广东汕头市潮阳区棉城中学2025-2026学年第二学期期末考试高一数学试卷

**基本信息** 高一级数学期末卷以函数、几何、统计等核心知识为载体，通过数学文化大赛统计分析、圆锥几何证明等情境设计，考查数学抽象、逻辑推理与数据分析素养，适配高一学段综合能力评估。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|函数定义域、复数共轭、百分位数、空间线面关系|单选夯实基础（如定义域），多选综合辨析（如向量投影与概率独立事件）| |填空题|3/15|函数求值、斜二测直观图、圆锥表面积与体积|聚焦空间观念（直观图）与运算能力（圆锥体积计算）| |解答题|5/77|统计频率分布直方图、解三角形、立体几何证明与线面角、函数奇偶性与单调性、三角函数性质|分层设计，统计题结合数学文化考查数据处理，立体几何题融合逻辑推理与空间想象，体现真题对应用能力的考查趋势|

棉城中学2025-2026学年度第二学期期末考试 高一级数学科试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的， 1.函数y= +√2-x的定义域为() x+1 A.[0,2] B.（-0,-1)U(-1,2] C.（-0,2) D.（-0,-1)U(-1,2) 【答案】B 【解析】 【分析】根据分母不为零且偶次方根的被开方数非负得到不等式组，解得即可. 【详解】对于函数y=1十V2-x,则 2-x20 x+1 +10’解得x≤2且x≠-1， 所以函数的定义域为(-o,-1)(-1,2 故选：B 2.sin75cos30°-sin30°cos75°=() A号 B.② D. 2 2 3 【答案】B 【解析】 【分析】逆用差角的正弦公式求解. 【详解】m75°c0s30-sim30°cos75°=5m75°-309= 2 故选：B 3.己知复数21=a+2i与22=3+bi互为共轭复数，则222的值是() A.4 B.6 C.9 D.13 【答案】D 第1页共11页 【解析】 【分析】利用共轭复数的意义可求得，b,进而计算可求得2122 a=3 【详解】因为复数21=a1+2i与22=3+bi互为共轭复数，所以 b=-2 所以=3+2i，22=3-2i,所以552=(3+2i)(3-2i)=9+4=13 故选：D 4.有一组数据按从小到大排序如下：85,86,88,90,94，则这组数据的第30百分位数，第60百分位数 分别是(). A.86,88 B.86,89 C.87,88 D.87,89 【答案】B 【详解】因为5×0.3=1.5，故该组数据的第30百分位数为86， 因为5x0.6=3,故该组数据的第60百分位数为88+90-89. 2 故选：B 5.如图，在△ABC中，D是BC上靠近B的一个三等分点，记AB=ā，AC=b,则AD可以用a,b表示 为() B而+ 3 a+2方 3 4 c-a+bD.AD= 3 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的线性运算求解 【详解1由怒燕：而=丽+而-而证-+aC-A)-西+元-0+ 故选：C 6.己知平面a,B,Y和直线m,n,C,下列命题正确的是() A.若mC,nco,m/1B,nllB,则al∥BB.若m⊥c,n⊥c,则mln 第2页共11页 c.若a∥y,B1y,则alF D.若m⊥a,o⊥B,则m/B 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间中线线，线面，面面的位置关系逐项判断即可得结论 【详解】对于A,mCC,nco,m/1B,n/WB,若m,n相交时，可得a∥B, 若，n不相交时，a,B可能相交，故A错误： 对于B,若m⊥c,n⊥c,则m/n或，n是异面直线或m,n是相交直线，故B错误： 对于C,若a∥y,B∥y,则a∥B,故C正确： 对于D,若m⊥a,a⊥B,则m/1B或CB,故D错误 故选：C 7.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为6，体积为24，则该球的表面积是() A.264元 B.44元 C.4W11π D.44V11 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据正四棱柱的体对角线长等于其外接球直径求出球的半径，即可求得结果. 【详解】设正四棱柱的底面边长为α，因为正四棱柱的高为6，体积为24， 所以a2×6=24,即a2=4,得a=2,正四棱柱的各顶点都在一个球面上， 所以正四棱柱的体对角线长等于球的直径，即√2？+2？+62=21=2R, 所以球的半径为R=√11，球的表面积S=4πR2=4π×11=44π 故选：B 8.函数f(x)=1og3x+x-3的零点所在的区间是() A.(0,2) B.(1,2) C.（2,3) D.(3,4) 【答案】C 【解析】 【分析】根据零点存在定理判断. 【详解】由于f(x)=lOg3x+x-3在定义域上为增函数， 第3页共11页 f1)=-2<0,f(2)=1og32-1<0,f(3)=1>0,f(4)=1og34+1>0, 故零点在(2,3)上， 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.己知向量a=(1,2),b=自，-1)，则() A.a+2b=3,1)B.a= 5 C.cos<>o D.a在方方向上的投影向量坐标是 11 10 2'2 【答案】BD 【详解】A选项：根据向量坐标的数乘和加法运算，2b=(2,-2), 则a+2b=1+2,2-2)=3,0),故A选项错误： B选项：根据模长公式园=VP+2=5,故B正确： ab 1×1+2×(-1) C选项：利用夹角公式：cos<4b>= ￥X2+y2 -1 v10 +，+F+F+1 10 10 故C错误； D选项：a在方方向上的投影向量利用同cos<a,五> 计第，代入坐标可得： b a-cos<ab>. V10 10.一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同，编号分别为1,2,3,4的4个小球，从中依次不放回摸 出两个球设事件A=“第一次摸出球的编号为奇数”，事件B=“摸出的两个球的编号之和为5”，事件C=“摸 出的两个球中有编号为2的球”，则() APc)=号 B.事件A与事件B为独立事件 C.P(A+B)= 5 D.事件B与事件C为互斥事件 【答案】AB 【解析】 【分析】根据古典概型计算判断A,独立事件乘法公式计算判断B,根据概率性质计算判断C,应用互斥事 第4页共11页 件的定义判断D. 【详解】对于A:由古典概率的计算易得PC)=6= ,故A正确： 122 对F因为异分P()-日专=合& 21 所以P(AB)=P(A)P(B),即事件A与事件B为独立事件，故B正确： 对于C:因为P(4+B)=PA+P(B)-P(AB)=,+363 ,故C错误： 对于D:当摸出的两个球编号为2,3时，事件B与事件C同时发生，故D错误， 故选：AB 11.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,则下列说法正确的是() A.若A>B,则sinA>sinB B.若A=30°，b=4,a=3,则△ABC有两解 C.若A=60°，a=2,则△ABC面积的最大值为√5 D.若△ABC为钝角三角形，则a2+b2>c2 【答案】ABC 【详解】对于A,若A>B,则a>b, 根据正弦定理三b =2R（R是△ABC外接圆半径)， sin A sinB 可得a=2R·sinA,b=2R.sinB, 所以2R.sinA>2R·sinB,即sinA>sinB,A正确： 对于B,由正弦定理a=b sinA sinB' 代入得sinB=bsin4_4xsin30°2 a 3 31 图为mB,且b>a,(即B>A=30p 所以B可以是锐角或钝角，两种情况均符合三角形内角和为180°， 所以△ABC有两解，B正确： 对于C,由余弦定理得，a2=b2+c2-2 bc.cos4, 所以4=b2+c2-bc, 由基本不等式得，b2+c2≥2bC, 则4=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc,即bc≤4， 当且仅当b=c=2时，等号成立， 第5页共11页 所以△ABC面积Sc:SnAE6bc39义4：6，c正确 对于D,若C为钝角，则由余弦定理得，cosC=口+b-c<0, 2ab 所以a2+b2-c2<0,即d2+b2<c2,D错误 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知函数f(x)= x-4r1,则fB)= -2x,x>1 【答案】32 【解析】 【分析】根据题中所给的分段函数运算求值. 【详解】由题意可得：f(3)-2×3--6,则f(f(3)=f(-6)=(-6)°-4=32 故答案为：32. 13.水平放置的△ABC的斜二测直观图是如图中的△AB'C',己知AC=3,B'C'=2,则AB边的实际 长度是 A 【答案】5 【解析】 【分析】结合斜二测画法的性质将图还原后计算即可得。 【详解】把直观图△AB'C还原为原图形，如图所示， 则AC=AC=3,BC=2BC'=4, 所以AB=VAC2+BC2=V9+16=5 第6页共11页 y B A 故答案为：5. 14.已知圆锥的表面积为3元，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为 【答案】 3 【解析】 【分析】利用已知条件，求出圆锥的底面半径和圆锥的母线长与高，再计算圆锥的体积. 【详解】设圆锥的底面半径为，圆锥的母线长为1， 由=2m,得1=2r, 又表面积S=2+D.2r=3m2=3元， 所以2=1，解得r=1,则1=2： 所以圆锥的高为h=√P-”=√2-1P=√5， 所以网体积为y-知汤-写- 故答案为： √3π 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)某中学为提升学生的数学素养，激发大家学习数学的兴趣，举办了一场“数学文化素养知识大 赛”，分为初赛和复赛两个环节，全校学生参加了初赛，现从参加初赛的全体学生中随机地抽取300人的成 绩作为样本，得到如下频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题： 个频数/组距 0.025 0.015 0.010 0.005 405060708090100分数 (1)求频率分布直方图中☑的值.若从成绩不低于70分的学生中，按分层抽样方法抽取24人的成绩，求 24人中成绩不低于90分的人数. 第7页共11页 (2)用样本估计总体，估计该校学生数学文化素养知识初赛成绩的中位数.（保留小数点后两位） 1 (3)若甲、乙两位同学均迸入复赛，已知甲复赛获一等奖的概率为了，乙复赛获一等奖的概率为了，甲、 乙是否获一等奖互不影响，求至少有一位同学复赛获一等奖的概率 【小问1详解】 由题意可知(0.01+0.015+0.015+a+0.025+0.005)×10=1,解得a=0.03, 成绩位于(70,80]，(80,90]，(90,100]的频率之比为0.03：0.025：0.005=6：5：1， 1 故24人中成绩不低于90分的人数为 X24=2,5分 6+5+1 【小问2详解】 由于(0.01+0.015+0.015)×10=0.4<0.5， (0.01+0.015+0.015+0.03)×10=0.7>0.5, 故中位数位于(70,80]， 设中位数为，则(-70)×0.03=0.1，解得m≈73.33，…9分 【小问3详解】 甲乙两个人部末复赛家守奖的制率为1司引写》号 故至少有一位同学复赛获一等奖的概率为1- 23 5-5 …13分 16.(15分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,a2=b2+c2-bc (1)求A: 1 (2)若c0sC=7,c=8,求△ABC的面积 【详解】(1)由余弦定理：cos4=分+2-a 2bc 已知a=b+c2-bc,即b+c2-d2=c,代入co4=B+c2-d 2bc 得：c04=bc、1 2bc 2 又0<A<元，放A=…6分 3 第8页共11页 g已如oc-分且oc<a,mc--ac-哥-9 由A=号，得：mB=m(a+C）=sincoC+cos4sinc-9+54y5_55 2727-14 sinA sinc,c=8,a=c.sinA 由正弦定理a=c 8. 2 -=7 sinc 4W3 所以SBc 2acsinB=1 )×7×8×53=103a …15分 14 17.(15分)如图，圆锥的底面圆心为O,直径为AB,C为半圆弧AB的中点，E为劣弧CB的中点，且AB=4, P0=3. E (1)求证：OE∥平面PAC: (2)求直线PE与底面ABC所成角的正切值. 【详解】(I)连接BC交OE于D,因为E为劣弧CB的中点，所以D是BC中点， 又O是AB中点，所以ODIIAC,即OE/IAC 因为ACc平面PAC,OE丈平面PAC, 所以OE∥平面PAC;…7分 E (2)因为POL平面ABC,所以∠PEO是直线PE与底面ABC所成的角， 又OEC平面ABC,所以PO⊥OE 因为AB=4,所以0E=)AB=2,所以am∠PBO=P0-5 15分 2 OE2 第9页共11页 1817分)加腾数0=1足 (1)若g(x)=f(x)-a为奇函数，求a的值： (2)试判断f(x)在(0，+∞)内的单调性，并用定义证明. 【详解】(1)由己知8)=fx)-a,得g()=1-a-2,定义域为(m,0U(0,+） 因为g(x)是奇函数，所以g(-x)=-g(x), 1a1 (-x)（ 解得a=1.…7分 (2)函数f(x)在(0，+o0)内为增函数.9分 明知下致0：周)-12 因为0<为1<x3,所以5-5<0，xx2>0, 所以24》<0，即fs)<f5). 为x2 所以函数(x)在(0，+0)内是增函数.…17分 19.(17分)己知函数f(x)=2 sin xcosx+V3cos2x. a啡/君的值： (2)求函数∫()的最小正周期： ⊙)求商数f(y在区间0到上的值设。 【详】解1)因为/()=2 in.x.co+5cos2x=sm2x+5cos2x=2snm2x+写到 5分 所以了[得-2n于6：8分如啤没化筒直接代入得出结果得3分 2π 2)由T三周，得7=2红，故函数f的最小正周期为元：10分 2 (3)因为0sx≤受所以臂≤2+。 33 当2x+时，sim=1, 32 2 第10页共11页 当2x+好时，m号 33 m4r-3 2 以-0引15ana+骨2 所以函数∫(x)在区间 02 上的值域为[-√3,2]，…17分 第11页共11页棉城中学2025-2026学年度第二学期期末考试 高一级数学科试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的， 1.函数y= ，+√2-x的定义域为（) x+1 A.[0,2] B.(-o,-1)U(-1,2] C.(-n,2) D.（-0,-1)U(-1,2) 2.sin75°cos30°-sin30°cos75°=() A号 B.② D.3 2 2 3 3.已知复数21=4+2i与22=3+bi互为共轭复数，则2122的值是() A.4 B.6 C.9 D.13 4.有一组数据按从小到大排序如下：85,86,88,90,94，则这组数据的第30百分位数，第60百分位数 分别是(). A.86,88 B.86,89 C.87,88 D.87,89 5.如右图，在△ABC中，D是BC上靠近B的一个三等分点， 记A丽=a,AC=b,则AD可以用ā，b表示为() A而-写a+B-a+ c.4D=2a+方 4 3 D.AD=a+2 6.己知平面a,B,Y和直线m,n,c,下列命题正确的是() A.若mca,nCo,m/1B,nllB,则allB B.若m⊥c,n⊥c,则m/n C.若alIy,BIy,则alB D.若m⊥a,⊥B,则m/B 7.己知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为6，体积为24，则该球的表面积是() 44W11 A.264π B.44元 C.4W11π D 3 8.函数f(x)=log3x+x-3的零点所在的区间是() A.(0,2) B.(1,2) C.（2,3) D.(3,4) 第1页共4页 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知向量a=（1,2),b=(1,-1),则() A.a+6=(亿1B.同-5C.cos<ab>=DD.i在6方向上的投影向量坐标是1) 10 (2'2 10.一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同，编号分别为1,2,3,4的4个小球，从中依次不放回摸 出两个球设事件A=“第一次摸出球的编号为奇数”，事件B=“摸出的两个球的编号之和为5”，事件C=“摸 出的两个球中有编号为2的球”，则() AP(C)- B.事件A与事件B为独立事件 eP4-到岛 D.事件B与事件C为互斥事件 11.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列说法正确的是() A.若A>B,则sinA>sinB B.若A=30°，b=4,1=3,则△ABC有两解 C.若A=60°，a=2,则△ABC面积的最大值为V5D.若△ABC为钝角三角形，则a+b2>c 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知函数f(x)= 1则jB B影 13.水平放置的△ABC的斜二测直观图是如右图中的△A'B'C', 己知AC=3,B'C'=2,则AB边的实际长度是 14.己知圆锥的表面积为3元，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.某中学为提升学生的数学素养，激发大家学习数学的兴趣，举办了一场数学文化素养知识大赛”，分为 初赛和复赛两个环节，全校学生参加了初赛，现从参加初赛的全体学生中随机地抽取300人的成绩作为样 本，得到如下频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题： ←频数/组距 0.025 0.015 0.010 0.005 405060708090100分数 第2页共4页 (1)求频率分布直方图中a的值.若从成绩不低于70分的学生中，按分层抽样方法抽取24人的成绩，求 24人中成绩不低于90分的人数. (2)用样本估计总体，估计该校学生数学文化素养知识初赛成绩的中位数.（保留小数点后两位） 1 (3)若甲、乙两位同学均进入复赛，已知甲复赛获一等奖的概率为亏，乙复赛获一等奖的概率为行，甲、 乙是否获一等奖互不影响，求至少有一位同学复赛获一等奖的概率. 16.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,a2=b2+c2-bc (1)求A: (②诺casC-7c=8,求AMC的面积 17.如图，圆锥的底面圆心为O,直径为AB,C为半圆弧AB的中点，E为劣弧CB的中点，且AB=4,PO=√5 (1)求证：OE∥平面PAC; (2)求直线PE与底面ABC所成角的正切值. 第3页共4页 18已知函敬/网-1子 (1)若8(x)=∫(x)-a为奇函数，求a的值； (2)试判断f(x)在(0，+∞)内的单调性，并用定义证明. 19.己知函数f(x)=2 sinx cosx+√3cos2x. @球f得)的位： (2)求函数f()的最小正周期： B)求函数f(在区间0上的值域。 第4页共4页 棉城中学2025-2026学年度第二学期期末考试 高一级数学科试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 已知复数与互为共轭复数，则的值是（ ） A. 4 B. 6 C. 9 D. 13 4．有一组数据按从小到大排序如下：85，86，88，90，94，则这组数据的第30百分位数，第60百分位数分别是（    ）． A．86，88 B．86，89 C．87，88 D．87，89 5. 如右图，在中，是BC上靠近的一个三等分点， 记，，则可以用，表示为（ ） A. B. C. D. 6. 已知平面，，和直线，，，下列命题正确的是（ ） A. 若，，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 7. 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为6，体积为24，则该球的表面积是（ ） A. B. C. D. 8. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则（    ） A． B． C． D．在方向上的投影向量坐标是 10. 一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同，编号分别为1，2，3，4的4个小球，从中依次不放回摸出两个球.设事件“第一次摸出球的编号为奇数”，事件“摸出的两个球的编号之和为5”，事件“摸出的两个球中有编号为2的球”，则（ ） A. B. 事件A与事件B为独立事件 C. D. 事件B与事件C为互斥事件 11. 的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，，，则有两解 C．若，，则面积的最大值为 D．若为钝角三角形，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则__________. 13. 水平放置的的斜二测直观图是如右图中的， 已知，，则边的实际长度是 _____. 14. 已知圆锥的表面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某中学为提升学生的数学素养，激发大家学习数学的兴趣，举办了一场“数学文化素养知识大赛”，分为初赛和复赛两个环节，全校学生参加了初赛，现从参加初赛的全体学生中随机地抽取300人的成绩作为样本，得到如下频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题： （1）求频率分布直方图中的值.若从成绩不低于70分的学生中，按分层抽样方法抽取24人的成绩，求24人中成绩不低于90分的人数. （2）用样本估计总体，估计该校学生数学文化素养知识初赛成绩的中位数.（保留小数点后两位） （3）若甲、乙两位同学均进入复赛，已知甲复赛获一等奖的概率为，乙复赛获一等奖的概率为，甲、乙是否获一等奖互不影响，求至少有一位同学复赛获一等奖的概率. 16. 在中，角的对边分别为，. (1)求； (2)若，，求的面积. 17. 如图，圆锥的底面圆心为O，直径为AB，C为半圆弧AB的中点，E为劣弧CB的中点，且，. (1)求证：平面； (2)求直线与底面所成角的正切值. 18．已知函数． (1)若为奇函数，求a的值； (2)试判断在内的单调性，并用定义证明． 19. 已知函数． (1)求的值； (2)求函数的最小正周期； (3)求函数在区间上的值域． 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 棉城中学2025-2026学年度第二学期期末考试 高一级数学科试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分母不为零且偶次方根的被开方数非负得到不等式组，解得即可. 【详解】对于函数，则，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：B 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】逆用差角的正弦公式求解. 【详解】. 故选：B 3. 已知复数与互为共轭复数，则的值是（ ） A. 4 B. 6 C. 9 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】利用共轭复数的意义可求得，进而计算可求得. 【详解】因为复数与互为共轭复数，所以， 所以，，所以. 故选：D. 4．有一组数据按从小到大排序如下：85，86，88，90，94，则这组数据的第30百分位数，第60百分位数分别是（    ）． A．86，88 B．86，89 C．87，88 D．87，89 【答案】B 【详解】因为，故该组数据的第百分位数为， 因为，故该组数据的第百分位数为. 故选：B. 5. 如图，在中，是BC上靠近的一个三等分点，记，，则可以用，表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的线性运算求解. 【详解】由题意：. 故选：C 6. 已知平面，，和直线，，，下列命题正确的是（ ） A. 若，，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间中线线，线面，面面的位置关系逐项判断即可得结论. 【详解】对于A，，，，，若相交时，可得， 若不相交时，可能相交，故A错误； 对于B，若，，则或是异面直线或是相交直线，故B错误； 对于C，若，，则，故C正确； 对于D，若，，则或，故D错误. 故选：C. 7. 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为6，体积为24，则该球的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正四棱柱的体对角线长等于其外接球直径求出球的半径，即可求得结果. 【详解】设正四棱柱的底面边长为，因为正四棱柱的高为6，体积为24， 所以，即，得，正四棱柱的各顶点都在一个球面上， 所以正四棱柱的体对角线长等于球的直径，即， 所以球的半径为，球的表面积. 故选:B. 8. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据零点存在定理判断． 【详解】由于在定义域上为增函数， ，，，， 故零点在上， 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则（    ） A． B． C． D．在方向上的投影向量坐标是 【答案】BD 【详解】A选项：根据向量坐标的数乘和加法运算，， 则，故A选项错误； B选项：根据模长公式，故B正确； C选项：利用夹角公式： 故C错误； D选项：在方向上的投影向量利用计算，代入坐标可得： ；故D正确． 10. 一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同，编号分别为1，2，3，4的4个小球，从中依次不放回摸出两个球.设事件“第一次摸出球的编号为奇数”，事件“摸出的两个球的编号之和为5”，事件“摸出的两个球中有编号为2的球”，则（ ） A. B. 事件A与事件B为独立事件 C. D. 事件B与事件C为互斥事件 【答案】AB 【解析】 【分析】根据古典概型计算判断A，独立事件乘法公式计算判断B，根据概率性质计算判断C，应用互斥事件的定义判断D. 【详解】对于A：由古典概率的计算易得，故A正确； 对于B：因为，，， 所以，即事件A与事件B为独立事件，故B正确； 对于C：因为，故C错误； 对于D：当摸出的两个球编号为2，3时，事件B与事件C同时发生，故D错误， 故选:AB 11. 的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，，，则有两解 C．若，，则面积的最大值为 D．若为钝角三角形，则 【答案】ABC 【详解】对于A，若，则， 根据正弦定理（是外接圆半径）， 可得， 所以，即，A正确； 对于B，由正弦定理， 代入得， 因为，且，（即）， 所以可以是锐角或钝角，两种情况均符合三角形内角和为， 所以有两解，B正确； 对于C，由余弦定理得，， 所以， 由基本不等式得，， 则，即， 当且仅当时，等号成立， 所以面积，C正确； 对于D，若为钝角，则由余弦定理得，， 所以，即，D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则__________. 【答案】32 【解析】 【分析】根据题中所给的分段函数运算求值. 【详解】由题意可得：，则 故答案为：32. 13. 水平放置的的斜二测直观图是如图中的，已知，，则边的实际长度是 _____. 【答案】5 【解析】 【分析】结合斜二测画法的性质将图还原后计算即可得. 【详解】把直观图还原为原图形，如图所示， 则， 所以. 故答案为：5. 14. 已知圆锥的表面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用已知条件，求出圆锥的底面半径和圆锥的母线长与高，再计算圆锥的体积． 【详解】设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为l， 由，得， 又表面积， 所以，解得，则； 所以圆锥的高为， 所以圆锥的体积为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某中学为提升学生的数学素养，激发大家学习数学的兴趣，举办了一场“数学文化素养知识大赛”，分为初赛和复赛两个环节，全校学生参加了初赛，现从参加初赛的全体学生中随机地抽取300人的成绩作为样本，得到如下频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题： （1）求频率分布直方图中的值.若从成绩不低于70分的学生中，按分层抽样方法抽取24人的成绩，求24人中成绩不低于90分的人数. （2）用样本估计总体，估计该校学生数学文化素养知识初赛成绩的中位数.（保留小数点后两位） （3）若甲、乙两位同学均进入复赛，已知甲复赛获一等奖的概率为，乙复赛获一等奖的概率为，甲、乙是否获一等奖互不影响，求至少有一位同学复赛获一等奖的概率. 【小问1详解】 由题意可知，解得， 成绩位于的频率之比为， 故24人中成绩不低于90分的人数为， 【小问2详解】 由于， ， 故中位数位于， 设中位数为，则，解得， 【小问3详解】 甲乙两个人都未复赛获一等奖的概率为， 故至少有一位同学复赛获一等奖概率为 16. 在中，角的对边分别为，. (1)求； (2)若，，求的面积. 【详解】（1）由余弦定理： 已知，即，代入， 得： 又，故. （2）已知，且，则：， 由，得：， 由正弦定理， ， 所以 17. 如图，圆锥的底面圆心为O，直径为AB，C为半圆弧AB的中点，E为劣弧CB的中点，且，. (1)求证：平面； (2)求直线与底面所成角的正切值. 【详解】（1）连接交于，因为E为劣弧CB的中点，所以是中点， 又是中点，所以，即 因为平面，平面， 所以平面； （2）因为平面，所以是直线与底面所成的角，， 又平面，所以 因为，所以，所以. 18．已知函数． (1)若为奇函数，求a的值； (2)试判断在内的单调性，并用定义证明． 【详解】（1）由已知，得，定义域为 因为是奇函数，所以， 即， 解得． （2）函数在内为增函数． 证明如下：任取，则． 因为，所以，， 所以，即． 所以函数在内是增函数． 19. 已知函数． (1)求的值； (2)求函数的最小正周期； (3)求函数在区间上的值域． 【详解】（1）因为， 所以； （2）由，得，故函数的最小正周期为； （3）因为，所以， 当时，， 当时，， 所以，， 所以函数在区间上的值域为， 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $