27.2 反比例函数的图象和性质 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦反比例函数的图象和性质，通过回顾一次函数、二次函数“画图-析式-得性质”的研究方法，搭建类比学习支架，引导学生探究双曲线特征及k>0、k<0时的象限分布与增减性。 其亮点在于以“特殊到一般”探究为主线，k>0时结合具体函数列表描点连线，培养几何直观（数学眼光）。k<0时通过小组合作猜想验证，发展推理意识（数学思维）。练习题与性质对比表结合，强化模型意识（数学语言）。学生能主动建构知识，教师可高效落实分层教学。

27.2 反比例函数的图象和性质 人教版(2024)九年级上册 第二十七章 反比例函数 学习目标 1 会用描点法画反比例函数的图象 2 结合图象分析并掌握反比例函数的性质 3 能够初步应用反比例函数的图象和性质解题 思考 回顾一次函数、二次函数的图象和性质的研究过程，如何研究反比例函数的图象和性质？ 在研究一次函数、二次函数的图象和性质时，都是先画出函数的图象，再利用图象，结合函数的解析式研究函数的性质，这种方法同样适用于反比例函数. 与对一次函数的研究一样，需要对反比例函数解析式 y（k为常数，k≠0）中的 k 分情况讨论，即分 k>0，k<0 两种情况. 先研究 k>0 时的情况，我们从具体的反比例函数开始. 新知探究 探究 时反比例函数的图象与性质 结合反比例函数和的解析式，思考： (1)自变量不能取 0，那么函数图象会是一条连续的直线吗？ (2)你能绘制出它们的图象吗？ (1)由于和中不能为0，因此它们的图象不可能是一条连续的直线 (2)绘图：①列表 新知探究 ②描点 ③连线 想一想 这些函数的图象都由几支曲线组成？分别位于哪些象限？ 它们都由两支曲线组成；分别位于第一、第三象限。 探究 对于反比例函数y = 与 y = ，结合它们的解析式，分析自变量的取值范围，以及 y 随 x 的变化而变化的规律，你能想象一下它们图象的位置和形状吗？ 反比例函数y = 与 y = 自变量的取值范围均是x ≠ 0. 图象是位于第一、第三象限的两条曲线，在每一个象限内，y随x的增大而减小. 画出函数图象验证一下吧！ 下面用描点法画函数y=与 y=的图象. (1) 列表. 写出几组 x 与 y 的对应值（填空）： x … −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 … y= … −​ −1 3 1 … y= … −1 − ​ −2 −3 6 2 ​ 1 … −​ −​ −​ −​ −3​ −6​ ​ 3​ ​ ​ ​ (2) 描点. 以表中各组对应值为坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点. (3) 连线. 用平滑的曲线顺次连接描出的点，就得到函数y=与 y=的图象. 探索新知 探究 对于反比例函数 与 ，结合它们的解析式，分析自变量的取 值范围，以及 y 随 x 的变化而变化的规律，你能想象一下它们图象的位置和形状吗？ 自变量的取值范围均是 x≠0. 图象是位于第一、第三象限的两条曲线，在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小. 用描点法画出函数图象，看看它们是否与你画出的示意图大致相同. 探索新知 下面用描点法画函数 与 的图象. (1) 列表. 写出几组 x 与 y 的对应值 (填空)： x … －6 －5 －4 －3 －2 －1 1 2 3 4 5 6 … … －1 3 1 … … －1 ​ －2 －3 6 2 1 … －3​ －6​ 3​ (2) 描点. 以表中各组对应值为坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点. (3) 连线. 用平滑的曲线顺次连接描出的点，就得到函数 与 的图象. 知识点1 反比例函数的图象 1. 已知点在反比例函数的图象上，其中, 为常 数，且，则点 一定在( ) A A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 11 ①当 时，反比例函数的图象是双曲线，两支分别位于第一、第三象限； 新知探究 思考 当，在每一个象限内，随着的增大， 的值如何变化？你能结合解析式说明理由吗？ 增减性的前提是“在每一个象限内”,跨象限比较不成立。 对于同一个象限内的 越大，的值越小，所以越小 ②在每一个象 限内， 随的增大而减小。 动态演示 放映状态下点击图象 y= y= (1)两函数的图象均分别位于第一、第三象限. (2)在每一个象限内，y随x的增大而减小. 理由：在每一个象限内，当x的取值逐渐增大时，由解析式计算出来的y的值逐渐减小. 思考 观察反比例函数y=与 y=的图象，回答下列问题： (1)每个函数的图象分别位于哪些象限？ (2)在每一个象限内，随着x的增大，y如何变化？你能由它们的解析式说明理由吗？ 探究 利用信息技术工具，画反比例函数 y（k>0）的 k 取不同值时的图象，考虑问题(1)(2)，你能得出同样的结论吗？ 能得出同样的结论. (1)函数的图象均分别位于第一、第三象限. (2)在每一个象限内，y随x的增大而减小. 探索新知 因为 x≠0，所以函数图象由两支曲线组成. 并且两支曲线永远不与 x 轴、y 轴相交 探索新知 思考 第一、第三象限 观察反比例函数 与 的图象，回答下列问题： (1) 每个函数的图象分别位于哪些象限？ (2) 在每一个象限内，随着 x 的增大，y 如何变化？你能由它们的解析式说明理由吗？ 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小. 理由：对于 (k＞0)，分子 k 是正数且固定，分母 x 越大，分数值就越小， 因此 y 随 x 增大而减小. 新知探究 小组合作 时反比例函数的图象与性质 刚才我们研究了 时的情况，现在请大家类比刚才的研究方法，分组探究 时反比例函数 和 的图象与性质。 小组任务 ①猜想图象的位置和增减性 ②用描点法画出 的图象 ③小组内交流观察到的结论，并结合解析式说明理由。 ④邀请小组代表展示作图成果，分享探究结论。 2. 若反比例函数的图象位于第二、四象限，则 能 取的最大整数为( ) B A. 0 B. C. D. 【点拨】 反比例函数 的图象位于第二、四象限， .的最大整数值为 . 18 一般地，当 k>0 时，对于反比例函数 ，结合函数图象（如图）与解析式，可以发现： （1）函数图象的两支分别位于第一、第三象限； （2）在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小. 探究 回顾上述过程，我们从特殊到一般、数形结合地研究了反比例函数y=（k>0）的图象和性质，你能用类似的方法研究反比例函数y=（k<0）的图象和性质吗？ 探索新知 思考 能得出同样的结论. (1) 函数的图象均分别位于第一、第三象限. (2) 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小. 利用信息技术工具，画反比例函数 (k＞0)的 k 取不同值时的图象，考虑问题(1)(2)，你能得出同样的结论吗？ k 越大，双曲线离坐标轴越远； k 越小，离坐标轴越近. 探索新知 反比例函数的性质 O x y 一般地，当 k＞0 时，对于反比例函数  ， 结合函数图象与解析式，可以发现： (1) 函数图象的两支分别位于第一、第三象限； (2) 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小. 不能跨象限说“y 随 x 增大而减小” 下面用类似的方法研究反比例函数 k＜0 时的图象和性质. ①当 时，反比例函数的图象是双曲线，两支分别位于第二、第四象限； 新知探究 思考 当，在每一个象限内，随着的增大， 的值如何变化？你能结合解析式说明理由吗？ 对于同一个象限内的 越大，的值越大，所以越大 ②在每一个象 限内， 随的增大而增大。 观察动态演示，你能得出更一般的结论吗？ 动态演示 放映状态下点击图象 知识小结 思考 结合 和 时的反比例函数图象与性质整理，你能总结出反比例函数的图象与性质吗？ 反比例函数 的符号 图象形状 双曲线（两支不连续的曲线） 所在象限 第一、第三象限 第二、第四象限 增减性 在每一个象限内，随 的增大而减小 在每一个象限内，随 的增大而增大 注：①增减性必须强调 “在每一个象限内” ②图象永远不与坐标轴相交 1.选取具体函数（k<0 的例子） 取 k=-3 和 k=-6，即研究函数 yy 2.列表. x … −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 … y=－ … ​ ​ ​ 1 3 −3 − −1 − − −​ … y=－ … 1 ​ 2 3 6 −6 −3 −2 −​ − −1 … 3.描点. 以表中各组对应值为坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点. 4.连线. 用平滑的曲线顺次连接描出的点，就得到函数y=－与 y=－的图象. y y (1)两函数的图象均分别位于第二、第四象限. (2)在每一个象限内，y随x的增大而增大. 思考：(1)每个函数的图象分别位于哪些象限？ (2)在每一个象限内，随着x的增大，y如何变化？ 探索新知 能得出同样的结论. (1) 函数的图象均分别位于第二、第四象限. (2) 在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大. 利用信息技术工具，画反比例函数 (k＜0)的 k 取不同值时的图象，考虑问题(1)(2)，你能得出同样的结论吗？ |k| 越大，双曲线离坐标轴越远； |k| 越小，离坐标轴越近. 思考 探索新知 反比例函数的性质 O x y 一般地，当 k＜0 时，对于反比例函数  ， 结合函数图象与解析式，可以发现： (1) 函数图象的两支分别位于第二、第四象限； (2) 在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大. 反比例函数 y 的图象特征和性质如下： (1)反比例函数的图象由两条曲线组成，它是双曲线； (2)当 k>0 时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小； 当 k<0 时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大. 拓展：反比例函数的图象既是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是原点O，对称轴是直线y=x和y=-x.（中心对称图形将在下一章学习） 课堂总结 本节课你学到了什么？ 30 Lavf57.25.100 Lavf57.25.100 $