25.2.2公式法课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的公式法，核心内容包括求根公式推导、根的判别式应用及方程求解步骤。通过具体方程配方法导入，衔接之前的配方法知识，引导学生从特殊到一般探究ax²+bx+c=0的配方过程，搭建完整的学习支架。 其亮点在于以“合作探究”推动求根公式推导，培养学生数学思维（推理能力）和抽象能力（符号意识）。结合人体雕像比例等实例渗透模型意识，步骤结构化（一化二定三求四判）便于掌握。学生能提升逻辑推理与应用能力，教师可借助清晰流程和丰富实例优化教学。

25.2.2 公式法 第二十五章 一元二次方程 22051 学习目标 1 2 会用公式法解一元二次方程，会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等. 经历探究一元二次方程求根公式的过程，初步了解从具体到抽象、从特殊到一般的认识规律． 22051 解方程5x2＋4x－1＝0. 解: 移项，得 , 二次项系数化为1，得 , 配方，得 ＝, , 由此可得 , 解得 . 22051 探究与应用 任何一个一元二次方程都可以化成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0).能否用配方法得出它的解呢? 我们根据用配方法解一元二次方程的经验解决这个问题: 活动 探究一元二次方程的根的判别式和求根公式 问题情境 22051 解:移项,得ax2+bx=-c. 二次项系数化为1,得x2+x=-. 配方,得x2+x+()2=-+()2, 即(x+)2=.① ∵a≠0,∴4a2>0. 22051 将方程二次项系数化成 1 移项 配方 化为(x+n)2=p (n, p 是常数, p≥0) 的形式 用直接开平方法求得方程的解 2 合作探究 ax2+bx+c=0 (a≠0) x2+ x+ =0 x2+ x= x2+ x+( )2= +( )2 (x+ )2= ① ？ 22051 2 合作探究 (x+ )2= ① 因为a≠0，所以4a2>0.式子b24ac的值有以下三种情况： (1)当b24ac>0时，>0，由①得 x+ =±. 方程有两个不相等的实数根 x1=，x2=. 22051 任何一个一元二次方程都可以写成一般形式 ax2+bx+c=0(a≠0) 【问题1】那么我们能否也用配方法得出它的解呢？ 22051 解关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0： 解：我们可以根据用配方法解一元二次方程的经验解决这个问题 移项，得： , 二次项系数化为1，得： , 配方，得 ＝, 即 . ① 对于方程①接下来能用直接开平方解吗 22051 1.一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式Δ=　　　　.  2.一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式与其根的情况的关系: 当Δ>0时,方程有两个　　　　的实数根;  当Δ=0时,方程有两个　　　　的实数根;  当Δ<0时,方程　　　　实数根.  概括新知 22051 2 合作探究 (x+ )2= ① 因为a≠0，所以4a2>0.式子b24ac的值有以下三种情况： (2)当b24ac=0时，=0，由①可知， 方程有两个相等的实数根 x1=x2=. 22051 2 合作探究 (x+ )2= ① 因为a≠0，所以4a2>0.式子b24ac的值有以下三种情况： (3)当b24ac<0时，<0，由①可知(x+ )2<0， 而x取任何实数都不能使(x+ )2<0成立，因此方程无实数根. 22051 【问题2】如何解 ？ 需要对的值进行分类讨论，因为因此只需要对b2−4ac的值讨论. (1)当b2−4ac >0时，，由①得 方程有两个不相等的实数根 式子b2−4ac的值有以下三种情况： 22051 (2)当b24ac =0时，，由①可知，方程有两个相等的实数根 (3)当b2−4ac＜0时，，由①可知( ，而取任何实数都不能使( 成立，因此方程无实数根. 【问题2】如何解 ？ 22051 (教材补充例题)利用一元二次方程根的判别式判断下列方程的根的情况: (1)x2-5x=-7;　　 理解应用 例 1 解:(1)方程化为x2-5x+7=0. ∵a=1,b=-5,c=7, ∴Δ=b2-4ac=(-5)2-4×1×7=-3<0, 故方程无实数根. 22051 (2)x2+5=2x;　　 解: (2)方程化为x2-2x+5=0. ∵a=1,b=-2,c=5, ∴Δ=b2-4ac=(-2)2-4×1×5=0, 故方程有两个相等的实数根. 22051 2 合作探究 (x+ )2= ① 式子b24ac可以判别一元二次方程的根的情况，因此把它叫作一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，即Δ=b24ac. 归纳总结 由上可知，对于方程ax2+bx+c=0 (a≠0)， 当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根； 当Δ=0时，方程有两个相等的实数根； 当Δ<0时，方程无实数根. 22051 2 合作探究 求根公式表达了用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0的结果.解一个具体的一元二次方程时，把各系数代入求根公式，可以直接得出方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法. 当Δ≥0时，方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的实数根可写为 x= 的形式，这个式子叫作一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式. 22051 可以发现，式子b2−4ac可以判别一元二次方程的根的情况，因此把它叫作一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，即Δ =b2−4ac. 根的判别式△与方程的根的关系： ①当Δ > 0时, 方程有两个不相等的实数根; ②当Δ＝0时, 方程有两个相等的实数根; ③当Δ < 0时, 方程无实数根. 22051 当Δ≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根可写为 的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式. 求根公式表达了用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0的结果. 解一个具体的一元二次方程时，把各系数代入求根公式，可以直接得出方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法. 22051 拓展 当m为何值时,关于x的一元二次方程mx2-(4m+1)x+4m-1=0: (1)有两个相等的实数根? (2)有两个不相等的实数根? (3)无实数根? 解:由题意,知m≠0,Δ=b2-4ac=[-(4m+1)]2-4m(4m-1)=12m+1. (1)∵方程有两个相等的实数根, ∴Δ=12m+1=0,解得m=-. 22051 (2)∵方程有两个不相等的实数根, ∴Δ=12m+1>0,解得m>-. 又∵m≠0, ∴m>-且m≠0. (3)∵方程无实数根, ∴Δ=12m+1<0,∴m<-. 22051 3 典例分析 例3 用公式法解下列方程： (1) x2−4x−7=0； (2) 2x2−2x+1=0； 解：(1)因为a=1，b=−4，c=−7，所以 Δ=b2−4ac=(−4)2−4×1×(−7)=44>0. 方程有两个不相等的实数根 x= = =2±， 即 x1=2+，x2=2−. 确定a，b，c的值时，要注意它们的符号. 22051 3 典例分析 例3 用公式法解下列方程： (1) x2−4x−7=0； (2) 2x2−2x+1=0； 解：(2)因为a=2，b=−2，c=1，所以 Δ=b2−4ac=(−2)2−4×2×1=0. 方程有两个相等的实数根 x1=x2==−=. 22051 【练习】用公式法判断下列方程是否有实数根? (1) 5x2＋4x－1＝0; (2) 2x2＋3＝4x; 解: a＝5，b＝4，c＝－1, ∵△＝42－4×5×(－1)＝36>0, ∴方程有两个不相等的实数根. 解: a＝2，b＝－4，c＝3, ∵△＝(－4)2－4×2×3＝－8<0, ∴方程无实数根. 22051 思考1：在使用根的判别式时，我们需要注意什么？ 使用根的判别式前一定要先把一元二次方程变为一般形式. 如果一元二次方程有实数根, 那么应包括相等或不相等两种情况, ∴△≥0. 思考2：若一元二次方程有实数根, 则△的取值范围是? 22051 1.应用“Δ”求字母的值或取值范围的步骤 首先要根据方程的根的情况判断b2-4ac与0的大小关系,列出关于待定字母的不等式(组)或方程,然后再求解,得到字母的值或取值范围. 懂 步骤 22051 3 典例分析 引言问题 在设计人体雕像时，使雕像的腰部以上与腰部以下的身长比，等于腰部以下与全身的身长比，可以增加视觉美感. 如果某人体雕像全身长为5 m，按照上述比例，雕 像腰部以下为多长？ 5-x x 分析：设雕像腰部以下的身长BC为x m，根据题意，列方程得： x2+5x−25=0. 请你选择合适的方法解这个方程. 22051 3 典例分析 x2+5x−25=0. 用公式法解这个方程，得 x= =. 即 x1=，x2=. 如果结果保留小数点后两位，那么x1≈3.09，x2≈-8.09. 关于这两个根，只有x1≈3.09符合问题的实际意义，因此雕像腰部以下身长约为3.09 m. 22051 运用公式法解一元二次方程的步骤 易错点：注意a，b，c符号. 1.变形：先将方程化为一般形式， 2.确定系数：确定a,b,c的值； 2.计算：计算判别式Δ=b2-4ac的值； 3.判断：若Δ≥0，利用求根公式计算方程的根， 若Δ<0，方程无实数根. 22051 公式法 根的判别式 定义 步骤 把各系数代入求根公式，直接得出方程的根的方法叫作公式法. 一化（一般形式）；二定（系数值）； 三求（△值）；四判（方程根的情况） 求根 公式 22051 课堂小结与检测 | 认知逻辑 | 22051 $