广东揭阳市2025-2026学年高一下学期期末教学质量测试数学试题

揭阳市2025-2026学年度高中一年级教学质量测试 数学（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B C B D D A B C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9 10 11 ACD BD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.1-i 13.①④ 14.100(√5+2) 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.【详解】(1)如图，取PB的中点G,连接FG,CG, 由E.F分别是棱CD,AP的中点.可得G∥AB.FG=AB,…2分 又CE∥AB,CE= AB,则FG∥CE,FG=CE,即得四边形CG为平行四边形，所以 EF∥CG. …4分 因EF寸平面PBC,CGC平面PBC, 所以EF∥平面PBC.…6分 (2)如图，连接AC,BD交于点O, 由四边形ABCD是正方形，可得AC⊥BD,…8分 因PA⊥平面ABCD,BDC平面ABCD,则PA⊥BD, 10分 又PA∩AC=A,PA,ACC平面PAC,…11分 所以BD⊥平面PAC,又PCC平面PAC, …12分 所以BD⊥PC. 13分 高一数学答案第1页（共8页） 16.【详解】(1)因为小长方形面积和为1， 所以10×(a+0.015+0.025+0.035+a+0.005)=1,解得a=0.010,. 2分 则平均数为0.010×10×45+0.015×10×55+0.025×10×65+0.035×10×75+0.010×10× 85+0.005×10×95=68.5... .4分 (2)由题意可得：本次竞赛中，分数排名前20%的参赛人员为获奖人员，即求第80百分位数， 5分 又10×(0.010+0.015+0.025+0.035)>0.8，则分数线在[70,80)内，且设分数线为x, 可得10×(0.010+0.015+0.025)+0.035×(x-70)=0.8, 解得x≈78.6，即获奖分数线为78.6.7分 (3)由题意得两组的频率之比为2：1，现从两组中用分层抽样的方法抽取6人， 则从[80,90)中抽取4人，记为a,b,c,d,从[90,100]两组中分别抽取2人，记为A,B...9分 所有可能的情况为(a,b),（a,c),(a,d),(a,A),(a,B),(b,c),(b,d,(b,A),(b,B),(c,d),(c,A),(c,B), (d,A),(d,B),(A,B),共15种，..11分 其中至少有1人的年龄在[90,100]的情况有(a,A),(a,B),(b,A),(b,B),(c,A),(c,B),（d,A),(d, B),(A,B),,共9种， ..13分 故所求概率P=号=号 .........15分 17.【详解】(1)：sinC-sin(A-B)=√3sinB, 又：A+B+C=元.C=π-(A+B) ∴.sinC=sin(A+B) .Sin(A+B)-sin(A-B)=√3sinB....................2分 ..V3sinB-2cos AsinB=0, 4分 又sinB≠0，∴cosA= 2 .5分 :A∈(0，元，A= 6 6分 (2)设△ABC的外接圆的半径为r, 则2沉T=6元→T=3.。 ….7分 由正弦定理可得：BC=2 rsinA=3........ ……8分 (3)由余弦定理可得：a=b2+c2-2 bccosA .b2+c2-√5bc=9, ...10分 AH⊥BC,.A五.BC=0, 又A=多A店-号AC, (号A-号AC(A6-AC=0→3A-4A话.AC+AC=0, .12分 即：3c2-2W3bc+b2=0→b=√5c, 结合：b2+c2-√3bc=9,解得：c=3,b=3v3, ..14分 SobcsinA .....15分 4 高一数学答案第2页（共8页） 18.【详解】(1)因为点B在圆O的圆周上，AC为圆O的直径，所以AB⊥BC,.…1分 又PA⊥平面ABC,BCC平面ABC,所以PA⊥BC,…2分 又AB,PAC平面PAB,AB∩PA=A,所以BC⊥平面PAB,…3分 因为ANC平面PAB,所以BC⊥AN,……4分 又AN⊥PB,PB,BCc平面PBC,PB∩BC=B,所以AN⊥平面PBC.…5分 (2)因为PA⊥平面ABC,ACC平面ABC,所以PA⊥AC, 因为BC⊥平面PAB,PBC平面PAB,所以BC⊥PB,… …7分 因为M为PC的中点，所以MA=B=P=MC=PC=VP+AC=号V2+2:=V2, 所以三棱锥P一ABC外接球的半径为√2，… …9分 外接球的表面积为4π（√2）P=8π. 10分 (3)因为AN⊥平面PBC,PCC平面PBC,所以AN⊥PC,….…I1分 又AM⊥PC,AM,ANC平面AMN,AM∩AN=A,所以PC⊥平面AMN,.12分 又MNC平面AMN,所以PC⊥N, 所以∠AMN即为二面角A-PC-B的平面角，……13分 又AN⊥平面PBC,MNC平面PBC,所以AN⊥MN,即△AN为直角三角形， 且斜边AM=PC=2为定值， …14分 所以2=NA+NM≥2NA·NM,所以NA·NIM≤1，当NA=NM=1时等号成立， 所以Saw=之NAM≤号，当WA=M=1时等号成立，…15分 此时△AN为等腰直角三角形，所以∠AMN=王， …16分 所以当△AMN的面积最大时，求二面角A-PC-B的平面角的大小为至 …17分 19.【详解】(1)证明：对Vx∈R,sinx-cosx=(sin2x+cos2x)(sin2x-cosx =Sin2c-C0s2.............2分 所以对Hx∈R,都有f(x)=f(x) 3分 (2)因为f(x)<f4(x),且f(r)=f4(x), 所以fi(x)<f(x),所以sinc-cosx<sin'c-cosc, ....4分 所以(sinx-cosx)(sinx+cosx-1)>0,即V2sin(g-于儿V2sim(x+于）-1]>0.5分 (sin(a-)>0 2kπ<G-王<元+2kr (i)当 n2+》小9 其中1、k2∈Z, ,壬+2kx<c+<平+2kx 即 至+2kx<<亚+2k 2k玩<<受+2kr ,解得于+2km<0<受+2x(k∈Z. .6分 高一数学答案第3页（共8页） (sin()< -元+2k元<0-圣<2元 (2)当 sn+9时，即 2 5F+2kπ<+<2k4r+至 3平+2k元<x<+2k 3匹+2kr<D<2kr ,其中k3、k∈Z, 解得3F+2版<<2kx(k∈2). ....7分 综上，原不等式的解集为{至+2m<0<受+2m或-3正+2x<0<2km,kEZ…8分 (3)假设存在正数m,对于任意n≥3，关于c的方程sin”x-cos”x=sin”r-cos”x在区间(0， m]至少有三个不同实数解. 所以(sin”x-cos”x)(sin"x+cos”c-1)=0 f所以sin”m-cos”0=0①或sin”m+cos”m=1②.10分 对于方程①， 若cosc=0,则sinc=士1，方程①不成立，…。 ....11分 所以cosx≠0，所以tan"x=1对于任意m≥3恒成立，所以tanx=1,所以x=于+kx(k∈Z).· ..12分 对于方程②， (i)若sinx=-1,则cosx=0, 当n为奇数，sin”c十cosx=-1,方程②无解。13分 (i)若sinc=0,则对于任意n≥3，cos”c=1,所以cosx=1,所以x=2kx(k∈Z)..14分 (i)若sin0=1,则对于任意n≥3，c0sz=0,所以CO82=-0,所以0=受+2kx(k∈Z). .15分 (iw)若sinx∈(-1,0)U(0,1),则cosx∈(-1,0)U(0,1), 所以sinm-2x<1且cos”-2x<1, 所以sin"r+cos"x=sinx·sin-x+cosx·cosn-2x<sin'c+cos'x=1, 因此方程②无解。.16分 综上，原方程的解为x=2km或x=于+m或x=5+2kx(k∈Z). 所以存在me[灭，+o切)，对任意一个整数n≥3，关于云的方程m”-c0sz=m产红-c0sz 在区间(0，m]内至少有3个互不相等的实数解，正数m的最小值为5x 4 .17分 高一数学答案第4页（共8页） 选填题解析 1.【答案】B 【解析】由题得d.b=2×3+1×(-3)=6-3=3. 2.【答案】C 【解析】由集合A={c∈N-1≤c≤2}，可得：A={1,2},由集合B={x0≤c≤2}可得：A∩B ={1,2},故选C 3.【答案】B 【解析】小：。<1，两边同乘a,因不能确定a的正负性，∴不能确定得到a>1,充分性不成立。 由a>1,两边同乘（日>0)，：可得日<1，必要性成立：故选B. 4.【答案】D 【解析】：在△ABC中，D为AB的中点∴C⑦=BD-BC=号B-BC,故选：D 5.【答案】D 【解析】设球的半径为R,则球的体积= 3元R, 又圆柱的底面直径和高都等于球的半径，所以圆柱的体积⅓=（受R=R, 厅以圆柱与球的体积之比为票士R心 6.【答案】A 【解折1f-2)=32-1=8,ff-2》=f8)=10g8=1og2=号，故选A 7.【答案】B 【解析1/a)=5n-12cosa=13(sin:语-cosx:号)=13nle-g）, 其中simp-贵0sp=是，因为0≤≤x所以-g≤-9≤x-9, 是=sin一p)<nle-)≤1，f因]的最小值为-12 高一数学答案第5页（共8页） 8.【答案】C 【解析】解：作出h(c)=max{f(x),g(x)}(x>0)的图象如下： YA x=m 因为程h(x)=0有3个不同的解， 0<受<1 所以 受)-m2>0解得m(2,号)枚选：C 4 f0=-1+m-3<0 9.【答案】ACD 【解析】对于A:函数fo)=2sin(3x+),因为sin(3x+于)的值域为[-1,1]， 所以f(x)的值域为[-2,2]，故A正确 对于B:3m+至=受+kk∈2)，解得=意+hke), 当k=0时，x=否当k=1时，”=段，所以直线云=至不是函数f()的对称轴， 故B错误 对于C:函数f)=2in3x+)根据周期公式可得T=否，故C正确， 对于D:令3证+晋=k标k∈2)，解得红=一音+号k∈2， 当k=0时，D=- ，所以云=一是是f(创的一个零点，故D正确. 10.【答案】BD 【解析】对于A,事件B为“得到的点数不大于4”，即得到的点数为1,2,3,4， 事件C为“得到的点数为质数”，即得到的点数为2,3,5,7，显然得到点数为2,3时， 事件B与事件C同时发生，所以事件B与C不互斥，故A错误； 对于B,事件A为“得到的点数为奇数”，事件B为“得到的点数不大于4”， 故得到点数为1,23,45,7，表示事件A+B发生，即P(A+B)=8=呈故B正确； 高一数学答案第6页（共8页） 对于C,由事件A为“得到的点数为奇数”，则P(山=， 事件C为“得到的点数为质数”，则P(C)=, 而得到点数为3.5：7，表示事件AC发生，即P(AC)=冬 此时P(AC)≠P(A)P(C),所以事件A与事件C不相互独立，故C错误： 对于D,而得到点数为1,3，表示事件AB发生，即P(AB)=号==P(A)P(B), 所以事件A与事件B相互独立，从而事件A与B相互独立，故D正确， 故选：BD 11.【答案】ACD 【解析】对于B:由己知可得f(3x+1)为奇函数，所以f(-3x+1)=-f3x+1),即： f(-3x+1)+f3c+1)=0,所以f(x)关于(1,0)对称，f(x+2)为偶函数，所以 f-x+2)=f(x+2),所以fx)关于x=2对称，所以fx)为周期函数且周期T=4,故B错误： 对于A:由于f(x)关于x=2对称，所以fx)=f(4-x),且周期T=4,所以 f(x)=f4-c)=f4-c-4)=f-x),所以f(x)为偶函数，故A正确： 对于C:由于f(x)关于(1,0)对称，所以f(x)=-f2-x),且周期T=4,所以 f(x)=-f2-x)=-f2-x+4)=-f6-x),所以f(x)图象关于(3,0)对称，故C正确： 对于D:由已知可得：f(1)=0,f(x)关于x=2对称，所以f3)=0,又因为f(x)关于(3,0)对称， 设f(2)=t,则f(4)=-t,所以f(1)+f2)+f3)+f(4)=0,所以 ∑f()=4(f1)+f2)+f3)+f4)+f1)+f2)=f2)=2 所以f(2026)=f(2)=2,故D正确： 12.【答案】1-i 【解析】由题意得，x=i(-1-i)=1-i. 13.【答案】①④ 【解析】①5出现两次，又中位数为3，则数据从小到大为m,n,3,5,5,一定没有6： ②中位数为3，极差为3，则数据从小到大为3,3,3,5,6符合题意，故可能出现6： ③中位数为2，平均数为3，则设数据从小到大为1,1,2,5,6符合题意，故可能出现6： ④因为平均数为2，若数据中有6则方差6=∑(-2≥号6-2°-32>24，放一定没有 6.综上，①④一定没有6.故答案为：①④ 高一数学答案第7页（共8页） 14.【答案】100（√5+2） 【解析】过C作CD⊥BB',过B作BE⊥AA',如图所示， 已知BB与CC的差为100，则BD=100,又∠BCD=15°，则CD=100。 tanl5°， 因tanl5°=tan(60°-45)=tam60tan45°=V3-1 1-tan60tan45°-1+√3 则BC=CD=100=100(2+V3),又∠ACB=45,∠NBC=60,则∠CAB'=75, 3-1 1+5 由正弦定理 CB' AB sin∠CAB-sin∠ACB'★开封前保密 揭阳市2025-2026学年度高中一年级教学质量测试 数学 本试题共4页，考试时间120分钟，总分150分 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处。 2.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。 3.答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正 带、刮纸刀。考试结束后，请将本试题及答题卡交回。 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.已知a=(2,1),6=(3,-3),则a.6=() A.4 B.3 C.2 D.1 2.己知集合A={x∈N-1≤x≤2}，集合B={x0≤x≤2}，则A∩B=() A.[0,2] B.[-1,2] C.{1,2 D.{0,1,2} 3已知a∈R,则“日<1"是“a>1的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 4.如图所示，在△ABC中，D为AB的中点，则C元=() A.BC-BA B.B D C-0-厨 D.-元+号厨 5.已知圆柱的底面直径和高都等于球的半径，则圆柱与球的体积之比为() A是 B片 c话 D是 6.已知函数f(x)= {3r1,2≤0则ff-2)=() log,>0 A号 B.1 C.-1 D.-2 7.已知函数f(c)=5sinc-12cosw,其中x∈[0，π]，则fx)的最小值为() A.-5 B.-12 c-岁 D.-13 高一数学试卷第1页（共4页） 8定义max(a,bd}是a,b中的较大者.已知函数fo)=-x+m-分，g知)=log,若h()= max{f(x),g(x)}(x>0),且方程h(x)=0有3个不同的解，则实数m的取值范围是() A.(0,1) B.(1,2) c.(22) D.(√2，+∞) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.设函数f()=2sin(3x+平)，则下列结论正确的是( A.f(x)的值域为[-2,2] B.f()的图象关于直线x=元对称 Cfe)的最小正周期为受 D.-变是f(如)的一个零点 10.一质地均匀正八面体八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面 接触的面上的数字，得到样本空间为2={1,2,3,4,5,6,7,8}，记事件A=“得到的点数为奇数”， 事件B=“得到的点数不大于4”，事件C=“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是( A.事件B与C互斥 BPA+B)-是 C.事件A与C相互独立 D.事件A与B相互独立 1.已知函数f)的定义域为，且满足f3x+1)为奇函数，e+2)为偶函数，且》闭=2， 则下列说法正确的是( A.f(x)为偶函数 B.2是f(x)的一个周期 C.f(x)图象关于(3,0)对称 D.f(2026)=2 第二部分（非选择题共92分）》 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若复数z满足=-1-i,则z= 13.甲、乙、丙、丁四人各掷骰子5次（骰子每次出现的点数等可能为1,2,3,4,5,6），并分别记录 每次出现的点数，四人根据统计结果对各自的试验数据分别做了如下描述：①中位数为3，众数 为5：②中位数为3，极差为3：③中位数为2，平均数为3：④平均数为2，方差为2.4：可以判断一 定没有出现6点的描述序号是 (错选或漏选不给分) 14.2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为 8848.86(单位：m),三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一，如图是 三角高程测量法的一个示意图，现有A、B、C三点，且A、B、C在同一 水平面上的投影A'、B、C'满足∠ACB'=45°，∠A'B'C'=60°，由C点 B 测得B点的仰角为15°，BB'与C℃的差为100：由B点测得A点的仰角 为45°，则A、C两点到水平面的高度差为 高一数学试卷第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD,E,F分别 是棱CD,AP的中点 (1)证明：EF∥平面PBC; (2)证明：PC⊥BD, 16.(15分)揭阳古城底蕴深厚，进贤门、揭阳学宫等历史建筑屹立千年，特色美食、传统非遗更是 潮汕文化中亮眼的瑰宝.基于此，某中学积极响应，举行了一次古城文化知识竞赛.学校在竞赛 后，随机抽查了100人的成绩整理后得到如图所示的频率分布直方图， 频率/组距 0.035 0.025 0.015 0.005 0405060708090100分数 (1)求a的值并估计样本的平均数： (2)若本次竞赛中，分数排名前20%的参赛人员为获奖人员，试估计获奖分数线（精确到0.1）： (3)现采用样本量按比例分配的分层随机抽样，从[80,90)和[90,100]两组中抽取6人，再从这6 人中随机抽取2人进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的年龄在[90,100]这一组的概率. 高一数学试卷第3页（共4页） 17.(15分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足sinC-sin(A-B)=√3sinB, 且△ABC的外接圆的周长为6π. (1)求角A; (2)求边BC的长： 3)若AH为BC边上的高，且A-号A店-号AC,求△ABC的面积 18.(17分)如图，AC是圆O的直径，PA与圆O所在的平面垂直，且PA=AC=2,B为圆周上 不与点A,C重合的动点，M,N分别为点A在线段PC,PB的投影 (1)证明：AN⊥平面PBC: (2)求三棱锥P一ABC外接球的表面积： (3)当△AMN的面积最大时，求二面角A-PC-B的平面角的大小 19.(17分)己知函数fn(x)=sinc-cos”c(n∈N) (1)证明：对Hx∈R,都有f(c)=f(x): (2)求不等式f1(x)<f(x)的解集； (3)是否存在实数m>0,对任意一个整数n≥3，关于c的方程sin”x-cos”c=sin2”c-cos2mx 在区间(0，m]内至少有3个互不相等的实数解？若存在，求出m的最小值：若不存在，说明理由. 高一数学试卷第4页（共4页）