3.1 函数的概念及其表示【重点•题型】精讲-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学函数的概念及其表示核心知识点，系统梳理函数与映射的概念辨析，定义域、解析式、值域三要素的确定方法，分段函数的定义及应用，以及相等函数判断、映射个数计算等知识拓展，构建从基础概念到综合应用的学习支架。 该资料通过8类重难点题型（如判断函数关系、求抽象函数定义域等），结合配方法、换元法等解题方法总结，培养学生用数学眼光观察函数本质，用数学思维解决问题的能力。题型涵盖选择、填空、解答，课中辅助教师分层教学，课后帮助学生巩固知识，查漏补缺。

专题3.1 函数的概念及其表示 【知识点一、函数的概念】 1．函数与映射的相关概念 (1)函数与映射的概念 函数 映射 两个集合A、B 设A、B是两个非空数集 设A、B是两个非空集合 对应关系 按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应 按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应 名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射 记法 y＝f(x)，x∈A f：A→B 注意：判断一个对应关系是否是函数关系，就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点． (2)函数的定义域、值域 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． (3)构成函数的三要素 函数的三要素为定义域、值域、对应关系. (4)函数的表示方法 函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法. 解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域； 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征； 图象法：注意定义域对图象的影响. 【知识点二、函数的三要素】 1．函数的定义域 函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为： (1)分式函数中分母不等于零. (2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R. (4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}. 2．函数的解析式 (1)函数的解析式是表示函数的一种方式，对于不是y＝f(x)的形式，可根据题目的条件转化为该形式. (2)求函数的解析式时，一定要注意函数定义域的变化，特别是利用换元法(或配凑法)求出的解析式，不注明定义域往往导致错误. 3．函数的值域 函数的值域就是函数值构成的集合，熟练掌握以下四种常见初等函数的值域： (1)一次函数y＝kx＋b(k为常数且k≠0)的值域为R. (2)反比例函数(k为常数且k≠0)的值域为(−∞，0)∪(0，＋∞)． (3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数且a≠0)， 当a>0时，二次函数的值域为； 当a<0时，二次函数的值域为. 求二次函数的值域时，应掌握配方法：. 【知识点三、分段函数】 分段函数的概念 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，则这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 【知识拓展】 1．(1)相等函数—如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数相等． ①两个函数是否是相等函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示相等函数． ②函数的自变量习惯上用x表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)＝2x−1，g(t)＝2t−1，h(m)＝2m−1均表示相等函数. (2)映射的个数 若集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从集合A到集合B的映射共有个． 2．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集． 重难点题型1 判断对应关系（或图像）是否为函数 判断对应关系是否为函数的2个条件： (1)A，B必须是非空实数集． (2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应． 对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系． 1．（25-26高一上·山西太原·阶段检测）给出下列四个命题: ①函数就是两个数集之间的对应关系; ②若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素; ③因为的函数值不随x的变化而变化，所以不是函数; ④定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了.其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】函数关系的判断 【分析】利用函数的定义依次判断即可. 【详解】对于①，函数即是建立在两个数集上的对应关系，故①正确； 对于②，根据函数的定义，函数的定义域中只含有一个元素，则根据对应关系，只有唯一的函数值与之对应，即值域也只含有一个元素，故②正确； 对于③，满足对任意，都有唯一的函数值与之对应，故是函数，③错误； 对于④，根据函数的定义，当定义域和对应关系确定后，函数即被唯一确定，故而函数的值域也就确定了，故④正确. 故选：C 2．（25-26高一上·贵州·期中）下列各图中，不能表示函数图象的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【难度】0.94 【知识点】函数关系的判断 【分析】根据函数的定义进行判断即可. 【详解】因为B选项中，当时，一个的值有两个的值与之对应，不符合函数的定义. 又A、C、D均符合函数的定义. 故选：B 3．设集合，则下列图象能表示从集合到集合的函数关系的有（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【难度】0.65 【知识点】函数关系的判断 【分析】根据函数关系的定义逐个判断即可. 【详解】A选项，集合P中的这部分在集合Q中没有元素对应，故A选项错误； B选项，，均存在唯一与其对应，故B选项正确； C选项，存在集合P中一个元素对应集合Q中的两个元素，故C选项错误； D选项，集合P中的元素2对应了集合Q中的两个元素，故D选项错误； 故选：B. 4．（25-26高一上·河南郑州·阶段检测）下列从集合到集合的对应关系中，是的函数的是（    ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】函数关系的判断 【分析】根据函数的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，因为，但是没有意义，0在中无对应的元素，A不符合题意； 对于B，因为对于任意一个实数，当时，无意义，B不符合题意； 对于C，任意一个实数，，因此同时满足任意性和唯一性，C符合题意； 对于D，当时，，不满足函数值的唯一性，D不符合题意. 故选：C. 5．（25-26高一上·广西玉林·期末）（多选题）已知集合，集合，下列表达式能建立从集合到集合的函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【难度】0.85 【知识点】函数关系的判断 【分析】根据给定条件，利用函数的定义逐一判断即可. 【详解】由从集合到集合的函数关系，得集合中的每个元素，按照给定法则，在集合中有唯一元素与之对应， 对于A，当时，，A不是； 对于B，由，得，则对每个，有唯一，B是； 对于C，当时，，C不是； 对于D，由，得，则对每个，有唯一，D是. 故选：BD 6．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）（多选题）下列对应为集合B到C的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】函数关系的判断 【分析】结合函数定义，逐项判断是否满足集合中每个元素，集合中都有唯一确定的元素与之对应即可得. 【详解】对A：令，则，集合中有两个元素与对应，不符，故A错误； 对B：任意元素，集合中都有唯一确定元素与之对应，符合，故B正确； 对C：时，集合有唯一元素与之对应， 时，集合有唯一元素与之对应， 时，集合有唯一元素与之对应， 故任意元素，集合中都有唯一确定元素与之对应，符合，故C正确； 对D：任意元素，则，又因为，有， 即集合中都有唯一确定元素与之对应，符合，故D正确； 故选：BCD. 7．（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期中）（多选题）以下y与x的关系中，其中y是关于x的函数的有（   ） A．   B． x 1 1 3 4 y 2 4 4 3 C． D．   【答案】AD 【难度】0.85 【知识点】函数关系的判断 【分析】根据函数的定义，结合对应关系，即可判断选项． 【详解】对于A，满足函数的定义，故A正确； 对于B，由对应关系可知，不满足函数的定义，一个对应两个不同的的值，故B错误； 对于C，，一个对应两个不同的的值不满足函数的定义，故C错误； 对于D，由对应关系可知，满足函数的定义，故D正确． 故选：AD． 8．（25-26高一上·云南红河·期中）（多选题）下列图形中，不是以为自变量的函数的图象的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】BC 【难度】0.94 【知识点】函数关系的判断 【分析】根据函数的定义依次判断各个选项. 【详解】对于AD，均满足函数的定义； 对于B，存在着一个的值对应着多个的值，不符合函数的定义，故它不能表示以为自变量的函数的图象； 对于C，图形与轴有两个交点，即有两个函数值与对应，不满足函数定义，故C不能表示以为自变量的函数的图象. 故选：BC. 重难点题型2 求具体函数的定义域 基本的函数定义域限制： 求解函数的定义域应注意： （1）分式的分母不为零； （2）偶次方根的被开方数大于或等于零： （3）零次幂或负指数次幂的底数不为零； （4）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域． 1．（2026高二下·浙江·学业考试）函数的定义域为（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【难度】0.92 【知识点】具体函数的定义域 【详解】要使函数有意义， 需使，解得且， 所以函数的定义域为且. 2．（24-25高一上·福建漳州·阶段检测）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】具体函数的定义域 【分析】由解析式有意义列出不等式，解得函数定义域． 【详解】由题可知且， 所以函数的定义域为. 故选：D． 3．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、具体函数的定义域 【分析】根据解析式有意义列不等式组求解即可. 【详解】解不等式组，得且， 即， 所以函数的定义域为. 故选：C 4．（24-25高一上·江苏无锡·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、具体函数的定义域 【分析】根据代数式有意义的条件列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】因为， 所以， 所以函数的定义域为， 故选：C． 5．（25-26高一上·重庆北碚·期末）函数的定义域为___________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】具体函数的定义域 【分析】根据二次根式和分式的意义求解即可. 【详解】要使函数有意义，则，解得且 所以函数的定义域为 故答案为： 6．（25-26高一上·上海普陀·阶段检测）已知，函数的定义域为，则k的取值范围是________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】具体函数的定义域、一元二次不等式在实数集上恒成立问题、已知函数的定义域求参数 【分析】对进行分类讨论，利用一元二次不等式恒成立的条件即可求解. 【详解】由题意可得不等式对于任意实数成立， 当时，不等式即为，符合题意； 当时，则有，解得， 综上所述，的取值范围是. 故答案为： 重难点题型3 求抽象函数的定义域 1、抽象函数的定义域求法：此类型题目最关键的就是法则下的定义域不变，若的定义域为，求中的解的范围，即为的定义域，口诀：定义域指的是的范围，括号范围相同．已知的定义域，求四则运算型函数的定义域 2、若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集． 1．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（   ） A． B． C．[1，3] D．(1，3] 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】具体函数的定义域、抽象函数的定义域 【详解】因为函数的定义域为，所以函数的定义域为， 所以的定义域需满足： ，解得. 2．（25-26高一上·安徽芜湖·阶段检测）若函数的定义域为，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】抽象函数的定义域 【分析】应用抽象函数定义域计算求解. 【详解】因为函数的定义域为， 所以可知，解得． 所以的定义域为. 故选：A. 3．（25-26高一上·江苏淮安·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】具体函数的定义域、抽象函数的定义域 【分析】根据给定条件，利用函数有意义，结合复合函数的意义，列出不等式求解作答. 【详解】依题意，，解得， 所以函数的定义域为. 故选：D. 4．（25-26高三上·重庆渝北·阶段检测）已知函数的定义域为则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】具体函数的定义域、抽象函数的定义域 【分析】根据抽象函数定义域的求法结合偶次根式有意义的条件得到关于的不等式组，解不等式组即可求解. 【详解】由于函数的定义域为所以，则, 所以的定义域满足,解得：, 所以的定义域为：； 故选：B 5．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】复合函数的定义域、抽象函数的定义域 【分析】由的定义域为，得到 的定义域为，进而得到的定义域为. 【详解】因为的定义域为，所以，所以 则的定义域为，故对于，令解得. 故的定义域为. 故答案为：. 6．（25-26高一上·贵州六盘水·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为_____. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】具体函数的定义域、抽象函数的定义域 【分析】结合分式型函数、抽象函数有意义列式求解即可. 【详解】因为函数的定义域是， 所以对于有， 解得且， 所以函数的定义域是. 故答案为：. 重难点题型4 判断函数是否为同一（或相等）函数 判断函数相等的方法： (1)先看定义域，若定义域不同，则不相等； (2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同． 1．（25-26高一上·广东肇庆·期末）下列四组函数中，表示同一个函数的一组是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】具体函数的定义域、判断两个函数是否相等 【分析】根据同一函数的定义，分别逐一求解、验证定义域和对应法则是否相同，即可得到结论． 【详解】对于A中，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不相同，所以不是同一个函数； 对于B中，函数和的定义域都是，对应法则相同，所以是同一个函数； 对于C中，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不相同，所以不是同一个函数； 对于D中，函数的定义域为，的定义域为，定义域不相同，所以不是同一个函数. 故选：B 2．（25-26高一上·贵州遵义·期末）下列各组函数是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】判断两个函数是否相等 【分析】根据同一函数的概念，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】对于A，，与的定义域不同，对应关系也不同，不是同一函数，A错误； 对于B，，与的对应关系不同，不是同一函数，B错误； 对于C，，与的定义域不同，不是同一函数，C错误； 对于D，，与的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数，D正确． 故选：D． 3．（25-26高一上·海南·期中）下列函数与是同一个函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】判断两个函数是否相等 【分析】根据函数定义域和对应关系来分析即可. 【详解】由函数的定义域为， 选项A：的定义域为， 因为， 与函数的关系式不相同，故A选项不正确， 选项B：的定义域为， 与函数的定义域不相同，故B选项不正确， 选项C：的定义域为， 与函数的定义域不相同，故C选项不正确， 选项D：的定义域为， 且， 与函数的定义域和对应关系都相同，故D选项正确， 故选：D. 4．（多选题）下列各组函数是同一函数的为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】AC 【难度】0.72 【知识点】判断两个函数是否相等 【分析】结合同一函数的定义，逐一判断两个函数的定义域与对应关系是否一致即可得. 【详解】选项A：和的定义域都是全体实数，对应法则相同，是同一函数； 选项B：的定义域是；要求分母不为0，定义域是，二者定义域不同，不是同一函数； 选项C：，定义域是；的分段表达式即为，定义域也是，定义域和对应法则都相同，是同一函数； 选项D：的定义域满足，即， 化简得：， 与的对应法则不同，不是同一函数. 5．（25-26高一上·宁夏银川·期中）（多选题）在下列四组函数中，与表示同一函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】判断两个函数是否相等 【分析】同一函数要求定义域和解析式完全一致，根据每个选项中的解析式分别求解定义域，化简解析式，再判断即可. 【详解】对于A，因为的定义域为R，的定义域为， 定义域不同，故不是同一函数； 对于B，， 所以与定义域与解析式完全一致，故两个函数是同一函数； 对于C，计算的定义域，得， 计算的定义域，得，因此两个函数的定义域相同， 又， 所以两个函数的对应关系也相同，故两个函数是同一函数； 对于D，因为的定义域为R，的定义域为，定义域不同， 故不是同一函数. 故选：BC. 6．（25-26高一上·广东清远·期中）（多选题）下列四组函数中表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】具体函数的定义域、判断两个函数是否相等 【分析】根据函数的定义域及解析式逐项分析即可. 【详解】A 选项，的定义域为，的定义域为， 它们的定义域不同，故不为同一函数； B选项，定义域都为，解析式相同，故为同一函数； C选项，定义域为，定义域为，它们的定义域不同，故不为同一函数； D选项，定义域都为，，故为同一函数. 故选：BD 重难点题型5 求函数解析式 1．（25-26高一上·四川泸州·期中）已知一次增函数满足，则（    ） A．-1或3 B．-3或-1 C．3 D．-1 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】已知函数类型求解析式、求函数值 【分析】根据条件，利用待定系数法，求出，即可求解. 【详解】由一次增函数，可设， 则， 所以，解得或（舍去）， 当时，，此时，， 故选：D 2．（24-25高一上·广东·期中）的定义域为，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、函数方程组法求解析式 【分析】建立方程组求出的解析式，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】由，得，联立消去，得， 而，则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值. 故选：A 3．（25-26高一上·河北沧州·阶段检测）已知函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】函数方程组法求解析式 【分析】采用方程组法消去，得出的解析式即可. 【详解】由，以替代，可得， 联立，消去，得. 故选：A. 4．（24-25高二下·黑龙江牡丹江·期末）已知一次函数满足，则______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知函数类型求解析式 【分析】设，代入利用恒等式思想建立方程组，解之可得答案. 【详解】设，由， 即，即， 即，解得，所以. 故答案为：. 5．（25-26高一上·湖北黄冈·阶段检测）已知，则__________ 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知f（g（x））求解析式 【分析】利用换元法求解析式即可． 【详解】令，则， 因为，所以， 所以． 故答案为：． 6．（25-26高一上·陕西延安·期中）若，则的解析式为___________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知f（g（x））求解析式 【分析】利用换元法求函数解析式. 【详解】设，则，且. 所以，. 所以. 故答案为： 7．（25-26高二下·全国·期末）（1）已知是二次函数，且，，求的解析式； （2）已知函数满足，求的解析式． 【答案】（1）；（2） 【难度】0.78 【知识点】已知函数类型求解析式、函数方程组法求解析式 【分析】（1）借助待定系数法，设，结合题目所给条件计算即可得； （2）借助方程组法，由可得，即可求出. 【详解】（1）设， 由，知，， 又由， 得， 即， 所以，解得， 所以； （2）由， 得， ，得， 即， 故的解析式是. 8．（1）已知，求的解析式． （2）已知是一次函数，并且，求． （3）函数满足方程，且，求． 【答案】（1），；（2）或；（3），. 【难度】0.65 【知识点】已知函数类型求解析式、函数方程组法求解析式、已知f（g（x））求解析式 【分析】（1）利用换元法求函数的解析式； （2）利用待定系数法求函数的解析式； （3）用代替，构造函数方程，求函数的解析式. 【详解】（1）设，则，，且， 所以，. 用代替，得：，. （2）因为为一次函数，可设，. 所以， 又， 所以或. 所以或. （3）因为① 用代替，得② ①②得：，. 重难点题型6 求函数的值域 求函数值域的基本方法 1．观察法： 通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域． 2．利用常见函数的值域： 一次函数的值域为；反比例函数的值域为；指数函数的值域为；对数函数的值域为；正、余弦函数的值域为；正切函数的值域为. 3．分离常数法： 将形如(a≠0)的函数分离常数，变形过程为： ，再结合x的取值范围确定的取值范围，从而确定函数的值域. 4．换元法： 对某些无理函数或其他函数，通过适当的换元，把它们化为我们熟悉的函数，再用有关方法求值域．如：函数，可以令，得到，函数可以化为(t≥0)，接下来求解关于t的二次函数的值域问题，求解过程中要注意t的取值范围的限制． 5．配方法： 对二次函数型的解析式可以先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域的方法求函数的值域． 6．数形结合法： 作出函数图象，找出自变量对应的范围或分析条件的几何意义，在图上找出值域． 7．单调性法： 函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其单调性，进而求函数的最值和值域． 8．判别式法： 将函数转化为二次方程：若函数y＝f(x)可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程a(y)x2＋b(y)x＋c(y)＝0，则在a(y)≠0时，由于x，y为实数，故必须有Δ＝b2(y)－4a(y)·c(y)≥0，由此确定函数的值域． 利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数、“无理”函数等，使用此法要特别注意自变量的取值范围. 1．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】先求出函数的值域，再要注意，进而可以求解． 【详解】解：令， 当时，，又， 所以，，即 所以， 故选：D． 2．已知函数，（），则它的值域为（    ） A． B．（-3，0） C．（-1，0） D．（-2，0） 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】化简函数，结合，求得的取值范围，即可求解. 【详解】由题意，函数 设，则，可得 故的值域为. 故选：D. 3．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】令，化简函数为，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】令，则且，则， 当时，函数单调递减，所以，所以的值域为. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了函数的值域的求解，其中解答中合理利用换元法，结合二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 4．（25-26高一上·北京·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】确定函数的定义域，分析分母的取值范围，进而得值域． 【详解】函数的定义域为， 当时，，从而，则， 故函数的值域为． 故选：D． 5．（24-25高一上·河北石家庄·期中）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】分离常数可得函数单调性，进而可得值域. 【详解】由已知函数定义域为， 且， 则， 即， 故选：C. 6．（25-26高一上·四川达州·期中）函数的值域为________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】令，转换成二次函数即可求解. 【详解】令，则， 的图像开口向下，对称轴， ∴在上是减函数， ， 所以的值域为. 故答案为： 7．（25-26高一上·天津滨海新区·期中）已知，则的值域为________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域 【分析】由二次函数的性质得出值域. 【详解】由，开口向上，对称轴为， 当时，，当时，， 则的值域为. 故答案为：. 8．（25-26高一上·上海徐汇·期末）函数的值域为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】函数的定义域为，令，将问题转化为，再分，，三种情况，结合基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以函数的定义域为 ， 令，则，代入解析式得：， 当时，， 当时， 当时，，当且仅当，即时等号成立，故，； 当时,,则，当且仅当，即时等号成立，故，； 综上，的值域为，即函数的值域为 故答案为： 9．（24-25高一上·广西玉林·期中）根据以下要求求取定义域与值域 (1)已知的定义域为，求的定义域. (2)求下列函数的值域 ①； ②； ③； 【答案】(1)； (2)①；②；③. 【难度】0.65 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、求二次函数的值域或最值、抽象函数的定义域 【分析】（1）根据给定条件，利用抽象函数定义域求法求解即可. （1）①②利用配方法，借助二次函数求出值域；③利用分式函数求值域的方法求解即得. 【详解】（1）在函数中，，则， 因此在函数中，，解得， 所以函数的定义域为. （2）①函数的定义域为R，，当且仅当时取等号， 所以函数的值域为. ②函数的定义域为， ，当且仅当时取等号， 所以函数的值域为. ③函数的定义域为，， 所以函数的值域为. 10．（24-25高一上·广东中山·阶段检测）求下列函数的值域： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、复杂（根式型、分式型等）函数的值域、求二次函数的值域或最值 【分析】（1）由基本不等式求出即可； （2）设，结合二次函数的性质求解即可； 【详解】（1）， 当且仅当时取等号， 所以函数的值域为， （2）设，则， 所以， 所以值域为. 重难点题型7 分段函数的应用 1．（25-26高二下·陕西商洛·期末）已知函数若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.82 【知识点】分段函数的性质及应用、解分段函数不等式 【详解】由题意得，. 若，即，，解得. 若，即，，解得. 综上所述，. 2．（2026·云南曲靖·一模）设函数，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、分段函数的性质及应用、解分段函数不等式 【分析】根据分段函数的特点，分段列不等式求解最后取并集即可. 【详解】当时，， 令，即，解得（舍去）或； 当时，， 令，即，解得. 综上，的x的取值范围是. 3．（25-26高一上·山东潍坊·期中）已知函数若，则（    ） A．-1 B．0 C． D．1 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】分段函数的性质及应用、已知分段函数的值求参数或自变量 【分析】分类讨论求分段函数值解方程即可求解. 【详解】第一种情况：当时, 单调递减,,,方程无解. 第二种情况：当时, 单调递减,,,方程无解. 第三种情况：时,,, ,, 故选：B. 4．已知函数，若，则x的值为______． 【答案】或 【难度】0.85 【知识点】分段函数的性质及应用、已知分段函数的值求参数或自变量、解分段函数不等式 【分析】分和两种情况即可求解. 【详解】当，即时， 由得， 所以； 当，即时， 由，解得. 故答案为：或. 5．（24-25高一上·广东深圳·期中）已知函数，则___________. 【答案】 【难度】0.94 【知识点】分段函数的性质及应用、求分段函数解析式或求函数的值、求分段函数值、求函数值 【分析】根据分段函数的表达式求出. 【详解】因为函数，所以. 故答案为：. 6．已知函数，若的最小值是a，则a的值为__________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】分段函数的性质及应用、根据分段函数的值域（最值）求参数 【解析】利用指数函数的单调性，可得时，的最小值为，由题意可得在时取得最小值，求得对称轴，可得，解得即可； 【详解】解：当时，在定义域上单调递增，所以 即时，的最小值为； 当时， 由题意可得在时取得最小值，即有，所以，则，解得 故答案为： 重难点题型8 综合应用 1．若二次函数，满足对称轴为，且． (1)求的解析式； (2)若在区间上，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.75 【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、求二次函数的解析式 【分析】（1）根据对称轴和已知函数值求二次函数解析式；（2）不等式恒成立参变分离转化为的最小值. 【详解】（1）二次函数，， 则， 对称轴为，，则， 所以. （2）不等式恒成立， 即恒成立， 即， 令， 对称轴为，所以在上单调递减， ， 所以， 实数的取值范围为. 2．（25-26高一下·贵州毕节·期中）高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家、是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数称为高斯函数，其中表示不超过实数x的最大整数，如，． (1)求不等式的解集； (2)若，，，求m的取值范围； (3)若的解集为，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.61 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数、解含有参数的一元二次不等式、函数新定义 【分析】（1）利用十字相乘法得到，所以； （2），使得，又，则； （3）十字相乘得到，分，，三种情况，结合不等式解集为得到不等式，求出答案． 【详解】（1）由，即， ，所以． 所以的解集为； （2），，此时， 即，使得， 又， 则， 故的取值范围为； （3）不等式，即， 由方程可得或． ①若，不等式为， 即，所以，不符合题意； ②若，， 由，解得， 因为不等式的解集为， 所以，解得； ③若，， 由，解得， 因为不等式解集为， 所以，解得． 综上所述，的范围为． 3．（25-26高一上·江苏徐州·期末）已知. (1)若定义域为，求实数的取值范围； (2)若定义域为，求实数的值； 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、由一元二次不等式的解确定参数、已知函数的定义域求参数 【分析】（1）若定义域为，由恒成立求解； （2）若定义域为，则-6，2是一元二次方程的两根，由韦达定理求解； 【详解】（1）若定义域为，则恒成立， 则，或， 解得：； （2）若定义域为， 则-6，2是一元二次方程的两根， 由韦达定理得，解得：； 4．（25-26高一上·江苏连云港·期末）已知 (1)求函数的解析式. (2)若，求关于的不等式的解集; (3)若，成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2)①若；②；③ (3) 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、解含有参数的一元二次不等式、已知f（g（x））求解析式 【分析】（1）换元法即可求解； （2）因式分解，再讨论根的大小即可； （3）按照二次项系数是否为零，分情况讨论即可. 【详解】（1）因为，令则，化简得，所以. （2）即，即，即，当时； 当； 当 综上：当时原不等式的解集为； 当时原不等式的解集为； 当时原不等式的解集为. （3）由题意得恒成立， 当时显然成立； 当，即，解得. 综上：的取值范围是 （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．（25-26高一上·山西朔州·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】具体函数的定义域、抽象函数的定义域 【分析】由函数的定义域求解的定义域，再结合函数求解定义域. 【详解】因为函数的定义域为，即，所以， 所以的定义域为，又，则， 所以，因此函数的定义域为， 故选：C． 2．（25-26高一上·贵州贵阳·期末）下列哪一组中的函数与是同一函数（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】具体函数的定义域、判断两个函数是否相等 【分析】分别求每个选项的两个函数的定义域和对应关系即可得正确选项. 【详解】对于A：的定义域为 ，定义域为 ， 定义域不同，所以不是同一函数，故选项A不正确； 对于B：的定义域为，的定义域为， 对应关系不同，所以不是同一函数，故选项B错误； 对于C：的定义域为，的定义域为， 定义域和对应关系都相同，所以是同一函数，故选项C正确； 对于D：的定义域为， 的定义域为，定义域不同，所以不是同一函数，故选项D错误； 故选：C. 3．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】已知f（g（x））求解析式 【分析】令，利用换元法求得，从而求得. 【详解】令，则， 所以，， 所以. 故选：B. 4．（25-26高一上·贵州·期中）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由函数的周期性求函数值、求分段函数值 【分析】根据题意，推得，即可求得的值. 【详解】， 故选：B 二、多选题 5．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数满足，则（ ） A． B．的值域为 C．的定义域为 D． 【答案】BCD 【难度】0.7 【知识点】求函数值、复合函数的定义域、常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、已知f（g（x））求解析式 【分析】对于A，由配凑法或整体换元法可得解析式；对于B，由A分析可得解析式，据此可得值域；对于C，由复合函数定义域求法可得答案；对于D，由A分析可得，据此可得答案. 【详解】对于A，法一：依题意，， 则，故A错误； 法二：设，则，且，则， 所以则，故A错误； 对于B，当时，，当且仅当时取等号， 因此的值域为，故B正确； 对于C，在中，令，解得， 因此的定义域为，故C正确； 对于D，，因此，故D正确． 6．（25-26高一下·山西阳泉·开学考试）下列命题正确的是（    ） A．命题“，”的否定是“，” B．与是同一个函数 C．函数的最小值为2 D．若函数的定义域为，则的定义域为 【答案】AD 【难度】0.75 【知识点】全称命题的否定及其真假判断、抽象函数的定义域、判断两个函数是否相等、基本不等式求和的最小值 【分析】利用全称量词的否定可判断A，根据函数三要素可判断B，利用基本不等式即可判断C，同时要注意取等条件，利用可求的定义域. 【详解】对A：命题“，”的否定是“，”，故A正确； 对B：函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不一样，所以两个函数不是同一个函数，故B错误； 对C：， 当且仅当即当时等号成立， 但，故等号不成立，所以函数，故C错误； 对D：若函数的定义域为，则，∴， 所以函数的定义域为，故D正确. 三、填空题 7．已知函数，则___________ 【答案】 【难度】0.6 【知识点】求函数值、求分段函数值 【分析】直接由分段函数求函数值可得. 【详解】因为函数，且， 所以 . 8．（25-26高一上·广东·阶段检测）已知函数，若，则_____． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、求分段函数值 【分析】本题考查分段函数求值问题，解题的关键在于根据自变量的取值范围选择对应的函数表达式进行计算. 【详解】，所以，当时，无解； 当时，，解得，（正值舍去）． 故答案为． 9．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若函数的定义域为，则实数m的取值范围为______． 【答案】 【难度】0.68 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、已知函数的定义域求参数 【分析】将问题转化为一元二次型不等式恒成立问题，然后按照和分类讨论求解即可. 【详解】要使有意义，则有， 因为函数的定义域为，故在上恒成立， 当时，，恒成立； 当时，则有，解得； 综上，实数的取值范围为. 10．（25-26高三上·陕西渭南·期中）已知函数，若，则实数的最大值为____________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量 【分析】结合分段函数解析式分情况列方程解方程即可. 【详解】设，则， 当时，，解得， 当时，，解得， 所以或， 易知有两个解，即或， 若， 当时，，解得， 当时，，解得， 综上所述，的值有，，，， 其中最大值为， 故答案为：. 四、解答题 11．（25-26高一下·河北唐山·开学考试）函数，， (1)当时，若，求实数的值； (2)已知，且，求的解集． 【答案】(1) (2)当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 【难度】0.74 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、求解析式中的参数值 【分析】（1）由中对应项系数相等可得； （2）由已知得的关系，不等式化简后，根据的大小分类讨论． 【详解】（1）当时，， ， 得，； （2），，， 由可得， 整理并代入得， 即， 已知，若，即时，或， 若，即时，， 若，即时，或， 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 12．（25-26高一下·贵州毕节·期中）高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家、是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数称为高斯函数，其中表示不超过实数x的最大整数，如，． (1)求不等式的解集； (2)若，，，求m的取值范围； (3)若的解集为，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.61 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数、函数新定义 【分析】（1）利用十字相乘法得到，所以； （2），使得，又，则； （3）十字相乘得到，分，，三种情况，结合不等式解集为得到不等式，求出答案． 【详解】（1）由，即， ，所以． 所以的解集为； （2），，此时， 即，使得， 又， 则， 故的取值范围为； （3）不等式，即， 由方程可得或． ①若，不等式为， 即，所以，不符合题意； ②若，， 由，解得， 因为不等式的解集为， 所以，解得； ③若，， 由，解得， 因为不等式解集为， 所以，解得． 综上所述，的范围为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1 函数的概念及其表示 【知识点一、函数的概念】 1．函数与映射的相关概念 (1)函数与映射的概念 函数 映射 两个集合A、B 设A、B是两个非空数集 设A、B是两个非空集合 对应关系 按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应 按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应 名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射 记法 y＝f(x)，x∈A f：A→B 注意：判断一个对应关系是否是函数关系，就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点． (2)函数的定义域、值域 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． (3)构成函数的三要素 函数的三要素为定义域、值域、对应关系. (4)函数的表示方法 函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法. 解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域； 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征； 图象法：注意定义域对图象的影响. 【知识点二、函数的三要素】 1．函数的定义域 函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为： (1)分式函数中分母不等于零. (2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R. (4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}. 2．函数的解析式 (1)函数的解析式是表示函数的一种方式，对于不是y＝f(x)的形式，可根据题目的条件转化为该形式. (2)求函数的解析式时，一定要注意函数定义域的变化，特别是利用换元法(或配凑法)求出的解析式，不注明定义域往往导致错误. 3．函数的值域 函数的值域就是函数值构成的集合，熟练掌握以下四种常见初等函数的值域： (1)一次函数y＝kx＋b(k为常数且k≠0)的值域为R. (2)反比例函数(k为常数且k≠0)的值域为(−∞，0)∪(0，＋∞)． (3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数且a≠0)， 当a>0时，二次函数的值域为； 当a<0时，二次函数的值域为. 求二次函数的值域时，应掌握配方法：. 【知识点三、分段函数】 分段函数的概念 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，则这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 【知识拓展】 1．(1)相等函数—如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数相等． ①两个函数是否是相等函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示相等函数． ②函数的自变量习惯上用x表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)＝2x−1，g(t)＝2t−1，h(m)＝2m−1均表示相等函数. (2)映射的个数 若集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从集合A到集合B的映射共有个． 2．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集． 重难点题型1 判断对应关系（或图像）是否为函数 判断对应关系是否为函数的2个条件： (1)A，B必须是非空实数集． (2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应． 对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系． 1．（25-26高一上·山西太原·阶段检测）给出下列四个命题: ①函数就是两个数集之间的对应关系; ②若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素; ③因为的函数值不随x的变化而变化，所以不是函数; ④定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了.其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26高一上·贵州·期中）下列各图中，不能表示函数图象的是（   ） A．   B．   C．   D．   3．设集合，则下列图象能表示从集合到集合的函数关系的有（   ） A．   B．   C．   D．   4．（25-26高一上·河南郑州·阶段检测）下列从集合到集合的对应关系中，是的函数的是（    ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 5．（25-26高一上·广西玉林·期末）（多选题）已知集合，集合，下列表达式能建立从集合到集合的函数关系的是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）（多选题）下列对应为集合B到C的函数是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期中）（多选题）以下y与x的关系中，其中y是关于x的函数的有（   ） A．   B． x 1 1 3 4 y 2 4 4 3 C． D．   8．（25-26高一上·云南红河·期中）（多选题）下列图形中，不是以为自变量的函数的图象的是（   ） A．   B．   C．   D．   重难点题型2 求具体函数的定义域 基本的函数定义域限制： 求解函数的定义域应注意： （1）分式的分母不为零； （2）偶次方根的被开方数大于或等于零： （3）零次幂或负指数次幂的底数不为零； （4）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域． 1．（2026高二下·浙江·学业考试）函数的定义域为（     ） A． B． C．且 D．且 2．（24-25高一上·福建漳州·阶段检测）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·江苏无锡·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·重庆北碚·期末）函数的定义域为___________． 6．（25-26高一上·上海普陀·阶段检测）已知，函数的定义域为，则k的取值范围是________． 重难点题型3 求抽象函数的定义域 1、抽象函数的定义域求法：此类型题目最关键的就是法则下的定义域不变，若的定义域为，求中的解的范围，即为的定义域，口诀：定义域指的是的范围，括号范围相同．已知的定义域，求四则运算型函数的定义域 2、若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集． 1．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（   ） A． B． C．[1，3] D．(1，3] 2．（25-26高一上·安徽芜湖·阶段检测）若函数的定义域为，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·江苏淮安·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·重庆渝北·阶段检测）已知函数的定义域为则的定义域为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________. 6．（25-26高一上·贵州六盘水·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为_____. 重难点题型4 判断函数是否为同一（或相等）函数 判断函数相等的方法： (1)先看定义域，若定义域不同，则不相等； (2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同． 1．（25-26高一上·广东肇庆·期末）下列四组函数中，表示同一个函数的一组是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·贵州遵义·期末）下列各组函数是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．（25-26高一上·海南·期中）下列函数与是同一个函数的是（   ） A． B． C． D． 4．（多选题）下列各组函数是同一函数的为（   ） A．， B．， C．， D．， 5．（25-26高一上·宁夏银川·期中）（多选题）在下列四组函数中，与表示同一函数的是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·广东清远·期中）（多选题）下列四组函数中表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 重难点题型5 求函数解析式 1．（25-26高一上·四川泸州·期中）已知一次增函数满足，则（    ） A．-1或3 B．-3或-1 C．3 D．-1 2．（24-25高一上·广东·期中）的定义域为，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·河北沧州·阶段检测）已知函数满足，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·黑龙江牡丹江·期末）已知一次函数满足，则______. 5．（25-26高一上·湖北黄冈·阶段检测）已知，则__________ 6．（25-26高一上·陕西延安·期中）若，则的解析式为___________． 7．（25-26高二下·全国·期末）（1）已知是二次函数，且，，求的解析式； （2）已知函数满足，求的解析式． 8．（1）已知，求的解析式． （2）已知是一次函数，并且，求． （3）函数满足方程，且，求． 重难点题型6 求函数的值域 求函数值域的基本方法 1．观察法： 通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域． 2．利用常见函数的值域： 一次函数的值域为；反比例函数的值域为；指数函数的值域为；对数函数的值域为；正、余弦函数的值域为；正切函数的值域为. 3．分离常数法： 将形如(a≠0)的函数分离常数，变形过程为： ，再结合x的取值范围确定的取值范围，从而确定函数的值域. 4．换元法： 对某些无理函数或其他函数，通过适当的换元，把它们化为我们熟悉的函数，再用有关方法求值域．如：函数，可以令，得到，函数可以化为(t≥0)，接下来求解关于t的二次函数的值域问题，求解过程中要注意t的取值范围的限制． 5．配方法： 对二次函数型的解析式可以先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域的方法求函数的值域． 6．数形结合法： 作出函数图象，找出自变量对应的范围或分析条件的几何意义，在图上找出值域． 7．单调性法： 函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其单调性，进而求函数的最值和值域． 8．判别式法： 将函数转化为二次方程：若函数y＝f(x)可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程a(y)x2＋b(y)x＋c(y)＝0，则在a(y)≠0时，由于x，y为实数，故必须有Δ＝b2(y)－4a(y)·c(y)≥0，由此确定函数的值域． 利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数、“无理”函数等，使用此法要特别注意自变量的取值范围. 1．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，（），则它的值域为（    ） A． B．（-3，0） C．（-1，0） D．（-2，0） 3．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·北京·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·河北石家庄·期中）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·四川达州·期中）函数的值域为________. 7．（25-26高一上·天津滨海新区·期中）已知，则的值域为________． 8．（25-26高一上·上海徐汇·期末）函数的值域为______． 9．（24-25高一上·广西玉林·期中）根据以下要求求取定义域与值域 (1)已知的定义域为，求的定义域. (2)求下列函数的值域 ①； ②； ③； 10．（24-25高一上·广东中山·阶段检测）求下列函数的值域： (1) (2) 重难点题型7 分段函数的应用 1．（25-26高二下·陕西商洛·期末）已知函数若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·云南曲靖·一模）设函数，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·山东潍坊·期中）已知函数若，则（    ） A．-1 B．0 C． D．1 4．已知函数，若，则x的值为______． 5．（24-25高一上·广东深圳·期中）已知函数，则___________. 6．已知函数，若的最小值是a，则a的值为__________. 重难点题型8 综合应用 1．若二次函数，满足对称轴为，且． (1)求的解析式； (2)若在区间上，不等式恒成立，求实数的取值范围． 2．（25-26高一下·贵州毕节·期中）高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家、是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数称为高斯函数，其中表示不超过实数x的最大整数，如，． (1)求不等式的解集； (2)若，，，求m的取值范围； (3)若的解集为，求a的取值范围． 3．（25-26高一上·江苏徐州·期末）已知. (1)若定义域为，求实数的取值范围； (2)若定义域为，求实数的值； 4．（25-26高一上·江苏连云港·期末）已知 (1)求函数的解析式. (2)若，求关于的不等式的解集; (3)若，成立，求的取值范围. （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．（25-26高一上·山西朔州·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·贵州贵阳·期末）下列哪一组中的函数与是同一函数（   ） A．， B．， C．， D．， 3．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】已知f（g（x））求解析式 【分析】令，利用换元法求得，从而求得. 【详解】令，则， 所以，， 所以. 故选：B. 4．（25-26高一上·贵州·期中）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由函数的周期性求函数值、求分段函数值 【分析】根据题意，推得，即可求得的值. 【详解】， 故选：B 二、多选题 5．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数满足，则（ ） A． B．的值域为 C．的定义域为 D． 【答案】BCD 【难度】0.7 【知识点】求函数值、复合函数的定义域、常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、已知f（g（x））求解析式 【分析】对于A，由配凑法或整体换元法可得解析式；对于B，由A分析可得解析式，据此可得值域；对于C，由复合函数定义域求法可得答案；对于D，由A分析可得，据此可得答案. 【详解】对于A，法一：依题意，， 则，故A错误； 法二：设，则，且，则， 所以则，故A错误； 对于B，当时，，当且仅当时取等号， 因此的值域为，故B正确； 对于C，在中，令，解得， 因此的定义域为，故C正确； 对于D，，因此，故D正确． 6．（25-26高一下·山西阳泉·开学考试）下列命题正确的是（    ） A．命题“，”的否定是“，” B．与是同一个函数 C．函数的最小值为2 D．若函数的定义域为，则的定义域为 【答案】AD 【难度】0.75 【知识点】全称命题的否定及其真假判断、抽象函数的定义域、判断两个函数是否相等、基本不等式求和的最小值 【分析】利用全称量词的否定可判断A，根据函数三要素可判断B，利用基本不等式即可判断C，同时要注意取等条件，利用可求的定义域. 【详解】对A：命题“，”的否定是“，”，故A正确； 对B：函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不一样，所以两个函数不是同一个函数，故B错误； 对C：， 当且仅当即当时等号成立， 但，故等号不成立，所以函数，故C错误； 对D：若函数的定义域为，则，∴， 所以函数的定义域为，故D正确. 三、填空题 7．已知函数，则___________ 【答案】 【难度】0.6 【知识点】求函数值、求分段函数值 【分析】直接由分段函数求函数值可得. 【详解】因为函数，且， 所以 . 8．（25-26高一上·广东·阶段检测）已知函数，若，则_____． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、求分段函数值 【分析】本题考查分段函数求值问题，解题的关键在于根据自变量的取值范围选择对应的函数表达式进行计算. 【详解】，所以，当时，无解； 当时，，解得，（正值舍去）． 故答案为． 9．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若函数的定义域为，则实数m的取值范围为______． 【答案】 【难度】0.68 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、已知函数的定义域求参数 【分析】将问题转化为一元二次型不等式恒成立问题，然后按照和分类讨论求解即可. 【详解】要使有意义，则有， 因为函数的定义域为，故在上恒成立， 当时，，恒成立； 当时，则有，解得； 综上，实数的取值范围为. 10．（25-26高三上·陕西渭南·期中）已知函数，若，则实数的最大值为____________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量 【分析】结合分段函数解析式分情况列方程解方程即可. 【详解】设，则， 当时，，解得， 当时，，解得， 所以或， 易知有两个解，即或， 若， 当时，，解得， 当时，，解得， 综上所述，的值有，，，， 其中最大值为， 故答案为：. 四、解答题 11．（25-26高一下·河北唐山·开学考试）函数，， (1)当时，若，求实数的值； (2)已知，且，求的解集． 【答案】(1) (2)当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 【难度】0.74 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、求解析式中的参数值 【分析】（1）由中对应项系数相等可得； （2）由已知得的关系，不等式化简后，根据的大小分类讨论． 【详解】（1）当时，， ， 得，； （2），，， 由可得， 整理并代入得， 即， 已知，若，即时，或， 若，即时，， 若，即时，或， 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 12．（25-26高一下·贵州毕节·期中）高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家、是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数称为高斯函数，其中表示不超过实数x的最大整数，如，． (1)求不等式的解集； (2)若，，，求m的取值范围； (3)若的解集为，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.61 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数、函数新定义 【分析】（1）利用十字相乘法得到，所以； （2），使得，又，则； （3）十字相乘得到，分，，三种情况，结合不等式解集为得到不等式，求出答案． 【详解】（1）由，即， ，所以． 所以的解集为； （2），，此时， 即，使得， 又， 则， 故的取值范围为； （3）不等式，即， 由方程可得或． ①若，不等式为， 即，所以，不符合题意； ②若，， 由，解得， 因为不等式的解集为， 所以，解得； ③若，， 由，解得， 因为不等式解集为， 所以，解得． 综上所述，的范围为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $