4.2.1指数函数的概念同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本练习通过基础-中档-提升三层设计，以指数函数概念为起点，经性质综合过渡到实际应用，强化从数学概念到问题解决的思维进阶，培养数学抽象与建模能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|指数函数概念、基本性质|以概念辨析（如选择1）和简单运算（如填空11）巩固定义，培养抽象能力| |中档|性质综合、图像应用|结合奇偶性（如选择7）和几何背景（如选择10），发展逻辑推理与直观想象| |提升|实际问题建模|通过复利计算（解答16）、污染治理（解答19）等情境，强化数学应用与模型意识|

课时作业28　指数函数的概念 一、选择题 1．下列函数中，指数函数的个数为(　　) ①y＝()x-1；②y＝ax(a>0，且a≠1)；③y＝1x；④y＝()2x－1. A．0个 B．1个 C．3个 D．4个 2．已知函数f(x)＝若f(f(－1))＝1，则a＝(　　) A． B． C．1 D．2 3．已知f(x)＝2x＋2－x，若f(a)＝4，则f(2a)＝(　　) A．10 B．12 C．13 D．14 4．(多选)设指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，则下列等式中正确的是(　　) A．f(x＋y)＝f(x)f(y) B．f(x－y)＝ C．f()＝f(x)－f(y) D．f(nx)＝[f(x)]n(n∈Q) 5．知f(x)＝2x＋2－x，若f(a)＝4，则f(2a)＝(　　) A．10 B．12 C．13 D．14 6．已知f(x)＝ax＋b，a>0，且a≠1的图象如图所示，则f(3)等于(　　) A．2－2 B．－3 C．3－3 D．3－3或－3－3 7．已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a>0，且a≠1)．若g(2)＝a，则f(2)＝(　　) A．2 B． C. D．a2 8．某乡镇现在人均一年占有粮食360千克，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x年后，若人均一年占有y千克粮食，则y关于x的解析式为(　　) A．y＝360x－1 B．y＝360×1.04x C．y＝ D．y＝360x 9．(多选题)设指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，则下列等式中正确的是(　　) A．f(x＋y)＝f(x)f(y) B．f(x－y)＝ C．f ＝f(x)－f(y) D．f(nx)＝[f(x)]n(n∈Q) 10．如图所示，面积为8的平行四边形OABC的对角线AC⊥CO，AC与BO交于点E.若指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点E，B，则a等于(　　) A. B． C．2 D．3 二、填空题 11．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)，其图象经过点(－1，5)，(0，4)，则f(－2)的值为________． 12．函数y＝2(a－1)x是刻画指数衰减变化规律的模型，则a的取值范围是________． 13．给出下列函数： ①y＝4x；②y＝x4；③y＝－4x；④y＝(－4)x；⑤y＝πx；⑥y＝4x2；⑦y＝xx；⑧y＝(2a－1)x(a>且a≠1)． 其中为指数函数的有 (填序号)． 14．已知函数f(x)＝＋a为奇函数，则a的值为 . 15．已知函数f(x)＝，则f(x)＋f(1－x)＝1；f ＋f ＋f ＋…＋f ＋f ＋f ＝ . 三、解答题 16．按复利计算利息的一种储蓄，本金为a(单位：元)，每期利率为r，本利和为y(单位：元)，存期数为x. (1)写出本利和y关于存期数x的函数解析式； (2)如果存入本金1 000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和． 17．已知函数f(x)＝(a2＋a－5)ax是指数函数． (1)求f(x)的表达式； (2)判断F(x)＝f(x)－f(－x)的奇偶性，并加以证明． 18．设f(x)＝3x，g(x)＝x.计算f(1)与g(－1)，f(π)与g(－π)，f(m)与g(－m)的值，从中你能得到什么结论？ 19．某车间产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P(mg/L)与时间t(h)之间的关系为P＝P02－kt(其中P0表示初始废气中污染物数量)．经过5个小时后，经测试，消除了20%的污染物．问： (1)15小时后还剩百分之几的污染物？ (2)污染物减少36%需要花多长时间？ 20．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初始溶液含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少. (1)写出杂质含量y与过滤次数n的函数关系式； (2)过滤7次后的杂质含量是多少？过滤8次后的杂质含量是多少？至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？ 课时作业28　指数函数的概念 （答案） 一、选择题 1．下列函数中，指数函数的个数为(　　) ①y＝()x-1；②y＝ax(a>0，且a≠1)；③y＝1x；④y＝()2x－1. A．0个 B．1个 C．3个 D．4个 解析：由指数函数的定义可判定，只有②正确． 答案：B 2．已知函数f(x)＝若f(f(－1))＝1，则a＝(　　) A． B． C．1 D．2 解析：根据题意可得f(－1)＝21＝2， ∴f(f(－1))＝f(2)＝a·22＝1，解得a＝，故选A. 答案：A 3．已知f(x)＝2x＋2－x，若f(a)＝4，则f(2a)＝(　　) A．10 B．12 C．13 D．14 解析：∵f(x)＝2x＋2－x，f(a)＝4， ∴f(a)＝2a＋2－a＝4， ∴f(2a)＝22a＋＝(2a＋)2－2＝16－2＝14. 答案：D 4．(多选)设指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，则下列等式中正确的是(　　) A．f(x＋y)＝f(x)f(y) B．f(x－y)＝ C．f()＝f(x)－f(y) D．f(nx)＝[f(x)]n(n∈Q) 解析：f(x＋y)＝ax＋y＝axay＝f(x)f(y)，故A正确；f(x－y)＝ax－y＝axa－y＝＝，故B正确；f()＝a＝(ax)，f(x)－f(y)＝ax－ay≠(ax)，故C错误；f(nx)＝anx＝(ax)n＝[f(x)]n，故D正确． 答案：ABD 5．知f(x)＝2x＋2－x，若f(a)＝4，则f(2a)＝(　　) A．10 B．12 C．13 D．14 解析：∵f(x)＝2x＋2－x，f(a)＝4，∴f(a)＝2a＋2－a＝4，∴f(2a)＝22a＋＝2－2＝16－2＝14. 答案：D. 6．已知f(x)＝ax＋b，a>0，且a≠1的图象如图所示，则f(3)等于(　　) A．2－2 B．－3 C．3－3 D．3－3或－3－3 解析：由题中图象知，f(0)＝1＋b＝－2，所以b＝－3.又f(2)＝a2－3＝0，所以a＝(负值舍去)，故f(x)＝()x－3，f(3)＝3－3. 答案：C. 7．已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a>0，且a≠1)．若g(2)＝a，则f(2)＝(　　) A．2 B． C. D．a2 解析：由已知得 f(2)＋g(2)＝a2－a－2＋2　①. f(－2)＋g(－2)＝a－2－a2＋2， 由f(x)与g(x)的奇偶性可得 －f(2)＋g(2)＝a－2－a2＋2　②. 由①②解得g(2)＝2，f(2)＝a2－a－2. 又g(2)＝a，所以a＝2， 则f(2)＝22－2－2＝. 答案：B. 8．某乡镇现在人均一年占有粮食360千克，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x年后，若人均一年占有y千克粮食，则y关于x的解析式为(　　) A．y＝360x－1 B．y＝360×1.04x C．y＝ D．y＝360x 解析：设该乡镇现在人口数为M，则该乡镇现在一年的粮食总产量为360M千克， 1年后，该乡镇粮食总产量为360M(1＋4%)千克，人口数为M(1＋1.2%)， 则人均占有粮食产量为千克， 2年后，人均占有粮食产量为千克， …… 经过x年后，人均占有粮食产量为千克， 即所求解析式为y＝360x. 答案：D. 9．(多选题)设指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，则下列等式中正确的是(　　) A．f(x＋y)＝f(x)f(y) B．f(x－y)＝ C．f ＝f(x)－f(y) D．f(nx)＝[f(x)]n(n∈Q) 解析：f(x＋y)＝ax＋y＝axay＝f(x)f(y)，故A中的等式正确；f(x－y)＝ax－y＝axa－y＝＝，故B中的等式正确；f＝a＝(ax)，f(x)－f(y)＝ax－ay≠(ax)，故C中的等式错误；f(nx)＝anx＝(ax)n＝[f(x)]n，故D中的等式正确． 答案：ABD. 10．如图所示，面积为8的平行四边形OABC的对角线AC⊥CO，AC与BO交于点E.若指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点E，B，则a等于(　　) A. B． C．2 D．3 解析：设点C(0，m)(m>0)，则由已知可得A，E，B. ②③联立，得m2－2m＝0，所以m＝0(舍)或m＝2，所以a＝. 答案：A. 二、填空题 11．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)，其图象经过点(－1，5)，(0，4)，则f(－2)的值为________． 解析：由已知得解得所以f(x)＝()x＋3，所以f(－2)＝()-2＋3＝4＋3＝7. 答案：7 12．函数y＝2(a－1)x是刻画指数衰减变化规律的模型，则a的取值范围是________． 解析：由题意得0<a－1<1，∴1<a<2. 答案：(1，2) 13．给出下列函数： ①y＝4x；②y＝x4；③y＝－4x；④y＝(－4)x；⑤y＝πx；⑥y＝4x2；⑦y＝xx；⑧y＝(2a－1)x(a>且a≠1)． 其中为指数函数的有 (填序号)． 解析：本题主要考查指数函数的概念．②中不是指数函数，因为底数不能是自变量；③中是－1与4x的乘积，不是指数函数；④中底数－4<0，故不是指数函数；⑥中指数不是自变量x，而是x2；⑦中底数x不是常数．由指数函数的概念可知，①⑤⑧中是指数函数． 答案：①⑤⑧. 14．已知函数f(x)＝＋a为奇函数，则a的值为 . 解析：因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝0，则＋a＋＋a＝0，所以2a＝－－＝－＝－1，所以a＝－. 答案：－. 15．已知函数f(x)＝，则f(x)＋f(1－x)＝1；f ＋f ＋f ＋…＋f ＋f ＋f ＝ . 解析：因为f(1－x)＝＝＝， 所以f(x)＋f(1－x)＝1.则原式 ＝＋＋…＋＝50. 答案：50. 三、解答题 16．按复利计算利息的一种储蓄，本金为a(单位：元)，每期利率为r，本利和为y(单位：元)，存期数为x. (1)写出本利和y关于存期数x的函数解析式； (2)如果存入本金1 000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和． 解：(1)根据题意可得y＝a(1＋r)x； (2)由(1)可知，当x＝5时， y＝1 000(1＋2.25%)5＝1 000×1.022 55≈1 117.68， ∴5期后的本利和约为1 117.68元． 17．已知函数f(x)＝(a2＋a－5)ax是指数函数． (1)求f(x)的表达式； (2)判断F(x)＝f(x)－f(－x)的奇偶性，并加以证明． 解：(1)由a2＋a－5＝1，a>0，且a≠1， 可得a＝2或a＝－3(舍去)，∴f(x)＝2x. (2)F(x)＝2x－2－x， ∴F(－x)＝－F(x)，∴F(x)是奇函数． 18．设f(x)＝3x，g(x)＝x.计算f(1)与g(－1)，f(π)与g(－π)，f(m)与g(－m)的值，从中你能得到什么结论？ 解：f(1)＝31＝3，g(－1)＝－1＝3， f(π)＝3π，g(－π)＝－π＝3π， f(m)＝3m，g(－m)＝－m＝3m. 结论：从以上计算的结果看，当两个函数的自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y轴对称． 19．某车间产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P(mg/L)与时间t(h)之间的关系为P＝P02－kt(其中P0表示初始废气中污染物数量)．经过5个小时后，经测试，消除了20%的污染物．问： (1)15小时后还剩百分之几的污染物？ (2)污染物减少36%需要花多长时间？ 解：(1)由题意得，P＝P02－5k＝(1－20%)P0， 则2－5k＝0.8，故当t＝15时， P＝P0·2－15k＝P0·(2－5k)3＝(80%)3P0＝51.2%P0. 故15个小时后还剩51.2%的污染物． (2)由题意，P02－kt＝(1－36%)P0， 即(2－5k) ＝0.64，所以0.8＝0.64， 所以＝2，即t＝10， 故污染物减少36%需要花10 h. 20．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初始溶液含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少. (1)写出杂质含量y与过滤次数n的函数关系式； (2)过滤7次后的杂质含量是多少？过滤8次后的杂质含量是多少？至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？ 解：(1)过滤1次后的杂质含量为 ×＝×； 过滤2次后的杂质含量为×＝×2； 过滤3次后的杂质含量为×＝×3； …… 过滤n次后的杂质含量为×n(n∈N*)． 故y与n的函数关系式为 y＝×n(n∈N*)． (2)由(1)知，当n＝7时， y＝×7＝. 当n＝8时，y＝×8＝， 因为>，<， 所以至少应过滤8次才能使产品达到市场要求． 学科网（北京）股份有限公司 $