27.2 反比例函数的图象与性质（第2课时）课件 2026--2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦反比例函数图象与性质的应用，涵盖双曲线特征、k值与象限及增减性的关系、点的坐标特征和k的几何意义。课堂通过复习表格与问题回顾旧知，以例题和探究点为支架，衔接从性质理解到应用的过渡。 其亮点在于以结构化复习和分层例题构建知识体系，结合几何直观（图象法）、推理意识（性质法）和模型意识（xy=k）。如通过合作探究k的几何意义，小结归纳判断点和比较函数值的方法，帮助学生发展数学思维，也为教师提供清晰的教学路径。

第二十七章 反比例函数 27.2 反比例函数的图象和性质 第2课时 图象与性质的应用 1.对函数进行认识上的整合，提高从函数图象中获取信息的能力. 2.掌握反比例函数反比例函数图象上点的坐标特征.（重点） 3.理解并掌握反比例函数图象的性质，了解 k 的几何意义.（难点） 复习 反比例函数 y（k为常数，k≠0）的图象和性质： k的符号 k>0 k<0 图象 图象形状 反比例函数的图象由两条曲线组成，它是双曲线 图象位置 位于第一、第三象限 位于第二、第四象限 增减性 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小 在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大 对称性 反比例函数的图象既是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是原点O，对称轴是直线y=x和y=-x.（中心对称图形将在下一章学习） 反比例函数的图象是什么？ 反比例函数的性质与 k 有怎样的关系？ 双曲线 当 k > 0 时，两条曲线分别位于第一、三象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小； 当 k < 0 时，两条曲线分别位于第二、四象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大. 问题1 问题2 已知反比例函数的图象经过点 A(-2，4). (1) 这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如何变化？ 例1 解：(1) 反比例函数图象的位置只有两种可能：位于第一、第三象限，或者位于第二、第四象限. 因为点 A(-2，4)在第二象限，所以这个函数的图象位于第二、第四象限. 在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大. 已知反比例函数的图象经过点 A(-2，4). (2) 点 B(1，-8)，C(2，-3)，D(2，4) 是否在这个函数的图象上？ 例1 解：(2) 设这个反比例函数的解析式为 y. 因为点 A(-2，4)在其图象上，所以点 A 的坐标满足 ， 即 4 解得 k =－8. 因此，这个反比例函数的解析式为 y. 因为点 B，C 的坐标都满足 y，点D的坐标不满足 y， 所以点 B，C 在函数y的图象上，点D不在这个函数的图象上. 知识小结 思考 如何判断一个点是否在反比例函数的图象上？ 1.待定系数法求反比例函数解析式的步骤： ①设解析式； ②代入已知点坐标； ③解方程求 ； ④写出解析式。 2.判断点是否在反比例函数图象上的方法： 代入验证法，即点的坐标满足（或 ），则点在图象上。 1. 已知反比例函数 的图象经过点 A (2，3)． (1) 求这个函数的解析式； 解：∵ 反比例函数 的图象经过点 A(2，3)， ∴ 把点 A 的坐标代入解析式，得 ，　　 解得 k = 6. ∴ 这个函数的解析式为 . 【练一练】 探究点1：用待定系数法求反比例函数的解析式 (2) 判断点 B (－1，6)，C(3，2) 是否在这个函数的 图象上，并说明理由； 解：分别把点 B，C 的坐标代入反比例函数的解析式， 探究点1：用待定系数法求反比例函数的解析式 因为点 B 的坐标不满足该解析式，点 C 的坐标满足该解析式，所以点 B 不在该函数的图象上，点 C 在该函数的图象上． 当 x = -1， 当 x = 3， (3) 当 －3< x <－1 时，求 y 的取值范围． 解：∵ 当 x = －3时，y =－2； 当 x = －1时，y =－6，且 k > 0， ∴ 当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小. ∴ 当 －3 < x < －1 时，－6 < y < －2. 探究点1：用待定系数法求反比例函数的解析式 左边=右边 点的坐标 代入函数解析式 左边≠右边 点在函数图象上 点不在函数图象上 判断点是否在函数图象上的方法 跟踪训练 已知反比例函数 y= 的图象经过点(-2，-4). (1)这个函数的图象位于哪几个象限？在每一个象限内，y随x的增大怎样变化？ (2)点(1，-8)，(-1,8)，(1,8)在这个函数的图象上吗？你是怎样判断的？ 解：(1) ∵ 反比例函数 y= 的图象经过点 (-2，-4)， ∴ k=-2×(-4)=8，∴ ， ∴ 这个函数的图象位于第一、第三象限，在每一个象限内， 随  的增大而减小. (2) 当 x=1 时，y=8，当 x=-1 时，y=-8， ∴ 点 (1，-8)，(-1,8) 不在这个函数的图象上，点(1,8)在这个函数的图象上. 跟踪训练 已知反比例函数 y= 的图象经过点(-2，-4). (3)如果点(a，b)在这个函数的图象上，那么点(-a，-b)，(-b，-a)在这个函数的图象上吗？你是怎样判断的？ 解：(3) ∵ 点 (a，b)在这个函数的图象上， ∴ ab=8， ∴ (-a)(-b)=8, ∴ 点 (-a，-b)，(-b，-a)在这个函数的图象上. 新知巩固 反比例函数图象上的点 已知反比例函数 ，下列各点中，在该函数图象上的是（　　） A. 　　 B. 　　 C. 　　 D. 【分析】判断点是否在反比例函数图象上，用 验证比代入更简便，避免了分式运算. 解：对于反比例函数 ，。 选项 A：点 ，计算 ， 该点不在函数图象上。 选项 B：点 ，计算 ， 该点不在函数图象上。 选项 C：点 ，计算 ， 该点在函数图象上。 选项 D：点 ，计算 ， 该点不在函数图象上。 14 新知探究 图象特征与参数范围、增减性综合应用 探究 例2 图中的曲线是反比例函数 的图象的一支。根据图象，回答下列问题： (1) 图象的另一支位于哪个象限？常数 的取值范围是什么？ 解得 想一想 反比例函数的图象有什么对称性？ 解：因为这个函数的图象的一支位于第一象限，所以另一支必位于第三象限． 因为这个函数的图象位于第一、第三象限，所以 新知探究 (2) 在这个函数图象的某一这支上任取点 A 和点 B 。如果 ，那么 和 有怎样的大小关系？ 想一想 图象位于第一、第三象限，说明满足什么条件？这里的是多少？ （2）因为 所以在这个函数图象的任意一支上 都随的增大而减小 因此当时，． 1. 在反比例函数 的图象上分别取点 P，Q 向 x 轴、y 轴作垂线，围成面积分别为 S1，S2 的矩形，填写下页表格： 探究点3：反比例函数解析式中 k 的几何意义 【合作探究】 5 1 2 3 4 －1 5 x y O P S1 S2 P (2，2) ，Q (4，1) S1 的值 S2 的值 S1与 S2 的关系 猜想 S1，S2 与 k 的关系 4 4 S1=S2 S1=S2=k －5 －4 －3 －2 1 4 3 2 －3 －2 －4 －5 －1 Q 探究点3：反比例函数解析式中 k 的几何意义 跟踪训练 已知点A(x1, y1) , B(x2, y2), C(x3,y3) 都在反比例函数 y= (k<0) 的图象上，且 x1 < x2 <0< x3，则y1，y2，y3的大小关系是 （ ） A.y2>y1>y3 B.y3>y2>y1 C.y1>y2>y3 D.y3>y1>y2 解析：方法一（性质法） k<0 在每一个象限内，y随x的增大而增大 双曲线的两支分别位于第二、第四象限 点A,B位于第二象限 点C位于第四象限 x1 < x2 <0< x3 y2>y1>0 y3<0 y2>y1>y3 A 跟踪训练 已知点A(x1, y1) , B(x2, y2), C(x3,y3) 都在反比例函数 y= (k<0) 的图象上，且 x1 < x2 <0< x3，则y1，y2，y3的大小关系是 （ ） A.y2>y1>y3 B.y3>y2>y1 C.y1>y2>y3 D.y3>y1>y2 A 解析：方法二（图象法） 因为k<0，所以反比例函数y= 的图象位于第二、第四象限，如图所示. 在图中描出符合条件的三个点，观察图象上点的位置高低可知y2>y1>y3. 新知巩固 利用增减性比较函数值大小 在反比例函数 的图象上有两点 A 、B ，若 ，则下列结论正确的是（　　） A. 　　 B. 　　 C. 　　 D. 【分析】先由 判断函数在第一象限内的增减性，再根据 利用增减性判断 和 的大小关系。 解：对于反比例函数 ，。 已知 ，说明两点都在第一象限内（），且自变量满足 。 在第一象限内， 随 的增大而减小 当 时，对应的函数值 综上可得： 21 思考 知识小结 一般情况下，如何比较反比例函数值的大小？ 比较反比例函数值的大小时 ①首先要判断自变量是否同号（即两点是否在同一象限） ②再利用增减性比较； 若异号，则直接根据象限内函数值的正负比较。 S1的值 S2的值 S1与S2的关系 猜想S1，S2与 k 的关系 P (－1，4)， Q (－2，2) 2. 若在反比例函数 中也 用同样的方法分别取 P，Q 两 点，填写表格： 4 4 S1=S2 S1=S2=－k y x O P Q S1 S2 探究点3：反比例函数解析式中 k 的几何意义 由前面的探究过程，可以猜想： 若点 P 是反比例函数 图象上的任意一点，过点 P 作 PA⊥x 轴于点 A，PB⊥y 轴于点 B，则矩形 AOBP 的面积与 k 的关系是 S矩形 AOBP=|k|. 探究点3：反比例函数解析式中 k 的几何意义 跟踪训练 已知点A(x1, y1) , B(x2, y2), C(x3,y3) 都在反比例函数 y= (k<0) 的图象上，且 x1 < x2 <0< x3，则y1，y2，y3的大小关系是 （ ） A.y2>y1>y3 B.y3>y2>y1 C.y1>y2>y3 D.y3>y1>y2 解析：方法三（特殊值法） 设该反比例函数的解析式为 y=－ . 取满足x1 < x2 <0< x3的三个特殊值x1=－2，x2=－1，x3=1， 则y1=1，y2=2，y3=－2， 所以 y2>y1>y3. A 比较反比例函数值大小的方法 方法一：性质法.当点在双曲线同一分支上时，可以利用函数的增减性，通过比较其横坐标的大小来判断函数值大小；当点在双曲线不同分支上时，可以利用点在x轴上方或下方，进行函数值大小比较. 方法二：图象法.根据条件在坐标系中描出各点，观察点的位置高低，就可以比较函数值大小.(图象法形象直观) 方法三：特殊值法.根据条件取自变量的特殊值，代入解析式求出对应的函数值，就可以直接比较函数值大小.(特殊值法简单直接) 巩固训练1 待定系数法求反比例函数解析式 已知反比例函数的图象经过点（3，-4），求这个反比例函数的解析式。 【分析】设反比例函数解析式为 ，将已知点的横纵坐标代入解析式，解方程求出 的值，即可确定解析式。 解： 设这个反比例函数的解析式为 （ 为常数，）。 反比例函数的图象经过点（3，-4） 将 ， 代入解析式，得： 得： 这个反比例函数的解析式为 。 巩固训练1 待定系数法求反比例函数解析式 变式题 已知 与 成反比例，且当 时，。求当 时， 的值。 解： 与 成反比例 设 （ 为常数，） 当 时， 将 ， 代入解析式，得： 解得： 反比例函数的解析式为 当 时，代入解析式得： 答案： 面积问题 →面积不变性 与一次函数的综合 判断反比例函数和一次函数在同一直角坐标系中的图象，要对系数进行分类讨论，并注意 b 的正负 反比例函数的图象是一个以原点为对称中心的中心对称图形，其与正比例函数的交点关于原点中心对称 反比例函数的图象和性质的综合运用 $