第09讲函数的单调性专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第09讲函数的单调性 【题型1】定义法证明函数单调性 例题1．已知函数． (1)求； (2)判断在上的单调性并用定义法证明； (3)求函数的值域． 【详解】（1）将化为，令，则，故. （2）在上单调递减，证明如下： 取任意且， . 因，故,，且， 得，即，故在上单调递减. （3）由，得，故，则的值域为. 例题2．已知函数过点 (1)求的解析式； (2)用定义证明在区间上单调递增； (3)求函数在上的最大值和最小值． 【详解】（1）由函数过点，有， 解得， 所以的解析式为：． （2）证明：，且， ． 由，得． 则，即． 所以在区间上单调递增． （3）由在上是增函数， 所以在区间上的最小值为，最大值为. 【针对训练】 1．证明：函数是严格增函数. 【详解】设，， 任取，且， 则， ，，， 所以，即， 所以函数在上是严格增函数. 2．已知函数.判断在上的单调性，并用定义证明； 【详解】判断：在上单调递增. 证明：，且，有， 因为，所以，，， 因此，即， 所以函数在上单调递增. 3．已知函数的图象经过点. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用单调性的定义加以证明； (3)求在上的值域. 【详解】（1）因为的图象经过点， 所以，解得， 所以； （2）在上单调递减， 证明如下： 任取，不妨设， 则， 因为，所以，，， 所以，即， 即，又因为，所以在上单调递减； （3）由（2）知，在单调递减， 且，，故在上的值域为. 【题型2】抽象函数的单调性 例题1．已知函数的定义域为，且，当时，． (1)求，的值． (2)证明：；并判断在上的单调性，并给出证明； (3)求不等式的解集． 【详解】（1）令，，得． 由题意得，所以，得． 令，得，得． （2）证明：由（1）得． 当时，，，得． 又，当时，，所以． 在上单调递减． 证明：任取，且，令，，由题设可得： ，即． 因为，所以，得． 由（2）可知，由，得，所以在上单调递减． （3）设函数，因为在上单调递减，所以在上单调递减， 由，得． 由，得， 则等价于， 所以，得． 故不等式的解集为． 例题2．定义在上的函数满足，当时，. (1)求的值； (2)用定义证明在上是个增函数； (3)当方程有两个解时，求取值范围. 【详解】（1）因为，令，得到， 所以. （2）任取，且， 则， 因为，则，又当时，， 所以，即，所以在上是个增函数. （3）令，则，由， 得到， 又因为，令，得到，所以， 则，即， 令，则， 由（2）知在上是个增函数，又方程有两个解， 所以，即，所以或， 由题及（1）知，则，， 所以或，则或， 所以取值范围为. 【针对训练】 1．已知连续函数满足：①，则有，②当时，． (1)求及的值； (2)求证：是上的减函数； (3)若，解关于不等式． 【详解】（1）令，则，所以； 令，则， 所以． （2）设且，则，， ， 所以，即在上单调递减． （3）由，即， 即，即， 又因为，故， 所以，即， 故，即． 所以不等式的解集为. 2．已知函数对任意实数恒有，当时，，且． (1)求的值，并判断的奇偶性； (2)判断的单调性，求在区间上的最大值； 【详解】（1）令，则，所以． 令，则， 所以对任意恒成立， 所以为奇函数． （2）任取，且，则， 则，所以， 所以在上为减函数． 当时，单调递减，所以， 因为，且为奇函数， 所以， 故在区间上的最大值为6． 3．已知函数的定义域为，对任意实数x，y，都有，且当时，. (1)求的值； (2)证明：在上单调递增； (3)解不等式：. 【详解】（1）令，，代入中得，， 解得； 令，代入原式中得，，取，则； 所以. （2）设，且，则. 当时，，所以. ， 所以，即， 所以在上单调递增. （3）因为， 所以原不等式可化为，即， 又，所以， 又在上单调递增，所以，即， 解得或. 所以该不等式的解集为. 【题型3】求函数的单调区间 例题1．函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【详解】函数，则该函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间为. 例题2．函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【详解】由题意知函数满足，解得或， 即函数定义域为， 令，则的图象开口向上，且对称轴为直线， 则在上单调递减，在上单调递增， 又在上单调递增， 故的单调递减区间是. 【针对训练】 1．已知函数，则函数的单调增区间是（    ） A．和 B． C．和 D． 【详解】由于函数， 当时，， 由于图象的对称轴为，则函数在上单调递增， 当时，， 由于图象的对称轴为，则函数在上单调递增， 故函数的单调增区间是和. 2．函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【详解】对数的真数大于0， ，即，解得， 令，则， 的底数，时，单调递减， 函数是开口向下的二次函数，对称轴为， 在上单调递增，在上单调递减， 复合函数的单调性满足同增异减， 在上单调递减，在上单调递增，故D正确． 3．函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【详解】函数的定义域需满足，解得或， 的定义域为， 设，当时，，且关于单调递增， 当时，，且关于单调递减， 在定义域上单调递减， 的单调递减区间为，故D正确． 4．函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【详解】由，解得或， 所以函数的定义域为， 因为在上单调递减，在上单调递增， 又因为为单调递增函数， 所以函数的单调递增区间是. 【题型4】复合函数的单调性 例题1．已知是定义域为的减函数，则是（   ） A．定义域为的增函数 B．定义域为的增函数 C．定义域为的减函数 D．定义域为的减函数 【详解】因为的定义域为，所以的定义域为， 令，则， 是一次函数，在定义域上是减函数； 已知是定义域为的减函数，所以在定义域上是减函数， 根据复合函数“同增异减”的单调性原则，为减函数，为减函数，两者单调性相同，因此在定义域上是增函数. 例题2．函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【详解】由可得或， ∵在单调递增，而是增函数， 由复合函数的同增异减的法则可得， 函数的单调递增区间是. 【针对训练】 1．已知函数在上单调递减，则的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【详解】令，易知在上单调递增，所以在上单调递减， 对于，令，解得， 令，当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大， 因为在上单调递减，所以的单调递增区间对应的单调递减区间， 所以的单调递增区间是. 故选：A. 2．已知函数在上单调递减，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【详解】令，因为在上单调递增， 所以在上单调递减， 对于， 由解得：， 令，当时， 随增大而减小， 当时，随增大而增大， 因为在上单调递减， 所以的单调递增区间是函数的单调递减区间， 所以的单调递增区间是， 故选：C. 【题型5】已知函数的单调性求参数的取值范围 例题1．若是上的增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【详解】当时，若为单调递增函数，则； 当时，为单调递增函数， 若是上的增函数，需有，解得． 例题2．若函数在上是单调递增函数，则的取值集合是（    ）. A． B． C． D． 【详解】由已知，当时，， 又函数在上是单调递增函数，则，即； 当，， 由函数在上单调递增可知，，解得， 综上所述，， 【针对训练】 1．已知函数是定义在上的减函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】由，且函数是定义在上的减函数， 则，解得， 则实数的取值范围是. 2．已知函数是定义域为的奇函数，，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为为上的奇函数，则.构造函数， 则，所以为偶函数. 又，都有， 即，所以为上的减函数， 则为上的增函数. 由题知，则， 又，则. 则即为， 所以有或， 解得或. 3．已知函数（）有最小值，则实数a的取值范围是 . 【详解】由， 要使有最小值， 则函数在上为减函数或常函数，在上为增函数或常函数， 所以，解得， 则实数a的取值范围是. 4．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为 . 【详解】， 由反比例函数性质知当，即时，在单调递增， 又在单调递增，所以，所以. 综上，即实数的取值范围是 故答案为：. 5．已知函数在区间上是严格减函数，且函数值不恒为负，则整数为 . 【详解】由已知，， 又函数在区间上是严格减函数，且函数值不恒为负， 所以，解得，又因为，所以或. 故答案为：或. 【题型6】根据函数的单调性解不等式 例题1．已知定义在上的函数满足，且当时，，则不等式的解集为 . 【详解】因为，所以的图象关于对称， 当时，，且单调递增，又在上单调递减. 由复合函数单调性知在上单调递减， 又因为的图象关于点对称，所以在上单调递减. 又，则， 所以由，可得， 即，所以，即， 解得，所以该不等式的解集为. 例题2．已知是定义在上的增函数，且，则的取值范围是 ． 【详解】是定义在上的增函数, ，即，解得， 则的取值范围是． 【针对训练】 1．已知函数，且，. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义法证明； (3)若，求实数的取值范围. 【详解】（1）由题意，解得， 所以. （2）在上的单调递增，证明如下： 在内任取，且， 则 ， 因为，所以， 所以，即， 所以在上的单调递增. （3）由（1）得，定义域为， 当时，，则，所以， 当时，，则，所以， 在内任取，且， 则， 由（2）得， 所以在上的单调递增. 因为， 所以当都在内，则，无解； 当都在内，则，解得； 当一个在内，一个在内， 则，解得. 综上，实数的取值范围 2．已知函数的定义域为，对任意都满足，且．当时，，且． (1)求的值： (2)用函数单调性的定义证明在上单调递增； (3)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围． 【详解】（1）由，令则，又时，， 所以. （2）由，令得，因为，所以. 令，得，设则， 因为当时，，所以时，. 所以 任取，且设，则， 即，， 因为所以， 所以，所以，又， 所以，所以在上单调递增 （3）由及， 可化为， 所以， ， 又由（2）知在上单调递增， 故上式可化为恒成立，即恒成立， 故，解得， 故实数的取值范围为 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $第09讲函数的单调性 【题型1】定义法证明函数单调性 1 例题1.已知函数f(x+)= x2+2x+2· 求f划 2)判断在0，+0)上的单调性并用定义法证明， ③)求函数f刊的值域. 例腿2.已知函数1到=x+过点L2】 )求f的解折式： (2用定义证明刊在区间+切)上单调递增， ③)求函数（四在27上的最大值和最小值， 【针对训练】 正明：函数y=X-X∈(0，+∞是严格增 试卷第1页，共3页 2.已知函发八=x+2别防丙在2+树上伯单闲性，并用定义证用 3.已知函数到=+的图象经过点L5 (①求的解析式 2)判断在0,2)上的单调性，并用单调性的定义加以证明， 求在[引上的值蛾 【题型2】抽象函数的单调性 例题1.已知函数f刊的定义域为R,且fx+川+()=0，当r<0时， -1<f(x<0 求/0，f-的值. 2证明：八<0：并判断在R上的单调性，并给出证明： 3)求不等式f(2x-10)>x-51 的解集. 试卷第2页，共3页 例题2.定义在(0+w)上的函数y=f八x满足八=f+f以，fV4丙=1，当 xe(0,1时，f<0 0求f0的值： 2用定义证明八在0，+)上是个增函数： 6)当方程八四=八刊有两个解时，求y取值范围 【针对训练】 1.已知连续函数d满是：①xy∈R,则有f八x+列=f冈+f川-1，②当>0时， fx)<1 0)求/0及12+2的值： 2求证：f是R上的减函数： ③)诺刊=2，解关于x不等式/2x)-2f>f3x刘+4. 试卷第3页，共3页 2.已知函数对任意实数，y恒有x+列=f八+f),当x>0时，f刊<0，且 f1=-2 ④)求(0的值，并判断的奇偶性： 2判断f的单调性，求（在区间-3，列上的最大值： 3.已知函数 )的定义域为R，对任意实数，上都有 f(x)+f(y)=f(x+y)-1 ,且当 x20时， f(x)>-1 ()求)+fo+f0 的值： (2)证明： ①在R上单调递增 3)解不等式fx)+fx-2)>-2 试卷第4页，共3页 【题型3】求函数的单调区间 例题1.函数少x-3 的单调递减区间为() A.-0,+∞j B.[3,+o C.（-∞，3 D. (-00,-3 例题2.函数”=VR-5x+4的单调递被区间是（) 「5 B.(-0, C.[4,+oj D.（02 【针对训练】 1.已知函数=(x-2-,则函数国的单调蹈区间是() A.(-,2.5到和3+o B.（-0,2.5) C.(2,2.5)和3，+w D.22.5) 2.函数f闭=log,-2+x+2 的单调递减区间为(） a〔B2》e。》 3.函数=1e:-的单调递减区间为() A.（3,0) B.(0,+o) C.（,-0 D.0+) 4.函数f)=√3x-5x-2的单调递增区间是() 〔8}g.&+网c〔 D.(2,+∞ 试卷第5页，共3页 【题型4】复合函数的单调性 例题1.已知)是定义域为0+切的被函数，则4-刊是() A.定义域为0+) 的增函数 B.定义域为 -0,4 的增函数 C.定义域为 0,+o0 的减函数 D.定义域为 -0,4 的减函数 例题2.函数=V+x-6的单调递增区间为(） C.(-00,-3] D.[2,+o) 【针对训练】 1.已知函数f3x-2在R上单调递减，则fV2r-可的单调递增区间是() √2 ,+00 2 B.（-0,0 C.(0,+o D 2。已知函数f3x-2)在R上单调递减，则函数fV2r-的单调递增区间是() A.-∞，0 B.0,+) D. 【题型5】已知函数的单调性求参数的取值范围 ax+1,x<1 例题1.若 lnx+2a,x≥I是R上的增函数，则实数a的取值范围为() A.(,+∞) B.,+oo) C.(2,+∞j D.2,+ -x2-2mx-30,x<4 f(x)= 例题2.若函数 3x+1m r-1≥4 。上是单调递增函数，则的取值集合是 R 试卷第6页，共3页 (). A.-4,-3到 B.[-6,-4 C.（-6,-4 D.￥，4g 【针对训练】 1,已知函数'（是定义在R上的诚函数，且(20-3引<川Q-2,则实数“的取值范 围是() A.(-o,1 B.(1,+o) c别 2.已知函数刊是定义域为R的奇函数，、 x,x3∈(-0,0)x≠x2) (s-[f(x-x]<0且f4=0,则不等式x+fx+<0的解集为() A.（-0,-5U(3,+oj B.（-5,-U(-1,3) c.(-5,3) D.（-5,-U(3,+o) 3.已知函数(y=3水-2+(xeR)有最小值，则实数a的取值范围是 4.若函数fx=+a-4 x-1在(a,+∞)上单调递增，则实数。的取值范围为一 5。已知函数y-行在区间L+网上是严格减所数，且函数值不恒为负，则整数，为 【题型6】根据函数的单调性解不等式 试卷第7页，共3页 例题1.已知定义在R上的函数八✉满足2-+f=0,且当x,+)时， f=1ogr-2x+2列，则不等式f2-3x+f2x刘≥0的解集为一 例愚2.已知)是定义在-2,2上的增函数，且八x->1-3),则×的取值范围是 【针对训练】 1.已知商数国-空，且川，2- ()求 的解析式： 2判临刊在-2，+W上的单调性，并用定义法证明： f(2m-1>f1-m (3)若 ,求实数m的取值范围。 2.已知函数的定义域为R,对任意y都满足x+)-f(),且≠0 当>0时，f>1,且2)=9 4求f0的值： 2用函数单调性的定义证明八)在R上单调递增： ③)若对任意的xeR,f2r-4+a)≥3fx-5列八3x-4恒成立，求实数a的取值范围. 试卷第8页，共3页