精品解析：甘肃金昌市永昌县第一高级中学2025-2026学年高一下学期学业质量检测(三)数学试卷

永昌县第一高级中学2025-2026-2学业质量检测（三） 高一数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围：湘教版必修第一册第6章，必修第二册第1章~第5章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列物理量不能用向量表示的是（ ） A. 质量 B. 位移 C. 速度 D. 加速度 2. 已知复数，则z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知空间三条直线，若l与m异面,且l与n异面,则（ ） A. m与n异面 B. m与n相交 C. m与n平行 D. m与n异面、相交、平行均有可能 4. 已知一个圆锥的底面半径是3，母线长是5，则该圆锥的体积等于（ ） A. 12 B. 15 C. 36 D. 45 5. 如图，是水平放置的的直观图，，，则的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 6. 已知向量，都是单位向量，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 甲、乙两名选手进行围棋比赛，已知每局比赛结果只有胜负两种，且甲每局获胜的概率为若比赛采用局胜制先胜局者赢得比赛，则甲赢得比赛的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点在二面角的棱上，分别在内引射线，使得,若，，则二面角的大小为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 现有9个数据：2，2，2，2，3，3，4，4，5，则这组数据的（ ） A. 众数是 B. 平均数是 C. 极差是 D. 中位数是 10. 已知 ，则（ ） A. B. C. D. 11. 软木锅垫一般用于餐厅、咖啡厅、酒店等公共饮食场所，可作广告饰品以提高形象．如图，这是一个边长为10厘米的正六边形的软木锅垫，则下列选项正确的是（ ） A. 向量与向量是相等向量 B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，是虚数单位，复数.若是纯虚数，则的值为__________. 13. 已知，那么___________． 14. 如图，为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底在同一水平面内且相距20米的两个测量基点与．现测量得，在点处测得塔顶的仰角分别为，若河宽至少12米，则塔高______米． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知，且． （1）求的值； （2）若，求的值． 16. 已知向量，． （1）求与夹角的余弦值； （2）若，求 ． 17. 随着暑假的临近，某市A景区将再次成为旅游的热门目的地．为更好地提升旅游品质，该市文旅局随机选择100名青年游客对该景区出行体验进行满意度评分（满分100分），80分及以上为良好等级，根据评分数据，制成如图所示的频率分布直方图． （1）求直方图中的值，并估计评分数据的第75百分位数； （2）若采用分层随机抽样的方法从评分在，的两组中共抽取4人，再从这4人中随机抽取2人进行单独交流，求选取2人的评分等级都为良好的概率． 18. 如图，在正方体 中，为的中点. （1）求证： 平面； （2）取中点，求证：平面平面 （3）求异面直线与所成角的余弦值. 19. 在中，角所对应的边分别为.已知. （1）求角； （2）若，，求的周长； （3）如图，的平分线交于点，，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永昌县第一高级中学2025-2026-2学业质量检测（三） 高一数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围：湘教版必修第一册第6章，必修第二册第1章~第5章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列物理量不能用向量表示的是（ ） A. 质量 B. 位移 C. 速度 D. 加速度 【答案】A 【解析】 【详解】向量是既有大小又有方向的量， 而质量只有大小没有方向，不能用向量表示， 位移､速度､加速度是既有大小又有方向的量，都是向量. 2. 已知复数，则z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算，化简得出，根据复数的几何意义即可得出答案. 【详解】由已知得， 则在复平面内对应的点的坐标为，该点在第三象限. 故选：C. 3. 已知空间三条直线，若l与m异面,且l与n异面,则（ ） A. m与n异面 B. m与n相交 C. m与n平行 D. m与n异面、相交、平行均有可能 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意作出图形，进行判断即可. 【详解】解：空间三条直线l、m、n．若l与m异面，且l与n异面， 则可能平行（图1），也可能相交（图2），也m与n可能异面（如图3）， 故选D． 【点睛】本题考查空间直线的位置关系，着重考查学生的理解与转化能力，考查数形结合思想，属于基础题． 4. 已知一个圆锥的底面半径是3，母线长是5，则该圆锥的体积等于（ ） A. 12 B. 15 C. 36 D. 45 【答案】A 【解析】 【详解】由题意，圆锥的高为， 所以该圆锥的体积为. 5. 如图，是水平放置的的直观图，，，则的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】D 【解析】 【详解】依题意，的边分别在轴上，且， 所以的面积. 6. 已知向量，都是单位向量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为都是单位向量，， 所以，所以， 所以. 7. 甲、乙两名选手进行围棋比赛，已知每局比赛结果只有胜负两种，且甲每局获胜的概率为若比赛采用局胜制先胜局者赢得比赛，则甲赢得比赛的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合已知条件，对甲最终获胜的情况进行分类，进而即可得到答案. 【详解】由题意可知，甲最终获胜的情况：胜胜，胜负胜，负胜胜， 故甲获胜的概率为：. 8. 如图，点在二面角的棱上，分别在内引射线，使得,若，，则二面角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作，证得，得到，得出为二面角的平面角，设，求得，结合勾股定理得到，即可求解. 【详解】如图所示，过点作于点，连接， 因为，，且， 所以，所以，所以， 所以即为二面角的平面角， 设，在等腰直角和中，可得， 又因为，所以为等边三角形，所以， 所以，所以， 所以二面角的大小为. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 现有9个数据：2，2，2，2，3，3，4，4，5，则这组数据的（ ） A. 众数是 B. 平均数是 C. 极差是 D. 中位数是 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据众数表示数据中出现次数最多的数据判断A，根据平均数的计算方法判断B，利用最大值减最小值计算极差判断C，根据中位数为数据从小到大或者从大到小排列之后中间的数进行判断D选项． 【详解】2出现了4次，3和4出现了2次，5出现了1次，所以众数是2，故A正确； 平均数为，故B正确； 极差为，故C正确； 9个数据，中位数为第5个数据即为3，故D错误． 10. 已知 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据两角和与差的余弦公式、诱导公式、以及同角三角函数关系式逐项分析即可. 【详解】由， 对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 11. 软木锅垫一般用于餐厅、咖啡厅、酒店等公共饮食场所，可作广告饰品以提高形象．如图，这是一个边长为10厘米的正六边形的软木锅垫，则下列选项正确的是（ ） A. 向量与向量是相等向量 B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】根据相等向量的定义判断A，根据数量积的定义判断B，C，根据向量的线性运算定义求，再解三角形求其大小，判断D. 对于A，由图可得向量与向量方向相同，大小相等， 所以向量与向量相等向量，A正确． 对于B，由图易得，，则向量与向量的夹角为， 则，B错误． 如图，因为，， 则，C正确． 为正三角形，连接交于点，由对称性可知，， 且，，则，， 故，D正确． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，是虚数单位，复数.若是纯虚数，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【详解】因为是纯虚数， 所以且， 由得或1，因为， 所以的值为． 13. 已知，那么___________． 【答案】 【解析】 【分析】对已知式子平方，结合同角三角函数平方关系与正弦二倍角公式即可求出的值. 【详解】已知，等式两边同时平方得， 所以，解得. 14. 如图，为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底在同一水平面内且相距20米的两个测量基点与．现测量得，在点处测得塔顶的仰角分别为，若河宽至少12米，则塔高______米． 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦定理结合几何关系求出，结合河宽至少12米进一步判断即可. 【详解】由题意知，平面，，，，. 因为平面，所以，. 在中，，所以. 在中，，所以. 在中，由余弦定理得，， 即，整理得， 即，解得或. 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 故. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知，且． （1）求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角的余弦公式求解. （2）先利用同角三角函数的基本关系求，再利用两角和的正切公式求解. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 由，所以， 所以，所以， 所以. 16. 已知向量，． （1）求与夹角的余弦值； （2）若，求 ． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据平面向量夹角坐标表示公式进行求解即可； （2）根据平面向量垂直的坐标表示公式，结合平面向量线性运算坐标表示公式进行求解即可. 【小问1详解】 由题意得， ，， 所以与夹角的余弦值为． 【小问2详解】 ， ， 因为， 所以， 得． 17. 随着暑假的临近，某市A景区将再次成为旅游的热门目的地．为更好地提升旅游品质，该市文旅局随机选择100名青年游客对该景区出行体验进行满意度评分（满分100分），80分及以上为良好等级，根据评分数据，制成如图所示的频率分布直方图． （1）求直方图中的值，并估计评分数据的第75百分位数； （2）若采用分层随机抽样的方法从评分在，的两组中共抽取4人，再从这4人中随机抽取2人进行单独交流，求选取2人的评分等级都为良好的概率． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【小问1详解】 由频率分布直方图可知， ， 解得． 因为的频率为，且为最后一组， 所以评分数据的第75百分位数位于区间中， 所以上四分位数为：． 【小问2详解】 评分在与两组的频率分别为，， 采用分层随机抽样的方法，在内抽取人数为，在内抽取人数为， 故4人中评分等级不良好的有1人（记为），评分等级良好的有3人（记为，，），试验的样本空间， 设事件“选取2人的评分等级都为良好”， 则， 所以． 18. 如图，在正方体 中，为的中点. （1）求证： 平面； （2）取中点，求证：平面平面 （3）求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由三角形的中位线定理、线面平行的判定定理推理得证. （2）易证平面，结合（1）可证结论成立. （3）利用几何法求出夹角的余弦. 【小问1详解】 在正方体中，连接交于，连接， 则为的中点，而为的中点，则， 又平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 由为的中点，为的中点，得，， 则四边形为平行四边形，，又平面，平面， 于是平面，由（1）知平面，而， 平面，所以平面平面． 【小问3详解】 如图，作，连接则是异面直线与所成的角或其补角， 令正方体的棱长，则，， 因此， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 19. 在中，角所对应的边分别为.已知. （1）求角； （2）若，，求的周长； （3）如图，的平分线交于点，，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理和和差的正弦公式将原等式化简，进而求得的值. （2）首先根据向量的数量积定义求出的值，然后根据余弦定理求出的值，进而得到三角形的周长. （3）先在中利用正弦定理将表示出来，然后利用角的关系求出其范围即可. 【小问1详解】 ， 由正弦定理可得， 在中，，所以， 化简得， ，则，又，则. 【小问2详解】 在中，，，所以， 又，由余弦定理得，得， 配方得，于是，得，所以， 故的周长为6. 【小问3详解】 在中，由正弦定理可得， ，同理中，有， ，因为，所以， ， ，所以. ，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $