精品解析：四川巴中市2025-2026学年下学期期末定时练习高一数学

2025级高一下学期定时练习 数学 （满分：150分 时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡规定的位置． 2．答题时请使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题答题时必须用0.5毫米黑色墨迹签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置，在规定的答题区域以外答题无效，在试题卷上答题无效． 3．考试结束后，考生将答题卡交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡的相应位置上． 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 一支田径队有男运动员56人，女运动员42人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽一个容量为28的样本，那么男运动员应抽多少人（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 3. 在平行四边形中，为的中点，记，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 若一组数据如下：12，15，16，21，24，25，27，32，36，38．则该组数据的第75百分位数为（ ） A. 27 B. 29.5 C. 32 D. 34 6. 已知直线a，b与平面，，，下面能使成立的条件是（ ） A. ， B. ，， C. ， D. ， 7. 南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（ ） A. B. C. D. 8. 已知的外接圆圆心为O，且，，则向量在向量的投影向量为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，夹角为钝角，则 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 函数的最小正周期是 B. 函数的解析式为 C. 函数的单调递减区间是 D. 函数在区间上的最小值为 11. 如图，在正方体中，，点是正方形内的动点（包含边界），点为的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 异面直线与所成的角为 B. 若点在线段上，则 C. 若点在线段上，则的最小值为 D. 若，则点的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡上的相应位置． 12. 已知复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是______. 13. 若平面向量，满足，则__________． 14. 在三棱锥中，和均为边长为的等边三角形，且二面角的平面角为，则三棱锥的外接球的表面积为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 人工智能是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量．很多学校已经推出基于DeepSeek的人工智能通识课程，帮助学生深入了解人工智能的历史、关键技术及其在科学研究、社会发展中的高效应用，培养跨学科思维，推动人工智能技术在多领域的深度融合与创新．某探究小组利用DeepSeek解答了50份不同的模拟试卷，收集其得分情况，整理得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中的值及这组数据的中位数、众数； （2）若平均得分不低于90分，则可以认为这个系统是准确的，并投入使用．请问，现在这个系统能否投入使用，并说明理由． 16. 记的内角，，的对边分别为，，．已知． （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长． 17. 已知，，且． （1）求函数的解析式； （2）将图像上的所有点向右平移个单位，再把所得图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图像．若在区间上，方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围． 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面是直角梯形，，，且，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积； （3）求二面角的余弦值． 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答：当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角，，所对的边分别为，，，且． （1）求角； （2）若，设点为的费马点，求； （3）设点为的费马点，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025级高一下学期定时练习 数学 （满分：150分 时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡规定的位置． 2．答题时请使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题答题时必须用0.5毫米黑色墨迹签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置，在规定的答题区域以外答题无效，在试题卷上答题无效． 3．考试结束后，考生将答题卡交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡的相应位置上． 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数运算化简，结合复数定义确定答案. 【详解】由， 所以的虚部为. 2. 一支田径队有男运动员56人，女运动员42人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽一个容量为28的样本，那么男运动员应抽多少人（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】C 【解析】 【详解】男运动员应抽的人数为. 3. 在平行四边形中，为的中点，记，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】 如图，. 4. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用三角函数的基本关系式，求得，再利用两角和的正弦公式，代入计算，即可求解. 【详解】因为，可得， 又因为，可得，所以， 则. 5. 若一组数据如下：12，15，16，21，24，25，27，32，36，38．则该组数据的第75百分位数为（ ） A. 27 B. 29.5 C. 32 D. 34 【答案】C 【解析】 【详解】共个数，因为，所以第75百分位数为第个数，即 6. 已知直线a，b与平面，，，下面能使成立的条件是（ ） A. ， B. ，， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】由线面、面面的平行与垂直的判定与性质依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，若，则可能平行，也可能相交，相交也不一定垂直，A错误； 对于B，若，由线面垂直判定定理可知，与不一定垂直， 因此相交，不一定垂直，B错误； 对于C，若，则可能平行，也可能相交，相交也不一定垂直，C错误； 对于D，由，得存在过直线与平面相交的平面，令交线为，则， 又，于是，因此，D正确. 故选：D 7. 南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出． 【详解】依题意可知棱台的高为(m)，所以增加的水量即为棱台的体积． 棱台下底面积，上底面积， ∴ ． 故选：C． 8. 已知的外接圆圆心为O，且，，则向量在向量的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量关系得出向量夹角，再结合向量的投影向量公式计算即得. 【详解】因为，所以O是的中点，所以,可得 所以，所以. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，夹角为钝角，则 【答案】AD 【解析】 【详解】对于A，，解得，故A正确； 对于B，由，则，解得，故B错误； 对于C，由，则，解得，故C错误； 对于D，若，夹角为钝角，则，且、不共线， 即有且，解得且，故D正确. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 函数的最小正周期是 B. 函数的解析式为 C. 函数的单调递减区间是 D. 函数在区间上的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据给定函数图象可依次求解，从而可得最小正周期和解析式，再根据正弦函数的性质，利用整体代换思想即可求解函数的单调递减区间及在上的最小值. 【详解】对于A：由图象知，，所以，故A正确； 对于B：因为，所以，由图象可知，， 又因为图象过点，所以，所以， 因为，所以令，得， 所以函数的解析式为，故B正确； 对于C：令，得， 所以函数的单调递减区间是，故C正确； 对于D：当时，， 所以当，即时，函数取到最小值为，故D错误. 11. 如图，在正方体中，，点是正方形内的动点（包含边界），点为的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 异面直线与所成的角为 B. 若点在线段上，则 C. 若点在线段上，则的最小值为 D. 若，则点的轨迹长度为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，通过平移直线即可找到异面直线所成的角，根据为等边三角形即可求解；B选项，通过证明平面，可得；C选项，将平面沿直线翻折，使得四点共面，则由和均是边长为的等边三角形即可求得；D选项，可得点的轨迹为平面中，以的中点为圆心、为半径的圆弧上，即可求得其轨迹长度. 【详解】对于A：连接，在正方体中，因为， 所以即为异面直线与所成的角或其补角， 又因为为等边三角形，故，即与所成的角为，故A正确； 对于B：当点在线段上时，连接，在正方形中，对角线， 又平面，平面，所以，又， 平面，故平面，而平面，所以，故B正确； 对于C：当点在线段上时，将平面沿直线翻折，使得四点共面， 由和均是边长为的等边三角形，故，故C 错误； 对于D：取的中点，连接， 易知，，，则， 由得点在以为圆心、为半径的圆上，点的轨迹为， 易知，所以点的轨迹长为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡上的相应位置． 12. 已知复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】首先将复数化简，再根据复数的几何意义，列不等式求实数的取值范围. 【详解】复数，因为复数对于的点在第四象限， 所以，解得：. 故答案为： 13. 若平面向量，满足，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据结合模长公式先求得，再利用模长公式求. 【详解】， 因为，所以，解得； 所以. 14. 在三棱锥中，和均为边长为的等边三角形，且二面角的平面角为，则三棱锥的外接球的表面积为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，确定三棱锥外接球球心位置并求出球半径即可. 【详解】在三棱锥中，取的中点，连接， 和均为边长为的等边三角形，得， 由二面角的平面角为，得，即， 平面，则平面，同理平面， 令和的中心分别为，三棱锥的外接球球心为， 则平面，平面，于是，四边形为矩形， ，而，， 所以三棱锥外接球半径，表面积. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 人工智能是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量．很多学校已经推出基于DeepSeek的人工智能通识课程，帮助学生深入了解人工智能的历史、关键技术及其在科学研究、社会发展中的高效应用，培养跨学科思维，推动人工智能技术在多领域的深度融合与创新．某探究小组利用DeepSeek解答了50份不同的模拟试卷，收集其得分情况，整理得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中的值及这组数据的中位数、众数； （2）若平均得分不低于90分，则可以认为这个系统是准确的，并投入使用．请问，现在这个系统能否投入使用，并说明理由． 【答案】（1）；中位数为92.5，众数为92.5． （2）估计得分的平均数为：， 因为，满足平均得分不低于90分， 所以现在这个系统是准确的，能投入使用． 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质可知，所有小矩形的面积之和为1，可求出的值，再根据中位数和众数的定义求解； （2）先结合频率分布直方图求出得分的平均数，再判断现在这个系统能否投入使用． 【小问1详解】 由频率分布直方图可得， 解得． 设中位数为，前两个矩形的面积之和为， 前三个矩形的面积之和为． 所以，则，解得， 所以估计得分的中位数为92.5． 由图可知得分落在的数据最多，故这组数据的众数为92.5． 【小问2详解】 略 16. 记的内角，，的对边分别为，，．已知． （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦二倍角公式得到，得到答案； （2）根据三角形面积得到方程，求出，由余弦定理得到，得到周长 【小问1详解】 在中，， 因为，所以， ，又，故； 【小问2详解】 由（1）知，若，且的面积为， 故， 在中，由余弦定理得， ， 的周长． 17. 已知，，且． （1）求函数的解析式； （2）将图像上的所有点向右平移个单位，再把所得图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图像．若在区间上，方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用向量的数量积的坐标运算公式和三角恒等变换的公式，即可求解； （2）利用三角函数的图象变换，得到，根据题意，转化为的图象与直线有两个交点，结合正弦型函数的图象与性质，即可求解. 【小问1详解】 解：因为，， 所以 ， 所以函数的解析式为：. 【小问2详解】 解：将图像上所有点向右平移个单位，得到， 再把所得图像上所有的点的横坐标伸长为原来的2倍，得到， 因为方程有两个不相等的实数根， 等价于的图象与直线有两个交点， 因为，可得， 令，可得，其中， 即为与直线的图象有两个交点， 画出函数和直线的图象，如图所示， 要使得与直线的图象有两个交点，则满足，解得， 所以实数的取值范围为. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面是直角梯形，，，且，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积； （3）求二面角的余弦值． 【答案】（1）取中点，连接， 因为为的中点，为中点，所以，且 又，，所以，且， 则四边形为平行四边形，得， 又平面，平面，所以平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取中点，求证即可； （2）利用等体积计算； （3）取的中点，过作于，求证为二面角的平面角即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为为的中点， 所以， 又，，，，故， 又平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 又底面是直角梯形，，， 可得，，即，则 则； 【小问3详解】 由（2）知平面，取的中点，连接， 在中，，分别为，的中点，所以，则平面， 因为平面，所以， 过作于，连接， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以为二面角的平面角， 由（2）知，且， 又，， 在中，， 即二面角的余弦值为． 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答：当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角，，所对的边分别为，，，且． （1）求角； （2）若，设点为的费马点，求； （3）设点为的费马点，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）运用正弦定理角化边，根据勾股定理求出角. （2）先用面积条件求出向量模长乘积，再用由费马点得到的角度条件，运用数量积模长公式求出结果. （3）利用费马点的角度性质得到三夹角均为，结合余弦定理与已知边长关系建立线段长度等式；通过比值换元将分式目标式转化为双变量代数式，再借助基本不等式构造一元二次不等式，求解不等式得到的下界，即为所求分式的最小值. 【小问1详解】 ，根据正弦定理可得， 是以角为直角的直角三角形 即． 【小问2详解】 为的费马点， ， ，，． 又， 即， 所以. 【小问3详解】 为的费马点，． 由余弦定理，，， ． 又，． 设，，，．代入上式，化简得 得，又，当且仅当时取等号， ， 由，，， 即的最小值为，当且仅当时取等号. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $