1，____________； 【深入领悟】（2）如图2，当线段经过点C时，求证：； 【融会贯通】（3）如图3，在旋转的过程中，当点D落在的延长线上时，过点E作，交的延长线于点G．请你判断线段和的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省梅州市五华县2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷 说明： 1．全卷共6页，23小题，满分为120分，考试用时为120分钟． 2．答卷前，考生先用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡上填上自己的学校、班级、姓名、座号、考号． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项上涂上答案，答案不能写在试卷上． 4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 5．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时只交回答题卡． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．掌握中心对称图形与轴对称图形的判断是解题的关键． 【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意； D、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意； 故选：A． 2. 已知，下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式的基本性质，易错在不等式的基本性质3，不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．不等式性质：基本性质1．不等式两边同时加上或减去同一个整式，不等号的方向不变．基本性质2．不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变．基本性质3．不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．根据性质逐一分析即可． 【详解】解：A．∵， ∴，故不符合题意； B． ∵， ∴， ∴，故符合题意； C．∵， ∴，故不符合题意； D． ∵， ∴，故不符合题意． 故选：B． 3. 下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了因式分解，把多项式变形为多个因式的积的形式即为因式分解，据此进行判断即可． 【详解】解：A．不是因式分解，故选项不符合题意； B．不是因式分解，故选项不符合题意； C．是因式分解，故选项符合题意； D．不是因式分解，故选项不符合题意． 故选：C． 4. 如图，某社会实践学习小组为测量学校与河对岸江景房之间的距离，在学校附近选一点，利用测量仪器测得，，AC=300米．由此可求得学校与江景房之间的距离等于　　 A. 150米 B. 600米 C. 800米 D. 1200米 【答案】B 【解析】 【分析】由，，先求解 可得 从而可得答案. 【详解】解： ，， 而AC=300米， （米）， 故选B 【点睛】本题考查的是含的直角三角形的性质，掌握“所对的直角边是斜边的一半”是解本题的关键. 5. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的应用，熟练掌握分式的意义是解题的关键．本题根据分式的意义即可得到结果． 详解】解：由题意得，， 解得， 故答案为：C． 6. 如图，在平行四边形中，对角线、交于点，点是的中点．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质．由平行四边形的性质可得，进而由点是的中点可得为的中位线，根据三角形中位线的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴为的中位线， ∵， ∴， 故选：D． 7. 若关于的分式方程有增根，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程．首先解分式方程求出方程的根为，因为分式方程有增根，所以方程的根为，解关于的一元一次方程求出的值即可． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 关于的分式方程有增根， ， 解得：．   故选：A ． 8. 将一个三角尺按如图所示的方式放置在一张平行四边形的纸片上，∠EFG＝90°，∠EGF＝60°，∠AEF＝50°，则∠EGC的度数为（　　） A. 100° B. 80° C. 70° D. 60° 【答案】B 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可得AB∥DC，再根据三角形内角和定理，即可得到∠GEF的度数，依据平行线的性质，即可得到∠EGC的度数． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∴∠AEG=∠EGC， ∵∠EFG=90°，∠EGF=60°， ∴∠GEF=30°， ∴∠GEA=80°， ∴∠EGC=80°． 故选：B． 【点睛】此题考查的是平行四边形的性质，掌握其性质定理是解决此题的关键． 9. 如图，正五边形绕点旋转了，当时，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由正五边形得到一个内角的度数，求解，利用旋转的性质与五边形的内角和公式得到答案 【详解】解：如图，因为正五边形的每一个内角为 ． 由旋转的旋转得：对应角相等， 故选C． 【点睛】本题考查的是旋转的性质，正多边形的性质，多边形的内角和定理，掌握以上知识是解题的关键． 10. 如图，已知，点D是的平分线上的一个定点，点E，F分别在射线和射线上，且．下列结论：①是等边三角形；②四边形的面积是一个定值；③当时，也平行于．其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，角平分线的性质，平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确作辅助线构造全等三角形是解题的关键.过点作于点， 于点，根据角平分线的性质得到，求得 ，根据全等三角形的判定和性质得到根据等边三角形的判定定理得到是等边三角形判断①；根据全等三角形得到，求得， 推出四边形的面积是一个定值，判断②；根据平行线的性质得到，求得，得到一定与不平行， 判断③解题． 【详解】解：过点作于点， 于点， 如图所示： ∵点是的平分线上的一点， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形；故①正确； ， ，即， ∵点是的平分线上的一个定点， ∴四边形的面积是一个定值， ∴四边形的面积是一个定值，故②正确； 如图，当时，点O与点F重合， ， ， ， ∴一定与不平行， 故③错误． 故选： C． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】用提公因式法因式分解直接可得． 【详解】． 故答案为：． 【点睛】本题考查了提公因式法因式分解，熟练提公因式法因式分解是解题的关键． 12. 已知一个凸多边形的内角和等于五边形外角和的2倍，则这个凸多边形的边数是______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和与外角和的综合应用，根据多边形的内角和的计算公式，以及任意多边形的外角和为360度，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设这个凸多边形为边形， 由题意，得：， 解得：； 故这个凸多边形为六边形； 故答案为：6． 13. 进行心肺复苏急救措施时，一般胸外心脏按压速度x（单位：次）的范围如图所示，则x的取值范围可表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题通过数轴来表示胸外心脏按压速度（单位：次 ）的取值范围，需要我们根据数轴上的信息准确确定的取值范围．本题考查数轴与不等式的关系这一知识点．解题关键在于准确理解数轴上实心点（表示包含该点对应数值）和空心点（表示不包含该点对应数值）的含义，通过观察数轴端点情况来确定变量的取值范围． 【详解】解：根据题意可得， 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，将线段平移后得到了线段，点A、B的对应点分别是点C、D，已知点，，，则点C的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，根据对应点得出平移方式是解题关键．由、连点坐标可知，线段的平移方式为先向右平移7个单位长度，再向下平移2个单位长度，据此即可得到点C的坐标． 【详解】解：由，可知，线段的平移方式为先向右平移7个单位长度，再向下平移2个单位长度， ， 对应点的坐标为即， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，，点为上任意一点，连接，以为邻边作，连接，则最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，平行四边形的性质，含直角三角形的定义，合理作出辅助线是解题的关键． 根据平行四边形的性质分析出当最短时也最短，过作的垂线，即的最小值为，利用勾股定理运算求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴当最短时也最短， ∴过作垂线，如图所示： ∴的最小值为， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法，然后将代入计算即可得． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 17. 解不等式组，并写出它的所有正整数解． 【答案】不等式组的解集是，不等式组的正整数解是1，2． 【解析】 【分析】本题考查解不等式组与不等式组正整数解，掌握解不等式组的一般步骤是解题的关键． 先解每个一元一次不等式，再取公共部分得不等式组的解集，最后根据不等式组的解集写出所有正整数解． 【详解】解：， 解①得， 解②得． 则不等式组的解集是， 则不等式组的正整数解是1，2． 18. 认真观察图中阴影部分构成的图案，回答下列问题． （1）请你写出这四个图案都具有的三个共同特征； （2）请在下面所给的两个网格纸中分别设计出一个图案（用阴影表示），使它也具备你所写出的上述三个特征． 【答案】（1）特征1：都是轴对称图形；特征2：都是中心对称图形；特征3：这些阴影图案的面积都等于4个小正方形的面积（只要答案正确即可） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查图形的设计，轴对称图形，图形的折叠，中心对称图形． （1）根据轴对称图形以及中心对称的定义解答：沿某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；绕一个点旋转后所得的图形与原图形完全重合的图形叫做中心对称图形； （2）画出同时满足轴对称图形和中心对称图形的图形即可． 【小问1详解】 解：特征1：都是轴对称图形；特征2：都是中心对称图形；特征3：这些阴影图案的面积都等于4个小正方形的面积； 【小问2详解】 解：满足条件的图案有很多，这里画三个，三个都具有上述特征，如图所示： 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，在中，E，F是对角线上的两点，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若．求线段长． 【答案】（1）见解析 （2）4 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质、勾股定理，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质，灵活运用勾股定理解决问题，属于中考常考题型． （1）连接，根据平行四边形的性质可得，根据已知证得，从而证得结论； （2）根据勾股定理求出，然后求得，进而求出． 【小问1详解】 证明：连接交于O， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：∵， ∴在中，， ∵， ∴， ∵， ∴． 20. 若且满足，求的值． 解：设， 则， ， ， 请仿照上面的方法解答下面的问题： （1）若且满足，求的值． （2）如图，已知正方形的边长为x，E，F分别是上的点，且，长方形的面积是48，分别以为边长作正方形和正方形，求阴影部分的面积． 【答案】（1） （2）阴影部分的面积为 【解析】 【分析】本题考查的是完全平方公式的变形求值，根据题意列出正确的算式并进行计算是关键， （1）设，则，，根据完全平方公式变形求值即可； （2）根据题意得出，设，则，再根据完全平方公式变形求值即可． 【小问1详解】 解：设， 则， ， ； 【小问2详解】 解：由题意得：正方形边长为，正方形的边长为， 长方形的面积是48， ， 设， 则， ， ， 阴影部分的面积为． 21. 第九届亚洲冬季运动会以“冰雪同梦，亚洲同心”为主题，于2025年2月7日在哈尔滨隆重开幕．吉祥物滨滨和妮妮在市场热销，某特许商店准备购进吉祥物滨滨和妮妮，已知每件滨滨的进价比每件妮妮的进价贵10元．用360元购买滨滨的件数恰好与用300元购买妮妮的件数相同． （1）求滨滨、妮妮每件的进价分别是多少元？ （2）计划购买这两种商品共50件，且投入的经费不超过2650元，那么最多可购买多少件滨滨？ （3）在（2）的条件下，若滨滨的售价为每件80元，妮妮的售价为每件65元，则这50件商品全部售出后获得的最大利润是多少？ 【答案】（1）滨滨每件的进价是60元，妮妮每件的进价是50元； （2）最多可购买15件滨滨； （3）这50件商品全部售出后获得的最大利润是825元． 【解析】 【分析】（1）设滨滨的进价每件是x元，则妮妮的进价每件是元，则可得：，解方程并检验可得答案； （2）设购买m件滨滨，则购买件妮妮，根据投入的经费不超过2650元，有，即可解得最多可购买15件滨滨； （3）设全部售出后获得的利润是w元，，由一次函数性质可得这50件商品全部售出后获得的最大利润是825元． 【小问1详解】 解：设滨滨的进价每件是x元，则妮妮的进价每件是元， 根据题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解，也符合题意， ∴， ∴滨滨每件的进价是60元，妮妮每件的进价是50元； 【小问2详解】 解：设购买m件滨滨，则购买件妮妮， ∵投入的经费不超过2650元， ∴， 解得， ∴最多可购买15件滨滨； 【小问3详解】 解：设全部售出后获得的利润是w元， ∴， ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴时，w取最大值，最大值为（元）， 答：这50件商品全部售出后获得的最大利润是825元． 【点睛】本题考查分式方程，一元一次不等式及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程，不等式和函数关系式． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与直线轴分别交于点． （1）不等式的解集为______． （2）在轴上是否存在一点，使得是以为腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． （3）若D，E分别是直线和轴上的动点，是否存在点D，E，使得以A，B，D，E为顶点，为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，或或 （3）存在，或 【解析】 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键： （1）直接利用图象法求出不等式的解集即可； （2）分两种情况进行讨论求解即可； （3）分四边形为平行四边形和四边形为平行四边形，两种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵直线与直线交于点， 由图象可知：的解集为：； 【小问2详解】 存在； 当时，， ∴， ∵， ∴； 当时，则：或； 当时，设， ∵，， ∴， ∴， ∴， 综上：或或； 【小问3详解】 把代入，得：， 解得：， ∴， 设， ∵以A，B，D，E为顶点，为一边的四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴点先向左移动3个单位，再向下移动个单位得到点， 当四边形为平行四边形时， ∴点先向左移动3个单位，再向下移动个单位得到点， ∴， ∵点在轴上， ∴， ∴， ∴； 当四边形为平行四边形时， ∴点先向左移动3个单位，再向下移动个单位得到点， ∴， ∵点在轴上， ∴， ∴， ∴ 综上：或． 23. 综合与实践 【问题情境】在综合与实践课上，老师出示了这样一个情境： 在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，点D，E的对应点分别是点B，C． 【初探感知】（1）如图1，____________； 【深入领悟】（2）如图2，当线段经过点C时，求证：； 【融会贯通】（3）如图3，在旋转的过程中，当点D落在的延长线上时，过点E作，交的延长线于点G．请你判断线段和的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）67.5；（2）见解析；（3），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，三角形内角和定理． （1）根据旋转的性质得到，由是等腰三角形，利用三角形内角和定理即可求解； （2）根据旋转的性质得到，进而得到，由平角的定义即可计算出，即可得出结论； （3）延长交于点 H，由旋转的性质得，，，进而得到，推出，根据，推出，得到，即可证明结论． 【详解】解：（1）根据旋转的性质得到， ，， ； （2）证明：由旋转的性质得：， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）， 理由：如图3，延长交于点 H， 由旋转的性质得，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $