1.1 集合的概念讲义（九大重点题型精练）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学集合的概念这一核心知识点，系统梳理集合的确定性、互异性等基本属性，以及元素与集合的关系、集合相等判定、参数求解等重难点题型，构建从概念理解到综合应用的递进式学习支架。 该资料以各地期中期末及高考真题为载体，通过多样题型培养学生用数学眼光辨析集合确定性，用数学思维推理参数取值，用数学语言表达集合关系。课中辅助教师精准教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用能力。

专题1.1 集合的概念 目录●重难点题型分布 重难点题型1 判断元素能否构成一个集合 1．（24-25高一上·广西河池·期中）下列给出的对象中，能组成集合的是（   ） A．与给定A，B等距离的点 B．比较小的数 C．的近似值 D．3班的高个子同学 【答案】A 【难度】0.88 【知识点】判断元素能否构成集合 【详解】对于A，描述的对象“与给定A，B等距离的点”确定，是线段的垂直平分线，故A中的对象能构成集合； 对于B，描述的对象“比较小的数”中，“比较小”没有明确的界定标准，该对象不具有确定性，故B中的对象不能构成集合； 对于C，描述的对象“的近似值”中，“近似值”没有给出精确度，该对象不具有确定性，故C中的对象不能构成集合； 对于D，描述的对象“3班的高个子同学”中，“高个子”没有明确的界定标准，该对象不具有确定性，故D中的对象不能构成集合. 2．（25-26高一上·山东济南·期中）下列各组对象中，能构成集合的是（   ） A．班级里成绩好的同学 B．校园里漂亮的花朵 C．小于5的正整数 D．喜欢运动的人 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】判断元素能否构成集合 【分析】利用集合元素的确定性，逐项判断可判断每个选项的正误. 【详解】对于A，“成绩好”没有具体的标准，所以班级里成绩好的同学是不确定的， 故班级里成绩好的同学不能构成集合，故A不符合题意； 对于B，“漂亮的花朵”没有具体的标准，所以校园里漂亮的花朵是不确定的， 所以校园里漂亮的花朵不能构成集合，故B不符合题意； 对于C，小于5的正整数是确定的，故小于5的正整数能构成集合，故C符合题意； 对于D，“喜欢运动”没有明确的标准，所以喜欢运动的人是不确定的， 故喜欢运动的人不能构成集合，故D不符合题意。 故选：C. 3．（2026高一·全国·专题练习）(多选题)下列各组对象能组成集合的是（ ） A．大于6的所有整数 B．高中数学的所有难题 C．被3除余2的所有整数 D．A，B是平面内的定点 ，在平面内与A，B等距离的点 【答案】ACD 【难度】0.85 【知识点】判断元素能否构成集合 【分析】根据集合中元素的确定性逐项判断即可得解. 【详解】选项A、C、D中的元素符合集合中元素的确定性； 而选项B中，“难题”没有标准，不符合集合中元素的确定性，不能构成集合． 4．（25-26高二上·吉林白城·阶段检测）(多选题)给出下列说法，其中正确的有（    ） A．中国的所有直辖市可以构成一个集合 B．高一（1）班较胖的同学可以构成一个集合 C．正偶数的全体可以构成一个集合 D．大于2023且小于2030的所有整数不能构成集合 【答案】AC 【难度】0.85 【知识点】判断元素能否构成集合 【分析】由集合元素的确定性逐个判断即可. 【详解】A，C中的元素具备确定性，可以构成集合，A，C正确. B中高一（1）班较胖的同学不具有确定性，不能构成集合，B错误. D中的元素具备确定性能构成集合，D错误. 故选：AC 5．（24-25高一上·江西·阶段检测）(多选题)下列各组对象能构成集合的有（   ） A．南昌大学2024级大一新生 B．我国第一位获得奥运会金牌的运动员 C．体型庞大的海洋生物 D．唐宋八大家 【答案】ABD 【难度】0.94 【知识点】判断元素能否构成集合 【分析】根据集合的定义逐个分析判断即可. 【详解】对于A，因为南昌大学2024级大一新生是确定的，所以能构成集合，所以A正确， 对于B，因为我国第一位获得奥运会金牌的运动员是确定的，所以能构成集合，所以B正确， 对于C，因为体型庞大的海洋生物没有明确的标准，没有确定性，所以不能构成集合，所以C错误， 对于D，因为唐宋八大家是确定的，所以能构成集合，所以D正确. 故选：ABD 6．(多选题)下列说法中正确的是（     ）. A．中国的所有直辖市可以组成一个集合 B．高一（1）班较胖的同学可以组成一个集合 C．正偶数的全体可以组成一个集合 D．大于2022且小于2014的所有整数能组成集合 【答案】ACD 【难度】0.94 【知识点】判断元素能否构成集合 【分析】根据集合元素的确定性依次判断每个选项得到答案. 【详解】中国的所有直辖市可以构成一个集合，故A正确； 高一（1）班较胖的同学不具有确定性，不能构成集合，故B错误； 正偶数的全体可以构成一个集合，故C正确； 大于2 022且小于2 014的所有整数能构成集合，故D正确. 故选：ACD. 重难点题型2 判断是否为同一集合 1．（25-26高一上·山东济南·期中）下列集合中，与集合表示同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断是否为同一集合 【分析】结合相等集合的定义、集合元素特征逐一判断即可 【详解】对于A，由集合元素的互异性知，集合表示错误，A错误； 对于B，解得，此时与集合表示同一个集合，B正确； 对于C，且，故两集合不表示同一集合，C错误； 对于D，集合表示点集，只有一个元素，D错误. 故选：B. 2．（25-26高一上·陕西安康·阶段检测）下列各组中的、表示同一集合的是（    ） ①； ②； ③； ④ A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断是否为同一集合 【分析】根据集合定义逐一判断即可. 【详解】对①，集合的元素为实数，集合的元素为有序数对，表示不同集合； 对②，集合的元素为有序数对，集合的元素为有序数对，表示不同集合； 对③，，两集合相等； 对④，集合为数集，集合为点集，表示不同集合. 故表示同一集合的只有③. 故选：C 3．下列四组中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断是否为同一集合 【分析】根据集合元素的性质逐一判断即可. 【详解】选项A：两个集合中元素对应的坐标不同，A错误； 选项B：集合中的元素具有无序性，两个集合是同一集合，B正确； 选项C：两个集合研究的对象不同，一个是点集，一个是数集，C错误； 选项D：是以0为元素的集合，是数字0，D错误. 故选：B 4．（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）（多选题）下列各组集合表示的不是同一集合的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】AD 【难度】0.94 【知识点】判断是否为同一集合 【分析】根据同一个集合概念进行判断即可. 【详解】A中，都是点集， 和是不同的点，则是不同的集合，所以A是； B中，都是数集，都表示2，3两个数，是同一个集合，所以B不是； C中，表示函数的定义域，表示函数的值域，表示的范围相同，是同一个集合，所以C不是； D中，是数集，是点集，则是不同的集合，所以D是. 故选：AD 5．（多选题）下列说法正确的是（　　） A．由组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C．集合与集合是同一个集合 D．集合与集合是同一个集合 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】判断是否为同一集合、描述法表示集合、列举法表示集合 【分析】根据集合的定义和元素的性质可判断AB的正误，对于CD，可计算出各自集合后判断其正误. 【详解】对于A，根据集合元素的无序性可得、表示同一集合，元素有， 故A正确. 对于B，不是空集，故B错误. 对于C，，而， 故两个集合不是同一个集合，故C错误. 对于D，，故D正确. 故选：AD. 6．（多选题）下列各组中表示不同集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ABD 【难度】0.94 【知识点】判断是否为同一集合 【分析】根据集合相等的概念依次分析各选项即可得答案. 【详解】选项A中，是数集，是点集，二者不是同一集合,故； 选项B中，与表示不同的点，故； 选项C中，，，故； 选项D中，是二次函数的所有组成的集合，而集合是二次函数图象上所有点组成的集合，故. 故选：ABD. 重难点题型3 判断元素与集合的关系 1．（26-27高一·全国·暑假作业）给出下列5个关系：①，②，③，④，⑤．其中正确命题的个数为（ ） A．4 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【难度】0.88 【知识点】判断元素与集合的关系 【详解】对于①，因为为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以，所以①正确； 对于②，因为不是整数，所以，所以②错误； 对于③，因为不是正整数，所以，所以③正确； 对于④，因为，所以④正确； 对于⑤，因为是无理数，所以，所以⑤正确； 故选：A． 2．（26-27高一·全国·暑假作业）已知集合若则不可能是（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【难度】0.95 【知识点】判断元素与集合的关系 【详解】由题意得集合的元素为，不在集合中，因此不可能为3. 3．（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】解不等式得到，得到答案. 【详解】， 故，其中. 故选：C 4．（25-26高一上·天津武清·期中）给出下列关系：①；②；③；④；⑤.其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】利用常用数集的范围和元素与集合的关系即可判断. 【详解】因为，，，分别表示正整数集，整数集，有理数集，实数集； 是正整数，即，故①错误；是整数，即，故②错误； 是无理数，故③错误；是实数，故④正确；是有理数，故⑤正确. 故选：B. 5．（26-27高一·全国·暑假作业）用符号或填空： （1）______； （2）______； （3）______； （4）______； （5）______. 【答案】 【难度】0.95 【知识点】判断元素与集合的关系、常用数集或数集关系应用 【分析】根据常用数集定义判断. 【详解】0是自然数，； 是无理数，不属于有理数集，； -5是整数，； 是实数，； 3.14不是正整数，. 6．（24-25高一上·河北沧州·阶段检测）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正确命题的个数为______ 【答案】2 【难度】0.94 【知识点】判断元素与集合的关系、常用数集或数集关系应用 【分析】根据给定条件，结合常用数集的意义判断元素与集合的关系即可. 【详解】依题意，，，，，，， 因此①④正确，②③⑤⑥错误， 所以正确命题的个数是2. 故答案为：2 重难点题型4 根据元素与集合的关系，求参数或参数的取值范围 1．（25-26高二下·重庆·期中）已知集合，且，则（   ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【难度】0.82 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数 【分析】由直接分两种情况：或，可得所求值，再验证集合中的元素是否有重复，进而可得所求值. 【详解】因为集合，且， 当时，即，解得或， 若时，，，集合的元素出现重复，故舍去； 若时，，符合题意. 当时，，此时，集合的元素出现重复，故舍去. 综上所述，. 2．（26-27高一·全国·暑假作业）已知集合，若则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】根据题意，结合集合的特性即可求解. 【详解】当时，集合，不符合互异性舍去； 当时，解得（舍）或，此时集合，符合互异性， 因此，故C正确. 3．（25-26高一上·河北沧州·期末）已知，则实数的值是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数 【分析】根据元素与集合之间的关系，及集合元素的互异性即可求出的值. 【详解】，则或， 当，则集合为，满足集合的互异性， 当，则集合为，不满足集合的互异性，故舍去， 故. 故选：A 4．（2026·上海·高考真题）已知集合，，则__________． 【答案】 【难度】0.95 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【详解】由题意得，解得，经验证此时集合满足题意. 5．（26-27高一·全国·暑假作业）设，集合，若，则______. 【答案】2或或 【难度】0.85 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数 【详解】因为，所以或，解得或. 当时，，满足； 当时，，满足； 当时，，满足； 故或或. 重难点题型5 利用集合互异性，求参数或参数的取值范围 1．（25-26高一上·重庆·期中）已知集合，且，则（    ） A． B．或 C．3 D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数 【分析】根据元素与集合的关系及元素的互异性求解即可. 【详解】由题意， 是集合 的元素，则 或 ，解得 或 . 根据集合元素的互异性检验：当 时， 且 ，集合 中出现重复元素，故舍去； 当 时，，，集合 ，符合题意. 综上，. 故选：. 2．（26-27高一·全国·暑假作业）已知，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数 【分析】根据元素与集合的关系及集合中元素的互异性，分情况讨论实数的值，排除不符合条件的取值. 【详解】因为元素，所以有或两种情况， 当时，集合中元素，不满足集合元素的互异性； 当时，即，当时，不符合题意； 当时，集合为，满足，符合条件. 3．（26-27高一·全国·暑假作业）若且集合中的元素均为整数， 则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据元素与集合的关系求参数 【详解】若，，此时，集合元素不重合，符合条件. 若，，此时不是整数，不符合题意，综上，. 4．（25-26高一上·海南海口·阶段检测）已知集合，若，则（   ） A． B． C．或 D．1或 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数 【分析】分和讨论即可. 【详解】若，则①，解得，此时，不满足集合互异性，舍去； ②，解得或（舍去）， 当时，，满足题意， 则. 故选：B. 5．（25-26高三上·山西吕梁·期末）已知集合，，则__________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数 【分析】根据元素与集合的关系可得出关于的等式，利用集合元素满足互异性可得出实数的值. 【详解】因为，所以或，即或， 由集合的互异性知且且，即且，所以． 故答案为：. 6．（25-26高一上·天津河北·阶段检测）已知集合，若，则实数的所有可能取值组成的集合为____． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数 【分析】由题意得，或，或，进而分别求解，结合集合元素的互异性可得结论. 【详解】因为，， 所以，或，或， 若，则，所以，解得或， 当时，，符合题意，当时，，不符合题意； 若，则，又，方程无解； 若，则，解得或， 当时，，不符合题意，当时，，符合题意； 综上所述，实数的所有可能取值组成的集合为. 故答案为：. 重难点题型6 根据集合中元素个数，求参数或参数的取值范围 1．（2026高一·全国·专题练习）已知，集合中的元素恰有个整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.45 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】集合对应的区间长度在之间，可得出关于的取值范围，然后对的取值进行分类讨论，确定集合中的整数元素，可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为集合中恰有两个整数， 所以，解得， 当时，集合中的两个整数分别为、， 则，解得； 当时，，此时，集合中元素为整数的只有、，合乎题意， 综上所述，实数的取值范围是. 2．（2026·湖北孝感·二模）如果集合只有一个元素，则实数的值是（   ） A．0或4 B．4 C．0或 D．0 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】分和两种情况讨论，当时，即可求出的值. 【详解】集合， 表示关于的方程的解集， 当时，解得，则，符合题意； 当时，，解得， 此时，符合题意, 综上可得或. 3．（25-26高一上·河南·期末）已知为实数，集合中有且仅有一个元素，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】由进行求解. 【详解】由条件知，解得. 故选：B 4．（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）如果集合中只有一个元素，则实数的所有可能值的和为________. 【答案】4 【难度】0.65 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】集合只有1个元素，即方程只有1个解，分一元一次、一元二次方程进行讨论即可. 【详解】当时，只有1个解，符合题意； 当时，对于一元二次方程只有1解，则，解得. 综上实数的所有可能值的和为， 故答案为：4. 5．已知，集合中的元素恰有个整数，则的取值范围是_________. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】分析可知集合对应的区间长度在之间，可得出关于的取值范围，然后对的取值进行分类讨论，确定集合中的整数元素，可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为集合中的元素恰有两个整数， 所以，解得， 当时，集合中的两个整数分别为、， 则，解得； 当时，，此时，集合中元素为整数的只有、，合乎题意， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键就是根据集合中整数元素的个数，确定集合对应区间长度的取值范围，列出不等式求解，同时一定要注意确定集合中的整数元素，进而对集合的左端点和右端点值进行限制求解. 6．（25-26高一上·上海·期中）已知集合. (1)若，求集合； (2)若中至多有一个元素，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、根据集合中元素的个数求参数 【分析】（1）代入于方程，求解出并解方程，则可知； （2）当时，直接分析即可；当时，考虑，由此可求结果. 【详解】（1）因为，所以，所以， 由，解得或， 所以； （2）当时，，，所以，满足条件； 当时，方程无解或仅有解，则只需，解得， 综上所述，的取值范围是. 7．（24-25高一上·广东中山·阶段检测）已知集合. (1)若中有两个元素，求实数的取值范围； (2)若中至多有一个元素，求实数取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【难度】0.65 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】（1）转化为关于的方程的方程有两个不等的实数根，用判别式即可求解； （2）分，两种情况讨论，当时用判别式即可求解. 【详解】（1）由于中有两个元素， 关于的方程有两个不等的实数根， ，且，即，且. 故实数的取值范围是或； （2）当时，方程为，集合只有一个元素； 当时，若关于的方程有两个相等的实数根，则中只有一个元素， 即，， 若关于的方程没有实数根，则中没有元素， 即. 综上可知，实数的取值范围是. 重难点题型7 列举法求集合中元素的个数 1．（25-26高一上·江西九江·阶段检测）集合，若集合中恰有5个元素，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】根据集合的元素可求得的范围. 【详解】若集合中恰有5个元素，则， 所以. 故选：C. 2．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知集合，则中元素的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【难度】0.84 【知识点】列举法求集合中元素的个数 【分析】分析可知，结合，，分析求解即可. 【详解】因为，则，且，，可得， 当时，； 当时，； 当时，； 即，所以中元素的个数为6. 3．（25-26高三下·江苏扬州·开学考试）已知集合，则中元素的个数是（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【难度】0.95 【知识点】列举法表示集合、利用集合中元素的性质求集合元素个数、列举法求集合中元素的个数 【详解】数集表示的是自然数集， ，， ， ， 中元素的个数是. 4．（25-26高一上·江西赣州·期末）集合的元素个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．无数个 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用集合中元素的性质求集合元素个数、列举法求集合中元素的个数 【分析】根据集合中的元素所具有性质判断可得. 【详解】因为，所以是自然数且是6的正约数，而6的正约数有 当分别取时，对应的的值分别为，所以只能是. 故集合的元素个数是4. 故选：B 5．（2024·西藏拉萨·一模）集合中的元素个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】列举法求集合中元素的个数、常用数集或数集关系应用 【分析】列举法表示集合，可得解. 【详解】，该集合中的元素有个， 故选：B. 6．（25-26高一上·云南文山·期末）由单词“deepseek”中的字母作为集合中的元素，则集合中的元素共有__________个. 【答案】 【难度】0.94 【知识点】利用集合中元素的性质求集合元素个数、列举法求集合中元素的个数 【分析】根据集合元素的互异性进行判断即可. 【详解】因为集合中元素具有互异性， 所以集合中的元素有d，e，p，s，k，共个. 故答案为： 7．（24-25高一上·全国·课后作业）集合的元素个数为______. 【答案】4 【难度】0.85 【知识点】列举法表示集合、列举法求集合中元素的个数 【分析】根据列举法，写出集合中元素，即可得出结果. 【详解】由题意，将满足的自然数全部列举出来， 则集合，所以集合中的元素个数为4. 故答案为：4. 8．设集合且，则集合中元素个数为______. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】列举法求集合中元素的个数 【分析】解出绝对值不等式，可得及的可能取值，即可得解. 【详解】可得，又， 故可为、、、、、、共七个数， 可得，又， 故可为、、、、、、、、共九个数， 集合中元素个数为. 故答案为：. 重难点题型8 利用集合相等，求参数或参数的取值范围 1．（26-27高一·全国·暑假作业）已知，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据两个集合相等求参数、根据集合相等关系进行计算 【分析】根据题意，结合集合的特性即可求解. 【详解】根据题意，两集合相等则元素完全相同，故，整理得，解得或， 当时，，集合为，元素各不相同，符合题意； 当时，，集合同样为，元素各不相同，符合题意； 因此实数的值为或，故C正确. 2．（24-25高一上·海南儋州·期中）已知集合，．若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】根据集合相等关系进行计算 【分析】根据集合的互异性求出和即可. 【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或， 若，解得，此时，不满足集合的互异性； 若，解得（舍）或， 当时，，符合题意，所以， 所以. 故选：B 3．（24-25高一上·湖南永州·阶段检测）若集合，且，则实数的值为 （    ）. A．或 B． C． D．或 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据集合相等关系进行计算 【分析】根据集合相等可得，运算求解即可. 【详解】因为，且， 则，解得或. 故选：D. 3．设集合，，，则集合C=______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】列举法求集合中元素的个数 【分析】计算出可得答案. 【详解】，时；，时； ，时；，时； ，时；，时； ，时；，时； 所以． 故答案为：. 4．设，集合，若，则__________. 【答案】 【难度】0.94 【知识点】根据集合相等关系进行计算 【分析】根据集合相等可得，进而可得结果. 【详解】因为，则，所以. 故答案为：. 5．设三元集合=，则___________ ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据集合相等关系进行计算 【详解】试题分析：集合,且,,则必有,即,此时两集合为,集合,,，当时,集合为,集合,不满足集合元素的互异性.当时, ,集合,满足条件,故,因此，本题正确答案是:. 考点：集合相等的定义. 重难点题型9 集合的新定义 1．（26-27高一·全国·暑假作业）已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.75 【知识点】判断元素与集合的关系 【详解】当时，， 则， 当只存在一个正数时，不妨设，则， 则， 当只存在一个负数时，不妨设，则， 则， 当时，， 则， 所以. ∴，A选项错误；，B选项错误；，C选项错误；，D选项正确. 2．（2026·广东深圳·三模）当一个非空数集满足：如果，那么且当时，时，我们称就是一个数域.有以下关于数域的说法：①0是任何数域的元素；②若数域有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域.其中正确的说法是（   ）. A．①②④ B．②③④ C．①④ D．①② 【答案】A 【难度】0.53 【知识点】判断元素与集合的关系、集合新定义 【分析】根据给定条件，利用数域的定义依次判断各个命题即可.. 【详解】当，且时，，因此0是任何数域的元素，①正确； 当，且时，由数域的定义知， 因此，②正确； 当时，，③错误； 如果，那么，且当时，，因此有理数集是一个数域，④正确. 3．（2026高三·全国·专题练习）（多选题）当一个非空数集G满足“如果a、，则、、，且时，”时，我们称G是一个数域．以下四个关于数域的命题中真命题的是（    ） A．0是任何数域中的元素； B．若数域G中有非零元素，则； C．集合是一个数域； D．有理数集Q是一个数域． 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】判断元素与集合的关系、集合新定义 【分析】依据数域的定义逐项分析即可. 【详解】由题可设a是数域G中的一个元素，则由数域定义可知，即0是任何数域中的元素，A正确； 若域G中有非零元素a，则，所以，，…，，B正确； 记则，但，所以集合不是一个数域，故C错误； 因为任意两个有理数的和差积仍是有理数，当分母不为0时，两个有理数的商仍为有理数，所以有理数集Q是一个数域，故D正确． 故选：ABD 4．（25-26高一上·福建·阶段检测）（多选题）非空数集具有如下性质：①若，则；②若，则；由此可知：下列判断中，正确的是（    ） A． B．若，则 C． D．若，则 【答案】CD 【难度】0.65 【知识点】判断元素与集合的关系、集合新定义 【分析】由题意，根据性质一一判断即可. 【详解】对于选项A，假设，集合是非空集合，存在， 由性质①，，，， 由性质②，，，，若，则无意义，这与性质①矛盾，则假设不成立，故，故选项A错误； 对于选项B，由性质①，，，，， 而，故选项B错误； 对于选项C，集合是非空集合，存在，由性质①，，， 由性质②，，，，由性质①，，故选项C正确； 对于选项D，由性质①，，，由性质①，， ，， 由性质①，，，，故选项D正确. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1 集合的概念 目录●重难点题型分布 重难点题型1 判断元素能否构成一个集合 1．（24-25高一上·广西河池·期中）下列给出的对象中，能组成集合的是（   ） A．与给定A，B等距离的点 B．比较小的数 C．的近似值 D．3班的高个子同学 2．（25-26高一上·山东济南·期中）下列各组对象中，能构成集合的是（   ） A．班级里成绩好的同学 B．校园里漂亮的花朵 C．小于5的正整数 D．喜欢运动的人 3．（2026高一·全国·专题练习）(多选题)下列各组对象能组成集合的是（ ） A．大于6的所有整数 B．高中数学的所有难题 C．被3除余2的所有整数 D．A，B是平面内的定点 ，在平面内与A，B等距离的点 4．（25-26高二上·吉林白城·阶段检测）(多选题)给出下列说法，其中正确的有（    ） A．中国的所有直辖市可以构成一个集合 B．高一（1）班较胖的同学可以构成一个集合 C．正偶数的全体可以构成一个集合 D．大于2023且小于2030的所有整数不能构成集合 5．（24-25高一上·江西·阶段检测）(多选题)下列各组对象能构成集合的有（   ） A．南昌大学2024级大一新生 B．我国第一位获得奥运会金牌的运动员 C．体型庞大的海洋生物 D．唐宋八大家 6．(多选题)下列说法中正确的是（     ）. A．中国的所有直辖市可以组成一个集合 B．高一（1）班较胖的同学可以组成一个集合 C．正偶数的全体可以组成一个集合 D．大于2022且小于2014的所有整数能组成集合 重难点题型2 判断是否为同一集合 1．（25-26高一上·山东济南·期中）下列集合中，与集合表示同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·陕西安康·阶段检测）下列各组中的、表示同一集合的是（    ） ①； ②； ③； ④ A．① B．② C．③ D．④ 3．下列四组中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 4．（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）（多选题）下列各组集合表示的不是同一集合的是（   ） A．， B．， C．， D．， 5．（多选题）下列说法正确的是（　　） A．由组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C．集合与集合是同一个集合 D．集合与集合是同一个集合 6．（多选题）下列各组中表示不同集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 重难点题型3 判断元素与集合的关系 1．（26-27高一·全国·暑假作业）给出下列5个关系：①，②，③，④，⑤．其中正确命题的个数为（ ） A．4 B．2 C．3 D．5 2．（26-27高一·全国·暑假作业）已知集合若则不可能是（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 3．（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·天津武清·期中）给出下列关系：①；②；③；④；⑤.其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（26-27高一·全国·暑假作业）用符号或填空： （1）______； （2）______； （3）______； （4）______； （5）______. 6．（24-25高一上·河北沧州·阶段检测）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正确命题的个数为______ 重难点题型4 根据元素与集合的关系，求参数或参数的取值范围 1．（25-26高二下·重庆·期中）已知集合，且，则（   ） A． B．或 C． D． 2．（26-27高一·全国·暑假作业）已知集合，若则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·河北沧州·期末）已知，则实数的值是（    ） A． B． C． D．或 4．（2026·上海·高考真题）已知集合，，则__________． 5．（26-27高一·全国·暑假作业）设，集合，若，则______. 重难点题型5 利用集合互异性，求参数或参数的取值范围 1．（25-26高一上·重庆·期中）已知集合，且，则（    ） A． B．或 C．3 D． 2．（26-27高一·全国·暑假作业）已知，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C． D．2 3．（26-27高一·全国·暑假作业）若且集合中的元素均为整数， 则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．3 4．（25-26高一上·海南海口·阶段检测）已知集合，若，则（   ） A． B． C．或 D．1或 5．（25-26高三上·山西吕梁·期末）已知集合，，则__________． 6．（25-26高一上·天津河北·阶段检测）已知集合，若，则实数的所有可能取值组成的集合为____． 重难点题型6 根据集合中元素个数，求参数或参数的取值范围 1．（2026高一·全国·专题练习）已知，集合中的元素恰有个整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·湖北孝感·二模）如果集合只有一个元素，则实数的值是（   ） A．0或4 B．4 C．0或 D．0 3．（25-26高一上·河南·期末）已知为实数，集合中有且仅有一个元素，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 4．（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）如果集合中只有一个元素，则实数的所有可能值的和为________. 5．已知，集合中的元素恰有个整数，则的取值范围是_________. 6．（25-26高一上·上海·期中）已知集合. (1)若，求集合； (2)若中至多有一个元素，求实数的取值范围． 7．（24-25高一上·广东中山·阶段检测）已知集合. (1)若中有两个元素，求实数的取值范围； (2)若中至多有一个元素，求实数取值范围. 重难点题型7 列举法求集合中元素的个数 1．（25-26高一上·江西九江·阶段检测）集合，若集合中恰有5个元素，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知集合，则中元素的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．（25-26高三下·江苏扬州·开学考试）已知集合，则中元素的个数是（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 4．（25-26高一上·江西赣州·期末）集合的元素个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．无数个 5．（2024·西藏拉萨·一模）集合中的元素个数为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·云南文山·期末）由单词“deepseek”中的字母作为集合中的元素，则集合中的元素共有__________个. 7．（24-25高一上·全国·课后作业）集合的元素个数为______. 8．设集合且，则集合中元素个数为______. 重难点题型8 利用集合相等，求参数或参数的取值范围 1．（26-27高一·全国·暑假作业）已知，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D． 2．（24-25高一上·海南儋州·期中）已知集合，．若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 3．（24-25高一上·湖南永州·阶段检测）若集合，且，则实数的值为 （    ）. A．或 B． C． D．或 3．设集合，，，则集合C=______． 4．设，集合，若，则__________. 5．设三元集合=，则___________ ． 重难点题型9 集合的新定义 1．（26-27高一·全国·暑假作业）已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·广东深圳·三模）当一个非空数集满足：如果，那么且当时，时，我们称就是一个数域.有以下关于数域的说法：①0是任何数域的元素；②若数域有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域.其中正确的说法是（   ）. A．①②④ B．②③④ C．①④ D．①② 3．（2026高三·全国·专题练习）（多选题）当一个非空数集G满足“如果a、，则、、，且时，”时，我们称G是一个数域．以下四个关于数域的命题中真命题的是（    ） A．0是任何数域中的元素； B．若数域G中有非零元素，则； C．集合是一个数域； D．有理数集Q是一个数域． 4．（25-26高一上·福建·阶段检测）（多选题）非空数集具有如下性质：①若，则；②若，则；由此可知：下列判断中，正确的是（    ） A． B．若，则 C． D．若，则 1 学科网（北京）股份有限公司 $