精品解析：甘肃省金昌市永昌县第一高级中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷

永昌县第一高级中学2024-2025-2高一期末考试 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3．本卷命题范围：湘教版必修第二册. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 2. 复数满足，则复数的虚部是（ ） A. 1 B. C. D. 3. 已知直线l、m、n与平面α、β，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 4. 已知且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形，已知点是斜边的中点，且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 小张同学为测量学校紫阳楼的高度，在地面上选取，两点，从两点测得建筑物顶端的仰角分别为，且两点间的距离为10m，则紫阳楼的高度为（ ）m． A. B. C. D. 7. 在正四棱台中，，点为底面的中心，则异面直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 8. 如图是某个闭合电路的一部分，每个元件的可靠性是，则从A到B这部分电路畅通的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知复数，则下列结论正确的是（ ） A. 若为纯虚数，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若在复平面内对应的点位于第四象限，则 11. 在如图所示的圆柱中，和是上下底的直径，侧棱是的中点，是的中点，于，下列说法正确的有（ ） A. 三棱锥的各面都是直角三角形 B. 二面角的平面角为 C. 直线与面的夹角为 D. 点到面的距离等于的长 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，角，，所对的边分别为，，若，，，则边__________． 13. 已知是相互独立事件，且，，则______． 14. 已知过球面上三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，则球的表面积是______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知向量，，，，，． （1）求向量，夹角的余弦值； （2）求实数的值． 16. 从大小相同，编号为的5个小球中，选取3个小球，求下列事件的概率： （1）编号为1，2的小球同时被取到的概率； （2）所取到的三个小球的编号之和为偶数的概率. 17. 如图，在正三棱柱中，已知，，D是棱的中点. （1）求证：平面； （2）该正三棱柱被平面截去一个棱锥，求剩余部分的体积. 18. 已知中，角，，所对的边分别为，，，. （1）求； （2）若，，求的面积； （3）若平分交于点，，，求. 19. 如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，，，， （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）线段上是否存在一点，使得二面角的平面角的余弦值为．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永昌县第一高级中学2024-2025-2高一期末考试 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3．本卷命题范围：湘教版必修第二册. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】逆用差角的正弦公式将原式化简，再求值即可. 【详解】. 故选：B 2. 复数满足，则复数的虚部是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用复数模的运算和除法运算化简复数，进而求得复数的虚部. 【详解】，则的虚部为. 故选：C 3. 已知直线l、m、n与平面α、β，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据线面平行，线面垂直，线面垂直，面面垂直相关判定性质逐个判定即可. 【详解】对于A选项：若，，则与可能平行、相交或异面．像墙角三条线，所以不能得出平行，A错． 对于B选项：，则内有直线与平行，又，所以，在内，能推出，B对． 对于C选项：且时，与位置不确定，可在内等，不能得出，C错． 对于D选项：，交线为，，则可以在内，可以与平行，或与相交但不垂直，位置不定，D错． 故选：B． 4. 已知且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用投影向量的定义求解即可. 【详解】向量在向量上的投影向量为. 故选：A. 5. 用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形，已知点是斜边的中点，且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由等腰直角三角形的性质，可得各线段的长，根据斜二测画法，可得答案. 【详解】因为为等腰直角三角形且，所以，， 由斜二测画法可知，，且三角形为直角三角形，， 所以三角形ABC的面积为． 故选：D． 6. 小张同学为测量学校紫阳楼的高度，在地面上选取，两点，从两点测得建筑物顶端的仰角分别为，且两点间的距离为10m，则紫阳楼的高度为（ ）m． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，得到，且，在中，利用正弦定理，得到，求得的值，即可得到答案. 【详解】如图所示，设， 因为从两点测得建筑物顶端的仰角分别为， 可得，且， 因为，且， 在中，由正弦定理得，可得， 所以，解得m. 故选：A. 7. 在正四棱台中，，点为底面的中心，则异面直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由棱台的结构特征可得，则或其补角为异面直线与所成的角，利用正棱台的结构求解即可． 【详解】如图所示，连接，则，连接，因为， 所以．易知四边形为平行四边形，则，且， 所以或其补角为异面直线与所成的角， 同理知，又，所以为等边三角形，所以， 故选：C． 8. 如图是某个闭合电路的一部分，每个元件的可靠性是，则从A到B这部分电路畅通的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由并联和串联电路的性质先求出从A到B电路不能正常工作的概率，再由对立事件的概率求解. 【详解】上半部分电路畅通的概率为：， 下半部分电路畅通的概率为，上下两部分并联， 畅通的概率为：. 故选:A． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用诱导公式、和角的正切公式、二倍角公式结合齐次式法逐项求解判断. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误. 故选：BC 10. 已知复数，则下列结论正确的是（ ） A. 若为纯虚数，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若在复平面内对应的点位于第四象限，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据纯虚数的概念判断A，根据共轭复数的定义判断B，根据复数模的计算公式判断C，根据复数的几何意义判断D. 【详解】对于A：若为纯虚数，则且，解得，故A错误； 对于B：若，则，得，故B正确； 对于C：若，则，得，故C错误； 对于D：若在复平面内对应的点位于第四象限，则且，解得， 即，故D正确. 故选：BD. 11. 在如图所示的圆柱中，和是上下底的直径，侧棱是的中点，是的中点，于，下列说法正确的有（ ） A. 三棱锥的各面都是直角三角形 B. 二面角的平面角为 C. 直线与面的夹角为 D. 点到面的距离等于的长 【答案】ABD 【解析】 【分析】由平面可得时直角三角形，再根据为直径知，进而可证平面即可确定A；证明出平面，根据二面角的定义可判断B；由平面，可判断C；由面即可确定D正确. 【详解】A选项，因为是圆柱，为直径，所以，为直角三角形， 又平面，平面， 所以，为直角三角形， ，，平面， 平面，，即为直角三角形，故A正确； B选项，因为是的中点，所以， 由A知，平面，平面，所以， 又因为于，，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以， 因为，平面， 所以平面， 又平面，所以， 则二面角的平面角为，则B正确； C选项，因为平面，所以直线与面的夹角为，C错误， D选项，因为⊥平面，所以点到面的距离等于的长，D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，角，，所对的边分别为，，若，，，则边__________． 【答案】 【解析】 【分析】由余弦定理可求. 【详解】由余弦定理可得，故， 故，故（负值舍） 故答案为：. 13. 已知是相互独立事件，且，，则______． 【答案】0.426 【解析】 【分析】根据事件独立求出，再利用求出答案. 【详解】因为是相互独立事件，所以， 所以． 故答案为：0.426 14. 已知过球面上三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，则球的表面积是______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出的外接圆半径，再利用球面的截面小圆性质求出球半径即得答案. 【详解】在中，，则，， 由正弦定理得外接圆半径，设球半径为， 于是，解得，所以球的表面积是. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知向量，，，，，． （1）求向量，夹角的余弦值； （2）求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量夹角的坐标运算公式求解即可； （2）由题意可得，利用向量数量积的坐标运算求解即可. 【小问1详解】 因为，，所以， ，， 所以； 【小问2详解】 因为，所以，所以， 又，，，所以，解得. 16. 从大小相同，编号为的5个小球中，选取3个小球，求下列事件的概率： （1）编号为1，2的小球同时被取到的概率； （2）所取到的三个小球的编号之和为偶数的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）（2）先求出样本空间，再求出符合条件的事件数，结合古典概型概率公式求解即可. 【小问1详解】 从编号为的5个小球中任意取出3个， 样本空间为 记事件为“编号为的小球同时被取到”， 则，故. 【小问2详解】 记事件为“所取到的三个小球编号之和为偶数”， 则，故. 17. 如图，在正三棱柱中，已知，，D是棱的中点. （1）求证：平面； （2）该正三棱柱被平面截去一个棱锥，求剩余部分的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，使得，再连接，得到，结合线面平行的判定定理，即可证得平面； （2）利用柱体和锥体的体积公式，分别求得和，根据题意，结合，即可求解. 【小问1详解】 证明：连接，交于点，则为中点，连接，如图所示， 在中，因为分别为的中点，所以， 又因为面，且面，所以平面； 【小问2详解】 解：在正三棱柱中，因为，且， 可得正三棱柱的体积为, 又由三棱锥的体积为， 所以剩余部分的体积为. 18. 已知中，角，，所对的边分别为，，，. （1）求； （2）若，，求的面积； （3）若平分交于点，，，求. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）应用正弦边角关系及商数关系有，即可得； （2）由余弦定理得，结合已知有，再应用三角形面积公式求面积； （3）由角平分线得到，进而有，再由及向量数量积的运算律列方程，即可得. 【小问1详解】 由正弦边角关系有，且， 所以，又，则； 【小问2详解】 由余弦定理有，则， 所以，又，则， 所以的面积； 【小问3详解】 由为角平分线且，则，故， 由， 所以， 所以，则. 19. 如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，，，， （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）线段上是否存在一点，使得二面角的平面角的余弦值为．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明：取棱的中点，连接， 因为为等边三角形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 又，，，平面，所以平面. （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明即可． （2）连接，结合线面角的定义得到为直线与平面所成的角，在中结合三角函数求解即可． （3）取中点，连接，，结合二面角的定义得到为二面角的平面角，设，在中，结合余弦定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接， 由（1）中平面，所以为直线与平面所成的角. 因为为等边三角形，，且为的中点，所以， 又，在中，， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 取中点，连接，， 在中，， 因为平面，又平面，所以， 在中，，所以，所以， 又点为中点，所以， 同理， 所以为二面角的平面角， 设， 在中，， 在中，， 在中，，，， 由余弦定理可得，即， 化简得到，解得或（舍去）， 即线段上存在一点，使得二面角平面角的余弦值为，此时． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $