第05讲 圆周运动 讲义（思维导图+知识要点+解题技巧+题型归纳+巩固提升）-2025-2026学年高一下学期物理满分练曲线运动专题（新高考通用）

第05讲 圆周运动 目 录 思维导图 2 考情分析 2 学习目标 2 知识要点 3 题型归纳 7 题型01：圆周运动的定义和描述 7 题型02：匀速圆周运动 9 描述圆周运动的物理量 12 题型03：线速度 13 题型04：角速度 16 题型05：周期、角速度、转速、频率与线速度之间的关系式 20 题型06：传动问题 27 题型07：圆周运动的周期性多解问题 48 题型08：向心力 62 （一）．向心力的定义及与向心加速度的关系 62 （二）．判断哪些力提供向心力、有关向心力的简单计算 66 （三）．通过牛顿第二定律求解向心力 69 题型09：探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系 75 巩固提升 92 圆周运动是高考物理必修2曲线运动的核心拓展考点，与抛体运动衔接紧密，也是后续万有引力、带电粒子在磁场中运动的基础，属于高频必考点，题型覆盖选择、实验、计算，分值占比6-12分，是中档题核心拉分点。 1. 考查形式：全国卷/新高考卷中，选择题（4-6分） 为主，常单独考查水平面/竖直面圆周运动的临界、向心力分析；计算题多作为综合题小问（3-6分），结合万有引力（天体圆周）、洛伦兹力（带电粒子圆周）、机械能守恒（竖直面圆周）考查，极少单独出大题。 2. 考查重点：核心围绕向心力的来源与计算，侧重水平面匀速圆周运动（如转盘、圆锥摆）、竖直面非匀速圆周运动（如轻绳/轻杆模型）的临界条件分析；常结合牛顿第二定律、几何关系、能量守恒命题，偶尔关联圆周运动的实验（如向心加速度的测量）。 3. 难度与情境：基础题考查向心力公式直接应用，中档题考查临界问题和多规律综合，难题多结合天体、磁场拓展；命题情境贴近生活（转盘、过山车）、物理模型（圆锥摆、轻绳轻杆），新高考注重模型化建模和临界条件提取。 4. 关联考点：是万有引力定律（天体匀速圆周）、带电粒子在匀强磁场中运动（匀速圆周）的前置基础，高考中常作为这些压轴考点的基础解题模块，掌握不扎实会直接影响压轴题得分。 一 核心目标 1. 理解圆周运动的基本物理量（线速度v、角速度ω、周期T、频率f、向心加速度）的定义，熟记各物理量的换算关系，能快速相互推导。 2. 掌握向心力的本质：效果力（由重力、弹力、摩擦力等某一个力或几个力的合力提供），熟记向心力、向心加速度的核心公式，明确公式中各物理量的物理意义。 3. 区分匀速圆周运动和非匀速圆周运动：匀速圆周运动合外力完全提供向心力（大小不变、方向指向圆心）；非匀速圆周运动合外力沿半径方向的分力提供向心力，切线方向分力改变线速度大小。 二 能力目标 1. 能对任意圆周运动场景分析向心力来源，画出受力分析图，沿“半径方向（指向圆心为正）”列牛顿第二定律方程（核心： = ）。 2. 掌握水平面、竖直面圆周运动的临界条件，能判断临界状态（如轻绳模型最高点的最小速度、轻杆模型的临界速度），并根据临界条件列方程求解。 3. 能结合能量守恒分析竖直面非匀速圆周运动（如从最低点到最高点的速度变化、做功分析），实现“力与能”的综合应用。 4. 能将圆周运动模型迁移到拓展场景（如圆锥摆、转盘、天体圆周、带电粒子圆周），快速提取核心条件（向心力来源、临界值）。 三 基础要求 1. 熟练掌握牛顿第二定律的矢量性，能沿指定方向（半径方向）进行力的分解与合成。 2. 熟记匀变速直线运动、机械能守恒的基本公式，为非匀速圆周运动的综合计算铺垫。 3. 能准确判断圆周运动的圆心和半径，避免因几何关系错误导致解题失误。 知识点一：匀速圆周运动 1．圆周运动：物体的运动轨迹是圆的运动． 2．匀速圆周运动 质点沿圆周运动，如果在相等的时间内通过的圆弧长度相等，这种运动就叫匀速圆周运动． 3．匀速圆周运动的特点 （1）线速度的大小处处相等． （2）由于匀速圆周运动的线速度方向时刻在改变，所以它是一种变速运动．这里的“匀速”实质上指的是“匀速率”而不是“匀速度”． 知道点二：描述圆周运动的物理量 线速度 角速度 周期 转速 定义、 意义 描述圆周运动的物体运动快慢的物理量 描述物体绕圆心转动快慢的物理量 物体沿圆周一周所用的时间 物体单位时间内转过的圈数 矢量、 标量 是矢量，方向和半径垂直，和圆弧相切 有方向，但中学阶段不研究 标量、无方向 标量、无方向 公式 v＝＝ ω＝＝ T＝＝ n＝ 单位 m/s rad/s s r/s、r/min 相互 关系 （1）v＝rω＝＝2πrn （2）T＝ （1）线速度 1、 圆周运动的快慢可以用物体通过的弧长与所用时间的比值来量度.例如在图6.5-3中，物体沿圆弧由M向N运动，某时刻t经过A点.为了描述物体经过A点附近时运动的快慢，可以从此时刻开始，取一段很短的时间Δt，物体在这段时间内由A运动到B，通过的弧长为Δl.比值反映了物体运动的快慢，把它称为线速度(linear velocity)，用v表示，则. 2、线速度是矢量，图6.5-3中物体在A点的线速度的方向就是 AB位移的方向，显然，当Δt很小时，该方向是和半径OA垂直的，即和圆弧相切.前面曾讲到曲线运动的方向与轨迹相切，这里的结论是与前面一致的. 3、物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处相等，这种运动叫做匀速圆周运动(uniform circular motion).应该注意的是，匀速圆周运动的线速度方向是在时刻变化的，因此它仍是一种变速运动，这里的“匀速”是指速率不变. （2）角速度 物体做圆周运动的快慢还可以用角速度来描述。在相同的时间内，连接运动物体与圆心的半径所转过的角度越大，物体沿圆周运动得就越快。物体做圆周运动时．连接它与圆心的半径转过的角度跟所用时间Δt的比值，叫做角速度(angular velocity)，一般用表示，即 式中的单位是 的单位是读作“弧度每秒”。 （3）周期、频率和转速 物体做匀速圆周运动时，总是每隔一段相等的时间就重复原来的运动，我们称这样的运动为周期性运动。在自然界，除了匀速圆周运动，还有另外一些运动也是周期性运动，如人体的心跳和呼吸、钟摆的摆动、昼夜的周而复始、潮汐的涨落、声音和光的波动等，都是周期性运动，甚至我们走路时手脚的运动也可以看做周期性的运动。我们把周期性运动每重复一次所需要的时间叫周期，用符号T表示。匀速圆周运动的周期等于物体运动一周所用的时间。地球自转的周期是1天，而绕太阳公转的周期是1年，我们说地球的自转比公转快；钟表秒针的周期比分针和时针的周期短，我们说它比分针和时针转得快 (图4-9)。因此，周期也可以用来描述匀速圆周运动的快慢：周期越短，转动越快；周期越长，转动越慢。 在物理学中用频率来描述周期性运动的快慢。频率就是单位时间内运动重复的次数，用f表示，大小等于周期的倒数，单位是赫兹(Hz)：很显然，频率越高表示运转越快，频率越低表示运转越慢。 在生活和生产中，还常用转速来描述匀速圆周运动的快慢。转速就是单位时间内的转动次数，用n表示，单位是转每秒(r/s)或转每分(r/min)。例如，发电机、电动机转动的快慢就是用转速来表示的。转速是计算机硬盘和光驱性能的重要指标(图4-10)。 描述圆周运动的各物理量之间关系的分析技巧 （1）角速度、周期、转速之间关系的分析：物体做匀速圆周运动时，由ω＝＝2πn知，角速度、周期、转速三个物理量，只要其中一个物理量确定了，其余两个物理量也唯一确定了。 （2）线速度与角速度之间关系的分析：由v＝ω·r知，r一定时，v∝ω；v一定时，ω∝；ω一定时，v∝r。 【注意】在讨论v、ω、r三者的关系时，应采用控制变量法，先保持其中一个量不变，再讨论另外两个量之间的关系。ω、T和n三个物理量可相互换算，只要其中一个量确定，其余两个量也就确定了。 知识点三：常见的传动装置及其特点 同轴传动 皮带传动 齿轮传动 装置 A、B两点在同轴的一个圆盘上 两个轮子用皮带连接，A、B两点分别是两个轮子边缘的点 两个齿轮轮齿啮合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点 特点 角速度、周期相同 线速度大小相同 线速度大小相同 转动方向 相同 相同 相反 规律 线速度与半径成正比： ＝ 角速度与半径成反比：＝。 周期与半径成正比：＝ 角速度与半径成反比：＝。周期与半径成正比：＝ 考点四：圆周运动的周期性和多解问题 问题特点 （1）研究对象：匀速圆周运动的多解问题含有两个做不同运动的物体。 （2）运动特点：一个物体做匀速圆周运动，另一个物体做其他形式的运动(如平抛运动，匀速直线运动等)。 （3）运动的关系：由于两物体运动的时间相等，根据等时性建立等式求解待求物理量。 分析技巧 （1）抓住联系点：明确题中两个物体的运动性质，抓住两运动的联系点。 （2）先特殊后一般：先考虑第一个周期的情况，再根据运动的周期性，考虑多个周期时的规律。 2、线速度、角速度、周期的关系 线速度、角速度和周期都可以用来描述匀速圆周运动的快慢。人们从不同的角度、运用不同的概念来判断运动的快慢，会得出不同的结果。那么，这三个概念之间有什么关系呢? 如图4—11所示，物体沿半径为厂的圆周做匀速圆周运动，则在一个周期内转过的角度为2，(，转过的弧长为27rr，这时的线速度和角速度的大小分别为 由以上两式还可得出 该式表明：在匀速圆周运动中， 当半径一定时，线速度与角速度成正比， 当角速度一定时，线速度与半径成正比； 当线速度一定时，角速度与半径成反比。 例如，在相互啮合的齿轮中，各齿轮轮缘的线速度的大小相等，但半径不同，因此角速度 不一样，周期也不一样。 3、线速度跟角速度的关系 线速度描述了做圆周运动的物体通过弧长的快慢，角速度描述了物体与圆心连线扫过角度的快慢.它们之间有什么关系？ 在图6.5-3中，设物体做圆周运动的半径为R，由A运动到B的时间为Δt，AB弧长为Δl，AB弧对应的圆心角为.当以弧度为单位时，即由于代入上式 题型01：圆周运动的定义和描述 【典型例题1】某质点同时受到在同一平面内的几个恒力作用处于平衡状态，某时刻突然撤去其中一个力，此后该物体：①可能做匀速直线运动②可能做匀变速曲线运动③轨迹可能为抛物线④轨迹可能为圆周。物体可能的状态是（　　） A．①③ B．①②③ C．①③④ D．②③ 【答案】D 【解析】平衡状态可能是静止状态也可能是匀速直线运动状态。质点同时受到在同一平面内的几个恒力作用处于平衡状态，撤去其中一个力，则剩余的所有力的合力与撤去的力等大反向且恒定不变。若此时物体速度与合力共线，则物体做匀变速直线运动，其运动轨迹为直线；若此时物体速度与合力方向不共线，则物体做匀变速曲线运动，其运动轨迹为抛物线。因为物体受力不平衡，所以不可能做匀速直线运动。圆周运动合力的方向不停变化，不是恒力，所以轨迹也不可能是圆周。 故选D。 【典型例题2】下列关于力和运动的说法正确的是（    ） A．物体受合力为恒力时，不可能做曲线运动 B．物体受合力大小变化时，可能做圆周运动 C．物体的加速度大小恒定时，速度要么增加，要么减小 D．物体受合力为变力时，不可能做直线运动 【答案】B 【解析】A．物体受合力为恒力时，可能做曲线运动。例如：平抛运动是受合力恒定的曲线运动，故A错误； B．物体受合力大小变化时，可能做圆周运动。例如：变速圆周运动的合力大小可以改变，故B正确； C．匀速圆周运动的加速度大小恒定时，速度大小不变，故C错误； D．物体受合力为变力时，若合力方向与速度方向在同一直线上，物体做直线运动，故D错误。 故选B。 【变式训练1-1】关于运动的性质，以下说法中正确的是（    ）． A．匀速圆周运动一定是变速运动 B．曲线运动一定是加速度变化的运动 C．匀速圆周运动是匀速运动 D．匀速圆周运动是匀变速运动 【答案】A 【详解】ACD．匀速圆周运动的速度方向时刻改变，向心力方向时刻改变，是变加速曲线运动，A正确，CD错误； B．当物体所受恒力与速度不共线时，曲线运动的加速度保持不变，B错误。 故选A。 【变式训练1-2】一质点只受一个恒力的作用，其不可能的运动状态为 和 （只填序号）。 ①变速直线运动 ②匀速圆周运动 ③曲线运动 ④匀速直线运动 【答案】 ② ④ 【详解】①变速直线运动满足的条件是合力和速度共线，若为恒力做匀变速直线运动；故①可能； ②物体做匀速圆周运动时，要有力提供向心力，并且该力的方向要时刻改变，而一质点只受一个恒力的作用，力的方向不变，故恒力不能做匀速圆周运动，故②不可能； ③当物体所受恒力方向与初速度方向不共线时，物体做匀变速曲线运动，轨迹为抛物线的曲线运动，故③可能； ④物体受到的合力为零时做匀速直线运动，故受恒力不可能做匀速直线运动；则④不可能。 故一质点只受一个恒力的作用，其不可能的运动状态为②和④。 【变式训练1-3】（多选）如图所示，下列描述正确的是（   ） A．甲图中跳远起跳时地面对人的作用力大小等于人对地面的作用力大小 B．乙图中杯子处于静止状态，若手握杯子的力越大，则杯子受到的摩擦力越大 C．丙图中铅球被抛出后可以继续向前飞，是因为铅球具有惯性 D．丁图中汽车大桥上匀速转弯时，汽车的速度没有发生变化 【答案】AC 【详解】A．根据牛顿第三定律，甲图中跳远起跳时地面对人的作用力大小等于人对地面的作用力大小，故A正确； B．乙图中杯子处于静止状态，杯子受到的重力等于摩擦力，若手握杯子的力越大，杯子受到的摩擦力不变，故B错误； C．丙图中铅球被抛出后可以继续向前飞，是因为铅球具有惯性，故C正确； D．速度是一个矢量，速度方向发生了改变，故D错误。 故选AC。 题型02：匀速圆周运动 【典型例题1】关于匀速圆周运动，下列说法不正确的是（　　） A．在匀速圆周运动中线速度是恒量、角速度也是恒量 B．在匀速圆周运动中线速度是变量、角速度是恒量 C．线速度是矢量、其方向是圆周的切线方向 D．线速度、角速度都是矢量 【答案】A 【解析】AB．在匀速圆周运动中线速度大小不变，方向在变，故线速度是变量；角速度是恒量，故A错误，B正确； C．线速度是矢量、其方向是圆周的切线方向，C正确； D．线速度、角速度都是矢量，D正确。 本题选不正确的，故选A。 【典型例题2】空间站内属于微重力环境，可视为完全失重环境，空间站内的航天员欲测出一铁球的质量，他用一根不可伸长的轻绳一端固定在O点，另一端系待测铁球，使其绕O点在竖直面内做匀速圆周运动，用力传感器测出轻绳的拉力大小F，他用刻度尺量出绳长L及球的直径d，用秒表测出球做n个完整圆周运动的时间为t，下列说法正确的是（　　）    A．若让铁球在水平面内做圆周运动，则无法测出铁球的质量 B．根据题中给出的数据，可求出铁球的质量为 C．若不测球的直径，把绳长当做圆周运动的半径，则测得的质量偏小 D．若不测球的直径，改变绳长，测出两次的绳长、拉力及圆周运动的周期，也可计算出铁球的质量 【答案】D 【解析】A．完全失重环境，所以铁球可以在任意平面圆周运动，都可以测出铁球质量，故A错误； B．根据绳子拉力提供向心力 解得 故B错误； C．若不测球的直径，把绳长当做圆周运动的半径，则测得的质量偏大，故C错误； D．若不测球的直径，改变绳长，测出两次的绳长、拉力及圆周运动的周期，可通过解二元一次方程组，计算出铁球的质量及直径，故D正确。 故选D。 【变式训练2-1】对下列情景的分析和判断正确的说法（　　） A．点火后即将升空的火箭，因火箭还没运动，所以加速度一定为零 B．高速公路上沿直线高速行驶的轿车为避免事故紧急刹车，因轿车紧急刹车，速度变化很快，所以加速度很大 C．高速行驶的磁悬浮列车，因速度很大，所以加速度也一定很大 D．太空中的“天宫一号”人造卫星绕地球匀速转动，其速度没有发生变化，可以看作质点 【答案】B 【详解】A．点火后即将升空的火箭，虽然还没动，但是有向上的加速度，使火箭向上加速，故A错误； B．加速度表示速度变化的快慢，速度变化越快，加速度越大，故轿车紧急刹车时速度变化很快，此时加速度很大，故B正确； C．高速行驶的磁悬浮列车，速度很大，速度变化不一定越快，故加速度不一定很大，故C错误； D．太空中的“天宫一号”绕地球匀速转动，线速度的方向时刻变化，故速度在变化，研究人造卫星绕地球匀速转动，可以忽略人造卫星的大小和形状，可以看作质点。故D错误。 故选B。 【变式训练2-2】（多选）地下车库为了限制车辆高度，现已采用如图所示的曲杆道闸。道闸总长3m，由相同长度的转动杆AB与横杆BC组成。B、C为横杆的两个端点，道闸工作期间，横杆BC始终保持水平，转动杆AB绕A点匀速转动过程中，下列说法正确的是（　　） A．B点的加速度不变 B．B点的线速度大小不变 C．BC杆上各点的线速度均相等 D．C点做匀速圆周运动，圆心为A点 【答案】BC 【详解】AB．转动杆AB绕A点匀速转动过程中，即B点做匀速圆周运动，线速度和加速度大小不变，但方向时刻改变，故A错误，B正确； C．横杆BC始终保持水平，BC杆上各点相对静止，相等时间运动的弧长相等，所以BC杆上各点的线速度均相等，故C正确； D．由于AB始终水平，所以C点的轨迹也是一个圆，如图    根据题意可知B绕着A点做匀速圆周运动，C点不是以A为圆心做圆周运动，故D错误。 故选BC。 【变式训练2-3】汽车以恒定的速率绕圆形广场行驶一周，汽车每行驶周，它的速度方向改变多少度？汽车每行驶速度方向改变多少度？画出相隔两个位置汽车的速度矢量。 【答案】， ，   【详解】绕广场行驶周，速度方向改变。3min绕圆形广场行驶一周，应走周，速度方向改变；相隔两个位置汽车的速度矢量，如图所示。    描述圆周运动的物理量 【典型例题】下列关于圆周运动的说法中正确的有（　　） A．做圆周运动的物体在相同时间内运动的周数相同，则物体做匀速圆周运动 B．做匀速圆周运动的物体的线速度不变 C．做匀速圆周运动的物体的角速度不变 D．做匀速圆周运动的物体的向心加速度不变 【答案】C 【解析】 A．做匀速圆周运动的物体，线速度大小处处相等，做圆周运动的物体在相同时间内运动的周数相同，则周期不变，但是不确定线速度大小处处相等， A错误； B．做匀速圆周运动的物体的线速度大小不变，方向时刻发生变化，B错误； C．做匀速圆周运动的物体的角速度不变，C正确； D．做匀速圆周运动的物体的向心加速度大小不变，方向时刻指向圆心，D错误。 故选C。 【变式训练】关于圆周运动下列说法正确的是（ ） A．物体受一恒力作用，可能做匀速圆周运动 B．匀速圆周运动是变加速曲线运动 C．向心加速度描述的是线速度大小变化的快慢 D．做圆周运动（含变加速圆周运动）的物体，其加速度一定指向圆心 【答案】B 【详解】 A．由于合力F是恒力，而匀速圆周运动中合力提供向心力，方向不断改变，是变力，故物体不可能做匀速圆周运动，A错误； B．匀速圆周运动的加速度始终指向圆心，方向时刻在变化，故加速度是变化的，所以是变加速曲线运动，B正确； C．向心加速度只改变物体的速度的方向不改变速度的大小，所以向心加速度越大小，表示物体速度方向变化快慢，C错误； D．做变加速圆周运动的物体，其速度的大小和方向都变化，所以其合力不指向圆心，其加速度不指向圆心，D错误。 故选B。 题型03：线速度 【典型例题1】物体在做匀速圆周运动的过程中，关于其线速度的说法正确的是（　　） A．大小保持不变 B．方向时刻保持不变 C．大小、方向均保持不变 D．大小、方向均时刻改变 【答案】A 【解析】匀速圆周运动的线速度大小不变，方向时刻发生改变，故A正确，BCD错误。 故选A。 【典型例题2】在一场关于月球和地球的话剧中，地球对月球说：“你咋这么慢？我绕太阳1s能走29.79km，你绕我1s才走1.02km。”月球反驳道：“你可别这么说，你要用一年才绕太阳走一圈，我28天就走了一圈。到底谁慢？”，月球绕地球和地球绕太阳均可看成匀速圆周运动。则地球和月球线速度、角速度大小关系是（   ） A．v地 > v月，ω地 > ω月 B．v地 > v月，ω地 < ω月 C．v地 < v月，ω地 > ω月 D．v地 < v月，ω地 < ω月 【答案】B 【解析】根据线速度的概念，即 可知，地球的线速度比月球的线速度大，即v地 > v月；根据角速度的概念，即 可知，月球的周期小，则月球的角速度比地球的角速度大，即ω地 < ω月。 故选B。 【变式训练3-1】某同学设计了一货物输送装置，将一个质量为载物平台架在两根完全相同、半径为，轴线在同一水平面内的平行长圆柱上。已知平台与两圆柱间的动摩擦因数均为，平台的重心与两柱等距，在载物平台上放上质量为的物体时也保持物体的重心与两柱等距，两圆柱以角速度绕轴线作相反方向的转动，重力加速度大小为。现沿平行于轴线的方向施加一恒力，使载物平台从静止开始运动，物体与平台总保持相对静止。下列说法正确的是（    ）    A．物体和平台开始运动时加速度大小为 B．物体和平台做匀加速运动 C．物体受到平台的摩擦力逐渐减小 D．只有当时平台才能开始运动 【答案】C 【详解】A．平台与两个圆柱表面的摩擦力相等，大小 开始时平台受到两圆柱的摩擦力平衡，所以开始运动时加速度大小为 故A错误； B．圆柱表面的点转动的线速度大小为 若平台运动的速度大小为，则 根据牛顿第二定律可得 因为在不断增大，加速度会越来越小，故B错误； C．对物体进行受力分析可得 物体受到平台的摩擦力逐渐减小，故C正确； D．开始运动时加速度大小为 所以即使较小，平台也运动，故D错误。 故选C。 【变式训练3-2】（多选）如图所示为某种水轮机的示意图，水平管中流出的水流冲击水轮机上的某挡板时，水流的速度方向刚好与水轮机上该挡板的线速度方向相同，水轮机圆盘稳定转动时的角速度为，圆盘的半径为。水流冲击某挡板时，该挡板和圆心连线与水平方向的夹角为37°，水流速度为该挡板线速度的2倍。忽略挡板的大小，重力加速度为，不计空气阻力，取，。则下列说法正确的是（　　） A．水从管口流出的速度为 B．水从管口流出的速度为 C．水管出水口距轮轴的水平距离为 D．水管出水口距轮轴的水平距离为 【答案】AD 【详解】AB．由题意可知，水流冲击挡板时速度大小 因此水从管口流出时的速度 故A正确，B错误； CD．水在空中做平抛运动，竖直方向上有 水平方向上有 可得水管出水口距轮轴的水平距离为 联立以上式子，求得 故C错误，D正确。 故选AD。 【变式训练3-3】在公路上一辆行驶的汽车过某弯道时，可认为做匀速圆周运动，该弯道的曲率半径为200m，汽车在10s内行驶了200m，则汽车过此弯道时线速度的大小为 m/s，角速度的大小为 rad/s。 【答案】 20 0.1 【详解】[1]汽车过此弯道时线速度的大小为 [2]角速度的大小为 题型04：角速度 【典型例题1】如图所示，世界上最大的无轴式摩天轮的总高度为145m，直径达125m，摩天轮匀速运行一周需时30min。摩天轮匀速转动的角速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】摩天轮匀速转动的角速度大小为 故选A。 【典型例题2】如图所示，一质点花了20s的时间沿圆形轨道从A点运动到B点，质点与圆心的连线在这段时间内转过的角度为，该过程中质点可以看成做匀速圆周运动，质点的角速度为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】质点的角速度为 故选D。 【典型例题3】物体做匀速圆周运动，速度的大小为2m/s，1s内速度变化的大小为2m/s，则匀速圆周运动的半径和角速度分别可以为（　　） A．3m和1rad/s B．1m和3rad/s C．和 D．和 【答案】D 【解析】由题意可知，1s内速度的矢量三角形为正三角形，即1s内物体转过的角度为，则可知 由 可知，物体做匀速圆周运动的半径为 故选D。 【变式训练4-1】一中学生沿400米圆形跑道，跑了全长的四分之三，用时一分钟。中学生运动的角速度大小为（　　） A．5rad/s B．rad/s C．rad/s D．rad/s 【答案】C 【详解】中学生运动的角速度大小为 故选C。 【变式训练4-2】(多选)甲沿着半径为R的圆周跑道匀速跑步，乙沿着半径为2R的圆周跑道匀速跑步。在相同的时间内，甲、乙各自跑了一圈，他们的角速度分别为ω1、ω2，线速度大小分别为v1、v2，频率分别为f1、f2，则(　　) A．ω1＞ω2，f1＞f2 B．ω1＝ω2，f1＝f2 C．ω1＝ω2，v1＜v2 D．ω1＜ω2，v1＞v2 【答案】BC 【详解】由题意知，甲、乙两人跑步的周期T相同，由f＝知，甲、乙两人跑步的频率相同，即＝；由ω＝知，甲、乙两人的角速度相同，即＝；由v＝知，＜。B、C正确。 【变式训练4-3】（多选）如图是德国物理学家史特恩设计的最早测定气体分子速率的示意图。M、N是两个共轴圆筒的横截面，外筒N的半径为R，内筒的半径比R小得多，可忽略不计。筒的两端封闭，两筒之间抽成真空，两筒以相同角速度绕其中心轴线匀速转动。M筒开有与转轴平行的狭缝S，且不断沿半径方向向外射出速率分别为和的分子，分子到达N筒后被吸附，如果R、、保持不变，取某合适值，则以下结论中正确的是（　　）    A．当时（n为正整数），分子落在不同的狭条上 B．当时（n为正整数），分子落在同一个狭条上 C．只要时间足够长，N筒上到处都落有分子 D．分子可能落在N筒上某两处且与S平行的狭条上 【答案】AD 【详解】ACD．以射出时，N筒转过的角度为 以射出时，N筒转过的角度为 只要、不是相差的整数倍，即当 整理可得 分子落在不同的两处与S平行狭条上，N筒上不可能到处都落有分子，故AD正确，C错误； B．当、不是相差的整数倍，即 分子落在同一个狭条上，故B错误。 故选AD。 【变式训练4-4】如图，做匀速圆周运动的质点在2s内由A点运动到B点，AB弧长为4m，所对的圆心角为，该质点的线速度大小为 ，角速度大小为 。 【答案】 2 【详解】[1]根据线速度定义式 解得该质点的线速度大小为 [2]根据角速度定义式 解得该质点的角速度大小为 【变式训练4-5】做匀速圆周运动的物体，其线速度大小v=3 m/s，角速度ω=6 rad/s。则在t=0.1s内 （1）物体通过的弧长s为多少米？ （2）半径转过的角度θ为多少rad？ （3）半径r是多少米？ 【答案】（1）0.3 m；（2）0.6 rad；（3）0.5 m 【详解】（1）在t=0.1 s内物体通过的弧长 （2）半径转过的角度 （3）根据 解得 题型05：周期、角速度、转速、频率与线速度之间的关系式 【典型例题1】如图所示，一圆桶盛有适量的水，圆桶和水均绕其中心线匀速转动，a、b可以看做是水中两个质量相同的质点，a距离近些，则a、b的（　　）    A．线速度大小相等 B．角速度大小相等 C．加速度大小相等 D．向心力大小相等 【答案】B 【解析】B．圆桶绕其中心线匀速转动时，各部分水之间保持相对静止，角速度大小相等，故B正确； A．根据 b的速度大，故A错误； C．根据 b的加速度大，故C错误； D．根据 b的向心力大，故D错误。 故选B。 【典型例题2】（多选）两个物体都做匀速圆周运动，下列说法正确的是（    ） A．若两者线速度大小相同，则角速度一定相同 B．若两者角速度相同，则周期一定相同 C．若两者周期相同，则转速一定相同 D．若两者转速相同，则线速度一定相同 【答案】BC 【解析】A．由 可知，线速度大小相同时，角速度与半径成反比，则角速度不一定相同，故A错误； B．由 可知，角速度相同时，周期一定相同，故B正确； C．由 可知，周期相同时，转速一定相同，故C正确； D．由 可知，转速相同时，线速度与半径成正比，则线速度不一定相同，故D错误。 故选BC。 【典型例题3】（多选）如图所示的皮带传动装置中，轮A和B同轴，A、B、C分别是三个轮边缘的点，，则下列说法中正确的是（　　） A．A、B点的线速度之比 B．A、B点的角速度之比 C．A、C点的角速度之比 D．B、C点的周期之比 【答案】AC 【解析】AB．由于轮A和B同轴，可知A、B点的角速度相等，即 根据可得 故A正确，B错误； C．B、C点线速度相等，根据可得 故C正确； D．根据周期与角速度关系可得 故D错误。 故选AC。 【变式训练5-1】体育课上，某同学打羽毛球挥拍击球时，手臂和球拍正好在一条直线上，且一起绕O点做匀速圆周运动，若球拍中心到手掌心的距离等于手掌心到O点的距离，则球拍中心的线速度大小是手掌心的线速度大小的（　　）    A． B． C．4倍 D．2倍 【答案】D 【详解】打羽毛球挥拍击球时，手臂和球拍做同轴转动，则球拍中心的角速度等于手掌心的角速度，根据，以及球拍中心到手掌心的距离等于手掌心到O点的距离可得，球拍中心做圆周运动的半径是手掌心做圆周运动的半径的2倍，所以球拍中心的线速度大小是手掌心的线速度大小2倍，故D正确。 故选D。 【变式训练5-2】一个小孩坐在游乐场的旋转木马上，绕中心轴在水平面内做匀速圆周运动。圆周的半径为4.0m，当他的线速度为2.0m/s时，他的角速度为（　　） A．0.5 rad/s B．1 rad/s C．2 rad/s D．8 rad/s 【答案】A 【详解】根据题意可知，小孩绕中心轴在水平面内做匀速圆周运动，由公式可得，他的角速度为 故选A。 【变式训练5-3】图示为一个玩具陀螺。a、b和c是陀螺上的三个点。当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时，下列表述正确的是（　　） A．a、b和c三点的线速度大小相等 B．a、b和c三点的角速度相等 C．a、b的角速度比c的大 D．c的线速度比a、b的大 【答案】B 【详解】ABC．因为三点共轴转动，所以角速度相等，而由于三点距转轴的半径不等，根据 可知，三点的线速度大小不等，故AC错误，B正确； D．由于a、b两点距转轴的半径比c点距转轴的半径大，根据 可知，a、b两点的线速度比c点大，故D错误。 故选B。 【变式训练5-4】如图所示，甲、乙两运动员在冰面上训练弯道滑冰技巧，某次恰巧同时到达虚线PQ上的P点，然后分别沿半径和（）的跑道匀速率运动半个圆周后到达终点。设甲、乙质量相等，他们做圆周运动时的向心力大小也相等。下列判断中正确的是（　　） A．甲运动员的线速度较小 B．甲运动员的在相等的时间里转过的圆心角较小 C．甲到达终点所用的时间较长 D．在运动员转过半个圆周的过程中，甲的动量变化量等于乙的动量变化量 【答案】A 【详解】A．根据公式可知，甲、乙质量相等，他们做圆周运动时的向心力大小也相等，半径大的线速度也大，所以甲运动员的线速度较小，故A正确； B．根据公式可知，半径大的，角速度反而小，因为，所以甲的角速度大，甲运动员的在相等的时间里转过的圆心角较大，故B错误； C．甲乙两个运动员走过的角度都是180度，所以角速度大的时间反而小，所以甲到达终点所用的时间较短，故C错误； D．在运动员转过半个圆周的过程中，运动员的动量变化量等于2mv，而甲乙质量相等，速度不同，所以甲乙的动量变化量不等，故D错误； 故选A。 【变式训练5-5】嘉兴某高中开设了糕点制作的选修课，小明同学在体验糕点制作的“裱花”环节时，如图所示，他在绕中心匀速转动的圆盘上放了一块直径8英寸(20 cm)的蛋糕，在蛋糕边缘上每隔4 s“点”一次奶油，蛋糕随圆盘转一周后均匀“点”上了15次奶油，则下列说法正确的是(　　) A．圆盘转动的转速约为2π r/min B．圆盘转动的角速度大小约为 rad/s C．蛋糕边缘的奶油的线速度大小约为 m/s D．圆盘转动的频率约为 Hz 【答案】B　 【详解】由题意可知，圆盘转一周所需的时间为15×4 s＝60 s，因此周期为60 s，转速为1 r/min，A错误；由角速度与周期的关系可得ω＝＝rad/s＝ rad/s，B正确；蛋糕边缘的奶油的线速度大小为v＝ωr＝ m/s，C错误；根据周期和频率的关系可得圆盘转动的频率为f＝＝Hz，D错误。 【变式训练5-6】A、B两质点分别做匀速圆周运动，在相同时间内，它们通过的弧长之比，而转过的角度之比，则它们的周期之比 ，半径之比 。 【答案】 【详解】[1]根据角速度的定义 可知在相等时间里，角速度大小之比等于转过的角度比，则有 根据 可得它们的周期之比为 [2]根据线速度表达式 可知在相等时间里，线速度大小之比等于通过的弧长之比，则有 根据 可得半径之比为 【变式训练5-7】炎炎盛夏，人们盼来了一场消减暑气的大雨。雨后雨伞上会沾有雨滴，转动雨伞时边缘的雨滴可视为随伞做水平面的圆周运动，当雨伞的角速度达到某值时，雨滴会从伞面边缘沿圆周切线甩出，如图所示。某同学拟通过该现象估算出雨伞转动的角速度大小，他测出雨伞边缘距离地面的高度h=1.8m，转动半径R=0.6m，假设图示雨滴甩出瞬间的速度与雨伞边缘的速度相等，在地面上形成一个“水圈”，“水圈”半径为r，重力加速度大小g=10m/s2。 （1）用R和r表示该雨滴的水平位移大小x； （2）若x=1.44m，，计算该雨滴刚离开雨伞边缘时的水平速度大小； （3）由（2）的结果计算雨伞转动的角速度ω。    【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）由题图及数学知识知 （2）雨滴离开雨伞后做平抛运动，竖直方向上 解得 水平方向上 解得 （3）由 解得 题型06：传动问题 【典型例题1】如图所示，一个圆盘在水平面内匀速转动，盘面上有一个小物体随圆盘一起做匀速圆周运动。若圆盘转动的角速度为，小物体距圆盘中心距离为0.10m，则（　　） A．小物体的运动周期为2s B．小物体的运动周期为0.5s C．小物体的线速度大小为 D．小物体的线速度大小为 【答案】C 【解析】AB．小物体的运动周期 AB错误； CD．小物体的线速度大小 C正确，D错误。 故选C。 【典型例题2】如图所示，是某自行车的链条传动示意图，某时刻链条移动的速率为v，大、小齿轮角速度分别为ω1、ω2大、小齿轮的直径分别为d1、d2，则下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因大小齿轮边缘的线速度相等，都等于v，则 即 故选A。 【典型例题3】如图所示，一部机器由电动机带动，机器上的皮带轮半径是电动机皮带轮半径的3倍，皮带与两轮之间不发生滑动。那么，电动机皮带轮与机器皮带轮边缘的角速度之比、向心加速度之比分别为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由于皮带与两轮之间不发生滑动，则两轮边缘的线速度大小相等，由公式可知，电动机皮带轮与机器皮带轮边缘的角速度之比为半径的反比即为3：1，由公式可知，电动机皮带轮与机器皮带轮边缘的向心加速度之比为半径的反比即为3：1。 故选A。 【典型例题4】如图所示的齿轮传动装置中，主动轮和从动轮的齿大小相同，主动轮的齿数z1＝24，从动轮的齿数z2＝8，当主动轮以角速度ω逆时针转动时，从动轮的转动情况是(　　) A．顺时针转动，周期为 B．逆时针转动，周期为 C．顺时针转动，周期为 D．逆时针转动，周期为 【答案】A　 【解析】齿轮不打滑，说明接触点线速度相等，主动轮逆时针转动，故从动轮顺时针转动。因为齿的大小相等，主动轮的齿数z1＝24，从动轮的齿数z2＝8，故主动轮与从动轮的角速度之比＝＝，解得从动轮的角速度ω2＝3ω1＝3ω。由ω＝得从动轮的周期T 【典型例题5】如图所示，B和C是一组塔轮，即B和C半径不同，但固定在同一转轴上，其半径之比为RB∶RC＝3∶2，A轮的半径大小与C轮相同，它与B轮紧靠在一起，当A轮绕过其中心的竖直轴转动时，由于摩擦力作用，B轮也随之无滑动地转动起来．a、b、c分别为三轮边缘的三个点，则a、b、c三点在运动过程中的(　　) A．线速度大小之比为3∶2∶2 B．角速度之比为3∶3∶2 C．转速之比为2∶3∶2 D．向心加速度大小之比为9∶6∶4 【答案】　D 【解析】 　A、B靠摩擦传动，则边缘上a、b两点的线速度大小相等，即va∶vb＝1∶1，选项A错误；B、C同轴转动，则边缘上b、c两点的角速度相等，即ωb＝ωc，转速之比＝＝，选项B、C错误；对a、b两点，由an＝得＝＝，对b、c两点，由an＝ω2r得＝＝，故aa∶ab∶ac＝9∶6∶4，选项D正确． （2）轮A和轮B角速度为 轮A和轮C边缘上点的线速度大小为 轮B边缘上点的线速度大小为 轮C角速度为 【典型例题6】如图所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r，a是边缘上的一点，左轮上的两轮共用同一轮轴，大轮的半径为4r，小轮的半径为2r，b点在小轮上，到小轮中心的距离为r，c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上，若在传动过程中皮带不打滑，则a点和c点的角速度之比 ，a点和b点的线速度之比 ，d点和b点的线速度之比 。    【答案】 【解析】[1] a点和c点同缘转动，线速度相同，由 得 得 [2] c点和b点两点共轴转动，角速度相同，由 得 a点和c点线速度相同，a点和b点的线速度之比 [3] d点和b点两点共轴转动，角速度相同，由 得 【变式训练6-1】如图所示是一个玩具陀螺。a、b和c是陀螺上的三个点。当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时，下列表述正确的是（　　） A．a、b和c三点的角速度大小相等 B．a、b和c三点的线速度相等 C．a、b的角速度比c的大 D．c的线速度比a、b的大 【答案】A 【详解】AC．因为a、b和c三点共轴，所以a、b和c三点的角速度相等，选项A正确，C错误； BD．由于a点的半径相等且大于b、c两点的半径，由公式可知，c点的线速度大小小于b、a两点的线速度，选项BD错误。 故选A。 【变式训练6-2】如图所示，静止在地球上的物体都要随地球一起转动，a是位于赤道上的一点，b是位于北纬30°的一点，则下列说法正确的是（　　） A．a、b两点的运动周期都相同 B．它们的角速度是不同的 C．a、b两点的线速度大小相同 D．a、b两点线速度大小之比为2： 【答案】AD 【详解】 AB．如题图所示，地球绕自转轴转动时，地球上各点的周期及角速度都是相同的，B错误，A正确； CD．地球表面物体做圆周运动的平面是物体所在纬度线平面，其圆心分布在整条自转轴上，不同纬度处物体圆周运动的半径是不同的，b点半径为 由公式 可得 C错误，D正确。 故选AD。 【变式训练6-3】如图所示，圆环以直径为轴匀速转动，P、Q是圆环上的两点。已知圆环的半径，，，转动周期。计算结果中可以含有π。试计算： （1）环上Q点转动的角速度； （2）环上P点转动的线速度。 【详解】 （1）因为 所以，代入数据得 （2）由几何知识知 因为 联立，代入数据求得 【变式训练6-4】如图所示，某同学在玩跳跳球，跳跳球绕右脚做圆周运动。设A、B两点线速度大小分别为和，角速度分别为和。下列说法正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】CD．跳跳球绕右脚做圆周运动，同轴转动，则A、B两点的角速度相等，即 故CD错误； AB．根据 且 则 故A错误，B正确。 故选B。 【变式训练6-5】如图所示，小明正在荡秋干。关于秋千绳上a、b两点的线速度v和角速度ω的大小，下列关系正确的是（  ） A．= B．> C．= D．> 【答案】C 【详解】a、b两点同轴转动，则角速度相等即= 根据 b点的转动半径较大，则其线速度较大，即< 故选C。 【变式训练6-6】如图所示，两个皮带轮的转轴分别是O1和O2，设转动时皮带不打滑，则皮带轮上边缘A、B和轮O1上点C三点的线速度、角速度、周期、加速度大小关系正确的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】由图中可知A、B两点在同一皮带上运动，线速度相等，即 根据 ， 可知 ， 又因为B、C两点同轴转动，角速度相等，即 根据 ， 有 ， 又根据 可知 故选D。 【变式训练6-7】（多选）如图所示，A为主动轮，为从动轮（皮带不打滑），两轮通过绷紧的皮带连接，两轮半径之比为，A轮匀速转动，、分别为A、轮边缘上的点，则（　　） A．、两点的线速度大小之比为 B．、两点的角速度大小之比为 C．、两点的周期之比为 D．、两点的向心加速度大小之比为 【答案】BD 【详解】 A．、两点同缘传动，线速度大小相等，故A错误； B．根据 因为 而线速度大小相等，则、两点的角速度大小之比为 故B正确； C．、两点的周期之比为 故C错误； D．、两点的向心加速度大小之比为 故D正确。 故选BD。 【变式训练6-8】如图是农村建房时常用的小型水泥搅拌机的侧视图。其料斗内有三根不同长短的铁支架与转轴相连接，通电让其旋转时工人将石子、水泥、细砂和水等物质缓慢的放入其中，在料斗的下方有一电动机通过皮带轧带动转轴旋转，驱使三根铁支架辅之转动，搅动料斗内的物质使之混合均匀成为混凝土。下列有关说法中正确的是（　　） A．三根支架最外端各点的线速度不同，但角速度相同 B．料斗内的物质随支架一起做圆周运动 C．转轴对长支架的作用力小于对短支架的作用力 D．转轴和电动机通过皮带相连接，它们的角速度相同 【答案】A 【解析】A．由于铁支架与转轴相连接，长短不同，根据同轴转动的物体上各质点的角速度相等，可知三根支架最外端各点的角速度相同，根据 由于支架长短不同，即圆周运动的轨道半径不同，则三根支架最外端各点的线速度不同，A正确； B．根据题意可知，搅动料斗内的物质使之混合均匀成为混凝土，料斗内的物质并没有随支架一起运动，即料斗内的物质并没有随支架一起做圆周运动，B错误； C．根据 根据上述，长支架与短支架的角速度相等，长支架的轨道半径大于短支架的轨道半径，则长支架所需向心力大于短支架所需向心力，即转轴对长支架的作用力大于对短支架的作用力，C错误； D．由于转轴和电动机通过皮带相连接，则转轴与电动机与皮带接触位置的线速度大小相等，根据 根据图形可知，两者的半径不相等，则它们的角速度不相同，D错误。 故选A。 【变式训练6-9】如图是一种新概念自行车，它没有链条，共有三个转轮，A、B、C转轮半径依次减小。轮C与轮A啮合在一起，骑行者踩踏板使轮C动，轮C驱动轮A转动，从而使得整个自行车沿路面前行。对于这种自行车，下面说法正确的是（　　） A．转轮A、B、C线速度vA、vB、vC之间的关系是vA>vB>vC B．转轮A、B、C线速度vA、vB、vC之间的关系是vA=vB>vC C．转轮A、B、C角速度A、B、C之间的关系是A<B<C D．转轮A、B、C角速度A、B、C之间的关系是A=B>C 【答案】C 【解析】AB．自行车运动过程中，前后轮A、B的线速度相等，由于A、C啮合在一起，A、C线速度也相等，所以转轮A、B、C线速度之间的关系是 故AB错误； CD．由公式可知，在线速度相等的情况下，半径越小角速度越大，则有转轮A、B、C线速度A,B,C之间的关系是 A<B<C故C正确，D错误。 故选C。 【变式训练6-10】如图所示，山地自行车的牙盘、飞轮之间用链条传动。运动员为获得较好加速效果，骑行时将牙盘上的链条放在半径最大的轮盘上，将飞轮上的链条放在半径最小的轮盘上。已知牙盘上最大轮盘的半径为18cm，飞轮上最小轮盘的半径为2cm，则牙盘飞轮边缘上两点的（    ）    A．转速之比为1：9 B．线速度之比为9：1 C．角速度之比为9：1 D．周期之比为1：9 【答案】A 【详解】牙盘飞轮边缘上两点的线速度相等，由 可得 故选A。 【变式训练6-11】如图甲所示，修正带通过两个齿轮的相互咬合进行工作，其原理简化为图乙所示。若齿轮匀速转动，A、B为齿轮边缘上两点，C为大齿轮内部的点，且，下列说法正确的是（　　） A．三质点的角速度之比 B．三质点的线速度之比 C．三质点的周期之比 D．三质点的转速之比 【答案】C 【详解】由于两轮通过齿轮传动，因此 由于B、C在一个轮上，因此 A．根据 可知 因此可得 A错误； B．根据 可知 因此 B错误； C．根据 可知 C正确； D．根据 可知 D错误。 故选C。 【变式训练6-12】（多选）如图所示，为明代出版的《天工开物》一书中的牛力齿轮翻车的图画，若、B两齿轮半径的大小关系为，下列说法正确的是（　　） A．齿轮、B的角速度大小关系为 B．齿轮、B的角速度大小关系为 C．齿轮、B边缘的线速度大小关系为 D．齿轮、B边缘的线速度大小关系为 【答案】BC 【详解】齿轮与齿轮B是同缘传动，边缘点线速度大小相等； 根据公式可知 故BC正确，AD错误。 故选BC。 【变式训练6-13】如图，A轮通过摩擦带动B轮匀速转动，两轮间不发生相对滑动，A、B两轮转动周期分别为，边缘的线速度大小分别为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意可知，两轮间不发生相对滑动，所以边缘线速度相等 根据 可知，两者周期不同。 故选B。 【变式训练6-14】如图所示，B和C是一组塔轮，即B和C半径不同，但固定在同一转轴上，其半径之比为RB∶RC＝3∶2，A轮的半径大小与C轮相同，它与B轮紧靠在一起，当A轮绕过其中心的竖直轴转动时，由于摩擦力作用，B轮也随之无滑动地转动起来．a、b、c分别为三轮边缘的三个点，则a、b、c三点在运动过程中的(　　) A．线速度大小之比为3∶2∶2 B．角速度之比为3∶3∶2 C．转速之比为2∶3∶2 D．向心加速度大小之比为9∶6∶4 【答案】　D 【解析】 　A、B靠摩擦传动，则边缘上a、b两点的线速度大小相等，即va∶vb＝1∶1，选项A错误；B、C同轴转动，则边缘上b、c两点的角速度相等，即ωb＝ωc，转速之比＝＝，选项B、C错误；对a、b两点，由an＝得＝＝，对b、c两点，由an＝ω2r得＝＝，故aa∶ab∶ac＝9∶6∶4，选项D正确． 【变式训练6-15】机动车某项检测过程如图：车轴A的半径为，车轮B的半径为，滚动圆筒C的半径为，车轮与滚动圆筒间不打滑，当车轮以恒定转速n（每秒钟n转）运行时，正确的是（　　） A．C的边缘线速度为 B．A、B的角速度大小相等，均为 C．A、B、C均沿顺时针方向转动 D．B、C的角速度之比为 【答案】B 【详解】B．A、B同轴转动，角速度大小相等，均为 故B正确； A．C的边缘线速度与车轮B边缘线速度大小相等，则C的边缘线速度为 故A错误； C．A、B同轴转动，均沿顺时针方向转动，B和C为摩擦传动，则C沿逆时针方向转动，故C错误； D．B、C边缘线速度大小相等，根据 可得B、C的角速度之比为 D错误。 故选B。 【变式训练6-16】如图所示为某种自行车的链轮、链条、飞轮、踏板、后轮示意图，在骑行过程中，踏板和链轮同轴转动、飞轮和后轮同轴转动，已知链轮与飞轮的半径之比为3∶1，后轮直径为600 mm，当踩踏板做匀速圆周运动的角速度为5 rad/s时，后轮边缘处A点的线速度大小为(　　) A．9.00 m/s B．4.50 m/s C．0.50 m/s D．1.00 m/s 【答案】B　 【解析】当踩踏板做匀速圆周运动的角速度为5 rad/s时，踏板和链轮同轴转动，则链轮的角速度为5 rad/s，由于链轮与飞轮通过链条传动，边缘线速度大小相等，由v＝rω可知，角速度与半径成反比，故飞轮的角速度为15 rad/s，后轮的角速度与飞轮相等，可知，后轮边缘处A点的线速度大小为v＝Rω＝0.3×15 m/s＝4.50 m/s，故选B. 【变式训练6-17】变速自行车靠变换齿轮组合来改变行驶速度。如图所示是某一变速自行车齿轮转动结构示意图，图中A轮有48齿，B轮有42齿，C轮有18齿，D轮有12齿，则（　　） A．当B轮与D轮组合时，两轮的角速度之比=21：6 B．当B轮与D轮组合时，两轮边缘的线速度大小之比vB：vD=6：21 C．当A轮与D轮组合时，两轮的转速之比nA：nD=4：1 D．该自行车可变换四种不同挡位 【答案】D 【详解】 AB．轮子的齿数之比等于半径之比，当B轮与D轮组合时，两轮边缘的线速度相等，根据 可得，两轮的角速度之比 =6：21 AB错误； C．当A轮与D轮组合时，两轮边缘的线速度相等，根据 可得，两轮的转速之比 nA：nD=1：4 C错误； D．该自行车可变换四种不同挡位，即BD组合，BC组合，AC组合，AD组合，D正确。 故选D。 【变式训练6-18】如图是自行车传动结构的示意图，其中大齿轮、小齿轮和后轮的半径分别为、和。假设脚踏板的转速为，则该自行车前进的速度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】脚踏板的转速等于大齿轮的转速，为，则大齿轮边缘的线速度 小齿轮边缘的线速度也为 小齿轮和后轮同轴转动，角速度相等，则后轮边缘的线速度即自行车前进的速度为 故选B。 【变式训练6-19】（多选）如图所示，轮O1、O3固定在同一转轴上，轮O1、O2用皮带连接且不打滑，在O1、O2、O3三个轮的边缘各取一点A、B、C，已知三个轮的半径之比r1∶r2∶r3=2∶1∶1。当转轴匀速转动时，下列说法中正确的是（　　） A．A、B、C三点的线速度之比为2∶2∶1 B．A、B、C三点的角速度之比为1∶2∶1 C．A、B、C三点的转速之比为2∶4∶1 D．A、B、C三点的周期之比为1∶2∶1 【答案】AB 【详解】 A．A、B两点靠传送带传动，线速度大小相等，A、C共轴转动，角速度相等，根据 则 所以A、B、C三点的线速度大小之比 故A正确； BD．A、C共轴转动，角速度相等，A、B两点靠传送带传动，线速度大小相等，根据 所以A、B、C三点的角速度之比 由 可知，A、B、C三点的周期之比为，故B正确，D错误； C．根据 可知A、B、C三点的转速之比为1∶2∶1，故C错误。 故选AB。 【变式训练6-20】如图所示，为一皮带传动装置，右轮半径为r，a为其边缘上的一点；左侧是一轮轴，大轮半径为4r，小轮半径为2r，b点在小轮上，到小轮中心的距离为r，c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上。若传动过程中皮带不打滑，求： （1）a，b两点的线速度之比； （2）a，d两点的角速度之比。 【详解】 （1）由题意得b、c、d在同一个圆周上 由于皮带不打滑 根据公式 可得 因此 （2）可得 因此 【变式训练6-21】多选）如图，A、B两点分别位于大、小轮的边缘上，C点位于大轮半径的中点，大轮的半径是小轮的3倍，它们之间靠摩擦传动，接触面不打滑。下面关于A、B、C三点的线速度v、角速度ω、加速度a、周期T等物理量，正确的是（　　）    A．vA：vB=1：1 B．ωA：ωB=3：1 C．aA：aC=2：1 D．TB：TC=1：1 【答案】AC 【详解】A.A、B两点是摩擦传动，所以线速度大小相同，有vA：vB=1：1故A正确； B.由公式得故B错误； C.A、C两点是共轴传动，所以角速度相同。由公式 得aA：aC=2：1故C正确； D.由上得由公式得TB：TC=3：1故D错误。 故选AC。 【变式训练6-22】如图所示，B和C是一组塔轮，即B和C半径不同，但固定在同一转动轴上，其半径之比RB∶RC＝3∶2，A轮的半径大小与C轮相同，它与B轮紧靠在一起，当A轮绕过其中心的竖直轴转动时，由于摩擦作用，B轮也随之无滑动地转动起来。a、b、c分别为三轮边缘的三个点，求a、b、c三点在运动过程中的线速度大小、角速度大小、转速、周期之比。    【答案】，，， 【详解】A轮、B轮靠摩擦传动，边缘点的线速度相等，故 根据公式 有 根据 有 根据 有 B轮、C轮是同轴转动，角速度相等，故 根据 有 根据 有 根据 有 联立可得 ，，， 【变式训练6-23】如图所示，A、B两个齿轮的齿数分别是z1、z2，各自固定在过O1、O2的轴上，其中过O1的轴与电动机相连接，此轴每分钟转速为n1。求： （1）B齿轮的转速n2。 （2）A、B两齿轮的半径之比。 （3）在时间t内，A、B两齿轮转过的角度之比。    【答案】（1）n1；（2）z1∶z2；（3）z2∶z1 【详解】（1）齿数与半径成正比，根据 线速度相等，齿轮的转速与齿数成反比，所以B齿轮的转速 n2=n1 （2）齿轮A边缘的线速度 v1=ω1r1=2πn1r1 齿轮B边缘的线速度 v2=ω2r2=2πn2r2 因两齿轮边缘上点的线速度大小相等，即 v1=v2 所以 2πn1r1=2πn2r2 即两齿轮半径之比 r1∶r2=n2∶n1=z1∶z2 （3）在时间t内A、B转过的角度分别为 φA=ω1t=2πn1t φB=ω2t=2πn2t 转过的角度之比 φA∶φB=n1∶n2=z2∶z1 题型07：圆周运动的周期性多解问题 【典型例题1】为了测定子弹的飞行速度，在一根水平放置的轴杆上固定两个薄圆盘A、B，盘A、B平行且相距，轴杆的转速为，子弹穿过两盘留下两弹孔，测得两弹孔所在半径的夹角，如图所示。则该子弹的速度可能是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，由公式可得，角速度为 设子弹的传播时间为，则有 解得 该子弹的速度为 当时 当时 当时 故选C。 【典型例题2】用如图所示的装置来测量小球做平抛运动的初速度和圆盘匀速转动的角速度，现测得圆盘的半径为R，在其圆心正上方高h处沿OB方向水平抛出一小球，使小球落点恰好在B处，重力加速度为g，则圆盘转动的角速度是的（　　）倍？    A．倍 B．n倍 C．倍（，2，3，…） D．倍（，2，3，…） 【答案】C 【解析】竖直方向，根据自由落体运动规律 到达圆盘的时间 则在此时间内圆盘应该恰好转动k周，其中k为正整数，故 解得 则是的倍（，2，3，…）。 故选C。 【典型例题3】（多选）各地为提高当地人们的业余生活水平，修建了各种冲关类娱乐游戏设施。下图为某地冲关游戏中的一个关卡。一个以某一角速度转动的圆盘浮在水面上，圆盘表面保持水平，M为圆盘边缘上一点。某时刻，参赛者从跑道上P点以速度水平向右跳出，初速度方向沿OM方向，且轨迹与OM在同一竖直平面内，正好落在M点，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　）    A．若跳出时刻不变，仅增大，参赛者仍可能落在M点 B．若跳出时刻不变，仅减小，参赛者一定不会落在M点 C．若跳出时刻不变，仅增大转盘的角速度，参赛者仍可能落在M点 D．若跳出时刻不变，仅增大转盘的角速度，参赛者不可能落在M点 【答案】BC 【解析】AB．本题中描述了两个不同的运动，参赛者做平抛运动，高度决定了平抛运动时间， 水平方向 （t一定） ， 圆盘做圆周运动，具有周期性，如图，人与M点位置关系（落点也可在M'），M转到M'位置，若一开始人落在M'， 增大，x增大，人仍可落在M点初始位置；但是M点在时间不变的情形此时在点，若一开始人落在M，减小，x减小，人仍可落在M'点，但是时间不变的情形下M点此时依旧在初始位置，即不会落在M点，故A错误，B正确； CD．若仅增大转盘角速度，在相同时间内转盘多转动整数圈，仍可落在M点，故C正确，D错误。 故选BC。 【典型例题4】（多选）如图所示，有一竖直圆筒，内壁光滑，上端开口截面水平。一小球沿水平方向由A点切入圆筒内侧，沿着筒壁呈螺旋状滑落，落地点恰好位于A点正下方。已知圆筒高5m，横截面圆环半径1m，，。则（　　） A．小球下落时间为1s B．小球进入圆筒初速度大小可能为3.14m/s C．小球进入圆筒初速度大小可能为6.28m/s D．小球进入圆筒初速度大小可能为12.56m/s 【答案】ACD 【解析】A．小球在竖直方向做自由落体运动，则有 解得小球下落时间为 故A正确； BCD．设小球进入圆筒初速度大小为，小球在水平方向做匀速圆周运动，根据题意有 （，，） 解得 （，，） 当时，可得 当时，可得 故B错误，CD正确。 故选ACD。 【变式训练7-1】如图所示，一位同学玩飞镖游戏，圆盘最上端有一P点，飞镖抛出时与P等高，且距离P点为L。当飞镖以初速度垂直盘面瞄准P点抛出的同时，圆盘以经过盘心O点的水平轴在竖直平面内匀速转动。忽略空气阻力，重力加速度为g，若飞镖恰好击中P点，则飞镖从飞出到击中P点所需的时间为 ，圆盘转动角速度的表达式为 。    【答案】 【详解】[1]飞镖水平抛出做平抛运动，在水平方向做匀速直线运动，因此 解得，飞镖从飞出到击中P点所需的时间为 [2]飞镖击中P点，则P点转过的角度满足 解得，圆盘转动角速度的表达式为 【变式训练7-2】如图所示，M、N是两个共轴圆筒的横截面，外筒半径为R2，内筒半径R1，筒的两端是封闭的，两筒之间抽成真空。两筒以相同的角速度绕其中心轴线（图中垂直于纸面）做匀速转动。设从M筒内部可以通过窄孔S不断地向外射出两种不同速率v1和v2的微粒，从S处射出时的初速度的方向都是沿筒的半径方向，微粒到达N筒后就附着在N筒上，如果R1、R2、和都不变，则取下列选项中哪个值时可使所有微粒都打在N筒上同一点（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】微粒从M到N运动时间 对应N筒转过角度 即如果以v1射出时，转过角度 如果以v2射出时，转过角度 只要θ1、θ2相差2π的整数倍，则落在一处，即当 时，所有微粒都打在N筒上同一点。则 故选B。 【变式训练7-3】一位同学做飞镖游戏，已知圆盘的直径为d，飞镖距圆盘的水平距离为L。将飞镖对准A点以初速度水平抛出，在飞镖抛出的同时，圆盘以角速度绕垂直圆盘过盘心O的水平轴匀速转动.要使飞镖恰好击中A点，则飞镖的初速度和圆盘的角速度应满足（　　） A．， （1，2，3，……） B．， （0，1，2，……） C．， （1，2，3，……） D．只要，就一定能击中圆盘上的A点 【答案】B 【解析】飞镖做平抛运动，则有 解得 飞镖做平抛运动的同时，圆盘上A点做匀速圆周运动，恰好击中A点，说明A点正好在最低点被击中，则A点转动的时间   （0，1，2，……） 联立解得   （0，1，2，……） 故B正确，ACD错误； 故选B。 【变式训练7-4】（多选）如图所示，趣味飞镖游戏的镖盘以角速度绕过O点的固定水平轴匀速转动，某人将一只飞镖正对盘边缘P点（O点正上方）以水平速度v0掷出，恰好击中镖盘上O点正下方的Q点（Q点不在盘边缘）。不计空气阻力，飞镖每次从同一位置正对P点水平掷出，下列说法正确的是（　　） A．若仅增大，飞镖可能击中P点 B．若仅减小，飞镖可能击中Q点 C．若减小、增加，飞镖可能击中Q点 D．若增加、减小，飞镖可能击中P点 【答案】BCD 【解析】A．若仅增大，则飞镖击中圆盘的时间变短，则竖直位移减小，击中圆盘的位置上移，因P点与飞镖抛出点等高，飞镖在空中高度下降，不可能击中P点，选项A错误；     BC．飞镖击中Q点则满足 （n=0、1、2、3….） 若仅减小，则t不变，飞镖可能击中Q点；若减小、增加，t减小，则表达式仍可成立，即飞镖仍可能击中Q点，选项BC正确； D．减小，则飞镖击中圆盘的时间变长，则竖直位移变大，击中圆盘的位置下移，若增加，若满足 （n=0、1、2、3….） 飞镖可能击中P点，选项D正确。 故选BCD。 【变式训练7-5】（多选）如图所示，质点P以O为圆心做匀速圆周运动，角速度为ω，圆周上水平虚线BD与AC垂直，若质点从C点开始运动的同时在D点正上方有一小球自由下落，不计空气阻力，要使小球与质点P相遇，重力加速度为g，则小球下落时离D点的高度可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】P经过图中D点时间为 （n=0，1，2，3，…） 其中 小球自由下落的高度 要使小球与质点P相遇，则时间相等，所以 当，有 当，有 故选BD。 【变式训练7-6】（多选）如图所示，夜晚电风扇在闪光灯下运转，闪光灯每秒闪45次，风扇转轴O上装有3个扇叶，它们互成120°角．当风扇转动时，观察者感觉扇叶不动，则风扇转速可能是(　　) A．600 r/min B．900 r/min C．1 200 r/min D．1 800 r/min 【答案】　 　BD 【解析】 闪光灯的闪光周期T＝ s，在一个周期T内，扇叶转动的角度应为120°的整数倍，即圈的整数倍，所以最小转速＝＝15 r/s＝900 r/min，可能满足题意的转速为n＝k＝900k r/min (k＝1,2,3…)，故选项B、D正确，A、C错误． 【变式训练7-7】如图所示，小球Q在竖直平面内逆时针做匀速圆周运动，当Q球转到与O在同一水平线上时，有另一小球P从距圆周最高点为h处开始自由下落，要使两球在圆周最高点相碰，重力加速度为g。求： （1）Q球转动的角速度ω； （2）Q球做匀速圆周运动的周期及其最大值。 【答案】（1）（n=0，1，2，3，…）；（2）（n=0，1，2，3，…）， 【解析】（1）小球P做自由落体运动，有 解得 Q球运动到最高点的时间为 （n=0，1，2，3，…） 由于 t=t' 解得 （n=0，1，2，3，…） （2）根据公式 解得 （n=0，1，2，3，…） 当n取0时，周期最大，最大值为 【变式训练7-8】平向右为x轴的正方向。在圆心O正上方距盘面高为h处有一个可以间断滴水的容器，从t=0时刻开始随传送带沿x轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动。已知容器在t=0时刻滴下第一滴水，以后每当前一滴水刚好落到盘面上时后一滴水开始下落。水滴下落过程空气阻力不计，求： （1）第一滴水离开容器到落至圆盘所用时间t； （2）要使每一滴水在盘面上的落点都位于同一条直线上，求圆盘转动的角速度。 【答案】（1）；（2）    【解析】（1）水在竖直方向上做自由落体运动 解得 （2）要使每滴水落到同一直线上，则圆盘在t时间内转过的弧度为，为正整数，则 即     【变式训练7-9】如图所示，一位同学玩飞镖游戏。圆盘最上端有一点P，飞镖抛出时与P在同一竖直面内等高，且距P点的距离为L。在飞镖以初速度垂直盘面瞄准P点抛出的同时，圆盘绕经过盘心O点的水平轴在竖直平面内匀速转动。忽略空气阻力，重力加速度为g，若飞镖恰好击中P点，求： （1）圆盘的半径； （2）圆盘转动角速度的最小值； （3）P点随圆盘转动的线速度。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）飞镖水平抛出做平抛运动，在水平方向做匀速直线运动，因此 飞镖击中P点时，P恰好在最下方，则 解得圆盘的半径 （2）飞镖击中P点，则P点转过的角度满足 故 当k=0时，圆盘转动角速度有最小值 （3）P点随圆盘转动的线速度为 【变式训练7-10】如图所示，一半径的圆盘水平放置，在其边缘E点固定一个小桶，在圆盘直径的正上方平行放置一水平滑道，滑道右端C点与圆盘圆心O在同一竖直线上，高度差。为一竖直面内的光滑圆弧轨道，半径，且与水平滑道相切于B点。一质量的滑块（可视为质点）从A点由静止释放，当滑块经过B点时，对B点压力为，恰在此时，圆盘从图示位置以一定的角速度绕通过圆心的竖直轴匀速转动，最终物块由C点水平抛出，恰好落入圆盘边缘的小桶内。已知滑块与滑道间的动摩擦因数为0.3，取，求： （1）滑块到达B点时的速度； （2）水平滑道的长度； （3）圆盘转动的角速度应满足的条件。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）由题意，根据牛顿第三定律可知滑块经过B点时所受支持力大小为 设滑块到达B点时的速度为vB，根据牛顿第二定律有 解得 （2）设滑块在C点时的速度为vC，滑块从C到E做平抛运动，在水平方向有 在竖直方向有       联立解得       滑块从B到C匀减速滑动的加速度大小为        设水平滑道的长度为L，根据运动学规律有 解得     （3）滑块从B到C用时为      由题意知 解得圆盘转动的角速度应满足的条件为                  【变式训练7-11】如图所示，半径为R的水平圆板中心轴的正上方高h处水平抛出一小球，圆板做匀速转动，当圆板半径OB转到与小球初速度方向平行时（图示位置），开始抛出小球，要使小球与圆板只碰一次，且碰撞点为B，求 （1）小球的初速度v0； （2）圆盘转动的最小角速度ω。 【详解】 （1）根据得 则小球的初速度为 （2）要使小球与圆板只碰一次，且碰撞点为B，当角速度为最小值时，有 解得 【变式训练7-12】如图所示，A、B两质点绕同一圆心沿顺时针方向做匀速圆周运动，A、B的周期分别为T1、T2，且T1<T2，从某一时刻两质点相距最近时开始，到两质点再次相距最近时，经达的最短时间是多少？到两质点最远时，经历的时间是多少？    【答案】； 【详解】设两次相距最近所用的最短时间为t，则有 因为 ， 解得 设从此位置至相距最远所用时间为，则有 得 题型08：向心力 （一）．向心力的定义及与向心加速度的关系 【典型例题1】下列物理量是标量，其单位又属于国际单位制中基本单位的一组是（    ） A．时间和位移 B．速度和加速度 C．向心力和质量 D．周期和路程 【答案】D 【详解】A．时间是标量，位移是矢量，故A错误； B．速度和加速度都是矢量，故B错误； C．向心力是矢量，质量是标量。故C错误； D．周期和路程都是标量，且它们的单位分别是秒和米是国际单位制中基本单位。故D正确。 故选D。 【典型例题2】关于物体的运动和力的关系，下列说法正确的是（　　） A．做匀速直线运动的物体，所受合力可能不为零 B．做匀加速直线运动的物体，所受合力一定不变 C．做匀速圆周运动的物体，所受合力一定不变 D．做曲线运动的物体，所受合力一定发生变化 【答案】B 【详解】A．做匀速直线运动的物体，所受合力一定零，A错误； B．加速度不变的运动是匀变速运动，因此做匀加速直线运动的物体，所受合力一定不变，B正确； C．做匀速圆周运动的物体，所受合力一定指向圆心，因此合力一定变化，C错误； D．做曲线运动的物体，合力与运动方向不同向，但所受合力可能不变，比如平抛运动，D错误； 故选B。 【典型例题3】关于向心力的说法正确的是（　　） A．物体由于做圆周运动而产生了向心力 B．向心力不改变圆周运动中物体线速度的大小 C．对做匀速圆周运动的物体进行受力分析时，一定不要漏掉向心力 D．做匀速圆周运动的物体其向心力是不变的 【答案】B 【详解】A．向心力是物体做圆周运动的原因，物体由于有向心力才做圆周运动，故A错误； BD．因向心力始终垂直于线速度方向，所以它不改变线速度的大小，只改变线速度的方向，当合外力完全提供向心力时，物体就做匀速圆周运动，该合力大小不变，方向时刻改变，即向心力是变力，故B正确，D错误； C．向心力是根据力的作用效果命名的，它可能是某种性质的力，也可能是某个力的分力或几个力的合力，受力分析时不能加入向心力，故C错误。 故选B。 【变式训练8-1-1】一个物体在光滑水平面上做匀速直线运动，从某一时刻起该物体受到一个始终跟速度方向垂直、大小不变的水平力作用，此后物体的运动（　　） A．速度的大小和方向均变化 B．加速度的大小和方向均变化 C．轨迹为抛物线 D．轨迹为圆 【答案】D 【详解】物体受到一个始终跟速度方向垂直、大小不变的水平力作用，这个力将提供向心力，使物体做匀速圆周运动，此后物体的运动速度大小不变、方向变化，加速度的大小不变、方向变化，轨迹为圆。 故选D。 【变式训练8-1-2】关于曲线运动和运动合成的下列说法中正确的是（　　） A．匀速圆周运动是匀加速曲线运动 B．做匀速圆周运动的物体所受合外力是保持不变的 C．做匀速圆周运动的物体向心加速度与半径成反比 D．做匀速圆周运动的物体角速度与转速成正比 【答案】D 【详解】A．匀速圆周运动的加速度是大小不变，方向时刻变化的，所以是变加速曲线运动，故A错误； B．做匀速圆周运动的物体所受的合外力大小保持不变，但方向时刻改变，故是变力，故B错误； C．做匀速圆周运动的物体向心加速度与受力有关，与半径无关，故C错误； D．根据 ω=2πn 可知，做匀速圆周运动的物体角速度与转速成正比，故D正确。 故选D。 【变式训练8-1-3】下列说法正确的是（　　） A．物体做圆周运动，它所受的合力方向一定指向圆心 B．物体做匀速圆周运动所需的向心力大小必定与线速度的平方成正比 C．物体只要受到垂直于初速度方向的恒力作用，就一定能做匀速圆周运动 D．物体做匀速圆周运动的速度方向在时刻改变，故匀速圆周运动是变速运动 【答案】D 【详解】A．物体做匀速圆周运动，所受合力一定指向圆心，当做变速圆周运动时，合力不指向圆心，A错误； B．根据 可知，当半径一定时，向心力与线速度的平方成正比，B错误； C．物体做匀速圆周运动时由合外力提供向心力，合外力的大小不变，方向时刻改变，所以在恒力作用下，物体不可能做匀速圆周运动，C错误； D．无论是物体速度的大小变了，还是速度的方向变了，都说明速度是变化的，都是变速运动，做匀速圆周运动的速度方向在时刻改变，所以匀速圆周运动是变速运动，D正确。 故选D。 【变式训练8-1-4】如图，小物体在圆盘上随圆盘一起做匀速圆周运动，其向心力（　　） A．重力提供 B．始终指向圆盘中心 C．方向与速度方向相同 D．由圆盘对小物体的支持力提供 【答案】B 【详解】小物体在圆盘上随圆盘一起做匀速圆周运动，其向心力由静摩擦力提供，方向始终指向圆盘中心，与速度方向垂直。故ACD错误，B正确。 故选B。 【变式训练8-1-5】（多选）一质量m1kg的物体在五个共点力的作用下处于平衡状态，现撤去其中一个大小等于5N的力，而其余四个力的大小、方向均保持恒定不变，则（　　） A．该物体可能做匀变速曲线运动 B．该物体可能做匀速圆周运动 C．该物体的加速度大小一定为5m/s2 D．撤去外力后1s末该物体的速度一定为5m/s 【答案】AC 【详解】AB．根据平衡条件的推论可知撤去其中一个大小等于5N的力，剩余四个力大小方向恒定不变，四个力的合力大小恒为5N，方向沿撤去这个力的反方向。若物体开始时处于匀速直线运动状态，且速度方向与合力方向不共线，则物体将做匀变速曲线运动；若物体开始时处于匀速直线运动，且速度方向与合力方向共线，或物体开始时处于静止状态，则物体将做匀变速直线运动，由于物体所受合外力为恒力，不可能提供向心力，所以物体不可能做匀速圆周运动，故A正确，B错误； C．根据前面分析可知，物体所受合外力为5N，则加速度大小一定为 故C正确； D．当物体由静止开始做匀加速直线运动时，撤去外力后1s末该物体的速度为5m/s，当物体做初速度不为零的匀加速直线运动时，撤去外力后1s末该物体的速度一定大于5m/s，故D错误。 故选AC。 【变式训练8-1-6】变速圆周运动的受力特点 （1）指向圆心的分力Fn提供 ，改变物体速度的 ； （2）沿切向方向的分力Ft改变速度的 ，与速度方向相同时物体速度 ，与速度方向相反时，物体速度 。 【答案】 向心力 方向 大小 增大 减小 【详解】（1）[1][2]指向圆心的分力Fn提供向心力，改变物体速度的方向，不改变速度的大小。 （2）[3][4][5]沿切向方向的分力Ft改变速度的大小，与速度方向相同时物体速度增大，与速度方向相反时，物体速度减小。 （二）．判断哪些力提供向心力、有关向心力的简单计算 【典型例题1】一质量为的小球，以的速度在半径1m的轨道上做匀速圆周运动时，所需的向心力为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】小球做匀速圆周运动时，所需的向心力为 故选A。 【典型例题2】旋转篮球是每个篮球爱好者都会努力提升的一种技能。如图，半径约为13cm的篮球在某同学的手指上旋转，测得篮球上的一个小泥点在1min内随篮球旋转的圈数为60，由此可估算的物理量是（　　） A．小泥点的线速度大小 B．篮球旋转的角速度大小 C．小泥点的向心加速度大小 D．小泥点做圆周运动的向心力大小 【答案】B 【解析】B．篮球旋转的角速度为 所以B正确； ACD．小泥点随篮球旋转，其圆周运动的轨道半径等于泥点到转轴的距离，由于题目中没有该数据，所以小泥点的线速度大小、向心加速度大小和向心力大小均无法估算，ACD错误。 故选B。 【典型例题3】中国航天员首次进行太空授课，通过趣味实验展示了物体在完全失重状态下的一些物理现象。其中一个实验如图所示，将支架固定在桌面上，细绳一端系于支架上的O点，另一端拴着一颗钢质小球。现将细绳拉直但未绷紧，小球被拉至图中a点或b点并进行以下操作，在a点轻轻放手，小球将 （填写“竖直下落”或“静止不动”）；在b点沿垂直于绳子的方向轻推小球，小球将 （填写“做匀速圆周运动”或“沿圆弧做往复摆动”）。 【答案】 静止不动 做匀速圆周运动 【解析】[1]由于小球处于完全失重状态，故在a点轻轻放手时，小球将静止不动。 [2]在b点沿垂直于绳子的方向轻推小球时，小球获得了垂直于绳子方向的初速度，小球在绳子拉力提供向心力的作用下做匀速圆周运动。 【变式训练8-2-1】一质量为的小球，以的速度在半径1m的轨道上做匀速圆周运动时，所需的向心力为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】小球做匀速圆周运动时，所需的向心力为 故选A。 【变式训练8-2-2】过山车的部分轨道可简化为半径为、的圆，其底部位于同一水平面上，。质量为的一节过山车（可简化为质点）以某一速度滑上半径为的轨道时，恰好能通过轨道的最高点；若过山车通过轨道的最高点时速度恰好与通过的最高点时相等，则过山车通过的最高点时对轨道压力为（　　） A．0 B． C． D． 【答案】C 【详解】过山车恰好经过半径为轨道的最高点，由牛顿第二定律得 解得 以同样速度通过半径为轨道的最高点时 由于，解得 故ABD错误，C正确。 故选C。 【变式训练8-2-3】如图所示，游乐园有一种游戏设施叫做“魔盘”，当“魔盘”转动时，游客随“魔盘”一起做匀速圆周运动。分析游客的受力情况，下列说法正确的是（　　） A．游客受重力、支持力、摩擦力和向心力 B．游客受到摩擦力方向与运动方向相反 C．游客受到摩擦力方向与运动方向相同 D．游客受到摩擦力方向指向圆心 【答案】D 【详解】游客受重力、支持力和摩擦力，其中重力和支持力的合力为零，摩擦力提供向心力，指向圆心，故ABC错误，D正确。 故选D。 【变式训练8-2-4】狗拉雪橇在水平冰面上沿着圆弧形的道路匀速行驶，如图为四个关于雪橇受到的牵引力F及摩擦力f的示意图（O为圆心），其中正确的是（　　） A．B．C． D． 【答案】C 【详解】雪橇做匀速圆周运动，合力指向圆心，提供向心力，滑动摩擦力f的方向和相对运动方向相反，故f向后且与圆轨道相切；由于拉力与摩擦力的合力指向圆心，故拉力F偏向圆心。 故选C。 【变式训练8-2-5】做匀速圆周运动的物体，质量为1kg，10s内沿半径为20m的圆周运动100m，试求物体做匀速圆周运动时； （1）线速度的大小； （2）向心力的大小； 【答案】（1）10m/s；（2）5N 【详解】（1）线速度大小为 （2）向心力的大小为 （三）．通过牛顿第二定律求解向心力 【典型例题1】如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定的角速度转动，盘面上离转轴一定距离处有一小物体与圆盘始终保持相对静止。下列说法正确的是（　　） A．物体在最高点时静摩擦力的方向一定指向圆心 B．物体在最低点时静摩擦力的方向可能背向圆心 C．物体在最高点时静摩擦力可能是运动过程中的最大值 D．物体在最低点时静摩擦力一定是运动过程中的最大值 【答案】D 【解析】A．物体在最高点时由重力沿盘面向下的分力和静摩擦力f的合力提供向心力，所以静摩擦力的方向不一定指向圆心，也可能背向圆心，A错误； B．物体在最低点时重力的分力和静摩擦力的合力沿盘面向上，摩擦力的方向一定指向圆心，B错误； CD．物体在最低点时，有 式中为圆盘与水平面的夹角，为圆盘的角速度，r为物体的转动半径，可知此时静摩擦力是运动过程中的最大值，C错误，D正确。 故选D。 【典型例题2】甲、乙两名溜冰运动员，面对面拉着弹簧测力计做圆周运动，如图所示，已知两人的质量m甲＞m乙，下列判断正确的是（　　） A．甲、乙的线速度大小相等 B．甲、乙的角速度大小相等 C．甲、乙的轨迹半径相等 D．甲受到的向心力比较大 【答案】B 【解析】A．甲、乙两名溜冰运动员角速度相同，根据公式v=ωr，由于转动半径不同，故线速度不相等，故A错误； B．甲、乙两名溜冰运动员做匀速圆周运动，是共轴转动，角速度相同，故B正确； CD．弹簧测力计对甲、乙两名运动员的拉力提供向心力，则向心力相等，根据牛顿第二定律得 = 解得 已知＞，所以乙做圆周运动的半径较大，故CD错误。 故选B。 【典型例题3】在光滑水平面上相距20 cm的两点钉上A、B两个钉子，一根长1 m的细绳一端系小球，另一端拴在A钉上，如图所示.已知小球质量为0.4 kg，小球开始以2 m／s的速度做水平匀速圆周运动，若绳所能承受的最大拉力为4 N，则从开始运动到绳拉断历时为（    ） A．2.4π s B．1.4π s C．1.2π s D．0.9π s 【答案】C 【解析】小球做匀速圆周运动时，由绳子的拉力充当向心力，当绳断裂时，有 Fn＝＝4N 即 r=0.4m 小球每转半圈，长度减小d=20cm，所以小球转的半圈的圈数是 第一个半圆所用时间为 第二个半圆所用时间为 第三个半圆所用时间为 故所用时间为 t=++=1.2π s ABD错误，C正确。 故选C。 【变式训练8-3-1】如图所示为市场出售的苍蝇拍，拍柄长约30cm．这种苍蝇拍实际使用效果并不理想，有人尝试将拍柄增长到60cm．若挥拍时手的动作完全相同，则改装后拍头（ ） A．线速度变大 B．角速度变大 C．向心加速度变小 D．向心力变小 【答案】A 【详解】由于苍蝇拍质量很小，故可以认为人使用时角速度一定，根据公式 v=rω，， 提高拍头的转动半径后，会提高线速度；故BCD错误，A正确。 【变式训练8-3-2】如图所示，半径为r的圆筒，绕竖直中心轴OO'转动，小物块a靠在圆筒的内壁上，它与圆筒的动摩擦因数为μ，现要使小物块a不下滑，则圆筒转动的角速度ω至少为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】要使A不下落，则小物块在竖直方向上受力平衡，有 f=mg 当摩擦力正好等于最大摩擦力时，圆筒转动的角速度ω取最小值，筒壁对物体的支持力提供向心力，根据向心力公式得 N=mr 而 f=μN 联立以上三式解得 故选D。 【变式训练8-3-3】荡秋千是小朋友们最喜欢的游戏之一，如图为一秋千模型，水平横梁与每一根绳间装有力传感器，质量为40kg的小朋友坐在秋千上，小朋友重心离系绳子的水平横梁垂直距离为2m。若秋千板摆到最低点时，每一根绳上的拉力显示为450N，忽略板和绳的质量，重力加速度g取，则小孩在此位置运动的速度大小约为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据牛顿二定律有 解得 故选C。 【变式训练8-3-4】（多选）如图所示，摩天轮悬挂的座舱在竖直平面内做匀速圆周运动．座舱的质量为m，运动半径为R，角速度大小为ω，重力加速度为g，则座舱    A．运动周期为 B．线速度的大小为ωR C．受摩天轮作用力的大小始终为mg D．所受合力的大小始终为mω2R 【答案】BD 【详解】由于座舱做匀速圆周运动，由公式，解得：，故A错误；由圆周运动的线速度与角速度的关系可知，，故B正确；由于座舱做匀速圆周运动，所以座舱受到摩天轮的作用力是变力，不可能始终为，故C错误；由匀速圆周运动的合力提供向心力可得：，故D正确． 【变式训练8-3-5】如图（a）所示，A、B为钉在光滑水平面上的两根铁钉，小球C用细绳拴在铁钉B上（细绳能承受足够大的拉力），A、B、C在同一直线上。时，给小球一个垂直于绳的速度，使小球绕着两根铁钉在水平面上做圆周运动。在时间内，细绳的拉力随时间变化的规律如图（b）所示，则： （1）两钉子间的距离为绳长的几分之几？ （2）时细绳的拉力大小？ （3）时细绳的拉力大小？ 【答案】（1）；（2）6N；（3）7.5N 【详解】（1）设细绳长为L，由图b可知，在0~6s时间内细绳拉力大小不变，可知 6~10s时间内细绳拉力大小不变，则有 因为 可得 即两钉子间的距离为绳长的。 （2）由图b可知，小球在第一个半圈经历时间为6s，则有 小球在第二个半圈经历时间为 在时，小球在转第二个半圈，则有细绳的拉力大小为6N。 （3）小球转第三个半圈的时间 在时，小球转动的半径为 解得细绳的拉力大小为 【变式训练8-3-6】波轮洗衣机中的脱水筒在脱水时，衣服紧贴在筒壁上做匀速圆周运动。某洗衣机的有关规格如下表，在运行脱水程序时，有一质量的硬币被甩到筒壁上，随筒壁一起做匀速圆周运动。已知硬币与筒壁间的动摩擦因数为0.3。求硬币受到的摩擦力和弹力大小。（g取，取10） 型号 xx 额定电压、频率 ~220V、50Hz 额定脱水功率 225W 质量 31kg 脱水转速 600r/min 脱水筒尺寸 直径300mm，高370mm 外形尺寸 长555mm，宽510mm，高870mm 【答案】0.1N，6N 【详解】在竖直方向上，硬币的合力为零，所以受到的摩擦力大小为 根据表格数据可知硬币做匀速圆周运动角速度为 运动半径为 硬币受到的弹力提供向心力，所以 题型09：探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系 【典型例题1】探究向心力与角速度之间的关系时，对质量相同的两个小球，操作正确的是（　　） A．将两小球分别放在挡板A与挡板B进行操作 B．将两小球分别放在挡板A与挡板C进行操作 C．将两小球分别放在挡板B与挡板C进行操作 D．调整传动皮带使两个变速塔轮角速度相同 【答案】B 【解析】实验目的是“探究向心力与角速度之间的关系”，用控制变量法进行探究，在保证小球质量、圆周半径一定（相同）的前提下，探究小球向心力大小与小球角速度大小之间的关系，题中已经选用的两个小球质量相同，则再需保证圆周半径相等，就可以开始试验了，故两小球应分别放在挡板A与挡板C进行操作（半径相等），而两个变速塔轮角速度相同，只是让皮带连接的两个转盘边缘点的线速度相等，不是这个实验需要保证的条件，故ACD错误，B正确。 故选B。 【典型例题2】向心力演示器如图所示，把两个质量相同的小球分别放在长槽和短槽内，使它们做圆周运动的半径相同。依次调整塔轮上皮带的位置，匀速转动手柄，可以探究（　　） A．向心力的大小与质量的关系 B．向心力的大小与半径的关系 C．向心力的大小与角速度的关系 D．以上三者均可探究 【答案】C 【解析】两球质量m相同，做圆周运动的半径r相同，在调整塔轮上的皮带的位置时，由于皮带上任意位置的线速度相同，根据 可知改变了两个塔轮做圆周运动的角速度ω，物体的角速度也随之改变，故可以探究向心力大小与角速度的关系，故C正确，ABD错误。 故选C。 【典型例题3】如图所示，是探究向心力的大小F与质量m、角速度和半径r之间的关系的实验装置图。转动手柄1，可使变速塔轮2和3以及长槽4和知槽5随之匀速转动，皮带分别套在变速塔轮2和3上的不同圆盘上。可使两个槽内的小球6、7分别以不同的角速度做匀速圆周运动。小球做圆周运动的向心力由横臂8的挡板对小球的压力提供，球对挡板的反作用力，通过横臂8的杠杆作用使弹簧测力套筒9下降，从而露出标尺10。标尺10上露出的红白相间的等分格显示出两个球所受向心力的比值，那么下列说法中正确的是（　　） A．转动手柄1的快慢不会影响露出标尺的多少 B．转动手柄1的快慢会影响两个球所受向心力的比值 C．如果保证两小球角速度相同，两小球应该同时放在长槽内 D．为了探究向心力大小和角速度的关系，皮带应套在变速塔轮2和3的不同半径的圆盘上 【答案】D 【解析】A．转动手柄1的快慢会影响小球做圆周运动的角速度大小，从而影响向心力大小，则会影响露出标尺的多少，选项A错误； B．因变速塔轮转动的角速度比值是一定的，则当转动手柄1的快慢时，两球转动的角速度比值一定，则两球所受向心力的比值一定，即转动手柄1的快慢不会影响两个球所受向心力的比值，选项B错误； C．如果保证两小球角速度相同，皮带应该套在变速塔轮2和3上的相同圆盘上，选项C错误； D．为了探究向心力大小和角速度的关系，皮带应套在变速塔轮2和3的不同半径的圆盘上，选项D正确。 故选D。 【典型例题4】如图所示是研究向心力的大小F与质量m。角速度和半径r之间的关系的实验装置图。 （1）现将两小球分别放在两边的槽内。为了探究小球受到的向心力大小和角速度的关系，下列做法正确的是 。 A．让两个小球运动半径相等，用质量相同的小球做实验； B．让两个小球运动半径相等，用质最不同的小球做实验 C．让两个小球运动半径不相等，用质量不同的小球做实验 D．让两个小球运动半径不相等，用质量相同的小球做实验 （2）在该实验中采用了 （选填“理想实验法”“控制变量法”或“等效替代法”）来探究向心力的大小F与质量m、角速度和半径r之间的关系。 （3）当用两个质量相等的小球做实验，且右边的小球的轨道半径与左边小球轨道半径相等，转动时发现右边标尺上露出的红白相间的等分格数为左边的4倍。那么，右边轮塔与左边轮塔之间的角速度之比为 。 【答案】 A 控制变量法 2：1 【解析】（1）[1]根据向心力公式 可知要研究小球受到的向心力大小与角速度的关系，需控制小球的质量和小球运动的半径相等。 故选A。 （2）[2]在该实验中采用了控制变量法来探究向心力的大小F与质量m、角速度和半径r之间的关系。 （3）[3]转动时发现右边标尺上露出的红白相间的等分格数为左边的4倍，则有 两个小球的质量相等、轨道半径相等，由公式可得 【变式训练9-1】在探究小球做圆周运动所需向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系的实验中下列说法正确的是（　　） A．本实验采用的实验方法是放大法 B．在探究向心力的大小F与角速度ω的关系时，要保持ω和r相同 C．在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与角速度成正比 D．在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比 【答案】D 【详解】A．本实验采用的是控制变量法，故A错误； B．在探究向心力的大小F与角速度ω的关系时，要保持r相同，故B错误； C．根据可知，在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与角速度的平方成正比，故C错误； D．根据可知，在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比，故D正确。 故选D。 【变式训练9-2】某同学用如图所示的装置做“探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系”实验，使铝球A和钢球B做圆周运动的角速度相等、半径相等，则探究的是向心力大小（　　）    A．与质量的关系 B．与线速度大小的关系 C．与角速度大小的关系 D．与半径的关系 【答案】A 【详解】向心力 当铝球A和钢球B做圆周运动的角速度相等、半径相等时，不同点在于二者的质量，则探究的是向心力大小与质量的关系。 故选A。 【变式训练9-3】物理学的研究中提出一些物理学思想方法，如等效替代法、控制变量法、极限思想法、类比法、微元法等。以下关于所用物理学研究方法的说法不正确的是（    ） A．探究向心力大小表达式实验中，采用了控制变量法 B．在探究两个互成角度力的合成实验中，采用了等效替代法 C．在探究加速度与力、质量关系的实验中，采用了控制变量法 D．在推导匀变速运动位移公式时，把整个运动过程分成很多小段，每一小段近似看作匀速运动，然后把各小段的位移相加，这里采用了等效替代法 【答案】D 【详解】A．探究向心力大小表达式实验中，采用了控制变量法，故A正确； B．在探究两个互成角度力的合成实验中，采用了等效替代法，故B正确； C．在探究加速度与力、质量关系的实验中，采用了控制变量法，故C正确； D．在推导匀变速运动位移公式时，把整个运动过程划分成很多小段，每一小段近似看作匀速直线运动，然后把各小段的位移相加，这里采用了微元法，故D错误。 此题选说法不正确的，故选D。 【变式训练9-4】物理学是集科学知识、科学方法和科学思维为一体的学科。下列有关科学思维方法的叙述正确的是（　　） A．图甲所示，在观察桌面的微小形变时，运用了极限思维法 B．图乙所示“探究两个互成角度的力的合成规律”实验中，运用了理想模型法 C．图丙所示的“探究向心力大小与质量、角速度、轨道半径的关系”实验中，运用了类比法 D．图丁为著名的伽利略斜面实验，运用了理想实验法 【答案】D 【详解】A．图甲所示，在观察桌面的微小形变时，运用了放大法，故A错误； B．图乙所示“探究两个互成角度的力的合成规律”实验中，运用了等效替代法，故B错误； C．图丙所示的“探究向心力大小与质量、角速度、轨道半径的关系”实验中，运用了控制变量法，故C错误； D．图丁为著名的伽利略斜面实验，运用了理想实验法，故D正确。 故选D。 【变式训练9-5】在物理学的探索和发展过程中，关于物理概念的建立和物理规律的形成，科学家们运用了许多研究方法。以下叙述中正确的是（　　） A．在建立“质点”和“点电荷”的概念时，运用的是理想模型的方法 B．在建立“合力与分力”的概念时，运用的是极限法 C．根据速度定义式，当时，就可以表示物体在t时刻的瞬时速度，该定义用的是控制变量法 D．在探究向心力大小与质量、运动半径、角速度之间的关系时，分别保持某两个量不变，研究向心力大小与另一个量之间的关系，这里运用的是等效替代的方法 【答案】A 【详解】A．在建立“质点”和“点电荷”的概念时，运用的是理想模型的方法，故A正确； B．在建立“合力与分力”的概念时，运用的是等效替代法，故B错误； C．根据速度定义式，当时，就可以表示物体在t时刻的瞬时速度，该定义用的是极限法，故C错误； D．在探究向心力大小与质量、运动半径、角速度之间的关系时，分别保持某两个量不变，研究向心力大小与另一个量之间的关系，这里运用的是控制变量法的方法，故D错误； 故选A。 【变式训练9-6】（多选）我们可以用如图所示的实验装置来探究影响向心力大小的因素。长槽横臂的挡板B到转轴的距离是挡板 A的2倍，长槽横臂的挡板A和短槽横臂的挡板C到各自转轴的距离相等。转动手柄使长槽和短槽分别随变速塔轮匀速转动，槽内的球就做匀速圆周运动。横臂的挡板对球的压力提供了向心力，球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆作用使弹簧测力筒下降，从而露出标尺，标尺上的红白相间的等分格显示出两个球所受向心力的相对大小（　　） A．若要研究向心力大小与小球质量的关系，应该用质量不同的两个小球，分别放在挡板B和挡板C处，并使变速塔轮的半径相同 B．若要研究向心力大小与小球质量的关系，应该用质量不同的两个小球，分别放在挡板A和挡板C处，并使变速塔轮的半径相同 C．若要研究向心力大小与小球角速度的关系，应该用质量相同的两个小球，分别放在挡板B和挡板C处，并使变速塔轮的半径不同 D．若要研究向心力大小与小球角速度的关系，应该用质量相同的两个小球，分别放在挡板A和挡板C处，并使变速塔轮的半径不同 【答案】BD 【详解】AB．若要研究向心力大小与小球质量的关系，应该用质量不同的两个小球，使两个小球做圆周运动的半径和角速度相同，将两个小球分别放在挡板A和挡板C处，并使变速塔轮的半径相同，故A错误，B正确； CD．若要研究向心力大小与小球角速度的关系，应该用质量相同的两个小球，并使两个小球做圆周运动的半径相同，将两个小球分别放在挡板A和挡板C处，并使变速塔轮的半径不同，故C错误，D正确。 故选BD。 【变式训练9-7】如图所示，在验证向心力公式的实验中，质量相同的钢球①②分别放在转盘A、B上，它们到所在转盘转轴的距离之比为2：1。a、b分别是与A盘、B盘同轴的轮。a、b的轮半径之比为1：2，用皮带连接a、b两轮转动时，钢球①②的角速度之比为 ，所受的向心力之比为 。 【答案】 2：1 8：1 【详解】[1]根据皮带连接a、b两轮可知线速度，根据可知角速度 圆盘与轮同轴转动，角速度相同，则钢球①②的角速度之比 [2]向心力之比 【变式训练9-8】图示装置为“向心力演示器”，已知挡板B、C到左右塔轮中心轴的距离相等，A到左塔轮中心轴距离是B到左塔轮中心轴距离的2倍，皮带连接的左右每层变速塔轮对应的半径之比均已知。某实验小组用此装置来探究向心力的决定因素。 （1）如果要探究向心力与角速度的关系，则应该将质量相同的小球分别放在挡板 （填“A、B”，“A、C”或“B、C”）处，并且确保左右变速塔轮的半径 （填“相同”或“不同”）。 （2）在记录两个标尺露出的格数时，同学们发现要同时记录两边的格数且格数又不是很稳定，不便于读取。于是有同学提出用手机拍照后再通过照片读出两边标尺露出的格数。下列对该同学建议的评价，你认为正确的是 。 A．该方法可行，且不需要匀速转动手柄 B．该方法可行，但仍需要匀速转动手柄 C．该方法不可行，因不能确定拍照时露出的格数是否已稳定 （3）探究完毕后，同学们想继续利用探究结果粗略测量某小球b的质量。他们将另一质量已知的小球a放在挡板B处，待测质量小球b放在挡板C处，皮带套在两边塔轮半径相同的轮盘上，转动手柄时发现，标尺1几乎露出所有格数时，标尺2露出格数还不足一格，则接下来的操作可行的是 。 A．将小球a放在B处，小球b放在C处，同时减小左右两侧塔轮的半径比 B．将小球a放在A处、小球b放在C处，同时减小左右两侧塔轮的半径比 C．将小球a放在C处、小球b放在A处，同时减小左右两侧塔轮的半径比 【答案】 B、C 不同 A C 【详解】（1）[1]探究向心力与角速度的关系时，应控制小球的质量、运动半径相同，则应该将质量相同的小球分别放在挡板B、C处。 [2]探究向心力与角速度的关系时，应控制小球的角速度不同，变速塔轮边缘的线速度相等，则需确保左右变速塔轮的半径不同。 （2）[3]该方法可行，用手机拍照后再通过照片读出两边标尺露出的格数，这样可以准确读出某一时刻两边标尺露出的格数，并通过格数得出向心力与角速度的关系，手柄转速变化时，两边标尺露出的格数同时变化，仍可通过格数得出向心力与角速度的关系，故不需要匀速转动手柄。 故选A。 （3）[4]由题意可知，标尺1几乎露出所有格数时，标尺2露出格数还不足一格，说明小球a的质量远大于小球b的质量，根据向心力公式 故应将小球a放在C处，小球b放在A处，同时减小左右两侧塔轮的半径比，使两个标尺的示数差减小。 故选C。 【变式训练9-9】如图甲是某同学用圆锥摆粗略验证向心力表达式的实验，细线下端悬挂一个小钢球，细线上端固定在铁架台上。将画着几个同心圆的白纸置于水平桌面上，使钢球静止时正好位于圆心。实验步骤如下： ①用天平测出钢球的质量m=0.100kg，用直尺测出悬点到球心的竖直高度h，如图乙所示，h= cm（悬点与直尺的零刻线对齐）； ②用手带动钢球，设法使它沿纸上的某个圆周运动，随即手与钢球分离； ③用秒表记下钢球运动30圈的时间为60.0s，算出钢球匀速圆周运动的周期T； ④通过纸上的圆测出钢球做圆周运动的半径r=4.00cm。 （1）钢球所需向心力的表达式F1= ，钢球所受合力的表达式F2= （用题中物理量符号、重力加速度g及常数π表示）； （2）将测量数据代入（1）中表达式，计算出F1= N，F2= N（g取10m/s2，π2≈9.9，结果保留两位有效数字）。从而粗略验证了向心力表达式。 【答案】 99.70 0.040 0.040 【详解】①[1]毫米刻度尺的精确度为1mm，估读到0.1mm，由图可知球心的高度为99.70mm； （1）[2]钢球所需的向心力为 [3]根据平行四边形定则知，钢球所受的合力为 （2）[4]钢球运动30圈的时间为60.0s，则钢球的周期为 钢球所需的向心力为 [5]根据平行四边形定则知，钢球所受的合力为 【变式训练9-10】（1）用如图所示的向心力演示器探究向心力大小的表达式。匀速转动手柄，可以使变速塔轮以及长槽和短槽随之匀速转动，槽内的小球也随着做匀速圆周运动。使小球做匀速圆周运动的向心力由横臂的挡板对小球的压力提供，球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆作用使弹簧测力套筒下降，从而露出标尺。    ①为了探究向心力大小与物体质量的关系，可以采用 （选填“等效替代法”“控制变量法”或“理想模型法”）。 ②根据标尺上露出的等分标记，可以粗略计算出两个球所受的向心力大小之比；为研究向心力大小跟转速的关系，应比较表中的第1组和第 组数据。 组数 小球的质量m/g 转动半径r/cm 转速 1 14.0 15.00 1 2 28.0 15.00 1 3 14.0 15.00 2 4 14.0 30.00 1 （2）用铁架台、下端带挂钩的不同弹簧若干50g的钩码若干、刻度尺等，安装如图甲所示的装置，探究弹簧弹力F的大小与伸长量x之间的定量关系。    ①未挂钩码时，弹簧原长放大如图甲所示，可读得原长 cm。（弹簧上端与0刻线对齐） ②取A、B弹簧分别做实验，把得到的数据描绘成如图乙的F-x图像，由图乙可知劲度系数较大弹簧的劲度系数为 N/m。 【答案】 控制变量法 3 7.00 25 【详解】（1）①[1]为了探究向心力大小与物体质量的关系，需要控制物体转动的半径和角速度一定，改变物体的质量，则该实验采用了控制变量法。 ②[2]为研究向心力大小跟转速的关系，需要保证物体的质量和物体转动的半径一定，则应比较表中的第1组和第3组数据。 （2）①[3]由图可知，得弹簧的原长为 ②[4]由图像的斜率表示弹簧的劲度系数可得，A弹簧的劲度系数较大，故较大弹簧的劲度系数为 【变式训练9-11】某同学利用“向心力定量探究仪”探究向心力大小与质量、半径和角速度的关系，装置如下图所示，小球放在光滑的带四槽的旋转杆上，其一端通过细绳与电子测力计相连，当小球和旋转杆被电机带动一起旋转时，控制器的显示屏显示小球质量、转动半径、转动角速度以及细绳拉力的大小。    （1）该同学采用控制变量法，分别改变小球质量、转动角速度以及 进行了三组实验，测得的实验数据如下表甲、乙、丙所示。 小球质量 转动半径 角速度 向心力 0.1 0.2 3.15 0.2 0.2 6.29 0.3 0.2 9.45 0.4 0.2 12.61 甲 小球质量 转动半径 角速度 向心力 0.2 0.1 3.16 0.2 0.2 6.31 0.2 0.3 9.46 0.2 0.4 12.63 乙 小球质量 转动半径 角速度 向心力 0.2 0.2 1.57 0.2 0.2 6.29 0.2 0.2 14.14 0.2 0.2 25.16 丙 （2）由甲表的数据可得：当 一定时，小球的向心力大小与 成 比。 （3）为了通过作图法更直观地呈现向心力与角速度之间的关系，应绘制的图像是 。 A．图    B．图    C．图    D． 【答案】 转动半径 转动半径和转动角速度 小球质量 正 B 【详解】（1）[1]探究向心力大小与质量、半径和角速度的关系，由甲、乙、丙表格可知该同学采用控制变量法，分别改变小球质量、转动半径以及转动角速度进行了三组实验。 （2）[2][3][4]在误差允许范围内，由甲表的数据可得：当小球的转动半径和角速度一定时，小球的向心力大小与小球质量成正比。 （3）[5]根据可知，为了通过作图法更直观地呈现向心力与角速度之间的关系，应绘制的图像是图像，从而得到一条拟合的直线。 故选B。 【变式训练9-12】某实验小组用如图甲所示的装置探究向心力大小的相关影响因素。光滑的水平直杆固定在竖直转轴上，一激光器置于水平直杆上方，发出的激光能被正下方的接收器接收并记录（实验中控制细线长度使得激光只能被水平直杆遮挡），通过连接计算机可显示所接收激光的光照强度随时间的变化信息，水平直杆的右侧套上质量为m的滑块，用细线将滑块与固定在竖直转轴上的力传感器相接，细线处于水平伸直状态，拉力大小可由力传感器测得。    （1）为探究向心力大小与半径的关系，应保持转动的角速度和 不变； （2）某次实验中计算机显示接收器所接收激光的光照强度随时间变化的信息如图乙所示，若此时细线长度为L＝0.2m，滑块的质量m＝0.1kg，不计滑块体积，则力传感器的示数应为 N（保留三位有效数字，取9.86）； （3）改变细线的长度L，以对应力传感器的示数F为纵坐标，细线长度L为横坐标，绘制出向心力随半径变化的图像为一条倾斜的直线，若增加转动的角速度，则图线的斜率会 （填“变大”、“变小”或“保持不变”）。 【答案】 滑块质量 3.16 变大 【详解】（1）[1]为探究向心力大小与半径的关系，应保持转动的角速度和滑块质量不变； （2）[2]角速度 力传感器的示数应为 （3）[3]根据 F-L图像斜率 若增加转动的角速度，则图线的斜率会变大。 【变式训练9-13】某实验小组做探究影响向心力大小因素的实验： （1）方案一：用如图甲所示的装置，已知小球在挡板A、B、C处做圆周运动的轨迹半径之比为1:2:1，变速塔轮自上而下按如图乙所示三种组合方式，左右每层半径之比由上至下分别为1:1、2:1和3:1。回答以下问题：    ①本实验所采用的实验探究方法与下列哪些实验是相同的 ； A．探究平抛运动的特点 B．探究影响导体电阻的因素 C．探究两个互成角度的力的合成规律 D．探究加速度与物体受力、物体质量的关系 ②在某次实验中，把两个质量相等的钢球放在B、C位置，探究向心力的大小与半径的关系，则需要将传动皮带调至第 层塔轮（填“一”“二”或“三”）。 （2）方案二：如图丙所示装置，装置中竖直转轴固定在电动机的转轴上（未画出），光滑的水平直杆固定在竖直转轴上，能随竖直转轴一起转动。水平直杆的左端套上滑块P，用细线将滑块P与固定在竖直转轴上的力传感器连接，细线处于水平伸直状态，当滑块随水平直杆一起匀速转动时，细线拉力的大小可以通过力传感器测得。水平直杆的右端最边缘安装了宽度为d的挡光条，挡光条到竖直转轴的距离为L，光电门可以测出挡光条经过光电门所用的时间（挡光时间）。滑块P与竖直转轴间的距离可调。回答以下问题：    ①若某次实验中测得挡光条的挡光时间为，则滑块P的角速度表达式为ω= ； ②实验小组保持滑块P质量和运动半径r不变，探究向心力F与角速度ω的关系，作出F-ω2图线如图丁所示，若滑块P运动半径r=0.3m，细线的质量和滑块与杆的摩擦可忽略，由F-ω2图线可得滑块P质量m= kg（结果保留2位有效数字）。 【答案】 BD/DB 一 0.30 【详解】（1）①[1]在该实验中，通过控制质量、半径、角速度中两个物理量相同，探究向心力与另外一个物理量之间的关系，采用的科学方法是控制变量法。 A．探究平抛运动的特点，例如两球同时落地，两球在竖直方向上的运动效果相同，应用了等效思想，故A错误； B．当一个物理量与多个物理量相关时，应采用控制变量法，探究该物理量与某一个量的关系，在探究影响导体电阻的因素实验中使用了控制变量法，故B正确； C．探究两个互成角度的力的合成规律，应用了等效替代法，故C错误； D．探究加速度与物体受力、物体质量的关系，应用了控制变量法，故D正确。 故选BD。 ②[2]在某次实验中，把两个质量相等的钢球放在B、C位置，探究向心力的大小与半径的关系，应使两球的角速度相同，则需要将传动皮带调至第一层塔轮。 （2）①[3]挡光条的线速度为 又因为 联立解得，滑块P的角速度表达式为 ②[4]根据向心力大小公式 所以图线的斜率为 解得，滑块P质量为 【变式训练9-14】如图甲是“探究向心力大小F与质量m、半径r、角速度的关系”的实验装置示意图。电动机带动转台匀速转动，改变电动机的电压可以改变转台的转速：质量为m的金属块放在转台上随转台一起转动，金属块到转轴的水平距离为r，用一轻质细线绕过固定在转台中心的光滑小滑轮与力传感器连接，可直接测量向心力的大小F；转台一端下方固定挡光宽度为d的挡光杆，挡光杆经过光电门时，系统将自动记录其挡光时间。金属块与转台之间的摩擦力忽略不计。 （1）某同学测出挡光杆到转轴的水平距离为R，转台匀速转动时挡光杆经过光电门时的挡光时间为，转台的角速度的表达式为 （用题目中所给物理量的字母表示）。 （2）该同学为了探究向心力大小F与角速度的关系，需要控制 和 两个量保持不变；多次改变转速后，记录了一系列力与对应角速度的数据，作出图像如图乙所示，若已知金属块质量，则金属块到转轴的水平距离 m。（结果保留2位有效数字） 【答案】 金属块的质量m 金属块到转轴的水平距离r 0.20 【详解】（1）[1]挡光杆绕转轴运动的线速度 根据 转台的角速度的表达式为 （2）[2][3]该同学为了探究向心力大小F与角速度的关系，需要控制金属块的质量m和金属块到转轴的水平距离r两个量保持不变； [4]根据 结合图像可得 若已知金属块质量，则金属块到转轴的水平距离 0.20m 【变式训练9-15】卫星绕地球做匀速圆周运动时处于完全失重状态，在这种环境中无法用天平称量物体的质量。某同学在该环境中设计了右图所示的装置来间接测量物体A的质量。给待测物体A一个初速度，使之在桌面上做匀速圆周运动。设航天器中除如图所示的弹簧秤外，还有刻度尺和秒表。则： （1）在实验时，测得弹簧秤的示数为F，物体做圆周运动的半径R，周期为T，则待测物体质量 表达式为m= 。 （2）在安装实验装置时，若桌面与水平面有一定夹角，则在小球沿桌面做匀速圆周运动速度过程中，弹簧秤的示数F 产生周期性的变化。（填“会”或“不会”） 【答案】 不会 【详解】（1）[1]据题，物体处于完全失重状态，在桌面上做匀速圆周运动时，物体与桌面间的摩擦力忽略不计，由弹簧秤的拉力提供物体的向心力。根据牛顿第二定律得 可得 （2）[2]由于物体处于完全失重状态，若桌面与水平面有一定夹角，在小球沿桌面做匀速圆周运动的过程中，仍由细线的拉力提供向心力，根据 知F大小不变，则弹簧秤的示数F不会作周期性变化。 一、单选题 1．关于匀速圆周运动，下列说法中正确的是（　　） A．周期不变 B．线速度大小、方向均不变 C．向心力大小、方向均不变 D．向心加速度大小、方向均不变 【答案】A 【详解】匀速圆周运动是周期、角速度不变；线速度、向心力、向心加速度大小不变，方向改变的曲线运动。 故选A。 2．对于做匀速圆周运动的质点，下列说法正确的(　　) A．根据公式v＝ωr，可知其线速度v与半径r成反比 B．根据公式v＝ωr，可知其线速度v与半径r成正比 C．根据公式ω＝，可知其角速度ω与半径r成反比 D．根据公式ω＝2πn，可知其角速度ω与转速n成正比 【答案】D　 【详解】由v＝ωr可知，只有在角速度不变的情况下，线速度v与半径r才成正比，故A、B错误；由ω＝可知，只有在线速度不变的情况下，角速度ω与半径r才成反比，故C错误；由ω＝2πn可知，角速度ω与转速n成正比，故D正确。 二、多选题 3.下列说法正确的是（　　） A．匀速圆周运动的速度大小保持不变，所以做匀速圆周运动的物体没有加速度 B．做匀速圆周运动的物体，虽然速度大小不变，但方向时刻在改变，所以必有加速度 C．做匀速圆周运动的物体，加速度的大小保持不变，所以是匀变速（曲线）运动 D．匀速圆周运动的加速度大小虽然不变，但方向始终指向圆心，加速度的方向发生了变化，所以匀速圆周运动既不是匀速运动，也不是匀变速运动 【答案】BD 【详解】 做匀速圆周运动的物体，虽然速度大小不变，但方向时刻都在改变，所以必有加速度，匀速圆周运动的物体加速度大小虽然不变，但加速度的方向始终指向圆心，加速度的方向时刻都在改变，所以匀速圆周运动既不是匀速运动，也不是匀变速运动。 故选BD。 4．一质点做匀速圆周运动，其线速度大小为 4 m/s，转动周期为 2 s，则下列说法正确的是（　　） A．角速度为 0.5 rad/s B．转速为 0.5 C．运动轨迹的半径约为 1.27 m D．2 s 内质点位移为 8 m 【答案】BC 【详解】 A．物体做匀速圆周运动，根据公式 解得 A错误； B．根据转速与周期的公式得 解得 B正确； C．物体做匀速圆周运动，根据公式 解得 C正确； D．2 s 内质点质点运动了一周，回到了原来的位置，位移为0，D错误。 故选BC。 5．一质量m1kg的物体在五个共点力的作用下处于平衡状态，现撤去其中一个大小等于5N的力，而其余四个力的大小、方向均保持恒定不变，则（　　） A．该物体可能做匀变速曲线运动 B．该物体可能做匀速圆周运动 C．该物体的加速度大小一定为5m/s2 D．撤去外力后1s末该物体的速度一定为5m/s 【答案】AC 【详解】AB．根据平衡条件的推论可知撤去其中一个大小等于5N的力，剩余四个力大小方向恒定不变，四个力的合力大小恒为5N，方向沿撤去这个力的反方向。若物体开始时处于匀速直线运动状态，且速度方向与合力方向不共线，则物体将做匀变速曲线运动；若物体开始时处于匀速直线运动，且速度方向与合力方向共线，或物体开始时处于静止状态，则物体将做匀变速直线运动，由于物体所受合外力为恒力，不可能提供向心力，所以物体不可能做匀速圆周运动，故A正确，B错误； C．根据前面分析可知，物体所受合外力为5N，则加速度大小一定为 故C正确； D．当物体由静止开始做匀加速直线运动时，撤去外力后1s末该物体的速度为5m/s，当物体做初速度不为零的匀加速直线运动时，撤去外力后1s末该物体的速度一定大于5m/s，故D错误。 故选AC。 6．如图所示，在水平转台上放一个质量M的木块，细绳的一端系住木块，另一端穿过转台的中心孔O(为光滑的)悬吊一质量m的小球，当转台以某一恒定角速度转动过程中木块相对转台始终静止，关于木块所受摩擦力说法正确的是(　　) A．摩擦力大小可能为零 B．若有摩擦力，摩擦力方向可能沿切线方向 C．若有摩擦力，摩擦力方向一定沿半径向外 D．若有摩擦力，摩擦力方向可能指向圆心 【答案】AD 【详解】A．当细线的拉力恰好等于木块M随转台做圆周运动的向心力时，此时M所受的摩擦力等于零，设此时转台角速度为ω0，则此时满足 即有 选项A正确； BCD．由以上分析可知，若时，细绳的拉力不能满足木块随转台做圆周运动的向心力，则M所受的摩擦力方向沿圆周半径指向圆心；若时，则M所受的摩擦力方向沿圆周半径背离圆心向外，BC错误，D正确。 故选AD。 7．如图所示，放于水平面内的光滑金属细圆环半径为R，质量为m的带孔小球穿于环上，同时有一长为R的细绳一端系于球上，另一端系于圆环最低点，绳上的最大拉力为2mg，当圆环以角速度ω绕竖直直径转动时，发现小球收到3个力的作用，则ω可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】因为圆环光滑，所以小球受到重力mg、环对球的弹力N、绳子的拉力T，因此绳处于伸直状态，根据几何关系可知，此时细绳与竖直方向的夹角为60°，当圆环旋转时，小球绕竖直轴做圆周运动 根据几何关系 因此当角速度越大时，所需要的向心力越大，绳子拉力越大，当时角速度最小 解得 当绳子拉力达到时，此时角速度最大 解得 故选BC。 【名师点睛】本题主要考查了圆周运动向心力公式的应用以及同学们受力分析的能力，要求同学们能找出临界状态并结合几何关系解题，难度适中。 8．如图所示，质量为m的物体与转台之间的动摩擦因数为μ，物体与转轴间距离为R，物体随转台由静止开始转动，当转台转速增加到某一值后转台开始匀速转动，整个过程中物体相对于转台静止不动，则以下判断正确的是(　　) A．转台转速增加的过程中，转台对物体静摩擦力的方向一定指向转轴 B．转台转速增加的过程中，转台对物体静摩擦力的方向跟物体速度间夹角一定小于90° C．转台匀速转动的过程中，转台对物体静摩擦力的方向一定指向转轴 D．转台匀速转动的过程中，转台对物体静摩擦力的方向一定跟物体的速度方向相反 【答案】BC 【详解】AB．转台转速增加的过程中，物体做加速圆周运动，静摩擦力沿着半径方向的分力提供向心力，切向分力使物体加速．故静摩擦力不指向圆心，跟物体速度间夹角一定小于90°，故A错误，B正确； CD．转台匀速转动时，物体做匀速圆周运动，物体所受的合力始终指向圆心，此时所受的静摩擦力方向一定指向转轴，故C正确；D错误． 故选BC。 解答题 9．如图（a）所示，A、B为钉在光滑水平面上的两根铁钉，小球C用细绳拴在铁钉B上（细绳能承受足够大的拉力），A、B、C在同一直线上。时，给小球一个垂直于绳的速度，使小球绕着两根铁钉在水平面上做圆周运动。在时间内，细绳的拉力随时间变化的规律如图（b）所示，则： （1）两钉子间的距离为绳长的几分之几？ （2）时细绳的拉力大小？ （3）时细绳的拉力大小？ 【答案】（1）；（2）6N；（3）7.5N 【详解】（1）设细绳长为L，由图b可知，在0~6s时间内细绳拉力大小不变，可知 6~10s时间内细绳拉力大小不变，则有 因为 可得 即两钉子间的距离为绳长的。 （2）由图b可知，小球在第一个半圈经历时间为6s，则有 小球在第二个半圈经历时间为 在时，小球在转第二个半圈，则有细绳的拉力大小为6N。 （3）小球转第三个半圈的时间 在时，小球转动的半径为 解得细绳的拉力大小为 10．如图所示，“┏”形框架的水平细杆OM和竖直细杆ON均光滑，质量分别为m、3m金属环a、b用长为l的轻质细线连接，分别套在水平细杆和竖直细杆上，水平细杆离地高度为2.5l，a环在水平外力作用下，静止在水平杆末端M处，且θ=37°，重力加速度为g，sin37°=0.6，cos37°=0.8。 （1）求线上的张力T； （2）若撤去a环上的水平拉力，让整个装置绕ON匀速转动，使细线与水平杆间夹角仍为37°，求此时装置转动的角速度； （3）在第2问的情景下，突然线断开，求当a环落地时，a、b环之间的距离s（两环落地后不反弹）。 【答案】（1）5mg；（2）；（3） 【详解】（1）对b环根据平衡条件可得 解得 （2）使细线与水平杆间夹角仍为37°，说明此时线上张力不变，对a根据牛顿第二定律有 解得 （3）在（2）情境下，a环的线速度大小为 线断开后，a环沿线速度方向飞出做平抛运动，下落时间为 水平位移大小为 当a环落地时，a、b环之间的距离为 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 圆周运动 目 录 思维导图 2 考情分析 2 学习目标 2 知识要点 3 题型归纳 7 题型01：圆周运动的定义和描述 7 题型02：匀速圆周运动 8 描述圆周运动的物理量 10 题型03：线速度 11 题型04：角速度 13 题型05：周期、角速度、转速、频率与线速度之间的关系式 15 题型06：传动问题 19 题型07：圆周运动的周期性多解问题 31 题型08：向心力 39 （一）．向心力的定义及与向心加速度的关系 39 （二）．判断哪些力提供向心力、有关向心力的简单计算 41 （三）．通过牛顿第二定律求解向心力 43 题型09：探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系 47 巩固提升 59 圆周运动是高考物理必修2曲线运动的核心拓展考点，与抛体运动衔接紧密，也是后续万有引力、带电粒子在磁场中运动的基础，属于高频必考点，题型覆盖选择、实验、计算，分值占比6-12分，是中档题核心拉分点。 1. 考查形式：全国卷/新高考卷中，选择题（4-6分） 为主，常单独考查水平面/竖直面圆周运动的临界、向心力分析；计算题多作为综合题小问（3-6分），结合万有引力（天体圆周）、洛伦兹力（带电粒子圆周）、机械能守恒（竖直面圆周）考查，极少单独出大题。 2. 考查重点：核心围绕向心力的来源与计算，侧重水平面匀速圆周运动（如转盘、圆锥摆）、竖直面非匀速圆周运动（如轻绳/轻杆模型）的临界条件分析；常结合牛顿第二定律、几何关系、能量守恒命题，偶尔关联圆周运动的实验（如向心加速度的测量）。 3. 难度与情境：基础题考查向心力公式直接应用，中档题考查临界问题和多规律综合，难题多结合天体、磁场拓展；命题情境贴近生活（转盘、过山车）、物理模型（圆锥摆、轻绳轻杆），新高考注重模型化建模和临界条件提取。 4. 关联考点：是万有引力定律（天体匀速圆周）、带电粒子在匀强磁场中运动（匀速圆周）的前置基础，高考中常作为这些压轴考点的基础解题模块，掌握不扎实会直接影响压轴题得分。 一 核心目标 1. 理解圆周运动的基本物理量（线速度v、角速度ω、周期T、频率f、向心加速度）的定义，熟记各物理量的换算关系，能快速相互推导。 2. 掌握向心力的本质：效果力（由重力、弹力、摩擦力等某一个力或几个力的合力提供），熟记向心力、向心加速度的核心公式，明确公式中各物理量的物理意义。 3. 区分匀速圆周运动和非匀速圆周运动：匀速圆周运动合外力完全提供向心力（大小不变、方向指向圆心）；非匀速圆周运动合外力沿半径方向的分力提供向心力，切线方向分力改变线速度大小。 二 能力目标 1. 能对任意圆周运动场景分析向心力来源，画出受力分析图，沿“半径方向（指向圆心为正）”列牛顿第二定律方程（核心： = ）。 2. 掌握水平面、竖直面圆周运动的临界条件，能判断临界状态（如轻绳模型最高点的最小速度、轻杆模型的临界速度），并根据临界条件列方程求解。 3. 能结合能量守恒分析竖直面非匀速圆周运动（如从最低点到最高点的速度变化、做功分析），实现“力与能”的综合应用。 4. 能将圆周运动模型迁移到拓展场景（如圆锥摆、转盘、天体圆周、带电粒子圆周），快速提取核心条件（向心力来源、临界值）。 三 基础要求 1. 熟练掌握牛顿第二定律的矢量性，能沿指定方向（半径方向）进行力的分解与合成。 2. 熟记匀变速直线运动、机械能守恒的基本公式，为非匀速圆周运动的综合计算铺垫。 3. 能准确判断圆周运动的圆心和半径，避免因几何关系错误导致解题失误。 知识点一：匀速圆周运动 1．圆周运动：物体的运动轨迹是圆的运动． 2．匀速圆周运动 质点沿圆周运动，如果在相等的时间内通过的圆弧长度相等，这种运动就叫匀速圆周运动． 3．匀速圆周运动的特点 （1）线速度的大小处处相等． （2）由于匀速圆周运动的线速度方向时刻在改变，所以它是一种变速运动．这里的“匀速”实质上指的是“匀速率”而不是“匀速度”． 知道点二：描述圆周运动的物理量 线速度 角速度 周期 转速 定义、 意义 描述圆周运动的物体运动快慢的物理量 描述物体绕圆心转动快慢的物理量 物体沿圆周一周所用的时间 物体单位时间内转过的圈数 矢量、 标量 是矢量，方向和半径垂直，和圆弧相切 有方向，但中学阶段不研究 标量、无方向 标量、无方向 公式 v＝＝ ω＝＝ T＝＝ n＝ 单位 m/s rad/s s r/s、r/min 相互 关系 （1）v＝rω＝＝2πrn （2）T＝ （1）线速度 1、 圆周运动的快慢可以用物体通过的弧长与所用时间的比值来量度.例如在图6.5-3中，物体沿圆弧由M向N运动，某时刻t经过A点.为了描述物体经过A点附近时运动的快慢，可以从此时刻开始，取一段很短的时间Δt，物体在这段时间内由A运动到B，通过的弧长为Δl.比值反映了物体运动的快慢，把它称为线速度(linear velocity)，用v表示，则. 2、线速度是矢量，图6.5-3中物体在A点的线速度的方向就是 AB位移的方向，显然，当Δt很小时，该方向是和半径OA垂直的，即和圆弧相切.前面曾讲到曲线运动的方向与轨迹相切，这里的结论是与前面一致的. 3、物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处相等，这种运动叫做匀速圆周运动(uniform circular motion).应该注意的是，匀速圆周运动的线速度方向是在时刻变化的，因此它仍是一种变速运动，这里的“匀速”是指速率不变. （2）角速度 物体做圆周运动的快慢还可以用角速度来描述。在相同的时间内，连接运动物体与圆心的半径所转过的角度越大，物体沿圆周运动得就越快。物体做圆周运动时．连接它与圆心的半径转过的角度跟所用时间Δt的比值，叫做角速度(angular velocity)，一般用表示，即 式中的单位是 的单位是读作“弧度每秒”。 （3）周期、频率和转速 物体做匀速圆周运动时，总是每隔一段相等的时间就重复原来的运动，我们称这样的运动为周期性运动。在自然界，除了匀速圆周运动，还有另外一些运动也是周期性运动，如人体的心跳和呼吸、钟摆的摆动、昼夜的周而复始、潮汐的涨落、声音和光的波动等，都是周期性运动，甚至我们走路时手脚的运动也可以看做周期性的运动。我们把周期性运动每重复一次所需要的时间叫周期，用符号T表示。匀速圆周运动的周期等于物体运动一周所用的时间。地球自转的周期是1天，而绕太阳公转的周期是1年，我们说地球的自转比公转快；钟表秒针的周期比分针和时针的周期短，我们说它比分针和时针转得快 (图4-9)。因此，周期也可以用来描述匀速圆周运动的快慢：周期越短，转动越快；周期越长，转动越慢。 在物理学中用频率来描述周期性运动的快慢。频率就是单位时间内运动重复的次数，用f表示，大小等于周期的倒数，单位是赫兹(Hz)：很显然，频率越高表示运转越快，频率越低表示运转越慢。 在生活和生产中，还常用转速来描述匀速圆周运动的快慢。转速就是单位时间内的转动次数，用n表示，单位是转每秒(r/s)或转每分(r/min)。例如，发电机、电动机转动的快慢就是用转速来表示的。转速是计算机硬盘和光驱性能的重要指标(图4-10)。 描述圆周运动的各物理量之间关系的分析技巧 （1）角速度、周期、转速之间关系的分析：物体做匀速圆周运动时，由ω＝＝2πn知，角速度、周期、转速三个物理量，只要其中一个物理量确定了，其余两个物理量也唯一确定了。 （2）线速度与角速度之间关系的分析：由v＝ω·r知，r一定时，v∝ω；v一定时，ω∝；ω一定时，v∝r。 【注意】在讨论v、ω、r三者的关系时，应采用控制变量法，先保持其中一个量不变，再讨论另外两个量之间的关系。ω、T和n三个物理量可相互换算，只要其中一个量确定，其余两个量也就确定了。 知识点三：常见的传动装置及其特点 同轴传动 皮带传动 齿轮传动 装置 A、B两点在同轴的一个圆盘上 两个轮子用皮带连接，A、B两点分别是两个轮子边缘的点 两个齿轮轮齿啮合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点 特点 角速度、周期相同 线速度大小相同 线速度大小相同 转动方向 相同 相同 相反 规律 线速度与半径成正比： ＝ 角速度与半径成反比：＝。 周期与半径成正比：＝ 角速度与半径成反比：＝。周期与半径成正比：＝ 考点四：圆周运动的周期性和多解问题 问题特点 （1）研究对象：匀速圆周运动的多解问题含有两个做不同运动的物体。 （2）运动特点：一个物体做匀速圆周运动，另一个物体做其他形式的运动(如平抛运动，匀速直线运动等)。 （3）运动的关系：由于两物体运动的时间相等，根据等时性建立等式求解待求物理量。 分析技巧 （1）抓住联系点：明确题中两个物体的运动性质，抓住两运动的联系点。 （2）先特殊后一般：先考虑第一个周期的情况，再根据运动的周期性，考虑多个周期时的规律。 2、线速度、角速度、周期的关系 线速度、角速度和周期都可以用来描述匀速圆周运动的快慢。人们从不同的角度、运用不同的概念来判断运动的快慢，会得出不同的结果。那么，这三个概念之间有什么关系呢? 如图4—11所示，物体沿半径为厂的圆周做匀速圆周运动，则在一个周期内转过的角度为2，(，转过的弧长为27rr，这时的线速度和角速度的大小分别为 由以上两式还可得出 该式表明：在匀速圆周运动中， 当半径一定时，线速度与角速度成正比， 当角速度一定时，线速度与半径成正比； 当线速度一定时，角速度与半径成反比。 例如，在相互啮合的齿轮中，各齿轮轮缘的线速度的大小相等，但半径不同，因此角速度 不一样，周期也不一样。 3、线速度跟角速度的关系 线速度描述了做圆周运动的物体通过弧长的快慢，角速度描述了物体与圆心连线扫过角度的快慢.它们之间有什么关系？ 在图6.5-3中，设物体做圆周运动的半径为R，由A运动到B的时间为Δt，AB弧长为Δl，AB弧对应的圆心角为.当以弧度为单位时，即由于代入上式 题型01：圆周运动的定义和描述 【典型例题1】某质点同时受到在同一平面内的几个恒力作用处于平衡状态，某时刻突然撤去其中一个力，此后该物体：①可能做匀速直线运动②可能做匀变速曲线运动③轨迹可能为抛物线④轨迹可能为圆周。物体可能的状态是（　　） A．①③ B．①②③ C．①③④ D．②③ 【答案】D 【解析】平衡状态可能是静止状态也可能是匀速直线运动状态。质点同时受到在同一平面内的几个恒力作用处于平衡状态，撤去其中一个力，则剩余的所有力的合力与撤去的力等大反向且恒定不变。若此时物体速度与合力共线，则物体做匀变速直线运动，其运动轨迹为直线；若此时物体速度与合力方向不共线，则物体做匀变速曲线运动，其运动轨迹为抛物线。因为物体受力不平衡，所以不可能做匀速直线运动。圆周运动合力的方向不停变化，不是恒力，所以轨迹也不可能是圆周。 故选D。 【典型例题2】下列关于力和运动的说法正确的是（    ） A．物体受合力为恒力时，不可能做曲线运动 B．物体受合力大小变化时，可能做圆周运动 C．物体的加速度大小恒定时，速度要么增加，要么减小 D．物体受合力为变力时，不可能做直线运动 【答案】B 【解析】A．物体受合力为恒力时，可能做曲线运动。例如：平抛运动是受合力恒定的曲线运动，故A错误； B．物体受合力大小变化时，可能做圆周运动。例如：变速圆周运动的合力大小可以改变，故B正确； C．匀速圆周运动的加速度大小恒定时，速度大小不变，故C错误； D．物体受合力为变力时，若合力方向与速度方向在同一直线上，物体做直线运动，故D错误。 故选B。 【变式训练1-1】关于运动的性质，以下说法中正确的是（    ）． A．匀速圆周运动一定是变速运动 B．曲线运动一定是加速度变化的运动 C．匀速圆周运动是匀速运动 D．匀速圆周运动是匀变速运动 【变式训练1-2】一质点只受一个恒力的作用，其不可能的运动状态为 和 （只填序号）。 ①变速直线运动 ②匀速圆周运动 ③曲线运动 ④匀速直线运动 【变式训练1-3】（多选）如图所示，下列描述正确的是（   ） A．甲图中跳远起跳时地面对人的作用力大小等于人对地面的作用力大小 B．乙图中杯子处于静止状态，若手握杯子的力越大，则杯子受到的摩擦力越大 C．丙图中铅球被抛出后可以继续向前飞，是因为铅球具有惯性 D．丁图中汽车大桥上匀速转弯时，汽车的速度没有发生变化 题型02：匀速圆周运动 【典型例题1】关于匀速圆周运动，下列说法不正确的是（　　） A．在匀速圆周运动中线速度是恒量、角速度也是恒量 B．在匀速圆周运动中线速度是变量、角速度是恒量 C．线速度是矢量、其方向是圆周的切线方向 D．线速度、角速度都是矢量 【答案】A 【解析】AB．在匀速圆周运动中线速度大小不变，方向在变，故线速度是变量；角速度是恒量，故A错误，B正确； C．线速度是矢量、其方向是圆周的切线方向，C正确； D．线速度、角速度都是矢量，D正确。 本题选不正确的，故选A。 【典型例题2】空间站内属于微重力环境，可视为完全失重环境，空间站内的航天员欲测出一铁球的质量，他用一根不可伸长的轻绳一端固定在O点，另一端系待测铁球，使其绕O点在竖直面内做匀速圆周运动，用力传感器测出轻绳的拉力大小F，他用刻度尺量出绳长L及球的直径d，用秒表测出球做n个完整圆周运动的时间为t，下列说法正确的是（　　）    A．若让铁球在水平面内做圆周运动，则无法测出铁球的质量 B．根据题中给出的数据，可求出铁球的质量为 C．若不测球的直径，把绳长当做圆周运动的半径，则测得的质量偏小 D．若不测球的直径，改变绳长，测出两次的绳长、拉力及圆周运动的周期，也可计算出铁球的质量 【答案】D 【解析】A．完全失重环境，所以铁球可以在任意平面圆周运动，都可以测出铁球质量，故A错误； B．根据绳子拉力提供向心力 解得 故B错误； C．若不测球的直径，把绳长当做圆周运动的半径，则测得的质量偏大，故C错误； D．若不测球的直径，改变绳长，测出两次的绳长、拉力及圆周运动的周期，可通过解二元一次方程组，计算出铁球的质量及直径，故D正确。 故选D。 【变式训练2-1】对下列情景的分析和判断正确的说法（　　） A．点火后即将升空的火箭，因火箭还没运动，所以加速度一定为零 B．高速公路上沿直线高速行驶的轿车为避免事故紧急刹车，因轿车紧急刹车，速度变化很快，所以加速度很大 C．高速行驶的磁悬浮列车，因速度很大，所以加速度也一定很大 D．太空中的“天宫一号”人造卫星绕地球匀速转动，其速度没有发生变化，可以看作质点 【变式训练2-2】（多选）地下车库为了限制车辆高度，现已采用如图所示的曲杆道闸。道闸总长3m，由相同长度的转动杆AB与横杆BC组成。B、C为横杆的两个端点，道闸工作期间，横杆BC始终保持水平，转动杆AB绕A点匀速转动过程中，下列说法正确的是（　　） A．B点的加速度不变 B．B点的线速度大小不变 C．BC杆上各点的线速度均相等 D．C点做匀速圆周运动，圆心为A点 【变式训练2-3】汽车以恒定的速率绕圆形广场行驶一周，汽车每行驶周，它的速度方向改变多少度？汽车每行驶速度方向改变多少度？画出相隔两个位置汽车的速度矢量。 描述圆周运动的物理量 【典型例题】下列关于圆周运动的说法中正确的有（　　） A．做圆周运动的物体在相同时间内运动的周数相同，则物体做匀速圆周运动 B．做匀速圆周运动的物体的线速度不变 C．做匀速圆周运动的物体的角速度不变 D．做匀速圆周运动的物体的向心加速度不变 【答案】C 【解析】 A．做匀速圆周运动的物体，线速度大小处处相等，做圆周运动的物体在相同时间内运动的周数相同，则周期不变，但是不确定线速度大小处处相等， A错误； B．做匀速圆周运动的物体的线速度大小不变，方向时刻发生变化，B错误； C．做匀速圆周运动的物体的角速度不变，C正确； D．做匀速圆周运动的物体的向心加速度大小不变，方向时刻指向圆心，D错误。 故选C。 【变式训练】关于圆周运动下列说法正确的是（ ） A．物体受一恒力作用，可能做匀速圆周运动 B．匀速圆周运动是变加速曲线运动 C．向心加速度描述的是线速度大小变化的快慢 D．做圆周运动（含变加速圆周运动）的物体，其加速度一定指向圆心 题型03：线速度 【典型例题1】物体在做匀速圆周运动的过程中，关于其线速度的说法正确的是（　　） A．大小保持不变 B．方向时刻保持不变 C．大小、方向均保持不变 D．大小、方向均时刻改变 【答案】A 【解析】匀速圆周运动的线速度大小不变，方向时刻发生改变，故A正确，BCD错误。 故选A。 【典型例题2】在一场关于月球和地球的话剧中，地球对月球说：“你咋这么慢？我绕太阳1s能走29.79km，你绕我1s才走1.02km。”月球反驳道：“你可别这么说，你要用一年才绕太阳走一圈，我28天就走了一圈。到底谁慢？”，月球绕地球和地球绕太阳均可看成匀速圆周运动。则地球和月球线速度、角速度大小关系是（   ） A．v地 > v月，ω地 > ω月 B．v地 > v月，ω地 < ω月 C．v地 < v月，ω地 > ω月 D．v地 < v月，ω地 < ω月 【答案】B 【解析】根据线速度的概念，即 可知，地球的线速度比月球的线速度大，即v地 > v月；根据角速度的概念，即 可知，月球的周期小，则月球的角速度比地球的角速度大，即ω地 < ω月。 故选B。 【变式训练3-1】某同学设计了一货物输送装置，将一个质量为载物平台架在两根完全相同、半径为，轴线在同一水平面内的平行长圆柱上。已知平台与两圆柱间的动摩擦因数均为，平台的重心与两柱等距，在载物平台上放上质量为的物体时也保持物体的重心与两柱等距，两圆柱以角速度绕轴线作相反方向的转动，重力加速度大小为。现沿平行于轴线的方向施加一恒力，使载物平台从静止开始运动，物体与平台总保持相对静止。下列说法正确的是（    ）    A．物体和平台开始运动时加速度大小为 B．物体和平台做匀加速运动 C．物体受到平台的摩擦力逐渐减小 D．只有当时平台才能开始运动 【变式训练3-2】（多选）如图所示为某种水轮机的示意图，水平管中流出的水流冲击水轮机上的某挡板时，水流的速度方向刚好与水轮机上该挡板的线速度方向相同，水轮机圆盘稳定转动时的角速度为，圆盘的半径为。水流冲击某挡板时，该挡板和圆心连线与水平方向的夹角为37°，水流速度为该挡板线速度的2倍。忽略挡板的大小，重力加速度为，不计空气阻力，取，。则下列说法正确的是（　　） A．水从管口流出的速度为 B．水从管口流出的速度为 C．水管出水口距轮轴的水平距离为 D．水管出水口距轮轴的水平距离为 【变式训练3-3】在公路上一辆行驶的汽车过某弯道时，可认为做匀速圆周运动，该弯道的曲率半径为200m，汽车在10s内行驶了200m，则汽车过此弯道时线速度的大小为 m/s，角速度的大小为 rad/s。 题型04：角速度 【典型例题1】如图所示，世界上最大的无轴式摩天轮的总高度为145m，直径达125m，摩天轮匀速运行一周需时30min。摩天轮匀速转动的角速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】摩天轮匀速转动的角速度大小为 故选A。 【典型例题2】如图所示，一质点花了20s的时间沿圆形轨道从A点运动到B点，质点与圆心的连线在这段时间内转过的角度为，该过程中质点可以看成做匀速圆周运动，质点的角速度为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】质点的角速度为 故选D。 【典型例题3】物体做匀速圆周运动，速度的大小为2m/s，1s内速度变化的大小为2m/s，则匀速圆周运动的半径和角速度分别可以为（　　） A．3m和1rad/s B．1m和3rad/s C．和 D．和 【答案】D 【解析】由题意可知，1s内速度的矢量三角形为正三角形，即1s内物体转过的角度为，则可知 由 可知，物体做匀速圆周运动的半径为 故选D。 【变式训练4-1】一中学生沿400米圆形跑道，跑了全长的四分之三，用时一分钟。中学生运动的角速度大小为（　　） A．5rad/s B．rad/s C．rad/s D．rad/s 【变式训练4-2】(多选)甲沿着半径为R的圆周跑道匀速跑步，乙沿着半径为2R的圆周跑道匀速跑步。在相同的时间内，甲、乙各自跑了一圈，他们的角速度分别为ω1、ω2，线速度大小分别为v1、v2，频率分别为f1、f2，则(　　) A．ω1＞ω2，f1＞f2 B．ω1＝ω2，f1＝f2 C．ω1＝ω2，v1＜v2 D．ω1＜ω2，v1＞v2 【变式训练4-3】（多选）如图是德国物理学家史特恩设计的最早测定气体分子速率的示意图。M、N是两个共轴圆筒的横截面，外筒N的半径为R，内筒的半径比R小得多，可忽略不计。筒的两端封闭，两筒之间抽成真空，两筒以相同角速度绕其中心轴线匀速转动。M筒开有与转轴平行的狭缝S，且不断沿半径方向向外射出速率分别为和的分子，分子到达N筒后被吸附，如果R、、保持不变，取某合适值，则以下结论中正确的是（　　）    A．当时（n为正整数），分子落在不同的狭条上 B．当时（n为正整数），分子落在同一个狭条上 C．只要时间足够长，N筒上到处都落有分子 D．分子可能落在N筒上某两处且与S平行的狭条上 【变式训练4-4】如图，做匀速圆周运动的质点在2s内由A点运动到B点，AB弧长为4m，所对的圆心角为，该质点的线速度大小为 ，角速度大小为 。 【变式训练4-5】做匀速圆周运动的物体，其线速度大小v=3 m/s，角速度ω=6 rad/s。则在t=0.1s内 （1）物体通过的弧长s为多少米？ （2）半径转过的角度θ为多少rad？ （3）半径r是多少米？ 题型05：周期、角速度、转速、频率与线速度之间的关系式 【典型例题1】如图所示，一圆桶盛有适量的水，圆桶和水均绕其中心线匀速转动，a、b可以看做是水中两个质量相同的质点，a距离近些，则a、b的（　　）    A．线速度大小相等 B．角速度大小相等 C．加速度大小相等 D．向心力大小相等 【答案】B 【解析】B．圆桶绕其中心线匀速转动时，各部分水之间保持相对静止，角速度大小相等，故B正确； A．根据 b的速度大，故A错误； C．根据 b的加速度大，故C错误； D．根据 b的向心力大，故D错误。 故选B。 【典型例题2】（多选）两个物体都做匀速圆周运动，下列说法正确的是（    ） A．若两者线速度大小相同，则角速度一定相同 B．若两者角速度相同，则周期一定相同 C．若两者周期相同，则转速一定相同 D．若两者转速相同，则线速度一定相同 【答案】BC 【解析】A．由 可知，线速度大小相同时，角速度与半径成反比，则角速度不一定相同，故A错误； B．由 可知，角速度相同时，周期一定相同，故B正确； C．由 可知，周期相同时，转速一定相同，故C正确； D．由 可知，转速相同时，线速度与半径成正比，则线速度不一定相同，故D错误。 故选BC。 【典型例题3】（多选）如图所示的皮带传动装置中，轮A和B同轴，A、B、C分别是三个轮边缘的点，，则下列说法中正确的是（　　） A．A、B点的线速度之比 B．A、B点的角速度之比 C．A、C点的角速度之比 D．B、C点的周期之比 【答案】AC 【解析】AB．由于轮A和B同轴，可知A、B点的角速度相等，即 根据可得 故A正确，B错误； C．B、C点线速度相等，根据可得 故C正确； D．根据周期与角速度关系可得 故D错误。 故选AC。 【变式训练5-1】体育课上，某同学打羽毛球挥拍击球时，手臂和球拍正好在一条直线上，且一起绕O点做匀速圆周运动，若球拍中心到手掌心的距离等于手掌心到O点的距离，则球拍中心的线速度大小是手掌心的线速度大小的（　　）    A． B． C．4倍 D．2倍 【变式训练5-2】一个小孩坐在游乐场的旋转木马上，绕中心轴在水平面内做匀速圆周运动。圆周的半径为4.0m，当他的线速度为2.0m/s时，他的角速度为（　　） A．0.5 rad/s B．1 rad/s C．2 rad/s D．8 rad/s 【变式训练5-3】图示为一个玩具陀螺。a、b和c是陀螺上的三个点。当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时，下列表述正确的是（　　） A．a、b和c三点的线速度大小相等 B．a、b和c三点的角速度相等 C．a、b的角速度比c的大 D．c的线速度比a、b的大 【变式训练5-4】如图所示，甲、乙两运动员在冰面上训练弯道滑冰技巧，某次恰巧同时到达虚线PQ上的P点，然后分别沿半径和（）的跑道匀速率运动半个圆周后到达终点。设甲、乙质量相等，他们做圆周运动时的向心力大小也相等。下列判断中正确的是（　　） A．甲运动员的线速度较小 B．甲运动员的在相等的时间里转过的圆心角较小 C．甲到达终点所用的时间较长 D．在运动员转过半个圆周的过程中，甲的动量变化量等于乙的动量变化量 【变式训练5-5】嘉兴某高中开设了糕点制作的选修课，小明同学在体验糕点制作的“裱花”环节时，如图所示，他在绕中心匀速转动的圆盘上放了一块直径8英寸(20 cm)的蛋糕，在蛋糕边缘上每隔4 s“点”一次奶油，蛋糕随圆盘转一周后均匀“点”上了15次奶油，则下列说法正确的是(　　) A．圆盘转动的转速约为2π r/min B．圆盘转动的角速度大小约为 rad/s C．蛋糕边缘的奶油的线速度大小约为 m/s D．圆盘转动的频率约为 Hz 【变式训练5-6】A、B两质点分别做匀速圆周运动，在相同时间内，它们通过的弧长之比，而转过的角度之比，则它们的周期之比 ，半径之比 。 【变式训练5-7】炎炎盛夏，人们盼来了一场消减暑气的大雨。雨后雨伞上会沾有雨滴，转动雨伞时边缘的雨滴可视为随伞做水平面的圆周运动，当雨伞的角速度达到某值时，雨滴会从伞面边缘沿圆周切线甩出，如图所示。某同学拟通过该现象估算出雨伞转动的角速度大小，他测出雨伞边缘距离地面的高度h=1.8m，转动半径R=0.6m，假设图示雨滴甩出瞬间的速度与雨伞边缘的速度相等，在地面上形成一个“水圈”，“水圈”半径为r，重力加速度大小g=10m/s2。 （1）用R和r表示该雨滴的水平位移大小x； （2）若x=1.44m，，计算该雨滴刚离开雨伞边缘时的水平速度大小； （3）由（2）的结果计算雨伞转动的角速度ω。    题型06：传动问题 【典型例题1】如图所示，一个圆盘在水平面内匀速转动，盘面上有一个小物体随圆盘一起做匀速圆周运动。若圆盘转动的角速度为，小物体距圆盘中心距离为0.10m，则（　　） A．小物体的运动周期为2s B．小物体的运动周期为0.5s C．小物体的线速度大小为 D．小物体的线速度大小为 【答案】C 【解析】AB．小物体的运动周期 AB错误； CD．小物体的线速度大小 C正确，D错误。 故选C。 【典型例题2】如图所示，是某自行车的链条传动示意图，某时刻链条移动的速率为v，大、小齿轮角速度分别为ω1、ω2大、小齿轮的直径分别为d1、d2，则下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因大小齿轮边缘的线速度相等，都等于v，则 即 故选A。 【典型例题3】如图所示，一部机器由电动机带动，机器上的皮带轮半径是电动机皮带轮半径的3倍，皮带与两轮之间不发生滑动。那么，电动机皮带轮与机器皮带轮边缘的角速度之比、向心加速度之比分别为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由于皮带与两轮之间不发生滑动，则两轮边缘的线速度大小相等，由公式可知，电动机皮带轮与机器皮带轮边缘的角速度之比为半径的反比即为3：1，由公式可知，电动机皮带轮与机器皮带轮边缘的向心加速度之比为半径的反比即为3：1。 故选A。 【典型例题4】如图所示的齿轮传动装置中，主动轮和从动轮的齿大小相同，主动轮的齿数z1＝24，从动轮的齿数z2＝8，当主动轮以角速度ω逆时针转动时，从动轮的转动情况是(　　) A．顺时针转动，周期为 B．逆时针转动，周期为 C．顺时针转动，周期为 D．逆时针转动，周期为 【答案】A　 【解析】齿轮不打滑，说明接触点线速度相等，主动轮逆时针转动，故从动轮顺时针转动。因为齿的大小相等，主动轮的齿数z1＝24，从动轮的齿数z2＝8，故主动轮与从动轮的角速度之比＝＝，解得从动轮的角速度ω2＝3ω1＝3ω。由ω＝得从动轮的周期T 【典型例题5】如图所示，B和C是一组塔轮，即B和C半径不同，但固定在同一转轴上，其半径之比为RB∶RC＝3∶2，A轮的半径大小与C轮相同，它与B轮紧靠在一起，当A轮绕过其中心的竖直轴转动时，由于摩擦力作用，B轮也随之无滑动地转动起来．a、b、c分别为三轮边缘的三个点，则a、b、c三点在运动过程中的(　　) A．线速度大小之比为3∶2∶2 B．角速度之比为3∶3∶2 C．转速之比为2∶3∶2 D．向心加速度大小之比为9∶6∶4 【答案】　D 【解析】 　A、B靠摩擦传动，则边缘上a、b两点的线速度大小相等，即va∶vb＝1∶1，选项A错误；B、C同轴转动，则边缘上b、c两点的角速度相等，即ωb＝ωc，转速之比＝＝，选项B、C错误；对a、b两点，由an＝得＝＝，对b、c两点，由an＝ω2r得＝＝，故aa∶ab∶ac＝9∶6∶4，选项D正确． （2）轮A和轮B角速度为 轮A和轮C边缘上点的线速度大小为 轮B边缘上点的线速度大小为 轮C角速度为 【典型例题6】如图所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r，a是边缘上的一点，左轮上的两轮共用同一轮轴，大轮的半径为4r，小轮的半径为2r，b点在小轮上，到小轮中心的距离为r，c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上，若在传动过程中皮带不打滑，则a点和c点的角速度之比 ，a点和b点的线速度之比 ，d点和b点的线速度之比 。    【答案】 【解析】[1] a点和c点同缘转动，线速度相同，由 得 得 [2] c点和b点两点共轴转动，角速度相同，由 得 a点和c点线速度相同，a点和b点的线速度之比 [3] d点和b点两点共轴转动，角速度相同，由 得 【变式训练6-1】如图所示是一个玩具陀螺。a、b和c是陀螺上的三个点。当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时，下列表述正确的是（　　） A．a、b和c三点的角速度大小相等 B．a、b和c三点的线速度相等 C．a、b的角速度比c的大 D．c的线速度比a、b的大 【变式训练6-2】如图所示，静止在地球上的物体都要随地球一起转动，a是位于赤道上的一点，b是位于北纬30°的一点，则下列说法正确的是（　　） A．a、b两点的运动周期都相同 B．它们的角速度是不同的 C．a、b两点的线速度大小相同 D．a、b两点线速度大小之比为2： 【变式训练6-3】如图所示，圆环以直径为轴匀速转动，P、Q是圆环上的两点。已知圆环的半径，，，转动周期。计算结果中可以含有π。试计算： （1）环上Q点转动的角速度； （2）环上P点转动的线速度。 【变式训练6-4】如图所示，某同学在玩跳跳球，跳跳球绕右脚做圆周运动。设A、B两点线速度大小分别为和，角速度分别为和。下列说法正确的是（    ）    A． B． C． D． 【变式训练6-5】如图所示，小明正在荡秋干。关于秋千绳上a、b两点的线速度v和角速度ω的大小，下列关系正确的是（  ） A．= B．> C．= D．> 【变式训练6-6】如图所示，两个皮带轮的转轴分别是O1和O2，设转动时皮带不打滑，则皮带轮上边缘A、B和轮O1上点C三点的线速度、角速度、周期、加速度大小关系正确的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【变式训练6-7】（多选）如图所示，A为主动轮，为从动轮（皮带不打滑），两轮通过绷紧的皮带连接，两轮半径之比为，A轮匀速转动，、分别为A、轮边缘上的点，则（　　） A．、两点的线速度大小之比为 B．、两点的角速度大小之比为 C．、两点的周期之比为 D．、两点的向心加速度大小之比为 【变式训练6-8】如图是农村建房时常用的小型水泥搅拌机的侧视图。其料斗内有三根不同长短的铁支架与转轴相连接，通电让其旋转时工人将石子、水泥、细砂和水等物质缓慢的放入其中，在料斗的下方有一电动机通过皮带轧带动转轴旋转，驱使三根铁支架辅之转动，搅动料斗内的物质使之混合均匀成为混凝土。下列有关说法中正确的是（　　） A．三根支架最外端各点的线速度不同，但角速度相同 B．料斗内的物质随支架一起做圆周运动 C．转轴对长支架的作用力小于对短支架的作用力 D．转轴和电动机通过皮带相连接，它们的角速度相同 【变式训练6-9】如图是一种新概念自行车，它没有链条，共有三个转轮，A、B、C转轮半径依次减小。轮C与轮A啮合在一起，骑行者踩踏板使轮C动，轮C驱动轮A转动，从而使得整个自行车沿路面前行。对于这种自行车，下面说法正确的是（　　） A．转轮A、B、C线速度vA、vB、vC之间的关系是vA>vB>vC B．转轮A、B、C线速度vA、vB、vC之间的关系是vA=vB>vC C．转轮A、B、C角速度A、B、C之间的关系是A<B<C D．转轮A、B、C角速度A、B、C之间的关系是A=B>C 【变式训练6-10】如图所示，山地自行车的牙盘、飞轮之间用链条传动。运动员为获得较好加速效果，骑行时将牙盘上的链条放在半径最大的轮盘上，将飞轮上的链条放在半径最小的轮盘上。已知牙盘上最大轮盘的半径为18cm，飞轮上最小轮盘的半径为2cm，则牙盘飞轮边缘上两点的（    ）    A．转速之比为1：9 B．线速度之比为9：1 C．角速度之比为9：1 D．周期之比为1：9 【变式训练6-11】如图甲所示，修正带通过两个齿轮的相互咬合进行工作，其原理简化为图乙所示。若齿轮匀速转动，A、B为齿轮边缘上两点，C为大齿轮内部的点，且，下列说法正确的是（　　） A．三质点的角速度之比 B．三质点的线速度之比 C．三质点的周期之比 D．三质点的转速之比 【变式训练6-12】（多选）如图所示，为明代出版的《天工开物》一书中的牛力齿轮翻车的图画，若、B两齿轮半径的大小关系为，下列说法正确的是（　　） A．齿轮、B的角速度大小关系为 B．齿轮、B的角速度大小关系为 C．齿轮、B边缘的线速度大小关系为 D．齿轮、B边缘的线速度大小关系为 【变式训练6-13】如图，A轮通过摩擦带动B轮匀速转动，两轮间不发生相对滑动，A、B两轮转动周期分别为，边缘的线速度大小分别为，则（　　） A． B． C． D． 【变式训练6-14】如图所示，B和C是一组塔轮，即B和C半径不同，但固定在同一转轴上，其半径之比为RB∶RC＝3∶2，A轮的半径大小与C轮相同，它与B轮紧靠在一起，当A轮绕过其中心的竖直轴转动时，由于摩擦力作用，B轮也随之无滑动地转动起来．a、b、c分别为三轮边缘的三个点，则a、b、c三点在运动过程中的(　　) A．线速度大小之比为3∶2∶2 B．角速度之比为3∶3∶2 C．转速之比为2∶3∶2 D．向心加速度大小之比为9∶6∶4 【变式训练6-15】机动车某项检测过程如图：车轴A的半径为，车轮B的半径为，滚动圆筒C的半径为，车轮与滚动圆筒间不打滑，当车轮以恒定转速n（每秒钟n转）运行时，正确的是（　　） A．C的边缘线速度为 B．A、B的角速度大小相等，均为 C．A、B、C均沿顺时针方向转动 D．B、C的角速度之比为 【变式训练6-16】如图所示为某种自行车的链轮、链条、飞轮、踏板、后轮示意图，在骑行过程中，踏板和链轮同轴转动、飞轮和后轮同轴转动，已知链轮与飞轮的半径之比为3∶1，后轮直径为600 mm，当踩踏板做匀速圆周运动的角速度为5 rad/s时，后轮边缘处A点的线速度大小为(　　) A．9.00 m/s B．4.50 m/s C．0.50 m/s D．1.00 m/s 【变式训练6-17】变速自行车靠变换齿轮组合来改变行驶速度。如图所示是某一变速自行车齿轮转动结构示意图，图中A轮有48齿，B轮有42齿，C轮有18齿，D轮有12齿，则（　　） A．当B轮与D轮组合时，两轮的角速度之比=21：6 B．当B轮与D轮组合时，两轮边缘的线速度大小之比vB：vD=6：21 C．当A轮与D轮组合时，两轮的转速之比nA：nD=4：1 D．该自行车可变换四种不同挡位 【变式训练6-18】如图是自行车传动结构的示意图，其中大齿轮、小齿轮和后轮的半径分别为、和。假设脚踏板的转速为，则该自行车前进的速度为（　　） A． B． C． D． 【变式训练6-19】（多选）如图所示，轮O1、O3固定在同一转轴上，轮O1、O2用皮带连接且不打滑，在O1、O2、O3三个轮的边缘各取一点A、B、C，已知三个轮的半径之比r1∶r2∶r3=2∶1∶1。当转轴匀速转动时，下列说法中正确的是（　　） A．A、B、C三点的线速度之比为2∶2∶1 B．A、B、C三点的角速度之比为1∶2∶1 C．A、B、C三点的转速之比为2∶4∶1 D．A、B、C三点的周期之比为1∶2∶1 【变式训练6-20】如图所示，为一皮带传动装置，右轮半径为r，a为其边缘上的一点；左侧是一轮轴，大轮半径为4r，小轮半径为2r，b点在小轮上，到小轮中心的距离为r，c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上。若传动过程中皮带不打滑，求： （1）a，b两点的线速度之比； （2）a，d两点的角速度之比。 【变式训练6-21】多选）如图，A、B两点分别位于大、小轮的边缘上，C点位于大轮半径的中点，大轮的半径是小轮的3倍，它们之间靠摩擦传动，接触面不打滑。下面关于A、B、C三点的线速度v、角速度ω、加速度a、周期T等物理量，正确的是（　　）    A．vA：vB=1：1 B．ωA：ωB=3：1 C．aA：aC=2：1 D．TB：TC=1：1 【变式训练6-22】如图所示，B和C是一组塔轮，即B和C半径不同，但固定在同一转动轴上，其半径之比RB∶RC＝3∶2，A轮的半径大小与C轮相同，它与B轮紧靠在一起，当A轮绕过其中心的竖直轴转动时，由于摩擦作用，B轮也随之无滑动地转动起来。a、b、c分别为三轮边缘的三个点，求a、b、c三点在运动过程中的线速度大小、角速度大小、转速、周期之比。    【变式训练6-23】如图所示，A、B两个齿轮的齿数分别是z1、z2，各自固定在过O1、O2的轴上，其中过O1的轴与电动机相连接，此轴每分钟转速为n1。求： （1）B齿轮的转速n2。 （2）A、B两齿轮的半径之比。 （3）在时间t内，A、B两齿轮转过的角度之比。    题型07：圆周运动的周期性多解问题 【典型例题1】为了测定子弹的飞行速度，在一根水平放置的轴杆上固定两个薄圆盘A、B，盘A、B平行且相距，轴杆的转速为，子弹穿过两盘留下两弹孔，测得两弹孔所在半径的夹角，如图所示。则该子弹的速度可能是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，由公式可得，角速度为 设子弹的传播时间为，则有 解得 该子弹的速度为 当时 当时 当时 故选C。 【典型例题2】用如图所示的装置来测量小球做平抛运动的初速度和圆盘匀速转动的角速度，现测得圆盘的半径为R，在其圆心正上方高h处沿OB方向水平抛出一小球，使小球落点恰好在B处，重力加速度为g，则圆盘转动的角速度是的（　　）倍？    A．倍 B．n倍 C．倍（，2，3，…） D．倍（，2，3，…） 【答案】C 【解析】竖直方向，根据自由落体运动规律 到达圆盘的时间 则在此时间内圆盘应该恰好转动k周，其中k为正整数，故 解得 则是的倍（，2，3，…）。 故选C。 【典型例题3】（多选）各地为提高当地人们的业余生活水平，修建了各种冲关类娱乐游戏设施。下图为某地冲关游戏中的一个关卡。一个以某一角速度转动的圆盘浮在水面上，圆盘表面保持水平，M为圆盘边缘上一点。某时刻，参赛者从跑道上P点以速度水平向右跳出，初速度方向沿OM方向，且轨迹与OM在同一竖直平面内，正好落在M点，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　）    A．若跳出时刻不变，仅增大，参赛者仍可能落在M点 B．若跳出时刻不变，仅减小，参赛者一定不会落在M点 C．若跳出时刻不变，仅增大转盘的角速度，参赛者仍可能落在M点 D．若跳出时刻不变，仅增大转盘的角速度，参赛者不可能落在M点 【答案】BC 【解析】AB．本题中描述了两个不同的运动，参赛者做平抛运动，高度决定了平抛运动时间， 水平方向 （t一定） ， 圆盘做圆周运动，具有周期性，如图，人与M点位置关系（落点也可在M'），M转到M'位置，若一开始人落在M'， 增大，x增大，人仍可落在M点初始位置；但是M点在时间不变的情形此时在点，若一开始人落在M，减小，x减小，人仍可落在M'点，但是时间不变的情形下M点此时依旧在初始位置，即不会落在M点，故A错误，B正确； CD．若仅增大转盘角速度，在相同时间内转盘多转动整数圈，仍可落在M点，故C正确，D错误。 故选BC。 【典型例题4】（多选）如图所示，有一竖直圆筒，内壁光滑，上端开口截面水平。一小球沿水平方向由A点切入圆筒内侧，沿着筒壁呈螺旋状滑落，落地点恰好位于A点正下方。已知圆筒高5m，横截面圆环半径1m，，。则（　　） A．小球下落时间为1s B．小球进入圆筒初速度大小可能为3.14m/s C．小球进入圆筒初速度大小可能为6.28m/s D．小球进入圆筒初速度大小可能为12.56m/s 【答案】ACD 【解析】A．小球在竖直方向做自由落体运动，则有 解得小球下落时间为 故A正确； BCD．设小球进入圆筒初速度大小为，小球在水平方向做匀速圆周运动，根据题意有 （，，） 解得 （，，） 当时，可得 当时，可得 故B错误，CD正确。 故选ACD。 【变式训练7-1】如图所示，一位同学玩飞镖游戏，圆盘最上端有一P点，飞镖抛出时与P等高，且距离P点为L。当飞镖以初速度垂直盘面瞄准P点抛出的同时，圆盘以经过盘心O点的水平轴在竖直平面内匀速转动。忽略空气阻力，重力加速度为g，若飞镖恰好击中P点，则飞镖从飞出到击中P点所需的时间为 ，圆盘转动角速度的表达式为 。    【变式训练7-2】如图所示，M、N是两个共轴圆筒的横截面，外筒半径为R2，内筒半径R1，筒的两端是封闭的，两筒之间抽成真空。两筒以相同的角速度绕其中心轴线（图中垂直于纸面）做匀速转动。设从M筒内部可以通过窄孔S不断地向外射出两种不同速率v1和v2的微粒，从S处射出时的初速度的方向都是沿筒的半径方向，微粒到达N筒后就附着在N筒上，如果R1、R2、和都不变，则取下列选项中哪个值时可使所有微粒都打在N筒上同一点（　　） A． B． C． D． 【变式训练7-3】一位同学做飞镖游戏，已知圆盘的直径为d，飞镖距圆盘的水平距离为L。将飞镖对准A点以初速度水平抛出，在飞镖抛出的同时，圆盘以角速度绕垂直圆盘过盘心O的水平轴匀速转动.要使飞镖恰好击中A点，则飞镖的初速度和圆盘的角速度应满足（　　） A．， （1，2，3，……） B．， （0，1，2，……） C．， （1，2，3，……） D．只要，就一定能击中圆盘上的A点 【变式训练7-4】（多选）如图所示，趣味飞镖游戏的镖盘以角速度绕过O点的固定水平轴匀速转动，某人将一只飞镖正对盘边缘P点（O点正上方）以水平速度v0掷出，恰好击中镖盘上O点正下方的Q点（Q点不在盘边缘）。不计空气阻力，飞镖每次从同一位置正对P点水平掷出，下列说法正确的是（　　） A．若仅增大，飞镖可能击中P点 B．若仅减小，飞镖可能击中Q点 C．若减小、增加，飞镖可能击中Q点 D．若增加、减小，飞镖可能击中P点 【变式训练7-5】（多选）如图所示，质点P以O为圆心做匀速圆周运动，角速度为ω，圆周上水平虚线BD与AC垂直，若质点从C点开始运动的同时在D点正上方有一小球自由下落，不计空气阻力，要使小球与质点P相遇，重力加速度为g，则小球下落时离D点的高度可能为（　　） A． B． C． D． 【变式训练7-6】（多选）如图所示，夜晚电风扇在闪光灯下运转，闪光灯每秒闪45次，风扇转轴O上装有3个扇叶，它们互成120°角．当风扇转动时，观察者感觉扇叶不动，则风扇转速可能是(　　) A．600 r/min B．900 r/min C．1 200 r/min D．1 800 r/min 【变式训练7-7】如图所示，小球Q在竖直平面内逆时针做匀速圆周运动，当Q球转到与O在同一水平线上时，有另一小球P从距圆周最高点为h处开始自由下落，要使两球在圆周最高点相碰，重力加速度为g。求： （1）Q球转动的角速度ω； （2）Q球做匀速圆周运动的周期及其最大值。 【变式训练7-8】平向右为x轴的正方向。在圆心O正上方距盘面高为h处有一个可以间断滴水的容器，从t=0时刻开始随传送带沿x轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动。已知容器在t=0时刻滴下第一滴水，以后每当前一滴水刚好落到盘面上时后一滴水开始下落。水滴下落过程空气阻力不计，求： （1）第一滴水离开容器到落至圆盘所用时间t； （2）要使每一滴水在盘面上的落点都位于同一条直线上，求圆盘转动的角速度。 【变式训练7-9】如图所示，一位同学玩飞镖游戏。圆盘最上端有一点P，飞镖抛出时与P在同一竖直面内等高，且距P点的距离为L。在飞镖以初速度垂直盘面瞄准P点抛出的同时，圆盘绕经过盘心O点的水平轴在竖直平面内匀速转动。忽略空气阻力，重力加速度为g，若飞镖恰好击中P点，求： （1）圆盘的半径； （2）圆盘转动角速度的最小值； （3）P点随圆盘转动的线速度。 【变式训练7-10】如图所示，一半径的圆盘水平放置，在其边缘E点固定一个小桶，在圆盘直径的正上方平行放置一水平滑道，滑道右端C点与圆盘圆心O在同一竖直线上，高度差。为一竖直面内的光滑圆弧轨道，半径，且与水平滑道相切于B点。一质量的滑块（可视为质点）从A点由静止释放，当滑块经过B点时，对B点压力为，恰在此时，圆盘从图示位置以一定的角速度绕通过圆心的竖直轴匀速转动，最终物块由C点水平抛出，恰好落入圆盘边缘的小桶内。已知滑块与滑道间的动摩擦因数为0.3，取，求： （1）滑块到达B点时的速度； （2）水平滑道的长度； （3）圆盘转动的角速度应满足的条件。 【变式训练7-11】如图所示，半径为R的水平圆板中心轴的正上方高h处水平抛出一小球，圆板做匀速转动，当圆板半径OB转到与小球初速度方向平行时（图示位置），开始抛出小球，要使小球与圆板只碰一次，且碰撞点为B，求 （1）小球的初速度v0； （2）圆盘转动的最小角速度ω。 【变式训练7-12】如图所示，A、B两质点绕同一圆心沿顺时针方向做匀速圆周运动，A、B的周期分别为T1、T2，且T1<T2，从某一时刻两质点相距最近时开始，到两质点再次相距最近时，经达的最短时间是多少？到两质点最远时，经历的时间是多少？    题型08：向心力 （一）．向心力的定义及与向心加速度的关系 【典型例题1】下列物理量是标量，其单位又属于国际单位制中基本单位的一组是（    ） A．时间和位移 B．速度和加速度 C．向心力和质量 D．周期和路程 【答案】D 【详解】A．时间是标量，位移是矢量，故A错误； B．速度和加速度都是矢量，故B错误； C．向心力是矢量，质量是标量。故C错误； D．周期和路程都是标量，且它们的单位分别是秒和米是国际单位制中基本单位。故D正确。 故选D。 【典型例题2】关于物体的运动和力的关系，下列说法正确的是（　　） A．做匀速直线运动的物体，所受合力可能不为零 B．做匀加速直线运动的物体，所受合力一定不变 C．做匀速圆周运动的物体，所受合力一定不变 D．做曲线运动的物体，所受合力一定发生变化 【答案】B 【详解】A．做匀速直线运动的物体，所受合力一定零，A错误； B．加速度不变的运动是匀变速运动，因此做匀加速直线运动的物体，所受合力一定不变，B正确； C．做匀速圆周运动的物体，所受合力一定指向圆心，因此合力一定变化，C错误； D．做曲线运动的物体，合力与运动方向不同向，但所受合力可能不变，比如平抛运动，D错误； 故选B。 【典型例题3】关于向心力的说法正确的是（　　） A．物体由于做圆周运动而产生了向心力 B．向心力不改变圆周运动中物体线速度的大小 C．对做匀速圆周运动的物体进行受力分析时，一定不要漏掉向心力 D．做匀速圆周运动的物体其向心力是不变的 【答案】B 【详解】A．向心力是物体做圆周运动的原因，物体由于有向心力才做圆周运动，故A错误； BD．因向心力始终垂直于线速度方向，所以它不改变线速度的大小，只改变线速度的方向，当合外力完全提供向心力时，物体就做匀速圆周运动，该合力大小不变，方向时刻改变，即向心力是变力，故B正确，D错误； C．向心力是根据力的作用效果命名的，它可能是某种性质的力，也可能是某个力的分力或几个力的合力，受力分析时不能加入向心力，故C错误。 故选B。 【变式训练8-1-1】一个物体在光滑水平面上做匀速直线运动，从某一时刻起该物体受到一个始终跟速度方向垂直、大小不变的水平力作用，此后物体的运动（　　） A．速度的大小和方向均变化 B．加速度的大小和方向均变化 C．轨迹为抛物线 D．轨迹为圆 【变式训练8-1-2】关于曲线运动和运动合成的下列说法中正确的是（　　） A．匀速圆周运动是匀加速曲线运动 B．做匀速圆周运动的物体所受合外力是保持不变的 C．做匀速圆周运动的物体向心加速度与半径成反比 D．做匀速圆周运动的物体角速度与转速成正比 【变式训练8-1-3】下列说法正确的是（　　） A．物体做圆周运动，它所受的合力方向一定指向圆心 B．物体做匀速圆周运动所需的向心力大小必定与线速度的平方成正比 C．物体只要受到垂直于初速度方向的恒力作用，就一定能做匀速圆周运动 D．物体做匀速圆周运动的速度方向在时刻改变，故匀速圆周运动是变速运动 【变式训练8-1-4】如图，小物体在圆盘上随圆盘一起做匀速圆周运动，其向心力（　　） A．重力提供 B．始终指向圆盘中心 C．方向与速度方向相同 D．由圆盘对小物体的支持力提供 【变式训练8-1-5】（多选）一质量m1kg的物体在五个共点力的作用下处于平衡状态，现撤去其中一个大小等于5N的力，而其余四个力的大小、方向均保持恒定不变，则（　　） A．该物体可能做匀变速曲线运动 B．该物体可能做匀速圆周运动 C．该物体的加速度大小一定为5m/s2 D．撤去外力后1s末该物体的速度一定为5m/s 【变式训练8-1-6】变速圆周运动的受力特点 （1）指向圆心的分力Fn提供 ，改变物体速度的 ； （2）沿切向方向的分力Ft改变速度的 ，与速度方向相同时物体速度 ，与速度方向相反时，物体速度 。 （二）．判断哪些力提供向心力、有关向心力的简单计算 【典型例题1】一质量为的小球，以的速度在半径1m的轨道上做匀速圆周运动时，所需的向心力为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】小球做匀速圆周运动时，所需的向心力为 故选A。 【典型例题2】旋转篮球是每个篮球爱好者都会努力提升的一种技能。如图，半径约为13cm的篮球在某同学的手指上旋转，测得篮球上的一个小泥点在1min内随篮球旋转的圈数为60，由此可估算的物理量是（　　） A．小泥点的线速度大小 B．篮球旋转的角速度大小 C．小泥点的向心加速度大小 D．小泥点做圆周运动的向心力大小 【答案】B 【解析】B．篮球旋转的角速度为 所以B正确； ACD．小泥点随篮球旋转，其圆周运动的轨道半径等于泥点到转轴的距离，由于题目中没有该数据，所以小泥点的线速度大小、向心加速度大小和向心力大小均无法估算，ACD错误。 故选B。 【典型例题3】中国航天员首次进行太空授课，通过趣味实验展示了物体在完全失重状态下的一些物理现象。其中一个实验如图所示，将支架固定在桌面上，细绳一端系于支架上的O点，另一端拴着一颗钢质小球。现将细绳拉直但未绷紧，小球被拉至图中a点或b点并进行以下操作，在a点轻轻放手，小球将 （填写“竖直下落”或“静止不动”）；在b点沿垂直于绳子的方向轻推小球，小球将 （填写“做匀速圆周运动”或“沿圆弧做往复摆动”）。 【答案】 静止不动 做匀速圆周运动 【解析】[1]由于小球处于完全失重状态，故在a点轻轻放手时，小球将静止不动。 [2]在b点沿垂直于绳子的方向轻推小球时，小球获得了垂直于绳子方向的初速度，小球在绳子拉力提供向心力的作用下做匀速圆周运动。 【变式训练8-2-1】一质量为的小球，以的速度在半径1m的轨道上做匀速圆周运动时，所需的向心力为（　　） A． B． C． D． 【变式训练8-2-2】过山车的部分轨道可简化为半径为、的圆，其底部位于同一水平面上，。质量为的一节过山车（可简化为质点）以某一速度滑上半径为的轨道时，恰好能通过轨道的最高点；若过山车通过轨道的最高点时速度恰好与通过的最高点时相等，则过山车通过的最高点时对轨道压力为（　　） A．0 B． C． D． 【变式训练8-2-3】如图所示，游乐园有一种游戏设施叫做“魔盘”，当“魔盘”转动时，游客随“魔盘”一起做匀速圆周运动。分析游客的受力情况，下列说法正确的是（　　） A．游客受重力、支持力、摩擦力和向心力 B．游客受到摩擦力方向与运动方向相反 C．游客受到摩擦力方向与运动方向相同 D．游客受到摩擦力方向指向圆心 【变式训练8-2-4】狗拉雪橇在水平冰面上沿着圆弧形的道路匀速行驶，如图为四个关于雪橇受到的牵引力F及摩擦力f的示意图（O为圆心），其中正确的是（　　） A．B．C． D． 【变式训练8-2-5】做匀速圆周运动的物体，质量为1kg，10s内沿半径为20m的圆周运动100m，试求物体做匀速圆周运动时； （1）线速度的大小； （2）向心力的大小； （三）．通过牛顿第二定律求解向心力 【典型例题1】如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定的角速度转动，盘面上离转轴一定距离处有一小物体与圆盘始终保持相对静止。下列说法正确的是（　　） A．物体在最高点时静摩擦力的方向一定指向圆心 B．物体在最低点时静摩擦力的方向可能背向圆心 C．物体在最高点时静摩擦力可能是运动过程中的最大值 D．物体在最低点时静摩擦力一定是运动过程中的最大值 【答案】D 【解析】A．物体在最高点时由重力沿盘面向下的分力和静摩擦力f的合力提供向心力，所以静摩擦力的方向不一定指向圆心，也可能背向圆心，A错误； B．物体在最低点时重力的分力和静摩擦力的合力沿盘面向上，摩擦力的方向一定指向圆心，B错误； CD．物体在最低点时，有 式中为圆盘与水平面的夹角，为圆盘的角速度，r为物体的转动半径，可知此时静摩擦力是运动过程中的最大值，C错误，D正确。 故选D。 【典型例题2】甲、乙两名溜冰运动员，面对面拉着弹簧测力计做圆周运动，如图所示，已知两人的质量m甲＞m乙，下列判断正确的是（　　） A．甲、乙的线速度大小相等 B．甲、乙的角速度大小相等 C．甲、乙的轨迹半径相等 D．甲受到的向心力比较大 【答案】B 【解析】A．甲、乙两名溜冰运动员角速度相同，根据公式v=ωr，由于转动半径不同，故线速度不相等，故A错误； B．甲、乙两名溜冰运动员做匀速圆周运动，是共轴转动，角速度相同，故B正确； CD．弹簧测力计对甲、乙两名运动员的拉力提供向心力，则向心力相等，根据牛顿第二定律得 = 解得 已知＞，所以乙做圆周运动的半径较大，故CD错误。 故选B。 【典型例题3】在光滑水平面上相距20 cm的两点钉上A、B两个钉子，一根长1 m的细绳一端系小球，另一端拴在A钉上，如图所示.已知小球质量为0.4 kg，小球开始以2 m／s的速度做水平匀速圆周运动，若绳所能承受的最大拉力为4 N，则从开始运动到绳拉断历时为（    ） A．2.4π s B．1.4π s C．1.2π s D．0.9π s 【答案】C 【解析】小球做匀速圆周运动时，由绳子的拉力充当向心力，当绳断裂时，有 Fn＝＝4N 即 r=0.4m 小球每转半圈，长度减小d=20cm，所以小球转的半圈的圈数是 第一个半圆所用时间为 第二个半圆所用时间为 第三个半圆所用时间为 故所用时间为 t=++=1.2π s ABD错误，C正确。 故选C。 【变式训练8-3-1】如图所示为市场出售的苍蝇拍，拍柄长约30cm．这种苍蝇拍实际使用效果并不理想，有人尝试将拍柄增长到60cm．若挥拍时手的动作完全相同，则改装后拍头（ ） A．线速度变大 B．角速度变大 C．向心加速度变小 D．向心力变小 【变式训练8-3-2】如图所示，半径为r的圆筒，绕竖直中心轴OO'转动，小物块a靠在圆筒的内壁上，它与圆筒的动摩擦因数为μ，现要使小物块a不下滑，则圆筒转动的角速度ω至少为（　　） A． B． C． D． 【变式训练8-3-3】荡秋千是小朋友们最喜欢的游戏之一，如图为一秋千模型，水平横梁与每一根绳间装有力传感器，质量为40kg的小朋友坐在秋千上，小朋友重心离系绳子的水平横梁垂直距离为2m。若秋千板摆到最低点时，每一根绳上的拉力显示为450N，忽略板和绳的质量，重力加速度g取，则小孩在此位置运动的速度大小约为（　　） A． B． C． D． 【变式训练8-3-4】（多选）如图所示，摩天轮悬挂的座舱在竖直平面内做匀速圆周运动．座舱的质量为m，运动半径为R，角速度大小为ω，重力加速度为g，则座舱    A．运动周期为 B．线速度的大小为ωR C．受摩天轮作用力的大小始终为mg D．所受合力的大小始终为mω2R 【变式训练8-3-5】如图（a）所示，A、B为钉在光滑水平面上的两根铁钉，小球C用细绳拴在铁钉B上（细绳能承受足够大的拉力），A、B、C在同一直线上。时，给小球一个垂直于绳的速度，使小球绕着两根铁钉在水平面上做圆周运动。在时间内，细绳的拉力随时间变化的规律如图（b）所示，则： （1）两钉子间的距离为绳长的几分之几？ （2）时细绳的拉力大小？ （3）时细绳的拉力大小？ 【变式训练8-3-6】波轮洗衣机中的脱水筒在脱水时，衣服紧贴在筒壁上做匀速圆周运动。某洗衣机的有关规格如下表，在运行脱水程序时，有一质量的硬币被甩到筒壁上，随筒壁一起做匀速圆周运动。已知硬币与筒壁间的动摩擦因数为0.3。求硬币受到的摩擦力和弹力大小。（g取，取10） 型号 xx 额定电压、频率 ~220V、50Hz 额定脱水功率 225W 质量 31kg 脱水转速 600r/min 脱水筒尺寸 直径300mm，高370mm 外形尺寸 长555mm，宽510mm，高870mm 题型09：探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系 【典型例题1】探究向心力与角速度之间的关系时，对质量相同的两个小球，操作正确的是（　　） A．将两小球分别放在挡板A与挡板B进行操作 B．将两小球分别放在挡板A与挡板C进行操作 C．将两小球分别放在挡板B与挡板C进行操作 D．调整传动皮带使两个变速塔轮角速度相同 【答案】B 【解析】实验目的是“探究向心力与角速度之间的关系”，用控制变量法进行探究，在保证小球质量、圆周半径一定（相同）的前提下，探究小球向心力大小与小球角速度大小之间的关系，题中已经选用的两个小球质量相同，则再需保证圆周半径相等，就可以开始试验了，故两小球应分别放在挡板A与挡板C进行操作（半径相等），而两个变速塔轮角速度相同，只是让皮带连接的两个转盘边缘点的线速度相等，不是这个实验需要保证的条件，故ACD错误，B正确。 故选B。 【典型例题2】向心力演示器如图所示，把两个质量相同的小球分别放在长槽和短槽内，使它们做圆周运动的半径相同。依次调整塔轮上皮带的位置，匀速转动手柄，可以探究（　　） A．向心力的大小与质量的关系 B．向心力的大小与半径的关系 C．向心力的大小与角速度的关系 D．以上三者均可探究 【答案】C 【解析】两球质量m相同，做圆周运动的半径r相同，在调整塔轮上的皮带的位置时，由于皮带上任意位置的线速度相同，根据 可知改变了两个塔轮做圆周运动的角速度ω，物体的角速度也随之改变，故可以探究向心力大小与角速度的关系，故C正确，ABD错误。 故选C。 【典型例题3】如图所示，是探究向心力的大小F与质量m、角速度和半径r之间的关系的实验装置图。转动手柄1，可使变速塔轮2和3以及长槽4和知槽5随之匀速转动，皮带分别套在变速塔轮2和3上的不同圆盘上。可使两个槽内的小球6、7分别以不同的角速度做匀速圆周运动。小球做圆周运动的向心力由横臂8的挡板对小球的压力提供，球对挡板的反作用力，通过横臂8的杠杆作用使弹簧测力套筒9下降，从而露出标尺10。标尺10上露出的红白相间的等分格显示出两个球所受向心力的比值，那么下列说法中正确的是（　　） A．转动手柄1的快慢不会影响露出标尺的多少 B．转动手柄1的快慢会影响两个球所受向心力的比值 C．如果保证两小球角速度相同，两小球应该同时放在长槽内 D．为了探究向心力大小和角速度的关系，皮带应套在变速塔轮2和3的不同半径的圆盘上 【答案】D 【解析】A．转动手柄1的快慢会影响小球做圆周运动的角速度大小，从而影响向心力大小，则会影响露出标尺的多少，选项A错误； B．因变速塔轮转动的角速度比值是一定的，则当转动手柄1的快慢时，两球转动的角速度比值一定，则两球所受向心力的比值一定，即转动手柄1的快慢不会影响两个球所受向心力的比值，选项B错误； C．如果保证两小球角速度相同，皮带应该套在变速塔轮2和3上的相同圆盘上，选项C错误； D．为了探究向心力大小和角速度的关系，皮带应套在变速塔轮2和3的不同半径的圆盘上，选项D正确。 故选D。 【典型例题4】如图所示是研究向心力的大小F与质量m。角速度和半径r之间的关系的实验装置图。 （1）现将两小球分别放在两边的槽内。为了探究小球受到的向心力大小和角速度的关系，下列做法正确的是 。 A．让两个小球运动半径相等，用质量相同的小球做实验； B．让两个小球运动半径相等，用质最不同的小球做实验 C．让两个小球运动半径不相等，用质量不同的小球做实验 D．让两个小球运动半径不相等，用质量相同的小球做实验 （2）在该实验中采用了 （选填“理想实验法”“控制变量法”或“等效替代法”）来探究向心力的大小F与质量m、角速度和半径r之间的关系。 （3）当用两个质量相等的小球做实验，且右边的小球的轨道半径与左边小球轨道半径相等，转动时发现右边标尺上露出的红白相间的等分格数为左边的4倍。那么，右边轮塔与左边轮塔之间的角速度之比为 。 【答案】 A 控制变量法 2：1 【解析】（1）[1]根据向心力公式 可知要研究小球受到的向心力大小与角速度的关系，需控制小球的质量和小球运动的半径相等。 故选A。 （2）[2]在该实验中采用了控制变量法来探究向心力的大小F与质量m、角速度和半径r之间的关系。 （3）[3]转动时发现右边标尺上露出的红白相间的等分格数为左边的4倍，则有 两个小球的质量相等、轨道半径相等，由公式可得 【变式训练9-1】在探究小球做圆周运动所需向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系的实验中下列说法正确的是（　　） A．本实验采用的实验方法是放大法 B．在探究向心力的大小F与角速度ω的关系时，要保持ω和r相同 C．在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与角速度成正比 D．在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比 【变式训练9-2】某同学用如图所示的装置做“探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系”实验，使铝球A和钢球B做圆周运动的角速度相等、半径相等，则探究的是向心力大小（　　）    A．与质量的关系 B．与线速度大小的关系 C．与角速度大小的关系 D．与半径的关系 【变式训练9-3】物理学的研究中提出一些物理学思想方法，如等效替代法、控制变量法、极限思想法、类比法、微元法等。以下关于所用物理学研究方法的说法不正确的是（    ） A．探究向心力大小表达式实验中，采用了控制变量法 B．在探究两个互成角度力的合成实验中，采用了等效替代法 C．在探究加速度与力、质量关系的实验中，采用了控制变量法 D．在推导匀变速运动位移公式时，把整个运动过程分成很多小段，每一小段近似看作匀速运动，然后把各小段的位移相加，这里采用了等效替代法 【变式训练9-4】物理学是集科学知识、科学方法和科学思维为一体的学科。下列有关科学思维方法的叙述正确的是（　　） A．图甲所示，在观察桌面的微小形变时，运用了极限思维法 B．图乙所示“探究两个互成角度的力的合成规律”实验中，运用了理想模型法 C．图丙所示的“探究向心力大小与质量、角速度、轨道半径的关系”实验中，运用了类比法 D．图丁为著名的伽利略斜面实验，运用了理想实验法 【变式训练9-5】在物理学的探索和发展过程中，关于物理概念的建立和物理规律的形成，科学家们运用了许多研究方法。以下叙述中正确的是（　　） A．在建立“质点”和“点电荷”的概念时，运用的是理想模型的方法 B．在建立“合力与分力”的概念时，运用的是极限法 C．根据速度定义式，当时，就可以表示物体在t时刻的瞬时速度，该定义用的是控制变量法 D．在探究向心力大小与质量、运动半径、角速度之间的关系时，分别保持某两个量不变，研究向心力大小与另一个量之间的关系，这里运用的是等效替代的方法 【变式训练9-6】（多选）我们可以用如图所示的实验装置来探究影响向心力大小的因素。长槽横臂的挡板B到转轴的距离是挡板 A的2倍，长槽横臂的挡板A和短槽横臂的挡板C到各自转轴的距离相等。转动手柄使长槽和短槽分别随变速塔轮匀速转动，槽内的球就做匀速圆周运动。横臂的挡板对球的压力提供了向心力，球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆作用使弹簧测力筒下降，从而露出标尺，标尺上的红白相间的等分格显示出两个球所受向心力的相对大小（　　） A．若要研究向心力大小与小球质量的关系，应该用质量不同的两个小球，分别放在挡板B和挡板C处，并使变速塔轮的半径相同 B．若要研究向心力大小与小球质量的关系，应该用质量不同的两个小球，分别放在挡板A和挡板C处，并使变速塔轮的半径相同 C．若要研究向心力大小与小球角速度的关系，应该用质量相同的两个小球，分别放在挡板B和挡板C处，并使变速塔轮的半径不同 D．若要研究向心力大小与小球角速度的关系，应该用质量相同的两个小球，分别放在挡板A和挡板C处，并使变速塔轮的半径不同 【变式训练9-7】如图所示，在验证向心力公式的实验中，质量相同的钢球①②分别放在转盘A、B上，它们到所在转盘转轴的距离之比为2：1。a、b分别是与A盘、B盘同轴的轮。a、b的轮半径之比为1：2，用皮带连接a、b两轮转动时，钢球①②的角速度之比为 ，所受的向心力之比为 。 【变式训练9-8】图示装置为“向心力演示器”，已知挡板B、C到左右塔轮中心轴的距离相等，A到左塔轮中心轴距离是B到左塔轮中心轴距离的2倍，皮带连接的左右每层变速塔轮对应的半径之比均已知。某实验小组用此装置来探究向心力的决定因素。 （1）如果要探究向心力与角速度的关系，则应该将质量相同的小球分别放在挡板 （填“A、B”，“A、C”或“B、C”）处，并且确保左右变速塔轮的半径 （填“相同”或“不同”）。 （2）在记录两个标尺露出的格数时，同学们发现要同时记录两边的格数且格数又不是很稳定，不便于读取。于是有同学提出用手机拍照后再通过照片读出两边标尺露出的格数。下列对该同学建议的评价，你认为正确的是 。 A．该方法可行，且不需要匀速转动手柄 B．该方法可行，但仍需要匀速转动手柄 C．该方法不可行，因不能确定拍照时露出的格数是否已稳定 （3）探究完毕后，同学们想继续利用探究结果粗略测量某小球b的质量。他们将另一质量已知的小球a放在挡板B处，待测质量小球b放在挡板C处，皮带套在两边塔轮半径相同的轮盘上，转动手柄时发现，标尺1几乎露出所有格数时，标尺2露出格数还不足一格，则接下来的操作可行的是 。 A．将小球a放在B处，小球b放在C处，同时减小左右两侧塔轮的半径比 B．将小球a放在A处、小球b放在C处，同时减小左右两侧塔轮的半径比 C．将小球a放在C处、小球b放在A处，同时减小左右两侧塔轮的半径比 【变式训练9-9】如图甲是某同学用圆锥摆粗略验证向心力表达式的实验，细线下端悬挂一个小钢球，细线上端固定在铁架台上。将画着几个同心圆的白纸置于水平桌面上，使钢球静止时正好位于圆心。实验步骤如下： ①用天平测出钢球的质量m=0.100kg，用直尺测出悬点到球心的竖直高度h，如图乙所示，h= cm（悬点与直尺的零刻线对齐）； ②用手带动钢球，设法使它沿纸上的某个圆周运动，随即手与钢球分离； ③用秒表记下钢球运动30圈的时间为60.0s，算出钢球匀速圆周运动的周期T； ④通过纸上的圆测出钢球做圆周运动的半径r=4.00cm。 （1）钢球所需向心力的表达式F1= ，钢球所受合力的表达式F2= （用题中物理量符号、重力加速度g及常数π表示）； （2）将测量数据代入（1）中表达式，计算出F1= N，F2= N（g取10m/s2，π2≈9.9，结果保留两位有效数字）。从而粗略验证了向心力表达式。 【变式训练9-10】（1）用如图所示的向心力演示器探究向心力大小的表达式。匀速转动手柄，可以使变速塔轮以及长槽和短槽随之匀速转动，槽内的小球也随着做匀速圆周运动。使小球做匀速圆周运动的向心力由横臂的挡板对小球的压力提供，球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆作用使弹簧测力套筒下降，从而露出标尺。    ①为了探究向心力大小与物体质量的关系，可以采用 （选填“等效替代法”“控制变量法”或“理想模型法”）。 ②根据标尺上露出的等分标记，可以粗略计算出两个球所受的向心力大小之比；为研究向心力大小跟转速的关系，应比较表中的第1组和第 组数据。 组数 小球的质量m/g 转动半径r/cm 转速 1 14.0 15.00 1 2 28.0 15.00 1 3 14.0 15.00 2 4 14.0 30.00 1 （2）用铁架台、下端带挂钩的不同弹簧若干50g的钩码若干、刻度尺等，安装如图甲所示的装置，探究弹簧弹力F的大小与伸长量x之间的定量关系。    ①未挂钩码时，弹簧原长放大如图甲所示，可读得原长 cm。（弹簧上端与0刻线对齐） ②取A、B弹簧分别做实验，把得到的数据描绘成如图乙的F-x图像，由图乙可知劲度系数较大弹簧的劲度系数为 N/m。 【变式训练9-11】某同学利用“向心力定量探究仪”探究向心力大小与质量、半径和角速度的关系，装置如下图所示，小球放在光滑的带四槽的旋转杆上，其一端通过细绳与电子测力计相连，当小球和旋转杆被电机带动一起旋转时，控制器的显示屏显示小球质量、转动半径、转动角速度以及细绳拉力的大小。    （1）该同学采用控制变量法，分别改变小球质量、转动角速度以及 进行了三组实验，测得的实验数据如下表甲、乙、丙所示。 小球质量 转动半径 角速度 向心力 0.1 0.2 3.15 0.2 0.2 6.29 0.3 0.2 9.45 0.4 0.2 12.61 甲 小球质量 转动半径 角速度 向心力 0.2 0.1 3.16 0.2 0.2 6.31 0.2 0.3 9.46 0.2 0.4 12.63 乙 小球质量 转动半径 角速度 向心力 0.2 0.2 1.57 0.2 0.2 6.29 0.2 0.2 14.14 0.2 0.2 25.16 丙 （2）由甲表的数据可得：当 一定时，小球的向心力大小与 成 比。 （3）为了通过作图法更直观地呈现向心力与角速度之间的关系，应绘制的图像是 。 A．图    B．图    C．图    D． 【变式训练9-12】某实验小组用如图甲所示的装置探究向心力大小的相关影响因素。光滑的水平直杆固定在竖直转轴上，一激光器置于水平直杆上方，发出的激光能被正下方的接收器接收并记录（实验中控制细线长度使得激光只能被水平直杆遮挡），通过连接计算机可显示所接收激光的光照强度随时间的变化信息，水平直杆的右侧套上质量为m的滑块，用细线将滑块与固定在竖直转轴上的力传感器相接，细线处于水平伸直状态，拉力大小可由力传感器测得。    （1）为探究向心力大小与半径的关系，应保持转动的角速度和 不变； （2）某次实验中计算机显示接收器所接收激光的光照强度随时间变化的信息如图乙所示，若此时细线长度为L＝0.2m，滑块的质量m＝0.1kg，不计滑块体积，则力传感器的示数应为 N（保留三位有效数字，取9.86）； （3）改变细线的长度L，以对应力传感器的示数F为纵坐标，细线长度L为横坐标，绘制出向心力随半径变化的图像为一条倾斜的直线，若增加转动的角速度，则图线的斜率会 （填“变大”、“变小”或“保持不变”）。 【变式训练9-13】某实验小组做探究影响向心力大小因素的实验： （1）方案一：用如图甲所示的装置，已知小球在挡板A、B、C处做圆周运动的轨迹半径之比为1:2:1，变速塔轮自上而下按如图乙所示三种组合方式，左右每层半径之比由上至下分别为1:1、2:1和3:1。回答以下问题：    ①本实验所采用的实验探究方法与下列哪些实验是相同的 ； A．探究平抛运动的特点 B．探究影响导体电阻的因素 C．探究两个互成角度的力的合成规律 D．探究加速度与物体受力、物体质量的关系 ②在某次实验中，把两个质量相等的钢球放在B、C位置，探究向心力的大小与半径的关系，则需要将传动皮带调至第 层塔轮（填“一”“二”或“三”）。 （2）方案二：如图丙所示装置，装置中竖直转轴固定在电动机的转轴上（未画出），光滑的水平直杆固定在竖直转轴上，能随竖直转轴一起转动。水平直杆的左端套上滑块P，用细线将滑块P与固定在竖直转轴上的力传感器连接，细线处于水平伸直状态，当滑块随水平直杆一起匀速转动时，细线拉力的大小可以通过力传感器测得。水平直杆的右端最边缘安装了宽度为d的挡光条，挡光条到竖直转轴的距离为L，光电门可以测出挡光条经过光电门所用的时间（挡光时间）。滑块P与竖直转轴间的距离可调。回答以下问题：    ①若某次实验中测得挡光条的挡光时间为，则滑块P的角速度表达式为ω= ； ②实验小组保持滑块P质量和运动半径r不变，探究向心力F与角速度ω的关系，作出F-ω2图线如图丁所示，若滑块P运动半径r=0.3m，细线的质量和滑块与杆的摩擦可忽略，由F-ω2图线可得滑块P质量m= kg（结果保留2位有效数字）。 【变式训练9-14】如图甲是“探究向心力大小F与质量m、半径r、角速度的关系”的实验装置示意图。电动机带动转台匀速转动，改变电动机的电压可以改变转台的转速：质量为m的金属块放在转台上随转台一起转动，金属块到转轴的水平距离为r，用一轻质细线绕过固定在转台中心的光滑小滑轮与力传感器连接，可直接测量向心力的大小F；转台一端下方固定挡光宽度为d的挡光杆，挡光杆经过光电门时，系统将自动记录其挡光时间。金属块与转台之间的摩擦力忽略不计。 （1）某同学测出挡光杆到转轴的水平距离为R，转台匀速转动时挡光杆经过光电门时的挡光时间为，转台的角速度的表达式为 （用题目中所给物理量的字母表示）。 （2）该同学为了探究向心力大小F与角速度的关系，需要控制 和 两个量保持不变；多次改变转速后，记录了一系列力与对应角速度的数据，作出图像如图乙所示，若已知金属块质量，则金属块到转轴的水平距离 m。（结果保留2位有效数字） 【变式训练9-15】卫星绕地球做匀速圆周运动时处于完全失重状态，在这种环境中无法用天平称量物体的质量。某同学在该环境中设计了右图所示的装置来间接测量物体A的质量。给待测物体A一个初速度，使之在桌面上做匀速圆周运动。设航天器中除如图所示的弹簧秤外，还有刻度尺和秒表。则： （1）在实验时，测得弹簧秤的示数为F，物体做圆周运动的半径R，周期为T，则待测物体质量 表达式为m= 。 （2）在安装实验装置时，若桌面与水平面有一定夹角，则在小球沿桌面做匀速圆周运动速度过程中，弹簧秤的示数F 产生周期性的变化。（填“会”或“不会”） 一、单选题 1．关于匀速圆周运动，下列说法中正确的是（　　） A．周期不变 B．线速度大小、方向均不变 C．向心力大小、方向均不变 D．向心加速度大小、方向均不变 2．对于做匀速圆周运动的质点，下列说法正确的(　　) A．根据公式v＝ωr，可知其线速度v与半径r成反比 B．根据公式v＝ωr，可知其线速度v与半径r成正比 C．根据公式ω＝，可知其角速度ω与半径r成反比 D．根据公式ω＝2πn，可知其角速度ω与转速n成正比 二、多选题 3.下列说法正确的是（　　） A．匀速圆周运动的速度大小保持不变，所以做匀速圆周运动的物体没有加速度 B．做匀速圆周运动的物体，虽然速度大小不变，但方向时刻在改变，所以必有加速度 C．做匀速圆周运动的物体，加速度的大小保持不变，所以是匀变速（曲线）运动 D．匀速圆周运动的加速度大小虽然不变，但方向始终指向圆心，加速度的方向发生了变化，所以匀速圆周运动既不是匀速运动，也不是匀变速运动 4．一质点做匀速圆周运动，其线速度大小为 4 m/s，转动周期为 2 s，则下列说法正确的是（　　） A．角速度为 0.5 rad/s B．转速为 0.5 C．运动轨迹的半径约为 1.27 m D．2 s 内质点位移为 8 m 5．一质量m1kg的物体在五个共点力的作用下处于平衡状态，现撤去其中一个大小等于5N的力，而其余四个力的大小、方向均保持恒定不变，则（　　） A．该物体可能做匀变速曲线运动 B．该物体可能做匀速圆周运动 C．该物体的加速度大小一定为5m/s2 D．撤去外力后1s末该物体的速度一定为5m/s 6．如图所示，在水平转台上放一个质量M的木块，细绳的一端系住木块，另一端穿过转台的中心孔O(为光滑的)悬吊一质量m的小球，当转台以某一恒定角速度转动过程中木块相对转台始终静止，关于木块所受摩擦力说法正确的是(　　) A．摩擦力大小可能为零 B．若有摩擦力，摩擦力方向可能沿切线方向 C．若有摩擦力，摩擦力方向一定沿半径向外 D．若有摩擦力，摩擦力方向可能指向圆心 7．如图所示，放于水平面内的光滑金属细圆环半径为R，质量为m的带孔小球穿于环上，同时有一长为R的细绳一端系于球上，另一端系于圆环最低点，绳上的最大拉力为2mg，当圆环以角速度ω绕竖直直径转动时，发现小球收到3个力的作用，则ω可能为（　　） A． B． C． D． 8．如图所示，质量为m的物体与转台之间的动摩擦因数为μ，物体与转轴间距离为R，物体随转台由静止开始转动，当转台转速增加到某一值后转台开始匀速转动，整个过程中物体相对于转台静止不动，则以下判断正确的是(　　) A．转台转速增加的过程中，转台对物体静摩擦力的方向一定指向转轴 B．转台转速增加的过程中，转台对物体静摩擦力的方向跟物体速度间夹角一定小于90° C．转台匀速转动的过程中，转台对物体静摩擦力的方向一定指向转轴 D．转台匀速转动的过程中，转台对物体静摩擦力的方向一定跟物体的速度方向相反 解答题 9．如图（a）所示，A、B为钉在光滑水平面上的两根铁钉，小球C用细绳拴在铁钉B上（细绳能承受足够大的拉力），A、B、C在同一直线上。时，给小球一个垂直于绳的速度，使小球绕着两根铁钉在水平面上做圆周运动。在时间内，细绳的拉力随时间变化的规律如图（b）所示，则： （1）两钉子间的距离为绳长的几分之几？ （2）时细绳的拉力大小？ （3）时细绳的拉力大小？ 10．如图所示，“┏”形框架的水平细杆OM和竖直细杆ON均光滑，质量分别为m、3m金属环a、b用长为l的轻质细线连接，分别套在水平细杆和竖直细杆上，水平细杆离地高度为2.5l，a环在水平外力作用下，静止在水平杆末端M处，且θ=37°，重力加速度为g，sin37°=0.6，cos37°=0.8。 （1）求线上的张力T； （2）若撤去a环上的水平拉力，让整个装置绕ON匀速转动，使细线与水平杆间夹角仍为37°，求此时装置转动的角速度； （3）在第2问的情景下，突然线断开，求当a环落地时，a、b环之间的距离s（两环落地后不反弹）。 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $