精品解析：广东汕头市龙湖区2024-2025学年度八年级下学期学业质量评估期末数学试卷

2024~2025学年度第二学期期末学生学业质量评估 八年级 数学 说明：1．全卷满分120分，考试用时120分钟． 2．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应选项的信息点涂黑． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔写在答题卡相应位置，不准使用铅笔和涂改液，不按要求作答的答案无效． 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）每小题给出四个选项中只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑 1. 使式子有意义的实数的取值范围是( ) A. ≥0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，列出不等式即可求解． 【详解】解：根据题意，得 解得： 故选D. 【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式有意义的条件是：被开方数大于等于零. 2. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 4，5，6 C. 5，12，13 D. 8，15，16 【答案】C 【解析】 【分析】利用勾股定理的逆定理可知，若三角形三边满足，则这三条边可以构成直角三角形． 【详解】解：根据勾股定理逆定理可知： A. 2，3，4，因为，所以不能构成直角三角形，选项错误，故不符合题意； B. 4，5，6，因为，所以不能构成直角三角形，选项错误，故不符合题意； C. 5，12，13，因为，所以能构成直角三角形，选项正确，故符合题意； D. 8，15，16，因为，所以不能构成直角三角形，选项错误，故不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，解题关键是看三角形三边是否满足，若满足则可以构成直角三角形，反之，则构不成直角三角形． 3. 某市某一周的每日平均气温（）的统计结果如图所示，则这七天的每日平均气温的众数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了求众数，熟练掌握众数的定义是解题关键．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．据此即可获得答案． 【详解】解：由图可知，平均气温为出现了2次，出现次数最多， 故众数为． 故选：D． 4. 如图，在平行四边形中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到，即可求出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴ ∵ ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质：对角相等，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 5. 在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，测得弹簧的长度随所挂物体的质量变化关系的图象如图所示，则下列结论中错误的是（ ） A. 未挂物体时，弹簧的长度为 B. 所挂物体为时，弹簧的长度为 C. 当所挂的物体超过时，弹簧的长度不会发生变化 D. 弹簧的长度随着所挂物体质量的增加而增加 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数的基本概念，函数与图像，读懂图像是解题的关键． 函数的基本概念，函数与图像，逐项分析，即可解答． 【详解】A．观察图象可得，当质量为0时，弹簧长度为，A正确； B．当质量为时，弹簧长度为，B正确； C．当质量超过时，弹簧长度均为，C正确； D．当质量超过时，弹簧的长度不变，D错误． 故选D． 6. 下列计算中，结果错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的加减法对选项A和B进行判断，根据二次根式的除法法则对选项C进行判断，根据二次根式的性质对选项D进行判断，最后得出答案即可． 【详解】解∶ A．与不能合并，所以A选项的计算错误； B．，所以B选项的计算正确； C．=，所以C选项的计算正确； D．，所以D选项的计算正确； 故选∶A． 【点睛】本题考查了二次根式的计算∶先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的运算，最后合并同类二次根式．熟练掌握二次根式的运算是解题的关键． 7. 如图，已知书架是平行四边形，对角线，相交于点．小明准备用绳子和三角尺检查这个书架是否为矩形，下列验证方法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定定理，根据矩形的判定定理逐项分析即可得解，熟练掌握矩形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：A、不能判定平行四边形是矩形，故A选项符合题意； B、∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形，故B不符合题意； C、∵，四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形，故C不符合题意； D、∵，四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形，故D不符合题意； 故选：A． 8. 如图是小观爸爸设置的微信手势密码图，已知左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1，手指沿顺序解锁．按此手势解锁一次的路径长为（　　） A. 8 B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，掌握勾股定理是解题关键．根据左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1，可得，再根据勾股定理得出和的长即可解答． 【详解】解：如图，连接， ∵左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1， ∴， ∴， ∴按此手势解锁一次的路径长为：． 故选：B． 9. 如图，直线经过点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式．根据不等式的解集为一次函数的函数值大于4时所对应的x的取值范围，结合图象作答即可． 【详解】解：由图象可得：当时，， 故选：B． 10. 如图，将两个宽为的直尺交叉叠放在一起，重合的部分构成一个四边形，转动其中一个直尺，另一个保持不动，下列结论：①四边形 始终是平行四边形； ②； ③四边形的周长保持不变； ④当时， 四边形的面积为，其中一定正确的是（ ） A. ①④ B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，直角三角形的性质， 先说明四边形是平行四边形，可得，判断①②；再根据随着直尺转动，边长变化，判断③；然后作，求出，再结合宽为可求出面积，并判断④． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 则①②正确； 随着直尺转动，边长变化，可知四边形周长发生变化， ∴③不正确； 过点A作，交于点E， 在中，， ∴， ∴四边形的面积为，则④正确， 可知正确的有①②④． 故选：C． 二、填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分）将正确答案写在答题卡相应的位置上 11. 如果那么_____. 【答案】17.32 【解析】 【分析】根据题目中的数据和算术平方根的求法可以解答本题． 【详解】解：， 故答案为17.32. 【点睛】本题考查算术平方根，解答本题的关键是明确题意，求出所求数据的算术平方根. 12. 2025年1月7日，西藏日喀则发生了级地震．某班组织捐款活动，全班50名学生的捐款情况如图所示，则本次捐款金额的中位数是________元． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了中位线的定义，熟练掌握中位线的定义，是解题的关键．根据中位线定义：一组数据中处于中间位置的数为中位数，进行求解即可． 【详解】解：将50名学生的捐款数从小到大进行排序，排在中间位置的两个数都是10，因此本次捐款金额的中位数是10． 故答案为：10． 13. 如图，在中，，点为的中点，且，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半以及勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在中，，点为的中点，， ∴， ∴． 14. 已知，则代数式的值是______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，完全平方公式，二次根式的加法运算等知识．熟练掌握代数式求值，完全平方公式，二次根式的加法运算是解题的关键． 根据，代值求解即可． 【详解】解：， 故答案为：4． 15. 随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人聪聪和慧，他们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的3倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和䠂慧行走的路程分别为与x的函数图象如图所示，则慧慧追上聪聪时，聪聪行走的路程是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据函数图象中的数据列式计算是解题的关键． 根据函数图象中的数据列式计算即可． 【详解】解：根据函数图象得，慧慧开始的速度为， 聪聪的速度为 ， ， 故答案为：． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的乘除运算以及加减运算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则． 先根据二次根式的乘除法法则分别计算乘法和除法部分，再将所得结果化为最简二次根式，最后进行加减运算． 【详解】解：原式 ． 17. 【综合与实践】 某课外学习小组在设计一个矩形时钟钟面时，欲使矩形的宽为20厘米，时钟的中心在矩形对角线的交点上，数字2在矩形的顶点上，数字3、6、9、12标在所在边的中点上，如图所示． （1）请你直接写出矩形的长为________厘米（保留根号）； （2）请你利用圆规以及无刻度直尺在长方框上标出数字1的位置（保留作图痕迹，不写作法）； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理即可求解． （2）根据数字1和数字12与时针连线的夹角为30度可知，只需要作的角平分线与的交点就是1的位置； 【小问1详解】 解：如图， 依题意，， ∴ ∴， ∴矩形的长为厘米 【小问2详解】 略 18. 无人机产业已成为我国低空经济的新兴生产力．某公司对其内部研发的A，B两种型号的民用无人机的飞行续航时间进行测试，每个型号均测试10次，并对收集到的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．每次飞行测试的续航时间（单位：分钟）记录如下： A型号：26，33，28，30，30，32，30，32，35，34； B型号：25，32，28，30，28，33，32，36，32，34； b．将收集的数据整理成表格如下： 型号 平均数 众数 中位数 A 31 m 31 B 31 32 n 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中的________，________； （2）根据以上数据，你认为哪种型号的无人机的续航性能更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）公司仓库有A型无人机150架，B型无人机200架，若将无人机续航时间不低于32分钟定为优秀，试估计这350架无人机中飞行续航时间达到优秀的共有多少架． 【答案】（1）30；32 （2）B型号的无人飞行器的续航性能更优，理由： 虽然平均数相同，但从众数、中位数看B型号都优于A型号， ∴B型号的无人飞行器的续航性能更优． （3）195 【解析】 【分析】本题主要考查众数、中位数及样本估计总体，解题的关键是掌握众数和中位数的定义及样本估计总体的应用． （1）利用众数、中位数的定义进行计算即可； （2）根据求得的中位数，众数及平均数进行判断即可； （3）用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：将A型号重新排列得：26，28，30，30，30，32，32，33，33，35； ∴； B型号重新排列得：25，28，28，30，32，32，32，33，34，36； ∴； 故答案为：30，32． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（架）， 答：这350架无人机中飞行续航时间达到优秀的共有195架． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，三个顶点坐标分别为． （1）判断的形状，并说明理由； （2）在x轴上有一点P，使得最小，求P点坐标． 【答案】（1）为直角三角形，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先分别用勾股定理求得求出，再运用勾股定理的逆定理即可解答； （2）作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，则，然后运用待定系数法求得直线，然后令即可求得点P的坐标． 【小问1详解】 解：为直角三角形，理由如下： 由题可知：，，， ∴， ∴为直角三角形． 【小问2详解】 解：如图：作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，则 设所在直线解析式为，则，解得：， ∴， 当时，有，解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查勾股定理及逆定理、轴对称的性质等知识点，掌握轴对称的性质是解题的关键． 20. 某公司销售A型和B型两种电脑，其中A型电脑每台利润为元，B型电脑每台利润为元．该公司计划一次性购进这两种型号的电脑共台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这台电脑的销售总利润为y元． （1）求y关于x的函数关系式； （2）该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？ （3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调a元，若该公司保持这两种型号电脑的售价不变，公司经理发现：无论该公司如何进货，这台电脑的销售利润都不变，求a的值． 【答案】（1）；，且x为正整数； （2）购进A型电脑34台，B型电脑66台，才能使销售总利润最大，最大利润是46600元； （3）100 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据一次函数x值的增大而确定y值的增减情况． （1）根据总利润等于A、B两种型号电脑的利润之和，即可求出函数解析式，根据“B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，”列出不等式，即可求出自变量的取值范围； （2）根据一次函数的性质即可求出答案； （3）根据题意列出y关于x的函数关系式，可得当时，恒成立，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得： ； ∵B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍， ∴，解得：， ∴自变量x的取值范围为，且x为正整数； 【小问2详解】 解： ∵， ∴当y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值，最大值为， 答：该商店购进A型电脑34台，B型电脑66台，才能使销售总利润最大，最大利润是元； 【小问3详解】 解：根据题意得： ， 当时，恒成立， 即当时，无论该公司如何进货，这台电脑的销售利润都不变． 21. 【综合实践】 折纸是一种将纸张折成各种不同形状的艺术活动，起源于中国，传到全世界．折纸与自然科学结合在一起，发展出了折纸几何学，成为了现代几何学的一个分支．在综合与实践课上，同学们以“长方形纸片的折叠”为主题展开探究活动． 【操作探究】 操作探究一 动手操作： 步骤1：如图1，将长方形纸片对折，使与重合，得到折痕，展平纸片； 步骤2：再沿着过点的直线折叠纸片，使点的对应点落在折痕上，展平纸片，得到的新折痕与边交于点，连接，，． （1）问题探究一：若点D，E，F在同一条直线上，连接，则的度数为________． 操作探究二 动手操作： 步骤1：如图2，将长方形纸片对折，使与重合，得到折痕，展平纸片； 步骤2：再沿着直线折叠纸片，点的对应点落在长方形纸片内，连接，，． （2）问题探究二：判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1） （2）；理由如下： 设与交于点M， 根据折叠可知：，，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据，得出，根据平行线的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，根据三角形外角的性质得出，最后求出结果即可； （2）根据折叠得出，，，，证明，得出，证明，得出，得出，最后根据平行线的判定得出结果即可． 【小问1详解】 解：∵长方形纸片中，， 根据折叠可知：，， ∵点D，E，F在同一条直线上， ∴， 根据折叠可知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 略 五、解答题（三）（本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 【问题情景】 如图1，把一个含的直角三角板和一个正方形摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点重合，连接，点与分别是、的中点，连接，． （1）如图1，点、分别在正方形的边、上，连接．求证：， 【变式探究】 （2）如图2，将图1中直角三角板绕点顺时针旋转，当点落在线段上时，其他条件不变，（1）中结论是否仍然成立，若成立，请证明结论，若不成立，请说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，将图1中直角三角板绕点顺时针旋转（），其他条件不变，若，，直接写出线段的最小值． 【答案】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， 在中， ∵M是的中点， ∴， 又∵N是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵是等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）结论仍然成立，证明如下： 如图2，延长交的延长线于H， ∵点E落在线段上， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∵是等腰三角形， ∴， ∴，即， ∵点M与N分别是、的中点，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）先根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得：，再由三角形中位线定理得：，则；再证明得； （2）由三角形中位线定理可得，，，，由等腰直角三角形的性质可得，，即可求解； （3）由可证，可得，由三角形中位线定理可得，，，，可得，则，即当有最小值时，有最小值，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图3，连接，，延长至H，使，连接，， ∵点M与N分别是、中点，， ∴，，，， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当有最小值时，有最小值， ∴当点E在上时，的最小值为， ∴的最小值为． 23. 【综合与实践】 如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点． （1）求点，点的坐标以及的面积； （2）若是线段上一点，将线段绕点顺时针旋转（即）得到，此时点恰好落在直线上． ①求点和点的坐标； ②若点在轴上，在直线上，是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点坐标，否则说明理由． 【答案】（1），，的面积为 （2）①，；②存在，，或 【解析】 【分析】（1）分别令，求得的坐标，进而根据三角形的面积公式，求得的面积； ①根据题意过点作于点，利用全等三角形的判定先证，可求出、的长，进而即可得出点和点的坐标； ②根据题意设点的坐标为，分为边和为对角线两种情况考虑：当为边时，由，的坐标及点的横坐标可求出值，进而可得出点，的坐标；当为对角线时，由，的坐标及点的横坐标，利用平行四边形的对角线互相平分可求出值，进而可得出点的值． 【小问1详解】 解：∵直线与轴交于点，与轴交于点 当时，，当时， ∴，， ∴ ∴的面积为 【小问2详解】 ①过点作于点， ，， ．又， ， ，． 设，则点的坐标为， 点在直线上， ， ， 点的坐标为，点的坐标为． ②存在点的坐标为，或． 理由如下： 设点的坐标为． 分两种情况考虑，如图2所示： 当为边时， 点的坐标为，点的坐标为，点的横坐标为， 或， 或， 点的坐标为，点的坐标为； 当为对角线时， 点的坐标为，点的坐标为，点的横坐标为， ， ， 点的坐标为． 综上所述：存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度第二学期期末学生学业质量评估 八年级 数学 说明：1．全卷满分120分，考试用时120分钟． 2．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应选项的信息点涂黑． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔写在答题卡相应位置，不准使用铅笔和涂改液，不按要求作答的答案无效． 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）每小题给出四个选项中只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑 1. 使式子有意义的实数的取值范围是( ) A. ≥0 B. C. D. 2. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 4，5，6 C. 5，12，13 D. 8，15，16 3. 某市某一周的每日平均气温（）的统计结果如图所示，则这七天的每日平均气温的众数是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平行四边形中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，测得弹簧的长度随所挂物体的质量变化关系的图象如图所示，则下列结论中错误的是（ ） A. 未挂物体时，弹簧的长度为 B. 所挂物体为时，弹簧的长度为 C. 当所挂的物体超过时，弹簧的长度不会发生变化 D. 弹簧的长度随着所挂物体质量的增加而增加 6. 下列计算中，结果错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知书架是平行四边形，对角线，相交于点．小明准备用绳子和三角尺检查这个书架是否为矩形，下列验证方法错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图是小观爸爸设置的微信手势密码图，已知左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1，手指沿顺序解锁．按此手势解锁一次的路径长为（　　） A. 8 B. C. D. 1 9. 如图，直线经过点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，将两个宽为的直尺交叉叠放在一起，重合的部分构成一个四边形，转动其中一个直尺，另一个保持不动，下列结论：①四边形 始终是平行四边形； ②； ③四边形的周长保持不变； ④当时， 四边形的面积为，其中一定正确的是（ ） A. ①④ B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分）将正确答案写在答题卡相应的位置上 11. 如果那么_____. 12. 2025年1月7日，西藏日喀则发生了级地震．某班组织捐款活动，全班50名学生的捐款情况如图所示，则本次捐款金额的中位数是________元． 13. 如图，在中，，点为的中点，且，，则的长为________． 14. 已知，则代数式的值是______． 15. 随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人聪聪和慧，他们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的3倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和䠂慧行走的路程分别为与x的函数图象如图所示，则慧慧追上聪聪时，聪聪行走的路程是_______． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算：． 17. 【综合与实践】 某课外学习小组在设计一个矩形时钟钟面时，欲使矩形的宽为20厘米，时钟的中心在矩形对角线的交点上，数字2在矩形的顶点上，数字3、6、9、12标在所在边的中点上，如图所示． （1）请你直接写出矩形的长为________厘米（保留根号）； （2）请你利用圆规以及无刻度直尺在长方框上标出数字1的位置（保留作图痕迹，不写作法）； 18. 无人机产业已成为我国低空经济的新兴生产力．某公司对其内部研发的A，B两种型号的民用无人机的飞行续航时间进行测试，每个型号均测试10次，并对收集到的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．每次飞行测试的续航时间（单位：分钟）记录如下： A型号：26，33，28，30，30，32，30，32，35，34； B型号：25，32，28，30，28，33，32，36，32，34； b．将收集的数据整理成表格如下： 型号 平均数 众数 中位数 A 31 m 31 B 31 32 n 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中的________，________； （2）根据以上数据，你认为哪种型号的无人机的续航性能更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）公司仓库有A型无人机150架，B型无人机200架，若将无人机续航时间不低于32分钟定为优秀，试估计这350架无人机中飞行续航时间达到优秀的共有多少架． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，三个顶点坐标分别为． （1）判断的形状，并说明理由； （2）在x轴上有一点P，使得最小，求P点坐标． 20. 某公司销售A型和B型两种电脑，其中A型电脑每台利润为元，B型电脑每台利润为元．该公司计划一次性购进这两种型号的电脑共台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这台电脑的销售总利润为y元． （1）求y关于x的函数关系式； （2）该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？ （3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调a元，若该公司保持这两种型号电脑的售价不变，公司经理发现：无论该公司如何进货，这台电脑的销售利润都不变，求a的值． 21. 【综合实践】 折纸是一种将纸张折成各种不同形状的艺术活动，起源于中国，传到全世界．折纸与自然科学结合在一起，发展出了折纸几何学，成为了现代几何学的一个分支．在综合与实践课上，同学们以“长方形纸片的折叠”为主题展开探究活动． 【操作探究】 操作探究一 动手操作： 步骤1：如图1，将长方形纸片对折，使与重合，得到折痕，展平纸片； 步骤2：再沿着过点的直线折叠纸片，使点的对应点落在折痕上，展平纸片，得到的新折痕与边交于点，连接，，． （1）问题探究一：若点D，E，F在同一条直线上，连接，则的度数为________． 操作探究二 动手操作： 步骤1：如图2，将长方形纸片对折，使与重合，得到折痕，展平纸片； 步骤2：再沿着直线折叠纸片，点的对应点落在长方形纸片内，连接，，． （2）问题探究二：判断与的位置关系，并说明理由． 五、解答题（三）（本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 【问题情景】 如图1，把一个含的直角三角板和一个正方形摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点重合，连接，点与分别是、的中点，连接，． （1）如图1，点、分别在正方形的边、上，连接．求证：， 【变式探究】 （2）如图2，将图1中直角三角板绕点顺时针旋转，当点落在线段上时，其他条件不变，（1）中结论是否仍然成立，若成立，请证明结论，若不成立，请说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，将图1中直角三角板绕点顺时针旋转（），其他条件不变，若，，直接写出线段的最小值． 23. 【综合与实践】 如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点． （1）求点，点的坐标以及的面积； （2）若是线段上一点，将线段绕点顺时针旋转（即）得到，此时点恰好落在直线上． ①求点和点的坐标； ②若点在轴上，在直线上，是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点坐标，否则说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $