精品解析：广东广州市海珠区2025-2026学年第二学期期末质量监测七年级数学

2025学年第二学期质量监测 七年级数学 试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，共6页，满分150分，考试时间120分钟，不可使用计算器． 注意事项： 1．答卷前，考生务必在答题卡第1页、第3页、第5页上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的学校、班级、姓名、座位号、考号；再用2B铅笔把对应号码的标号涂黑； 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B铅笔画图．答案必须写在答题卡各题指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域．不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题（每题4分，共40分） 1. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 在下列实数中，属于无理数的是（ ） A. B. 0 C. D. 3. 下列问题中，适合抽样调查的是（ ） A. 公司招聘员工，对应聘人员进行面试 B. 飞机安保人员对旅客携带的物品进行安检 C. 了解一批灯泡的使用寿命 D. 了解你们班同学周末时间是如何安排的 4. 两条直线被第三条直线所截，在两个交点处形成八个角，这就是“三线八角”．如图所示，以下选项中在位置上互为同位角的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 5. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列4个命题中，真命题的个数为（ 　） ①对顶角相等 ②垂线段最短 ③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ④两直线平行，同旁内角互补 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 为了探究广州今年上半年白昼时长的变化规律，收集到部分日期的白昼时长数据，绘制出如图所示的散点图，用趋势图描述这段时期广州白昼时长的变化趋势，估计3月15日的白昼时长约是（ ） A. 692分钟 B. 701分钟 C. 723分钟 D. 754分钟 8. 小明在解关于x，y的二元一次方程组时，解得，则和代表的数分别是（ ） A. 4和5 B. 8和9 C. 和9 D. 和5 9. 《九章算术》中记载“今有二马，一牛，价过一万，如半马之价；一马，二牛，价不满一万，如半牛之价．问牛、马价各几何？”意思是现有匹马、头牛，总价比钱多出来的部分等于半匹马的价钱；另有匹马、头牛，总价比钱少的部分等于半头牛的价钱，若设匹马价为钱，头牛价为钱，则可列出方程组（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，已知，，将线段AB平移得到线段，其中点A的对应点为点C．若，，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 5 二、填空题（每题4分，共24分） 11. （1）25的平方根是_____________； （2）的立方根是_________________． 12. 根据数量关系：的倍与的和比大，可列出不等式：_______． 13. 如图，用坐标表示医院的位置，用坐标表示书店的位置，则表示学校位置的点的坐标是________． 14. 如图，，直线交、于、，若，，则______． 15. 若关于x的不等式有且只有3个正整数解，则a的取值范围是______． 16. 广州市人民公园内一圆形人行步道大致呈长方形ABCD，已知AB边长度约为150米，BC边长度约为210米．某公司通过审批后，在现公园内进行两台马拉松人形机器人的性能测试，机器人甲从A点出发，沿着的顺时针方向跑，机器人乙从B点出发，沿着的逆时针方向跑步．若以点A为原点，AB、AD为x轴和y轴建立平面直角坐标系（如图），当机器人乙的速度是机器人甲的速度2倍时，测得两台机器人同时出发后第一次相遇的地点的坐标为，则机器人乙从出发到跑完半马距离（取21000米）时，两台机器人共相遇了______次，最后一次相遇的地点的坐标为______． 三、解答题（共86分） 17. 解不等式组：，并把解集表示在数轴上． 18. 计算或解方程组 （1）计算： （2）解方程组： 19. 如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点都在格点上． （1）将三角形平移得到三角形，且点的坐标为，请画出平移后的三角形； （2）平移后点的坐标是 ，点的坐标是 ； （3）三角形的面积是 ． 20. 如图，于G，于H，． （1）求证：； （2）求证：． 21. 在装修施工过程中，两位施工人员要同时用一辆手推车将一批瓷砖用电梯运送上楼，电梯额定载重为，已知他们的体重分别为和，手推车的质量为，一箱瓷砖的质量约为，那么他俩用电梯一次最多能将多少箱瓷砖运送上楼？ 22. 月日是“国际劳动节”，某校学生会发起了“劳动最光荣”的家务劳动主题活动，鼓励学生利用小长假主动参与家务劳动．返校之后，为了解学生假期家务劳动时间的情况，校学生会随机调查了部分学生的劳动时间（单位：分钟），将劳动时间分为四组，整理并制作出如下不完整的统计表和统计图，请根据图表信息解答以下问题． 学生劳动时间统计表 组别 时间 人数 组 组 组 组 （1）本次抽样调查共抽取了_______名学生； _______；扇形统计图中组对应的圆心角度数为_______； （2）补全频数分布直方图： （3）若将劳动时间在分钟以上（包括分钟）的学生评为“劳动小模范”，且该校共有名学生，请估计该校“劳动小模范”有多少人？ 23. 广东剪纸有着区别于其他地域剪纸的独特气质，兼具细腻灵动的技法与浓郁的岭南特色，为学习剪纸艺术，王芳要把一张面积为，长、宽比为的长方形彩纸剪成如图形状． （1）请帮王芳求出长方形彩纸的长和宽； （2）王芳想从中裁出面积为的完整圆形纸胚，她能够裁出来吗？试说明理由．（取3） 24. 小海在朱老教师教完平行线的性质与判定专题内容后，决定探究老师布置的思考题． 题目如下：如图1，直线，点A在直线上，点B在直线和之间，且．点C是的平分线与直线的交点，连接，记． （1）【基础探究】求的度数（用含a的代数式表示）． （2）【角度推理】如图2，过点B作射线，使，且交直线于点D．过点C作射线，使，且交直线于点E．请问与直线能否平行呢？请说明你的理由． （3）【逆向探究】小海借助信息技术开展探究后发现，在问题（2）的情景中，只将条件“”改为“（）”，可使，并最终确定了k与a的等量关系．请你对该问题开展研究，并用含a的式子表示k． 25. 某数学小组为研究学校食堂排队时间，考察了两个窗口的运营情况，以下是他们的研究记录，请阅读并解决问题． 目标确定 套餐窗口 自选窗口 信息收集 每份套餐打餐时间一样，每人只能打一份套餐． 每人必须自选一份主食（米饭或面食）和一份菜，不同菜品的打菜时间相同． 数据整理 套餐窗口有人，全部打完用时秒． 在套餐窗口打一份套餐的时间等于自选窗口中一份米饭和一份菜的总打餐时间． 自选窗口有人，全部打完用时秒（记录被漏水盖住，只记得）．这人中，米饭和面食都有人选，选米饭的人数比选面食的人数多人（为正整数），每份面食的打餐时间比每份米饭的打餐时间慢秒． 问题解决： （1）根据调查数据，填空：套餐窗口中每份套餐打餐时间为 秒；自选窗口中一份米饭和一份菜的总打餐时间为 秒，一份面食和一份菜的总打餐时间为 秒． （2）小组发现与有关，请你帮他们分析两者关系，并结合已知数据，推导的所有可能取值． （3）方案设计：食堂为提升就餐体验，对窗口打餐速度（单位：人/分钟）进行了优化．经调查发现：套餐窗口打餐速度不变，自选窗口打餐速度调整为人/分钟．窗口开放前已有人在排队，开放后新到达人数为平均每分钟人（均匀到达）．在排队清空之前，所有开放窗口一直有人在排队．当开放个套餐窗口加个自选窗口时，分钟后恰好没有人排队；当开放个套餐窗口加个自选窗口时，分钟后恰好没有人排队．现食堂决定开放个窗口（两种窗口都必须有），请列出套餐窗口与自选窗口的分配方案，使得排队人数在分钟或更短时间内首次降为，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期质量监测 七年级数学 试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，共6页，满分150分，考试时间120分钟，不可使用计算器． 注意事项： 1．答卷前，考生务必在答题卡第1页、第3页、第5页上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的学校、班级、姓名、座位号、考号；再用2B铅笔把对应号码的标号涂黑； 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B铅笔画图．答案必须写在答题卡各题指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域．不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题（每题4分，共40分） 1. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵点的横坐标，纵坐标， ∴点在第二象限． 2. 在下列实数中，属于无理数的是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称． 【详解】解：是分数，属于有理数；是整数，属于有理数；，是整数，属于有理数； ∵是无限不循环小数，因此也是无限不循环小数， ∴是无理数． 3. 下列问题中，适合抽样调查的是（ ） A. 公司招聘员工，对应聘人员进行面试 B. 飞机安保人员对旅客携带的物品进行安检 C. 了解一批灯泡的使用寿命 D. 了解你们班同学周末时间是如何安排的 【答案】C 【解析】 【分析】全面调查适用于范围较小、无破坏性、需要获取准确结果的场景，抽样调查适用于调查具有破坏性或调查范围较大等不适合全面调查的场景，根据适用场景判断即可． 【详解】解：∵公司招聘员工，需要对每位应聘人员进行面试考核，适合全面调查，∴ A不符合题意； ∵飞机安检为保障飞行安全，需要对每位旅客的携带物品逐一检查，适合全面调查，∴ B不符合题意； ∵测试灯泡使用寿命会破坏灯泡，无法开展全面调查，适合抽样调查，∴ C符合题意； ∵了解班级同学周末时间安排，班级人数较少，适合全面调查，∴ D不符合题意． 4. 两条直线被第三条直线所截，在两个交点处形成八个角，这就是“三线八角”．如图所示，以下选项中在位置上互为同位角的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】A 【解析】 【详解】解：由图可知：互为同位角的是和，和，和，和． 5. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得.，  该不等式的解集在数轴上表示只有D选项符合． 6. 下列4个命题中，真命题的个数为（ 　） ①对顶角相等 ②垂线段最短 ③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ④两直线平行，同旁内角互补 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】根据对顶角的定义、点与直线的关系及平行线直接进行排除即可． 【详解】解：①对顶角相等，故正确； ②垂线段最短，故正确； ③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故正确； ④两直线平行，同旁内角互补，故正确；所以正确的有①②③④； 故选：D． 【点睛】本题主要考查判断命题的真假，对顶角的概念，平行线的性质，垂线的性质，平行公理，熟练掌握对顶角的概念，平行线的性质，垂线的性质，平行公理是解题的关键． 7. 为了探究广州今年上半年白昼时长的变化规律，收集到部分日期的白昼时长数据，绘制出如图所示的散点图，用趋势图描述这段时期广州白昼时长的变化趋势，估计3月15日的白昼时长约是（ ） A. 692分钟 B. 701分钟 C. 723分钟 D. 754分钟 【答案】C 【解析】 【详解】解：由图可知，3月15日的白昼时长在3月1日的白昼时长和4月1日的白昼时长之间， 所以估计3月15日的白昼时长约是723分钟． 8. 小明在解关于x，y的二元一次方程组时，解得，则和代表的数分别是（ ） A. 4和5 B. 8和9 C. 和9 D. 和5 【答案】D 【解析】 【分析】先将已知的代入第一个方程求出，即代表的数，再将和的值代入第二个方程求出代表的数，即可得到答案． 【详解】解： 把代入第一个方程得：， ， 即代表的数为 ， 把，代入第二个方程得： ，即代表的数为． 9. 《九章算术》中记载“今有二马，一牛，价过一万，如半马之价；一马，二牛，价不满一万，如半牛之价．问牛、马价各几何？”意思是现有匹马、头牛，总价比钱多出来的部分等于半匹马的价钱；另有匹马、头牛，总价比钱少的部分等于半头牛的价钱，若设匹马价为钱，头牛价为钱，则可列出方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：设匹马价为钱，头牛价为钱， ∵匹马、头牛的总价比钱多出来的部分等于半匹马的价钱， ∴； ∵匹马、头牛的总价比钱少的部分等于半头牛的价钱， ∴； 因此可得方程组：． 10. 在平面直角坐标系中，已知，，将线段AB平移得到线段，其中点A的对应点为点C．若，，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】平移后所有点的横纵坐标变化量相同，根据平移规律得到和的表达式，即可计算出的值． 【详解】解：∵线段平移得到线段，平移过程中所有点的横纵坐标变化量相同， 由的对应点为，可得横坐标变化量为：， 由的对应点为，可得纵坐标变化量为：， ∴对点横坐标，有，得， 对点纵坐标，有，得， ∴． 二、填空题（每题4分，共24分） 11. （1）25的平方根是_____________； （2）的立方根是_________________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】此题主要考查了求一个数的立方根，求一个数的平方根，解题时应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．一个正数的平方根有两个，这两个互为相反数．据此解答即可． 【详解】解：， 25的平方根是；的立方根是， 故答案为：；． 12. 根据数量关系：的倍与的和比大，可列出不等式：_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据题意可列不等式． 13. 如图，用坐标表示医院的位置，用坐标表示书店的位置，则表示学校位置的点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知确定原点坐标位置，再确定学校位置． 【详解】解：如图，根据医院、书店，建立坐标系， 表示学校位置的点的坐标是． 14. 如图，，直线交、于、，若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可. 【详解】解：， ， ， ， ，  ． 15. 若关于x的不等式有且只有3个正整数解，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出不等式的解集，再根据正整数解的个数确定对应的三个正整数，进而得到a的取值范围． 【详解】解：解不等式 ， 移项得  化简得  ∵不等式有且只有3个正整数解  ∴这3个正整数解分别是1，2，3 ， ∴． 16. 广州市人民公园内一圆形人行步道大致呈长方形ABCD，已知AB边长度约为150米，BC边长度约为210米．某公司通过审批后，在现公园内进行两台马拉松人形机器人的性能测试，机器人甲从A点出发，沿着的顺时针方向跑，机器人乙从B点出发，沿着的逆时针方向跑步．若以点A为原点，AB、AD为x轴和y轴建立平面直角坐标系（如图），当机器人乙的速度是机器人甲的速度2倍时，测得两台机器人同时出发后第一次相遇的地点的坐标为，则机器人乙从出发到跑完半马距离（取21000米）时，两台机器人共相遇了______次，最后一次相遇的地点的坐标为______． 【答案】 ①. 43 ②. 【解析】 【分析】根据两人的速度关系可求出乙跑完半马，甲所跑的路程，两人路程和减去第一次相遇所走的路程，用剩余路程除以长方形周长即为相遇次数，取整加１就是相遇总次数；根据两人的速度关系可求出到最后一次相遇乙所跑的路程，除以长方形周长就可知最后一次相遇时乙的位置． 【详解】解：∵乙的速度是机器人甲的速度2倍， ∴设甲的速度为，则乙的速度为， 乙从出发到跑完半马用时， 此时甲跑了米， 则甲乙共跑了（米）， 第一次相遇时，两人共走了（米）， 则剩余路程为（米）， 从第一次相遇后每合跑米，两人相遇一次， 则相遇（次）， 取整数则相遇42次，加上第一次相遇，共相遇（次）； ∵设甲的速度为，则乙的速度为， ∴第一次相遇时，乙跑了（米） 第一次相遇后每合跑一圈，乙跑（米）， 则最后一次相遇时乙跑的总路程为（米）， ， 即乙跑了28圈加380米，即又回到． 三、解答题（共86分） 17. 解不等式组：，并把解集表示在数轴上． 【答案】； 【解析】 【详解】解：由①，得； 由②，得； 故不等式组的解集为； 数轴表示略 18. 计算或解方程组 （1）计算： （2）解方程组： 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解： 得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为． 19. 如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点都在格点上． （1）将三角形平移得到三角形，且点的坐标为，请画出平移后的三角形； （2）平移后点的坐标是 ，点的坐标是 ； （3）三角形的面积是 ． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质画出 （2）根据坐标系写出点的坐标； （3）根据长方形的面积减去三个三角形的面积，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 【小问3详解】 20. 如图，于G，于H，． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）证明：∵，， ∴； （2）证明：由（1）可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，即可得出结论； （2）证明，即可得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 在装修施工过程中，两位施工人员要同时用一辆手推车将一批瓷砖用电梯运送上楼，电梯额定载重为，已知他们的体重分别为和，手推车的质量为，一箱瓷砖的质量约为，那么他俩用电梯一次最多能将多少箱瓷砖运送上楼？ 【答案】 他俩用电梯一次最多能将17箱瓷砖运送上楼. 【解析】 【分析】根据电梯总载重不超过额定载重的限制，设瓷砖箱数为未知数，列出不等式求解，结合瓷砖箱数为正整数的要求，取最大正整数即可得到结果． 【详解】解：设一次能将箱瓷砖运送上楼，根据题意，得 ， 整理得 ， 移项得 ， 合并得 ， 解得 ， ∵是正整数， ∴的最大值为 ， 答：他俩用电梯一次最多能将17箱瓷砖运送上楼． 22. 月日是“国际劳动节”，某校学生会发起了“劳动最光荣”的家务劳动主题活动，鼓励学生利用小长假主动参与家务劳动．返校之后，为了解学生假期家务劳动时间的情况，校学生会随机调查了部分学生的劳动时间（单位：分钟），将劳动时间分为四组，整理并制作出如下不完整的统计表和统计图，请根据图表信息解答以下问题． 学生劳动时间统计表 组别 时间 人数 组 组 组 组 （1）本次抽样调查共抽取了_______名学生； _______；扇形统计图中组对应的圆心角度数为_______； （2）补全频数分布直方图： （3）若将劳动时间在分钟以上（包括分钟）的学生评为“劳动小模范”，且该校共有名学生，请估计该校“劳动小模范”有多少人？ 【答案】（1），， （2）见解析 （3）该校“劳动小模范”有人 【解析】 【分析】（1）由组人数及其所占百分比可得抽取的总人数，用抽取的总人数减去其他各组的人数可得的值，用乘以组所占百分比得到组对应的圆心角度数； （2）根据的值补全频数分布直方图即可； （3）总人数乘以样本中“劳动小模范”人数所占比例即可． 【小问1详解】 解：本次抽样调查共抽取学生（名）， ， 扇形统计图中组对应的圆心角度数为； 【小问2详解】 解：补全频数分布直方图如下： 【小问3详解】 解：（人）， 该校“劳动小模范”有人． 23. 广东剪纸有着区别于其他地域剪纸的独特气质，兼具细腻灵动的技法与浓郁的岭南特色，为学习剪纸艺术，王芳要把一张面积为，长、宽比为的长方形彩纸剪成如图形状． （1）请帮王芳求出长方形彩纸的长和宽； （2）王芳想从中裁出面积为的完整圆形纸胚，她能够裁出来吗？试说明理由．（取3） 【答案】（1）长方形彩纸的长为，宽为； （2）解：能够裁出来，理由如下： 设圆形纸胚的半径为，由题意得：，解得：， ∵圆形纸胚的直径为，长方形彩纸的宽为，且， ∴， ∴能够裁出来. 【解析】 【分析】（1）设长方形彩纸的长为，宽为，由题意易得，然后进行求解即可； （2）设圆形纸胚的半径为，由题意易得，然后问题可求解． 【小问1详解】 解：设长方形彩纸的长为，宽为，由题意得： ， 解得：（负根舍去）， ∴长方形彩纸的长为，宽为； 【小问2详解】 略 24. 小海在朱老教师教完平行线的性质与判定专题内容后，决定探究老师布置的思考题． 题目如下：如图1，直线，点A在直线上，点B在直线和之间，且．点C是的平分线与直线的交点，连接，记． （1）【基础探究】求的度数（用含a的代数式表示）． （2）【角度推理】如图2，过点B作射线，使，且交直线于点D．过点C作射线，使，且交直线于点E．请问与直线能否平行呢？请说明你的理由． （3）【逆向探究】小海借助信息技术开展探究后发现，在问题（2）的情景中，只将条件“”改为“（）”，可使，并最终确定了k与a的等量关系．请你对该问题开展研究，并用含a的式子表示k． 【答案】（1） （2）不能平行，理由如下： 证明：∵， ∴ ∵， ∴ 若要， 则需， 即 ∴， ∵，，平分， ∴， ∵， ∴， 故不存在； ∴与直线不能平行； （3） 【解析】 【分析】（1）作，则可得，所以，，则题目可解； （2）若要，则需，列方程可得，但由已知条件，可求，故，矛盾，所以可得结论； （3）由题意，，若要，则需，列方程可求解题目． 【小问1详解】 解：作， ∵， ∴， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：略； 【小问3详解】 解：∵， ∴ ∵， ∴ 若要， 则需， 即 ∴． 25. 某数学小组为研究学校食堂排队时间，考察了两个窗口的运营情况，以下是他们的研究记录，请阅读并解决问题． 目标确定 套餐窗口 自选窗口 信息收集 每份套餐打餐时间一样，每人只能打一份套餐． 每人必须自选一份主食（米饭或面食）和一份菜，不同菜品的打菜时间相同． 数据整理 套餐窗口有人，全部打完用时秒． 在套餐窗口打一份套餐的时间等于自选窗口中一份米饭和一份菜的总打餐时间． 自选窗口有人，全部打完用时秒（记录被漏水盖住，只记得）．这人中，米饭和面食都有人选，选米饭的人数比选面食的人数多人（为正整数），每份面食的打餐时间比每份米饭的打餐时间慢秒． 问题解决： （1）根据调查数据，填空：套餐窗口中每份套餐打餐时间为 秒；自选窗口中一份米饭和一份菜的总打餐时间为 秒，一份面食和一份菜的总打餐时间为 秒． （2）小组发现与有关，请你帮他们分析两者关系，并结合已知数据，推导的所有可能取值． （3）方案设计：食堂为提升就餐体验，对窗口打餐速度（单位：人/分钟）进行了优化．经调查发现：套餐窗口打餐速度不变，自选窗口打餐速度调整为人/分钟．窗口开放前已有人在排队，开放后新到达人数为平均每分钟人（均匀到达）．在排队清空之前，所有开放窗口一直有人在排队．当开放个套餐窗口加个自选窗口时，分钟后恰好没有人排队；当开放个套餐窗口加个自选窗口时，分钟后恰好没有人排队．现食堂决定开放个窗口（两种窗口都必须有），请列出套餐窗口与自选窗口的分配方案，使得排队人数在分钟或更短时间内首次降为，并说明理由． 【答案】（1）；； （2），的所有可能取值为， （3）分配方案有三种，方案1：个套餐窗口，个自选窗口；方案2：个套餐窗口，个自选窗口；方案3：个套餐窗口，个自选窗口．理由如下： 套餐窗口的打餐速度为（人/分钟）， ∵自选窗口打餐速度为人/分钟，窗口开放前已有人在排队， ∴由题意得，， 解得， 设开放个套餐窗口，则开放个自选窗口， ∵排队人数在分钟或更短时间内首次降为， ∴， 解得， ∵是正整数， ∴可以取、、， ∴分配方案有三种， 方案1：个套餐窗口，个自选窗口； 方案2：个套餐窗口，个自选窗口； 方案3：个套餐窗口，个自选窗口． 【解析】 【分析】（1）根据总时间和人数的关系求解即可； （2）设选面食的人数为人，则选米饭的人数为人，得出，选米饭的人数为，进而可得，根据列不等式，求出符合条件的正整数解即可； （3）由题意得列方程组，求出，设开放个套餐窗口，则开放个自选窗口，根据排队人数在分钟或更短时间内首次降为，列出不等式，求出，根据为整数可得可以取、、，即可得出所有方案． 【小问1详解】 解：∵套餐窗口有人，全部打完用时秒， ∴套餐窗口中每份套餐打餐时间为（秒）， ∵在套餐窗口打一份套餐的时间等于自选窗口中一份米饭和一份菜的总打餐时间， ∴自选窗口中一份米饭和一份菜的总打餐时间为秒， ∵每份面食的打餐时间比每份米饭的打餐时间慢秒，不同菜品的打菜时间相同， ∴一份面食和一份菜的总打餐时间为（秒）． 【小问2详解】 解：设选面食的人数为人，则选米饭的人数为人， ∵选米饭的人数比选面食的人数多人， ∴， ∴， ∴选米饭的人数为（人）， ∵自选窗口有人，全部打完用时秒， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵为正整数，为正整数， ∴为奇数， ∴的所有可能取值为、． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $