精品解析：新疆维吾尔自治区塔城地区第一高级中学2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题

塔地一高2025～2026学年第2学期高一期末考试 高一数学试题 命题人：王敬安 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个正确选项．） 1. 数据1，3，2，2，5，6，9，8的70%分位数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】先对数据从小到大排序，计算70%分位数对应的位置，根据位置规则确定分位数. 【详解】将原数据从小到大排列：1，2，2，3，5，6，8，9， 由，故该组数据的70%分位数是. 2. 已知圆锥的底面半径为1，高为3，则该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 10 【答案】C 【解析】 【详解】根据题意，圆锥的母线长为， 所以圆锥的表面积. 3. 总体由编号为00，01，…，59的60个个体组成．利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第6个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第3个个体的编号为（    ） 5044664421       6606580562       6165543502       4235489632 1452415248       2266221586       2663754199       5842367224 A. 42 B. 16 C. 56 D. 06 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可知，从该随机数表第1行的第6个数字开始由左到右依次选取两个数字， 则选出来的个体编号依次为：64（舍去），42，16，60（舍去）， 65（舍去），80（舍去），56，26，16（舍去），55，43， 即选出的6个个体编号依次为：42，16，56，26，55，43，所以第3个个体的编号为56. 4. 已知，是两个不共线的单位向量，，，若与共线，则（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由向量与向量共线，且向量不共线， 得，所以. 5. 若一组数据的平均数为5，方差为2，将每一个数都乘以2，再减去1，得到一组新数据，则新数据的平均数和方差分别为（ ） A. 9，3 B. 9，8 C. 9，7 D. 10，8 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用平均数、方差公式计算即得. 【详解】设这组数据为，依题意，， 所得新数据为， 新数据的平均数为， 方差为. 故选：B 6. 已知一组数据的平均数和方差分别为20，26，若向该组数据中添加一个数据20，记这组新数据的平均数和方差分别为，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设有个数据，则原数据总和为，引入数据后，新总和为， 因此新平均数 . 原样本方差为，根据方差定义，可得原数据的离均差平方和. 添加数据后，新增偏差平方项，因此新方差. 由于，因此. 7. 记的内角的对边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦定理结合二倍角的正弦公式可求得角正弦和余弦，再根据三角变换公式求得，从而可求三角形的面积. 【详解】在中，由正弦定理得，即，解得， 而，故，， ， 所以． 则． 故选：C. 8. 进行卫星通信时，通常是将所传送的信息转化为0，1信号数码进行发送与接收的.在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，接收方收到0（正确）的概率为，收到1（错误）的概率为；发送1时，接收方收到1（正确）的概率为，收到0（错误）的概率为.考虑两种传输方案：单次传输和三重传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三重传输是指每个信号重复发送3次.无论哪种方案，接收方收到的信号都需要译码.译码规则如下：单次传输时，收到的数码即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数最多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.下列结论中正确的是（ ） A. 采用单次传输时，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为 B. 采用三重传输时，若发送数码0，则译码为0的概率为 C. 发送0，若，则三重传输译码正确的概率大于单次传输译码正确的概率 D. 当时，译码正确的概率与传输方案以及传输数码内容无关 【答案】C 【解析】 【分析】利用独立事件的乘法公式、互斥事件的加法公式依次求出各项中对应事件的概率，即可得. 【详解】A：由题意，发送0时，收到0的概率为，发送1时，收到1的概率为， 所以采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为，错； B：发送0时，接收方收到0（正确）的概率为，收到1（错误）的概率为， 采用三次传输方案，发送数码0，译码为0的情况有、、、， 对应概率依次为、、、，故所求概率为，错； C：由B分析，三重传输时，发送数码0，译码为0的概率为， 单次传输时，发送数码0，译码为0的概率为， 所以， 又，则，即三重传输译码正确的概率大于单次传输译码正确的概率，对； D：单次传输时，发送0，收到0的概率为，发送1时，收到1的概率为， 三重传输时，发送0，收到0的概率为，发送1，收到1的概率为， 所以时，译码正确的概率与传输数码内容无关，结合C分析，显然或1时，译码正确的概率才与传输方案无关，错. 故选：C 二、多选题（本题共3个小题，每小题6分，共18分．全部选对得6分，有错误选项得零分．） 9. 已知复数满足：，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】先根据已知等式求出复数，再结合共轭复数、复数模长、复数运算的相关规则逐一判断选项. 【详解】由，则， 则，， ， ， 故A、C正确，B、D错误. 10. 如图，等边的边长为，边上的高为，沿把折起来，则（ ） A. 在折起的过程中始终有平面 B. 三棱锥的体积的最大值为 C. 当时，点到的距离为 D. 当时，点到平面的距离为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据线线垂直可证线面垂直，可判断A选项，根据三棱锥体积公式可知当时，体积最大，即可判断B选项，根据等边三角形可值，再根据等腰三角形性质可判断C选项；根据线面垂直可知D选项中点到平面的距离为，即可判断D选项. 【详解】 A选项：因为，，且，，平面，所以平面，故A选项正确； B选项：又已知三棱锥的体积， 所以当即时，三棱锥的体积最大， 最大值为，故B选项正确； C选项当时，是等边三角形，且是以为底的等腰三角形， 设的中点为，连接， 则，即为点到的距离， ，故C选项正确； 当时，，，且，，平面，故平面， 则就是点到平面的距离，且，故D选项错误； 故选：ABC. 11. 已知事件，发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. 若与互斥，则 B. 若与相互独立，则 C. 若与相互独立，则 D. 若发生时一定发生，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据互斥事件概率加法公式求解判断A，根据独立事件乘法公式和概率的性质求解判断B，结合对立事件概率公式，利用独立事件乘法公式求解判断C，根据事件关系求解概率判断D. 【详解】选项A：与互斥，则，正确； 选项B：与相互独立，所以， 从而，正确； 选项C：，正确； 选项D：发生时一定发生，则，，不正确. 故选：ABC. 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 已知且，则向量在向量上的投影向量为_______. 【答案】 【解析】 【详解】因为且， 所以向量在向量上的投影向量为 13. 如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形ABCD的直观图为梯形，其中，，，，则原四边形ABCD的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】画出原图形，结合斜二测法的定义求出各边长，得到面积 【详解】过点作⊥于点，则， 又，所以， 因为，所以， 画出原图形，可知四边形为直角梯形，，， ， 因此原四边形的面积为. 14. 鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，由六根完全一样的正四棱柱体分成三组构成，其上下、左右、前后完全对称，若正四棱柱的高为4，底面正方形的边长为2，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器（容器壁的厚度忽略不计）的体积的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题可得当该球形容器的半径为并在一起的两个长方体体对角线的一半时满足题设. 【详解】由题意，该球形容器的半径的最小值为并在一起的两个长方体体对角线的一半， 即为，所以该球形容器体积的最小值为： 四、解答题（本题共5个小题，共77分．答题需给出必要过程或演算步骤．） 15. 我国新一代载人飞船备选航天员共有5名，编号为1，2，3，4，5，其中1，2号为指令长候选人，3，4，5号为飞行工程师，现从中随机选取3人执行模拟飞行任务． （1）写出该试验的样本空间Ω； （2）求3人中恰有1名是指令长候选人的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）枚举从5人中任选3人的所有组合，写出样本空间； （2）利用古典概型，统计满足条件的基本事件个数，计算概率. 【小问1详解】 从编号为1，2，3，4，5的5人中随机选取3人的样本空间记为， 共有10个等可能样本. 【小问2详解】 记“3人中恰好有1名是指令长候选人” 则， 共有6个等可能样本点， 所以， 即三人中恰好有1名是指令长候选人的概率为． 16. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求△ABC外接圆的面积； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理求出三角形外接圆的半径，进而求出面积； （2）利用余弦定理求出，再用三角形面积公式求解. 【小问1详解】 设外接圆的半径为R，由正弦定理， 得，所以外接圆的面积为． 【小问2详解】 由余弦定理， 得，得（负根舍去）． 故的面积为． 17. 如图，在棱长为2的正方体中，点，分别是棱，的中点. （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，再由线面平行的判定定理即可得证； （2）通过平移得到或其补角就是异面直线与所成的角，利用余弦定理即可求出其余弦值. 【小问1详解】 若分别为，的中点，，， 且，四边形为平行四边形，， 又平面，不在平面内，平面； 【小问2详解】 取中点，连接AE，AF，BG，FG，， 四边形为正方形，且， 四边形是平行四边形， 又且，四边形是平行四边形， ，，或其补角就是异面直线与所成的角. 在中，，，， 由余弦定理，， 故异面直线与所成角的余弦值为. 18. 某学校组织全校学生进行了一次“两会知识多少”的问卷测试，已知所有学生的测试成绩均位于区间，从中随机抽取了40名学生的测试成绩，绘制得到频率分布直方图，如图所示． （1）求图中a的值以及本次测试的上四分位数； （2）学校团组织利用比例分配的分层随机抽样方法，从和的学生中抽取7人组成宣讲团．从选定的7人中随机抽取2人对高一同学进行宣讲，求至少有1人测试成绩位于区间的概率． 【答案】（1），84； （2） 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图中各组频率之和为1，即可求得a的值，根据上四分位数的定义即可求解； （2）根据两组的频率之比，即可求得每组抽取人数，进而写出样本空间，根据古典概型的概率公式，即可求得答案. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得，解得； 设上四分位数为X，，则 所以本次测试的上四分位数为84． 【小问2详解】 由图可得和这两组的频率之比为， 故应从学生中抽取的学生人数为（人）， 应从学生中抽取的学生人数为（人）， 设从中抽取的5人为a，b，c，d，e， 从学生中抽取的2人为1，2，（样本点字母可随意选择） 则这个试验的样本空间为， 共有21个基本事件； 事件“至少有1人测试成绩位于区间”，事件A的个数有11个， 即，故． 19. 在三棱锥中，已知均是边长为的正三角形，棱.现对其四个顶点随机贴上写有数字的八个标签中的四个，表示顶点所贴数字，为侧棱上一点. （1）求事件“为偶数”的概率； （2）若，求“二面角的平面角大于”的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求事件事件“”与事件“”均为奇数的概率，再求事件“”与事件“”均为偶数的概率，进而可求得事件“”为偶数的概率； （2）由题意证明平面，因此是二面角的平面角，再由正弦定理得出、，由题意，分类讨论：；；即可. 【小问1详解】 用表示“均为奇数”的事件，用表示“均为偶数”的事件， 则从1-8个数字中任取两个数字标签贴在C､D顶点的样本空间有56个样本点， 事件包含12个样本点，事件也包含12个样本点，根据古典概率知识得： . 记“为偶数”为事件，则， 故； 【小问2详解】 如图，取边的中点，连结. 因为均是边长为的正三角形， 所以，，平面, 因此平面， 从而是二面角的平面角， 又，则. 又， 同理， 当二面角的平面角大于时， ， 当时，，则可取3，4，5，6，7，8共六个值； 当时，，则可取共三个值； 当时，，则不存在. 从1-8个数字中任取两个数字标签贴在顶点的样本空间有56个样本点， 其中使得二面角的平面角大于的样本点有9个，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 塔地一高2025～2026学年第2学期高一期末考试 高一数学试题 命题人：王敬安 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个正确选项．） 1. 数据1，3，2，2，5，6，9，8的70%分位数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 2. 已知圆锥的底面半径为1，高为3，则该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 10 3. 总体由编号为00，01，…，59的60个个体组成．利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第6个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第3个个体的编号为（    ） 5044664421       6606580562       6165543502       4235489632 1452415248       2266221586       2663754199       5842367224 A. 42 B. 16 C. 56 D. 06 4. 已知，是两个不共线的单位向量，，，若与共线，则（ ） A. B. 6 C. D. 5. 若一组数据的平均数为5，方差为2，将每一个数都乘以2，再减去1，得到一组新数据，则新数据的平均数和方差分别为（ ） A. 9，3 B. 9，8 C. 9，7 D. 10，8 6. 已知一组数据的平均数和方差分别为20，26，若向该组数据中添加一个数据20，记这组新数据的平均数和方差分别为，，则（ ） A. B. C. D. 7. 记的内角的对边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 进行卫星通信时，通常是将所传送的信息转化为0，1信号数码进行发送与接收的.在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，接收方收到0（正确）的概率为，收到1（错误）的概率为；发送1时，接收方收到1（正确）的概率为，收到0（错误）的概率为.考虑两种传输方案：单次传输和三重传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三重传输是指每个信号重复发送3次.无论哪种方案，接收方收到的信号都需要译码.译码规则如下：单次传输时，收到的数码即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数最多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.下列结论中正确的是（ ） A. 采用单次传输时，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为 B. 采用三重传输时，若发送数码0，则译码为0的概率为 C. 发送0，若，则三重传输译码正确的概率大于单次传输译码正确的概率 D. 当时，译码正确的概率与传输方案以及传输数码内容无关 二、多选题（本题共3个小题，每小题6分，共18分．全部选对得6分，有错误选项得零分．） 9. 已知复数满足：，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，等边的边长为，边上的高为，沿把折起来，则（ ） A. 在折起的过程中始终有平面 B. 三棱锥的体积的最大值为 C. 当时，点到的距离为 D. 当时，点到平面的距离为 11. 已知事件，发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. 若与互斥，则 B. 若与相互独立，则 C. 若与相互独立，则 D. 若发生时一定发生，则 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 已知且，则向量在向量上的投影向量为_______. 13. 如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形ABCD的直观图为梯形，其中，，，，则原四边形ABCD的面积为______． 14. 鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，由六根完全一样的正四棱柱体分成三组构成，其上下、左右、前后完全对称，若正四棱柱的高为4，底面正方形的边长为2，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器（容器壁的厚度忽略不计）的体积的最小值为__________． 四、解答题（本题共5个小题，共77分．答题需给出必要过程或演算步骤．） 15. 我国新一代载人飞船备选航天员共有5名，编号为1，2，3，4，5，其中1，2号为指令长候选人，3，4，5号为飞行工程师，现从中随机选取3人执行模拟飞行任务． （1）写出该试验的样本空间Ω； （2）求3人中恰有1名是指令长候选人的概率． 16. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求△ABC外接圆的面积； （2）若，求的面积． 17. 如图，在棱长为2的正方体中，点，分别是棱，的中点. （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值. 18. 某学校组织全校学生进行了一次“两会知识多少”的问卷测试，已知所有学生的测试成绩均位于区间，从中随机抽取了40名学生的测试成绩，绘制得到频率分布直方图，如图所示． （1）求图中a的值以及本次测试的上四分位数； （2）学校团组织利用比例分配的分层随机抽样方法，从和的学生中抽取7人组成宣讲团．从选定的7人中随机抽取2人对高一同学进行宣讲，求至少有1人测试成绩位于区间的概率． 19. 在三棱锥中，已知均是边长为的正三角形，棱.现对其四个顶点随机贴上写有数字的八个标签中的四个，表示顶点所贴数字，为侧棱上一点. （1）求事件“为偶数”的概率； （2）若，求“二面角的平面角大于”的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $