精品解析：河北石家庄市辛集中学2025-2026学年高二下学期第三次阶段考试数学试题

河北辛集中学2025-2026学年度第二学期阶段三考试 高二数学试题 一、单选题（本题共8题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 2. 已知变量x，y之间具有线性相关关系，根据10对样本数据求得经验回归方程为．若，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. “”是“函数在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，则（ ） A. 1 B. 0 C. D. 5 5. 某计算机要依次执行6个算力任务，包括3个不同的图形渲染任务､2个不同的逻辑推理任务和1个数据检索任务，为了防止芯片局部过热，系统规定同类型的任务不能连续执行，则不同的任务执行顺序共有（ ） A. 60种 B. 72种 C. 96种 D. 120种 6. 已知随机事件A，B，，则等于（ ） A. B. C. D. 7. A. B. C. D. 8. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中，记载了如图所示的数表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，已知第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前35项和为（ ） A. 996 B. 995 C. 1014 D. 1024 二、多选题（共3题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若的定义域为，则定义域为 B. 函数的值域为 C. 函数的值域为 D. 定义在上的函数满足，则 10. 已知函数，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 有最小值4 C. D. 的最小值是 11. 若函数同时满足：①对于定义域内的任意x，恒有；②对于定义域上的任意，，当时，恒有.则称函数具有性质P. 下列函数具有性质P的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 某校高中男生身高（单位：cm）近似服从正态分布，现调查统计三个年级共1000名男生，按照该校学生处的统一规定：校国旗班男生身高不低于190cm．估计可以备选的男生人数约为_____人．（四舍五入取整数） 参考数据：若，则， 13. 已知某随机试验有两种可能的结果：甲和乙．若某次试验结果为甲，则下次试验出现甲的概率为0.7，出现乙的概率为0.3；若结果为乙，则下次试验出现甲的概率为0.4，出现乙的概率为0.6．已知第一次试验结果为甲，求第三次试验结果为甲的概率为______. 14. 函数的定义域为R，满足，，，，，若函数的图象与直线在y轴右侧有3个交点，则实数m的取值范围是________. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 2024年由教育部及各省教育厅组织的九省联考于1月19日开考，全程模拟高考及考后的志愿填报等．某高中分别随机调研了名男同学和名女同学对计算机专业感兴趣的情况，得到如下列联表． 对计算机专业感兴趣 对计算机专业不感兴趣 合计 男同学 女同学 合计 （1）完善以上的列联表，并判断根据小概率值的独立性检验，能否认为该校学生是否对计算机专业感兴趣与性别有关； （2）将样本的频率作为概率，现从全校的学生中随机抽取名学生，求其中对计算机专业感兴趣的学生人数的期望和方差． 附：，其中． 16. 已知函数的定义域为，当时，，且对任意满足． （1）求的值； （2）判断的单调性，并加以说明； （3）当时，试比较与的大小． 17. 为普及科学知识，提高全民科学参与度，某科技馆举办了游戏科普有奖活动，设置了甲、乙两种游戏方案，具体规则如下：玩一次甲游戏，若绿灯闪亮，获得70分；若黄灯闪亮，则获得10分；若红灯闪亮，则扣除20分（即获得-20分），绿灯，黄灯及红灯闪亮的概率分别为，，；玩一次乙游戏，若出现音乐，则获得80分；若没有出现音乐，则扣除20分（即获得-20分），出现音乐的概率为.每位顾客能参与两次甲游戏或两次乙游戏（两次游戏中甲、乙不能同时参与，只能选择其一）且每次游戏互不影响.若两次游戏后获得的分数为正，则获得奖品；若获得的分数为负，则没有奖品. ⑴若，试问顾客选择哪种游戏更容易获得奖品？请说明理由. ⑵当在什么范围内取值时，顾客参与两次乙游戏后取得的平均分更高？ 18. 已知函数. （1）当时，求函数的最小值； （2）当时，求函数的单调区间； （3）当时，设函数，若存在区间，使得函数在上的值域为，求实数的最大值. 19. 某款AI(人工智能)机器人进行射门游戏，射中得1分，未射中得分，当累计得分X达到2分或分时游戏结束，否则游戏将一直进行下去，当时获胜，当时落败．已知该款AI机器人射门的命中率为a()，每次射门相互独立． （1）求机器人恰好射门4次后获胜的概率； （2）表示“机器人射门n次，游戏仍未结束”． ①若，求和 ； ②若，求游戏结束时X的数学期望 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北辛集中学2025-2026学年度第二学期阶段三考试 高二数学试题 一、单选题（本题共8题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】先化简集合B，再利用集合的交集和补集运算求解. 【详解】解：因为，则或， 所以或， 或 故选：C 2. 已知变量x，y之间具有线性相关关系，根据10对样本数据求得经验回归方程为．若，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求得样本中心，代入回归直线方程，即可求解. 【详解】因为，，所以，， 因为，且过点，所以，解得. 3. “”是“函数在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由在上单调递增可得，即可得到结果. 【详解】，由题意得：，即在上恒成立， 因为，所以恒成立，故实数的取值范围是． 故选：B． 4. 已知，则（ ） A. 1 B. 0 C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】要想得到，可以有两种情况，第一：取，取，第二：取，取，然后相加可得. 【详解】要想得到，可以有两种情况，第一：取，取，第二：取，取， 所以的系数为：，即. 故选：A 5. 某计算机要依次执行6个算力任务，包括3个不同的图形渲染任务､2个不同的逻辑推理任务和1个数据检索任务，为了防止芯片局部过热，系统规定同类型的任务不能连续执行，则不同的任务执行顺序共有（ ） A. 60种 B. 72种 C. 96种 D. 120种 【答案】D 【解析】 【分析】先用插空法求出3个图形渲染任务互不相邻的排法总数，然后利用减法原理，从中排除2个逻辑推理任务相邻的情况，即可得答案。. 【详解】第一步，先排列2个不同的逻辑推理任务和1个数据检索任务，共有种排法； 第二步，将3个不同的图形渲染任务插入到第一步中3个不同的任务产生的4个空隙中， 共有种排法； 第三步，排除2个不同的逻辑推理任务相邻的情况， 将2个逻辑推理任务捆绑视为一个元素，此元素与数据检索任务共2个元素先进行排列，产生3个空位，有种排法； 将3个不同的图形渲染任务插入这3个空位，有种排法； 捆绑的2个逻辑推理任务内部有种排法，故共有种排法。 所以满足条件的排法总数为. 6. 已知随机事件A，B，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用条件概率的性质得，再利用条件概率公式求得，最后利用对立事件概率公式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 所以. 故选：C 7. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先判断为定义域上的偶函数，再讨论当和时的单调性，最后将不等式化为，即，求解即可． 【详解】易知为定义域上的偶函数， 当时，， 因为和均为减函数，所以在时为减函数． 根据偶函数的性质可得，在时为增函数． 所以不等式等价于或 解得．答案选B． 【点睛】本题主要考查了利用函数的单调性和奇偶性求解不等式问题，其中根据函数的解析式得到函数的定义域和单调性、奇偶性转化不等式是解题关键，着重考查了转化能力以及推理计算能力，综合性较强，属于中档题． 8. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中，记载了如图所示的数表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，已知第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前35项和为（ ） A. 996 B. 995 C. 1014 D. 1024 【答案】B 【解析】 【分析】明确杨辉三角每行数字个数及规律以及去掉1后每行数字个数规律，然后确定所求数列前35项在杨辉三角中的位置，利用等比数列求和公式求杨辉三角前行和，再去掉1的个数及第10行对应部分和，从而得到所求数列前35项和. 【详解】杨辉三角第行有个数，且数字之和为，去除两端的1后，第行剩余个数. 第2行去掉1后无数字，第3行去掉1后剩余1个数字，第4行去掉1后剩余2个数字，， 第行去掉1后剩余个数字； 那么， 当时，，即前9行去掉1后有28个数. 所以此数列的前35项应包含第10行前7个数字. 杨辉三角前行和为， 前9行和为，而前9行中两端的1共有（第1行1个，后面8行各2个）. 第10行数字为1，9，36，84，126，126，84，36，9，1， 去除首尾的1后为9，36，84，126，126，84，36，9， 前7个数字和为. 所以此数列的前35项和为. 故选：B. 二、多选题（共3题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若的定义域为，则定义域为 B. 函数的值域为 C. 函数的值域为 D. 定义在上的函数满足，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据抽象函数的定义域的求解判断A；利用分离常数化简函数解析式，结合反比型函数的值域判断B；利用换元法，结合二次函数的性质求得其值域，判断C；利用方程组法求函数解析式判断D. 【详解】对于A，因为定义域为， 对于函数，则，解得， 即定义域为，故A正确； 对于B，， 因为，所以，即函数的值域为.与选项给出的范围不符，故B不正确； 对于C，令，则，， 所以，， 所以当时，该函数取得最大值，最大值为， 所以函数的值域为，故C正确； 对于D，因为定义在上的函数满足①， 将替换成得②，由①②，得，所以，故D正确. 10. 已知函数，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 有最小值4 C. D. 的最小值是 【答案】AC 【解析】 【分析】利用数形结合确定，再利用来化简可得，再利用代换法，结合基本不等式可判断各选项. 【详解】作出函数的图象如下： 根据，，由图可得：， 则， 所以，故A正确； 由，由于，故不能取等号， 所以，故B错误； 利用，可得， 当且仅当，即时取等号，故C正确； 由， 当且仅当，即时取等号，故D错误； 故选：AC. 11. 若函数同时满足：①对于定义域内的任意x，恒有；②对于定义域上的任意，，当时，恒有.则称函数具有性质P. 下列函数具有性质P的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用函数的单调性与奇偶性，结合函数性质P的定义，逐项判断即可. 【详解】根据题意，若函数具有性质P，则满足对于定义域内的任意x， ①恒有，则为奇函数； ②当时，恒有，则在定义域上单调递减. 对于A，，其定义域为，有，则函数为奇函数， 设，当时，为增函数，是减函数， 则在上为减函数， 又为奇函数， 则在上是减函数，符合题意； 对于B，，是奇函数，但在其定义域上不是减函数，不符合题意； 对于C，是奇函数，在其定义域上是增函数，不符合题意； 对于D，定义域为，，即为奇函数； 又，故为减函数，故D正确， 故选：AD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 某校高中男生身高（单位：cm）近似服从正态分布，现调查统计三个年级共1000名男生，按照该校学生处的统一规定：校国旗班男生身高不低于190cm．估计可以备选的男生人数约为_____人．（四舍五入取整数） 参考数据：若，则， 【答案】23 【解析】 【分析】根据正态分布特殊区间的概率求解即可. 【详解】因为高中男生身高（单位：cm）近似服从正态分布, 所以男生身高不低于190cm的概率为, 所以估计可以备选的男生人数约为人. 13. 已知某随机试验有两种可能的结果：甲和乙．若某次试验结果为甲，则下次试验出现甲的概率为0.7，出现乙的概率为0.3；若结果为乙，则下次试验出现甲的概率为0.4，出现乙的概率为0.6．已知第一次试验结果为甲，求第三次试验结果为甲的概率为______. 【答案】 0.61 【解析】 【分析】利用全概率公式，将第三次试验结果为甲的事件按第二次试验的两种互斥结果拆分，分别计算对应概率后求和. 【详解】设事件表示“第次试验结果为甲”，事件表示“第次试验结果为乙”，其中， 由题意得，且条件概率满足，， 根据全概率公式，第三次试验结果为甲的概率为，  因为，， 所以. 14. 函数的定义域为R，满足，，，，，若函数的图象与直线在y轴右侧有3个交点，则实数m的取值范围是________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据函数的周期和对称性，画出函数图像，进而求出函数的图象与直线在y轴右侧有3个交点，实数m的取值范围. 【详解】因为， 所以，即为奇函数，， 又因为，所以的周期为8 由， ， 所以， 根据解析式作出函数在的图像，再根据为奇函数且周期为8， 得到函数在R上的图像，如图所示， 由题恒过点，与函数的图象在y轴右侧有3个交点， 根据图像可知当时，应有即，且同时满足无解， 当时，，， 即满足时，无解， 由图像可知等价于在R上恒成立，所以， 解得，所以. 根据图像当时，应有即，且同时满足无解， 时，则， 则当时，，则， 即时，无解， 由图像可知等价于在R上恒成立，所以， 解得，所以， 综上所述，实数m的取值范围是或. 故答案为：或. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 2024年由教育部及各省教育厅组织的九省联考于1月19日开考，全程模拟高考及考后的志愿填报等．某高中分别随机调研了名男同学和名女同学对计算机专业感兴趣的情况，得到如下列联表． 对计算机专业感兴趣 对计算机专业不感兴趣 合计 男同学 女同学 合计 （1）完善以上的列联表，并判断根据小概率值的独立性检验，能否认为该校学生是否对计算机专业感兴趣与性别有关； （2）将样本的频率作为概率，现从全校的学生中随机抽取名学生，求其中对计算机专业感兴趣的学生人数的期望和方差． 附：，其中． 【答案】（1）列联表见解析，不能 （2）期望，方差 【解析】 【分析】（1）根据条件，直接得出列联表，再根据公式计算出，即可得出结果； （2）根据条件得出，再根据二项分布的期望和方差的计算公式，即可求出结果. 【小问1详解】 完善列联表如下： 对计算机专业感兴趣 对计算机专业不感兴趣 合计 男同学 40 10 50 女同学 30 20 50 合计 70 30 100 则， 故根据小概率值的独立性检验，不能认为该校学生是否对计算机专业感兴趣与性别有关． 【小问2详解】 由（1）知，对计算机专业感兴趣的样本频率为， 设抽取的30名学生中对计算机专业感兴趣的学生的人数为X，所以随机变量， 故，． 16. 已知函数的定义域为，当时，，且对任意满足． （1）求的值； （2）判断的单调性，并加以说明； （3）当时，试比较与的大小． 【答案】（1）；（2）在上单调递增，证明见解析；（3）. 【解析】 【分析】（1）取，利用已知条件求解即可． （2）利用已知条件，结合函数的单调性的定义，转化求解判断即可． （3）推出，，然后求解与，利用函数的单调性，转化求解即可． 【详解】解：（1）由题意对任意满足． 取得，． （2）任取且，则，， ∴， ∴即，所以在上单调递增． （3）因为，同理， 所以． 又因为，且，所以． 又由（2）知在上单调递增，所以， 即， 所以． 【点睛】本题考查抽象函数的应用，考查函数的单调性的应用，函数值的求法，考查转化思想以及计算能力． 17. 为普及科学知识，提高全民科学参与度，某科技馆举办了游戏科普有奖活动，设置了甲、乙两种游戏方案，具体规则如下：玩一次甲游戏，若绿灯闪亮，获得70分；若黄灯闪亮，则获得10分；若红灯闪亮，则扣除20分（即获得-20分），绿灯，黄灯及红灯闪亮的概率分别为，，；玩一次乙游戏，若出现音乐，则获得80分；若没有出现音乐，则扣除20分（即获得-20分），出现音乐的概率为.每位顾客能参与两次甲游戏或两次乙游戏（两次游戏中甲、乙不能同时参与，只能选择其一）且每次游戏互不影响.若两次游戏后获得的分数为正，则获得奖品；若获得的分数为负，则没有奖品. ⑴若，试问顾客选择哪种游戏更容易获得奖品？请说明理由. ⑵当在什么范围内取值时，顾客参与两次乙游戏后取得的平均分更高？ 【答案】（1）顾客选择乙游戏更容易获得奖品. （2） 【解析】 【分析】（1）记事件为“顾客参与两次甲游戏后获得奖品”； 记事件为“顾客参与两次乙游戏后获得奖品”； 并设顾客参与两次甲游戏后， 获得的分数为，设顾客参与两次乙游戏后，获得的分数为，所以取值为140，80，50，20；取值为160，60 根据； ，计算和即可求解； （2）分别列出随机变量的分布列和随机变量的分布列即可求解 【详解】解：设顾客参与两次甲游戏后，获得的分数为，设顾客参与两次乙游戏后，获得的分数为. （1）当取值为140，80，50，20时，顾客参与两次甲游戏后可以获得奖品，由条件得 ，， . 记事件为“顾客参与两次甲游戏后获得奖品”， 则. 当取值为160，60时，顾客参与两次乙游戏后可以获得奖品，由条件得 ，. 记事件为“顾客参与两次乙游戏后获得奖品”， 则，因为，所以当时，顾客选择乙游戏更容易获得奖品. （2）由题意可知，的可能取值为140，80，50，20，-10，-40，则随机变量的分布列为 140 80 50 20 -10 -40 于是. 由条件知，的可能取值为160，60，-40，故随机变量的分布列为 160 60 -40 于是. 为满足题设条件只需，即，解得， 故的取值范围是. 【点睛】本题考查离散随机变量的分布列的概率计算问题和根据离散随机变量的分布列求数学期望的问题，属于中档题 18. 已知函数. （1）当时，求函数的最小值； （2）当时，求函数的单调区间； （3）当时，设函数，若存在区间，使得函数在上的值域为，求实数的最大值. 【答案】（1） （2）答案不唯一，见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求导，接着单调区间，即可得出最小值； （2）求导，对分类讨论，可求出函数的单调区间； （3）求出，通过分析，可得到在增函数，从而有，转化为在上至少有两个不同的正根，，转化为与至少有两个交点，即可求出实数的最大值. 【详解】（1）当时，， 这时的导数， 令，即，解得， 令得到， 令得到， 故函数在单调递减，在单调递增； 故函数在时取到最小值， 故； （2）当时，函数 导数为， 若时，，单调递减， 若时，， 当或时，， 当时，， 即函数在区间，上单调递减， 在区间上单调递增. 若时，， 当或时，， 当时，， 函数在区间，上单调递减， 在区间上单调递增. 综上，若时，函数的减区间为，无增区间， 若时，函数的减区间为，，增区间为， 若时，函数的减区间为，，增区间为. （3）当时，设函数. 令，， 当时，，为增函数， ，为增函数， 在区间上递增， ∵在上的值域是， 所以在上至少有两个不同 的正根，， 令，求导得，， 令， 则， 所以在递增，，， 当，，∴， 当，，∴， 所以在上递减，在上递增， ∴，∴， ∴的最大值为. 【点睛】本题考查函数的极值最值、单调性、值域、零点问题，其实质就是应用求导方法研究函数性质，关键是能结合题意构造函数，是一道综合题. 19. 某款AI(人工智能)机器人进行射门游戏，射中得1分，未射中得分，当累计得分X达到2分或分时游戏结束，否则游戏将一直进行下去，当时获胜，当时落败．已知该款AI机器人射门的命中率为a()，每次射门相互独立． （1）求机器人恰好射门4次后获胜的概率； （2）表示“机器人射门n次，游戏仍未结束”． ①若，求和 ； ②若，求游戏结束时X的数学期望 【答案】（1） （2）①， ；② 【解析】 【分析】（1）根据独立事件的乘法公式即可得到答案； （2）①利用条件概率公式即可得到答案；②分第2次游戏结束和第2次游戏未结束两种情况讨论即可. 【小问1详解】 若机器人恰好射门4次获胜，则前两次仅射中一次，后两次都射中， 故． 【小问2详解】 ①由题意得，， 所以. 若第次游戏未结束，则累计得分必为0（偶数次射门的累计得分只能是偶数，且不能为）， 可得，，， 所以． ②由题意知，，， 所以，解得（舍去）． 由题意知，的所有可能取值为2，，所以当游戏结束时，， 又考虑前两次射门，若两次都射中或都未射中，则游戏结束， 若1次命中，1次未命中，相当于重新开始， 所以，解得， 所以．所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $