精品解析：河北石家庄市部分校2025-2026学年高二第二学期期末学情分析检测数学试题

2025—2026学年高二年级第二学期期末学情分析检测 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，若，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题设，， 若，则. 2. 已知命题：，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【详解】若命题：，，则命题的否定是，. 3. 已知随机变量服从正态分布，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为随机变量服从正态分布， 所以若，则， 所以. 又，所以. 4. 的展开式中的系数为（ ） A. 15 B. 25 C. 30 D. 35 【答案】B 【解析】 【详解】， 展开式的通项为. 令，得； 令，得，. 所以的展开式中的系数为. 5. 在人工智能分拣系统中，自动化流水线每小时能够处理的快递包裹数量叫作分拣吞吐量．某物流智能分拣线的吞吐量满足关系式：（），其中为传送带的运行速度（单位：），则这条分拣线吞吐量的最大值为（ ） A. 90 B. 110 C. 135 D. 160 【答案】A 【解析】 【详解】（）， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以，. 所以当时，这条分拣线吞吐量取得最大值，最大值为. 6. 设随机变量的分布列（，2，3），则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题设，即， 所以. 7. 已知函数的定义域为，且，设函数与函数的交点共有2026个，且这些交点的坐标依次记为，，…，，则（ ） A. 0 B. 1013 C. 2026 D. 4052 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知判断和的图象关于同一个对称中心对称，利用对称性及交点个数求即可. 【详解】已知，则的图象关于点对称， 由，且， 所以，故的图象关于点对称， 所以和的交点必然也是成对的，且关于对称， 若是它们的一个交点，则也必然是它们的交点， 所以横坐标之和为，已知交点有个，因此可以配成对， 每一对交点的横坐标之和为，所以所有交点横坐标的总和为. 8. 某智能内容平台进行个性化推送测试，首次推送用户划走（不浏览）的概率为．从第2次推送开始遵循稳定行为规律：若上一次用户划走，本次继续划走的概率为；若上一次用户停留浏览，本次划走的概率为．设第次推送用户划走的概率为，若对任意，均有，则实数的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设第次推送用户划走的概率为，结合题意得，根据等比数列的定义写出通项公式，分析其单调性及不等式恒成立求参数最小值. 【详解】设第次推送用户划走的概率为，则第次用户停留浏览的概率为， 根据题意，从第次推送开始遵循稳定行为规律， 因此第次划走的概率可以表示为， 所以，整理得， 且​，所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以通项公式为，即， 所以随着的增大，逐渐减小，即单调递减， 对于任意，的最大值在时取得， 要使得对任意，均有恒成立，则实数，则的最小值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知一系列样本点（，2，3，…，）的线性回归方程为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则点一定在回归直线上 B. 至少有一个样本点落在经验回归直线上 C. 若相关系数，则两个变量负相关 D. 决定系数越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好 【答案】ACD 【解析】 【详解】A：线性回归方程的基本性质就是一定经过样本中心点，正确， B：回归直线是对变量线性趋势的拟合，所有样本点都可以不落在回归直线上，错误， C：相关系数的符号反映相关性方向：对应正相关，对应负相关，正确， D：决定系数，因此越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，正确. 10. 已知正数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【详解】正数，满足， 对于A，因为，当且仅当时，等号成立. 所以，， 所以当时，取得最大值，最大值为，故A正确. 对于B，. 因为，当且仅当，即时，等号成立. 所以当时，取得最小值，最小值为. 故B正确. ， 所以当，时，取得最小值，最小值为. 故C正确. ，当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为. 故D错误. 11. 对于三次函数（），给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的对称中心．设函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若函数对称中心的横坐标为，则 B. 若函数在上单调递减，则 C. 当时，恒有成立 D. 当时，若过点可作曲线的三条切线，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题设求得且，由题设定义列方程求参数判断A，由在上恒成立，利用二次函数的性质列不等式求参数判断B，根据已知得并判断其符号判断C，导数的几何应用求切线方程，将问题化为有三个解，即直线与有三个交点，利用导数研究函数的图象得到n的范围，即可判断D. 【详解】函数，则且， A：令，即，解得，则，得，故A正确； B：要使函数在上单调递减，需满足在上恒成立， 是开口向上的抛物线，只需， 得，故B错误； C：， ， 所以， 因为，所以 ，从而， 因此，即恒成立，故C正确； D：当时，设切点为， 切线斜率，切线为， 将点代入切线方程得， 令，则 ， 令，得，令，得或， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故极小值为，极大值为， 当时，，当时，， 要有三条切线，即直线与曲线有三个交点， 需满足，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知幂函数在上单调递减，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意可知， 所以，解得. 所以， 所以. 13. 人工智能实验室有三台运算设备：一号主机、二号工作站、三号工作站．现安排4名算法工程师与2名测试工程师开展模型调试，要求每台设备至少安排1人，一号主机必须安排4人，且两名测试工程师不能分配到同一台设备上，则不同的人员安排方案共有__________种． 【答案】18 【解析】 【分析】先给一号主机安排4名工程师，再将其余两名工程师分别分配到二号和三号工作站，即可得到所有安排方案数. 【详解】因为一号主机必须安排4人，且两名测试工程师不能分配到同一台设备上， 所以可先给一号主机安排工程师， 若将4名算法工程师都安排到一号主机，则只需将2名测试工程师分别分配到二号和三号工作站， 共有种安排方案； 若将2名测试工程师中的1名安排到一号主机，则需从4名算法工程师中选3名也安排到一号主机，并将剩余的两名工程师分别分配到二号和三号工作站， 共有种安排方案. 综上所述，不同的人员安排方案共有种. 14. 已知定义在上的函数满足且，则不等式的解集为__________． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，并利用导数分析的单调性，再根据单调性求得不等式的解集. 【详解】定义在上的函数满足， 所以. 令，则恒成立， 所以是增函数. 又， 所以不等式等价于，即， 所以， 即不等式的解集为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数是定义在上的偶函数，其中、且． （1）求函数的解析式及值域； （2）若，实数满足，求实数的取值范围． 【答案】（1），值域为 （2） 【解析】 【分析】（1）由，求得，，并代回，用偶函数的性质检验其正确性；再结合二次函数 的值域求得函数的值域； （2）写出的解析式，判断其奇偶性及单调性，再利用奇偶性及单调性求解不等式. 【小问1详解】 由题意知，即，解得，， 当，时，， 此时定义域为，定义域关于原点对称， 且，所以是偶函数， 所以． 因为，所以，所以， 所以函数的值域为． 【小问2详解】 由题意知，. 因为， 所以是偶函数， 当时，， 显然当时，， 所以在上单调递增， 所以函数在上单调递减. 所以， 所以，解得． 故实数的取值范围是． 16. 为研究青年群体的性别与对国产芯片技术关注度是否存在关联，研究人员随机抽取500名青年开展问卷调查，统计结果如下： 关注芯片技术 对芯片技术不关心 总计 男生 200 50 女生 100 总计 500 （1）补全列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断青年的性别与对国产芯片技术的关注度是否有关； （2）现采用分层随机抽样的方法从被调查的关注芯片技术的青年中随机抽取15人，再从这15人中任取3人，记抽到的男生人数为，求的分布列以及数学期望． 附：，其中． 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） 关注芯片技术 对芯片技术不关心 总计 男生 200 50 250 女生 100 150 250 总计 300 200 500 可以认为青年的性别与对国产芯片技术的关注度有关 （2） 0 1 2 3 数学期望为2． 【解析】 【分析】（1）根据已知补全列联表，再求出卡方值，应用独立性检验的基本思想得结论； （2）由题意分析得的可能取值为0，1，2，3，求出对应概率值，写出分布列，进而求期望. 【小问1详解】 根据题意，可得的列联表，如表所示： 关注芯片技术 对芯片技术不关心 总计 男生 200 50 250 女生 100 150 250 总计 300 200 500 零假设为：青年的性别与对国产芯片技术的关注度无关， 由列联表数据得， 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 可认为青年的性别与对国产芯片技术的关注度有关，此推断犯错误的概率不会超过0.001； 【小问2详解】 依题意知，这15人中男生有10人，女生有5人，则的可能取值为0，1，2，3， 可得，， ，， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 所以数学期望为. 17. 已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增． （3） 【解析】 【分析】（1）直接由导数的几何意义求切线方程可得； （2）先对函数求导，再结合导数分和两类讨论，函数的单调性； （3）不等式对任意恒成立等价于对任意恒成立．再构造函数，利用导数求得函数的最大值，即可得到实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，，定义域为， 所以. ，所以曲线在点处的切线斜率为， 则曲线在点处的切线方程为． 【小问2详解】 因为函数，定义域为， 所以， 因为恒成立，所以 当时，恒成立，，在上单调递减； 若时，令，得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增． 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 【小问3详解】 由不等式化简得：， 因为，所以对任意恒成立． 令，则， ，，，所以， 所以在上单调递减， 因此的最大值为， 故，即的取值范围为． 18. 质检车间对生产的大批量零件进行抽检，每件产品为次品的概率为（），每次抽取相互独立． （1）若有放回抽取4件产品，当时，求恰好抽到2件次品的概率； （2）若采取逐件抽检，抽到次品就停止．求在第2件抽检合格的条件下，第3件同样抽检合格的概率； （3）技术员想要估计次品率，设计了两套试验方案： 方案1：逐件有放回抽检，一旦抽到次品，或是累计抽满4件就立刻停止试验； 方案2：有放回逐次抽取4件产品． 分别求出两套方案中，次品出现频率的数学期望，并根据期望判断哪一套方案用来估计更加科学． 【答案】（1） （2） （3）方案1：次品出现的频率用随机变量表示，则的可能取值为0，，，，1， ，， ，，， 所以的分布列为： 0 1 则 ， 方案2：次品出现的频率用随机变量表示，因为， 所以，即，则， 所以方案2估计的值更合理， 【解析】 【分析】（1）满足二项分布，利用相关公式可得概率； （2）设出事件，根据题利用由条件概率公式进行求解； （3）方案1：次品出现的频率用随机变量表示，求出可能的取值及其对应的概率，从而可求出，方案2：次品出现的频率用随机变量表示，则，根据二项分布的期望公式求出，然后比较后可得结论 【小问1详解】 设次品数为，则， 则． 【小问2详解】 设事件“第2件合格”，事件“第3件合格”， 则，， 所以． 【小问3详解】 略 19. 已知函数（）． （1）当时，证明：； （2）（ⅰ）求函数的极值； （ⅱ）证明：当时，． 【答案】（1）当时，，若证，即证， 令，则， 由得，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故，即，得证； （2）（ⅰ）时，无极值；当时，极小值为，无极大值； （ⅱ）由解析式及（i）知， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以， 要证， 即证， 即证， 令，其中，则， 显然，得，，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 故时，，得证. 【解析】 【分析】（1）问题化为，构造函数，应用导数证明即可； （2）（i）对函数求导，应用分类讨论及导数研究函数对应的极值即可；（ii）首先将问题化为，再应用导数研究的符号，即可证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）因为（）的定义域为，， 当时，对任意的，，在上单调递减，无极值， 当时，令，得，解得，列表如下： 0 单调递减 极小值 单调递增 此时，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的极小值为，无极大值， 综上所述，当时，无极值， 当时，函数的极小值为，无极大值； （ⅱ）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年高二年级第二学期期末学情分析检测 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，若，则实数（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题：，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知随机变量服从正态分布，若，，则（ ） A. B. C. D. 4. 的展开式中的系数为（ ） A. 15 B. 25 C. 30 D. 35 5. 在人工智能分拣系统中，自动化流水线每小时能够处理的快递包裹数量叫作分拣吞吐量．某物流智能分拣线的吞吐量满足关系式：（），其中为传送带的运行速度（单位：），则这条分拣线吞吐量的最大值为（ ） A. 90 B. 110 C. 135 D. 160 6. 设随机变量的分布列（，2，3），则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，且，设函数与函数的交点共有2026个，且这些交点的坐标依次记为，，…，，则（ ） A. 0 B. 1013 C. 2026 D. 4052 8. 某智能内容平台进行个性化推送测试，首次推送用户划走（不浏览）的概率为．从第2次推送开始遵循稳定行为规律：若上一次用户划走，本次继续划走的概率为；若上一次用户停留浏览，本次划走的概率为．设第次推送用户划走的概率为，若对任意，均有，则实数的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知一系列样本点（，2，3，…，）的线性回归方程为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则点一定在回归直线上 B. 至少有一个样本点落在经验回归直线上 C. 若相关系数，则两个变量负相关 D. 决定系数越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好 10. 已知正数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 11. 对于三次函数（），给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的对称中心．设函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若函数对称中心的横坐标为，则 B. 若函数在上单调递减，则 C. 当时，恒有成立 D. 当时，若过点可作曲线的三条切线，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知幂函数在上单调递减，则__________． 13. 人工智能实验室有三台运算设备：一号主机、二号工作站、三号工作站．现安排4名算法工程师与2名测试工程师开展模型调试，要求每台设备至少安排1人，一号主机必须安排4人，且两名测试工程师不能分配到同一台设备上，则不同的人员安排方案共有__________种． 14. 已知定义在上的函数满足且，则不等式的解集为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数是定义在上的偶函数，其中、且． （1）求函数的解析式及值域； （2）若，实数满足，求实数的取值范围． 16. 为研究青年群体的性别与对国产芯片技术关注度是否存在关联，研究人员随机抽取500名青年开展问卷调查，统计结果如下： 关注芯片技术 对芯片技术不关心 总计 男生 200 50 女生 100 总计 500 （1）补全列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断青年的性别与对国产芯片技术的关注度是否有关； （2）现采用分层随机抽样的方法从被调查的关注芯片技术的青年中随机抽取15人，再从这15人中任取3人，记抽到的男生人数为，求的分布列以及数学期望． 附：，其中． 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 17. 已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）若对任意恒成立，求实数的取值范围． 18. 质检车间对生产的大批量零件进行抽检，每件产品为次品的概率为（），每次抽取相互独立． （1）若有放回抽取4件产品，当时，求恰好抽到2件次品的概率； （2）若采取逐件抽检，抽到次品就停止．求在第2件抽检合格的条件下，第3件同样抽检合格的概率； （3）技术员想要估计次品率，设计了两套试验方案： 方案1：逐件有放回抽检，一旦抽到次品，或是累计抽满4件就立刻停止试验； 方案2：有放回逐次抽取4件产品． 分别求出两套方案中，次品出现频率的数学期望，并根据期望判断哪一套方案用来估计更加科学． 19. 已知函数（）． （1）当时，证明：； （2）（ⅰ）求函数的极值； （ⅱ）证明：当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $