3.3幂函数教学设计-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

人教A版（2019）3.3幂函数 【学情分析】学生已经探究了函数的概念与性质，对于具体的函数怎么研究还缺少系统性，学生需要明确一类具体函数的研究内容（定义、表示-图象与性质-应用）。 【教材解析】幂函数是一类重要的基本初等函数，很多函数都是由幂函数及其它基本的初等函数经过运算、复合得到的。幂函数是学生进入高中后学习的第一类具体的基本初等函数。学生已经学习正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等都是学生很熟悉的。因此，幂函数的学习是在学生已有的函数学习经验上的拓展。主要是在归纳五个具体函数共性基础上的数学抽象。幂函数的内容安排在函数的概念与性质一章的第三节，是在学习完一般函数的概念，以及函数的基本性质后，选取一类简单的基本初等函数进行研究。既是对前面所学内容的巩固。也是为后面指数函数、对数函数的学习打下基础。 【设计思想】从学生已有的知识储备出发，引导学生形成幂函数的概念。通过复习回顾的方法，通过5个特殊的幂函数让学生逐步来分析幂函数的图像、单调性、奇偶性等，最终形成一般的统一。 【教学目标】 1． 理解幂函数的概念. 2． 会画函数，，，，的图象. 3．能应用幂函数知识解决简单问题. 【教学重难点】 教学重点：幂函数在第一象限的图象与性质及研究幂函数的一般方法. 教学难点：对幂函数图象的共性的归纳及简单应用. 【教学过程】 问题引入： 几个实际问题： (1) 如果回收旧报纸每公斤１元，某班每年卖旧报纸ｘ公斤，所得价钱ｙ是关于ｘ的函数　　　　　　　　　　　　　　 (2) 如果正方形的边长为ｘ，面积ｙ,这里ｙ是关于ｘ的函数; (3) 如果正方体的棱长为ｘ, 正方体的体积为ｙ, 这里ｙ是关于ｘ函数; (4)如果一个正方形场地的面积为ｘ, 这个正方形的边长为ｙ，这里ｙ是关于ｘ的函数; (5)如果某人ｘ秒内骑车行驶了１ｋｍ,他骑车的平均速度是ｙ，这里ｙ是关于ｘ的函数. 问题１：以上各题目的函数解析式分别是什么？ 问题２：以上问题中的函数解析式具有什么共同特征？ ( 形如) 1.幂函数的定义：函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数. 注意点： (1) 前的系数是1； (2) 后面没有其它项（项数为1）. 训练：判断下列函数是否为幂函数？ （1） √ （2） × （3） × 探究活动：将5个幂函数的图像放在一个平面直角坐标系中. 2.通过所得到的图像，总结这5个幂函数的性质： 定义域 R R R 值域 R R 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数 单调性 在上单调递增 在上单调递减，在上单调递增 在上单调递增 在上单调递增 在上单调递减，在上单调递减 3.总结幂函数的性质： （1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)； （2）如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增； （3）如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴； （4）在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴． 【知识应用】 例1：已知幂函数的图像过点，则的解析式为 . 例2：比较下列各题中两个值得大小： （1） （2） 解 (1)∵y＝x在[0，＋∞)上单调递增，且2.3<2.4，∴2.3<2.4. (2)∵y＝x在(0，＋∞)上单调递减，且<，∴()>(). （达到以形导数的目的） 【课堂小结】 1.幂函数的定义：函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数. 2.五个常见幂函数的性质： 定义域 R R R 值域 R R 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在上单调递增 在上单调递减，在上单调递增 在上单调递增 在上单调递增 在上单调递减，在上单调递减 3.幂函数图像变化规律（性质）： （1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)； （2）如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增； （3）如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴； （4）在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴． 【课后作业】 书本P91练习2,3；习题3.3复习巩固1. 【数学思想方法】 （1）归纳推理：特殊到一般； （2）数形结合思想：以形助数、以数导形。 学科网（北京）股份有限公司 $