暑假培优：专题05 圆周运动 知识清单-2026年高一物理暑期练习

暑假培优：专题05 圆周运动 知识清单 第1部分 知识构建 第二部分 知识点梳理 一、线速度 1．圆周运动的概念 如果质点的运动轨迹是圆，那么这一质点的运动就称为圆周运动。 2．匀速圆周运动的概念 如果做圆周运动的质点线速度大小不随时间变化，这种运动称为匀速圆周运动。 3．线速度 (1)定义：在一段很短的时间Δt内，点A转过的弧长为Δl，则反映了点A沿圆周运动的快慢，称为线速度，用v表示。 (2)表达式：v＝或v＝，单位为米/秒，符号m/s。 (3)方向：线速度是矢量，既有大小，又有方向。圆周运动也是曲线运动，因此线速度的方向沿着圆周该点的切线方向。 (4)物理意义：当Δt足够小时，弧长Δl与质点的位移Δs近似相等，此时线速度v实际上就是直线运动中的瞬时速度。 二、角速度 1．定义：如上图所示，在一段很短的时间Δt内，半径OA转过的角度为Δθ，反映了质点绕圆心转动的快慢，称为角速度，用符号ω表示。 2．表达式：ω＝或ω＝。 3．国际单位：弧度每秒，符号是rad/s。 4．物理意义：角速度是描述质点绕圆心转动快慢的物理量。 5．周期：做匀速圆周运动的质点，运动一周所用的时间称为周期，用符号T表示，单位为秒(s)。 6．转速：物体转过的圈数与所用时间之比称为转速，用符号n表示。单位是转每秒，符号是r/s；或者转每分，符号是r/min。 三、线速度、角速度和周期间的关系 1．线速度大小与周期的关系 设某一质点沿半径为r的圆周做匀速圆周运动，在一个周期T内，做匀速圆周运动的质点通过的弧长为2πr，转过的角度为2π，则关系式为v＝。 2．角速度的大小与周期的关系：ω＝。 3．线速度与角速度的关系：v＝ωr。 四、描述圆周运动的物理量 1．描述圆周运动的各物理量之间的关系 2．描述圆周运动的各物理量之间关系的分析技巧 (1)角速度、周期、转速之间关系的分析：物体做匀速圆周运动时，由ω＝＝2πn知，角速度、周期、转速三个物理量，只要其中一个物理量确定了，其余两个物理量也就确定了。 (2)线速度与角速度之间关系的分析：由v＝ω·r知，r一定时，v∝ω；v一定时，ω∝；ω一定时，v∝r。　 五、三种传动装置 项目 同轴传动 皮带传动 齿轮传动 装置 A、B两点在同轴的一个圆盘上 两个轮子用皮带连接，A、B两点分别是两个轮子边缘的点 两个齿轮轮齿啮合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点(两齿轮的齿数分别为n1、n2) 特点 角速度、周期相同 线速度大小相同 线速度大小相同 转动方向 相同 相同 相反 规律 线速度与半径成正比：＝ 角速度与半径成反比：＝ 周期与半径成正比：＝ 角速度与半径成反比： ＝＝ 周期与半径成正比：＝＝ 六、感受向心力及向心力的公式 1．定义： 大量实验表明，物体做匀速圆周运动时所受合外力的方向始终指向轨迹的圆心，这个指向圆心的合外力称为向心力。 2．方向： 向心力的方向始终指向圆心，总是与线速度方向垂直。 3．公式： F＝mω2r或者F＝。 4．效果力： 向心力是根据力的作用效果来命名的，它可以由不同性质的力如弹力、重力、摩擦力等提供，也可以由某一力的分力或某些力的合力提供。 5．向心加速度的方向特点 (1)指向圆心：无论匀速圆周运动，还是变速圆周运动，向心加速度的方向都指向圆心，或者说与线速度的方向垂直。 (2)时刻改变：无论向心加速度的大小是否变化，向心加速度的方向随线速度方向的改变而改变。所以一切圆周运动都是变加速曲线运动。 6．非匀速圆周运动的加速度 对于非匀速圆周运动，如图所示。(1)物体加速度的方向不再指向圆心。(2)其中一个分加速度的方向指向圆心，为向心加速度，仍满足公式an＝＝ω2r，其作用仍然是改变速度的方向。(3)另一个分加速度改变速度的大小。 七、向心加速度公式及应用 1．向心加速度的几种表达式 2．向心加速度an与半径r的关系图像 (1)当角速度一定时，向心加速度与运动半径成正比，如图甲所示。 (2)当线速度一定时，向心加速度与运动半径成反比，如图乙所示。 甲　　　　　　　　乙 八、汽车转弯 1．汽车在水平公路上转弯 (1)汽车相当于在做圆周运动，此时的向心力由车轮与路面间的静摩擦力f来提供。 f＝F＝m。 (2)相关因素 解得汽车转弯时的速度大小：v＝。 从上式可知，急转弯处半径r较小，雨天路滑使最大静摩擦力fm减小，汽车质量m过大，这三种情况都需要在转弯时限制速度v的大小。 2．在部分公路弯道处采用外高内低的斜坡式设计 mg与FN的合力提供向心力：F＝mg tan θ＝m 解得v＝此时仅由重力和支持力的合力提供向心力。 九、铁路弯道 1．火车在水平轨道上转弯 火车在弯道处实际上做圆周运动，由外侧车轮的轮缘挤压外轨，车轮受外轨的横向力作用，使火车获得转弯所需的向心力。 2．弯道处铁轨的外轨略高于内轨 火车转弯处外轨略高于内轨，巧妙地借助火车受到的支持力和重力的合力提供部分向心力，减轻轮缘对外轨的挤压。 十、拱形与凹形路面 汽车过拱形路面最高点及凹形路面最低点的压力分析 项目 拱形路面的最高点 凹形路面的最低点 受力分析图 向心力 G－FN＝m FN－G＝m 汽车对路 面的压力 FN′＝FN＝G－ FN′＝FN＝G＋m 结论 v增大时，FN′减小；当v增大至时，FN′＝0，此过程为失重 v增大时，FN′增大，此过程为超重。 十一、对离心运动的理解 1．离心运动的实质 离心现象的本质是物体惯性的表现。做圆周运动的物体，由于惯性，总是有沿着圆周切线飞出去的倾向，之所以没有飞出去，是因为受到向心力的作用。从某种意义上说，向心力的作用是不断地把物体从圆周运动的切向方向拉回到圆周上来。 2．做离心运动的条件 做圆周运动的物体，提供向心力的外力突然消失或者合外力不能提供足够大的向心力。 3．离心运动、近心运动的判断 如图所示，物体做圆周运动是离心运动还是近心运动，由实际提供的合力Fn与所需向心力的大小关系决定。 (1)若F＝mrω2(或m)即“提供”满足“需要”，物体做圆周运动。 (2)若F＞mrω2(或m)即“提供”大于“需要”，物体做半径变小的近心运动。 (3)若F＜mrω2(或m)即“提供”不足，物体做离心运动。 十二、水平面内圆周运动问题 1．水平面内的圆周运动是指物体做圆周运动的轨迹在水平面内，多以生活中常见实例或水平圆周运动模型为例分析向心力及临界条件问题。 (1)水平面内圆周运动的“摩擦力”模型是指依靠静摩擦力提供物体在水平面内做圆周运动的向心力。 (2)水平面内圆周运动的“弹力”模型是指依靠弹力提供物体在水平面内做圆周运动的向心力。 (3)水平面内圆周运动的“圆锥摆”模型是指依靠弹力(细线拉力或倾斜面弹力)和物体重力的合力使物体在水平面内做圆周运动。 2．两类情况分析 (1)不滑动 质量为m的物体在水平面上做圆周运动或随圆盘一起转动(如图所示)时，静摩擦力提供向心力，当静摩擦力达到最大值Ffm时，物体运动的速度也达到最大，即Ffm＝m，解得vm＝。 (2)绳子被拉断 质量为m的物体被长为l的轻绳拴着(如图所示)，且绕绳的另一端O在水平面内做匀速圆周运动，当绳子的拉力达到最大值Fm时，物体的速度最大，即Fm＝m，解得vm＝。 这就是物体在半径为l的圆周上运动的临界速度。 十三、竖直平面内圆周运动的问题 1．运动性质 物体在竖直平面内做圆周运动时，受弹力和重力两个力的作用，物体做变速圆周运动，常见两类模型。 2．模型分析 (1)轻绳和轻杆模型概述 在竖直平面内做圆周运动的物体，运动至轨道最高点时的受力情况可分为两类：一是无支撑(如球与绳连接，沿内轨道的“过山车”等)，称为“轻绳模型”；二是有支撑(如球与杆连接，小球在弯管内运动等)，称为“轻杆模型”。 (2)两类模型分析对比 类别 轻绳模型 轻杆模型 常见类型 均是没有支撑的小球 均是有支撑的小球 过最高点的临界条件 v临＝ v临＝0 讨论分析 (1)能过最高点时，v≥，FN＋mg＝m，绳、轨道对球产生弹力FN (2)不能过最高点时，v＜，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道，如图所示 (1)当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心 (2)当0＜v＜时，－FN＋mg＝m，FN背离圆心，随v的增大而减小 (3)当v＝时，FN＝0 (4)当v＞时，FN＋mg＝m，FN指向圆心并随v的增大而增大 在最高点的FN图线 取竖直向下为正方向 取竖直向下为正方向 十四、水平面内圆周运动的临界问题 关于水平面内匀速圆周运动的临界问题，要特别注意分析物体做圆周运动的向心力来源，考虑达到临界条件时物体所处的状态，即临界线速度、临界角速度，然后分析该状态下物体的受力特点，结合圆周运动知识，列方程求解。常见的一些类型如下： 1.与绳的弹力有关的临界问题 此类问题要分析出绳子恰好无弹力这一临界状态下的角速度(或线速度)等。 2.与支持面弹力有关的临界问题 此类问题要分析出恰好无支持力这一临界状态下的角速度(或线速度)等。 3.因静摩擦力而产生的临界问题 此类问题要分析出静摩擦力达到最大时这一临界状态下的角速度(或线速度)等。 十五、竖直面内圆周运动的轻绳问题 轻绳类模型——只能产生拉力或压力，不能产生支持力。 如图所示，细绳拉着的小球或在轨道内侧运动的小球，在最高点时的临界状态为只受重力，有mg＝m，则v＝。 在最高点时： ①v＝时，拉力或压力为零。 ②v>时，小球受向下的拉力或压力。 ③v<时，小球不能到达最高点，小球在到达最高点之前就已脱离圆轨道。此类小球做圆周运动的临界速度为v临＝。杂技节目“水流星”就属于这种情形。 十六、竖直面内圆周运动的轻杆问题 轻杆类模型——既能产生拉力，又能产生支持力。 如图所示，在细轻杆上固定的小球或在管形轨道内运动的小球，由于杆和管能对小球产生向上的支持力，所以小球能在竖直平面内做圆周运动的条件是在最高点的速度大于或等于零，小球的受力情况为： ①v＝0时，小球受向上的支持力FN＝mg。 ②当0<v<时，小球受杆的支持力或管的内壁对小球竖直向上的支持力FN＝mg－m，支持力FN随v的增大而减小，其取值范围为0<FN<mg。 ③v＝时，小球除受重力之外不受其他力。 ④当v>时，小球受杆的拉力或管的外壁对小球竖直向下的压力FN＝m－mg。速度越大，FN越大。 第三部分 知识点应用 1．如图所示，A、B是两个摩擦传动的靠背轮。A是主动轮，B是从动轮，它们的半径RA＝2RB，a和b两点在各轮的边缘，c和d在各轮半径的中点，下列判断正确的是(　　) A．va＝2vb　 B．ωa＝2ωc C．ωd＝ωc D．vb＝2vc 2.如图所示，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l。木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是(　　) A.a一定比b先开始滑动 B.a、b所受的摩擦力始终相等 C.若ω＝时，a所受摩擦力的大小为kmg D.ω＝是b开始滑动的临界角速度 3.有一列重为100 t的火车，以72 km/h的速率匀速通过一个内外轨一样高的弯道，轨道半径为400 m。(g取10 m/s2) (1)试计算铁轨受到的侧压力大小； (2)若要使火车以此速率通过弯道，且使铁轨受到的侧压力为零，我们可以适当倾斜路基，试计算路基倾斜角度θ的正切值。 4.如图所示，轻杆长为2L，中点装在水平轴O处，A、B两端分别固定着小球A和B，A球的质量为m，B球的质量为2m，两者一起在竖直平面内绕O轴做圆周运动。 (1)若A球在最高点时，杆A端恰好不受力，求此时A球的速度大小； (2)若B球到最高点时的速度等于，则此时杆A端的受力大小和方向； (3)若杆的转速可以逐渐变化，能否出现O轴不受力的情况，若不能，用公式推导说明理由。若能，则求出此时A、B球的速度大小。 5.如图所示为汽车在水平路面做半径为R的大转弯的后视图，悬吊在车顶的灯左偏了θ角，则：(重力加速度为g) (1)车正向左转弯还是向右转弯？ (2)车速是多少？ (3)若(2)中求出的速度正是汽车转弯时不打滑允许的最大速度，则车轮与路面间的动摩擦因数μ是多少？(最大静摩擦力等于滑动摩擦力) 6.如图所示，一个固定在竖直平面上的光滑半圆形管道，管道里有一个直径略小于管道内径的小球，小球在管道内做圆周运动，从B点脱离轨道后做平抛运动，经过0.3 s后又恰好垂直与倾角为45°的斜面相碰。已知圆轨道半径为R＝1 m，小球的质量为m＝1 kg，g取10 m/s2。求： (1)小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离； (2)小球经过圆弧轨道的B点时，受到轨道的作用力FNB的大小和方向？ 知识点应用答案 1.D　[由于A、B两轮之间通过摩擦传动，故A、B两轮的边缘的线速度大小相同，所以va＝vb，故A错误；a、c两点同轴转动，角速度相等，所以ωa＝ωc，故B错误；根据v＝ωR可得，ωaRA＝ωbRB，则ωa∶ωb＝RB∶RA＝1∶2，即ωb＝2ωa，a、c两点角速度相等，b、d两点角速度相等，所以ωd＝2ωc，故C错误；由于ωa＝ωc，Ra＝2Rc，故va∶vc＝2∶1，即va＝2vc，又va＝vb，所以vb＝2vc，故D正确。] 2.答案　D 解析　根据kmg＝mω2r得，发生相对滑动的临界角速度ω＝，故ωa＝，ωb＝，因ωb＜ωa，则b一定比a先开始滑动，A错误，D正确；a、b做圆周运动的角速度相等，与水平圆盘相对静止时，靠静摩擦力提供向心力，f＝mω2r，可知静摩擦力大小不等，故B错误；因ω＝＜ωa，可知a所受的静摩擦力未达到最大，则摩擦力大小fa＝mω2l＝kmg，故C错误。 3.[解析]　(1)v＝72 km/h＝20 m/s，外轨对轮缘的侧压力提供火车转弯所需要的向心力，所以有： F＝m＝ N＝1×105 N 由牛顿第三定律可知铁轨受到的侧压力大小等于1×105 N。 (2)火车过弯道，重力和铁轨对火车的支持力的合力正好提供向心力，如图所示，则mg tan θ＝m 由此可得tan θ＝＝0.1。 [答案]　(1)1×105 N　(2)0.1 4.[解析]　(1)若A球在最高点时，杆A端恰好不受力，则 mg＝m，解得v＝。 (2)由于两球的线速度大小相等，故A球的速度也为， 对A球有T′OA－mg＝m， 解得T′OA＝2mg，方向竖直向上。 由牛顿第三定律可知，此时杆A端的受力大小为2mg，方向竖直向下。 (3)要使O轴不受力，根据B球的质量大于A球的质量，可判断B球应在最高点。 对B球有T″OB＋2mg＝2m， 对A球有T″OA－mg＝m， O轴不受力时，T″OA＝T″OB，又有vA＝vB， 解得vA＝vB＝。 [答案]　(1)　(2)2mg，方向竖直向下　(3)O轴能不受力　　 5.答案　(1)向右转弯　(2)　(3)tan θ 解析　(1)对灯受力分析可知，合外力方向向右，所以车正向右转弯。 (2)设灯的质量为m，对灯受力分析，由牛顿第二定律知 mgtan θ＝m，得v＝。 (3)设汽车的质量为M，汽车刚好不打滑，有μMg＝M得μ＝tan θ。 6.答案　(1)0.9 m　(2)1 N，方向竖直向上 解析　(1)小球垂直落在斜面上，分解末速度 tan 45°＝＝ 解得小球从C点飞出时的初速度v0＝3 m/s，则B与C点的水平距离x＝v0t 解得x＝0.9 m。 (2)假设轨道对小球的作用力方向竖直向上，根据牛顿第二定律 mg－FNB＝m 解得FNB＝1 N，即小球经过圆弧轨道的B点时，受到轨道的作用力大小为1 N，方向竖直向上。 学科网（北京）股份有限公司 $