精品解析：安徽合肥市第八中学2025-2026学年第二学期高一期末检测数学试题

合肥八中2025-2026学年第二学期高一年级期末检测 数学试题卷 命题人：江鹏 审题人：王雪春 甘梦尧 注意事项： 1．你拿到的试卷满分150分，考试时长120分钟． 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 高三（2）班有女生20人，男生30人，用分层抽样的方法从该班所有学生中抽取一个容量为10的样本，则男生应抽取（ ） A. 3人 B. 4人 C. 5人 D. 6人 【答案】D 【解析】 【详解】∵设男生应抽取人，女生应抽取人， 则且 解得， 故男生应抽取6人． 2. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】在中，， 由正弦定理，则，解得， 故或， ，由大角对大边，则， 故． 3. 设l是一条直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据面面平行、线面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理逐一判断即可. 【详解】A：当时，如果l是平面，外一条直线，当时，显然，成立，这时不成立，故本选项的命题不正确； B：当时，设，显然当时，且时，一定有成立，但是不成立，因此本选项的命题不正确； C：因为，所以在平面内一定存在一条直线，而，所以， 根据面面垂直的判定定理可知，因此本选项的命题正确； D：当时，设，显然当时，且时，一定有成立，但是不成立，因此本选项的命题不正确； 故选：C 4. 若两个非零向量，满足，则向量与的夹角是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将已知模长等式平方得到、与的关系，再利用向量夹角的数量积公式求解夹角 【详解】已知非零向量满足， 由，平方得， 展开得，化简得； 由，平方得，将代入，得，即， 设与的夹角为，，根据向量夹角公式：  计算分子： ； 分母：； 代入得，结合，得. 5. 下列说法中，正确的是（ ） A. 已知上下底面半径分别为，的圆台有内切球的充要条件是圆台的母线长为 B. 已知数据2，3，5，7，8，9，10，11则该组数据的第三四分位数为9 C. 一组样本数据的频率分布直方图是单峰形状且向右拖尾，该组数据平均数小于中位数 D. 若，则存在事件A、B彼此互斥与相互独立同时成立 【答案】A 【解析】 【详解】对于A，圆台有内切球等价于圆台的轴截面有内切圆，由切线长定理可得母线长为，故A正确； 对于B，因为，所以该组数据的第三四分位数为，故B错误； 对于C，对于单峰的频率分布直方图而言，如果左右对称，则中位数和平均数大致相等， 若直方图在右边“拖尾”，则平均数将变大，更远离峰值处， 中位数位于单峰附近，故平均数大于中位数，故C错误； 对于D，若事件A、B彼此互斥，则， 若事件A、B相互独立，则，所以， 这与，矛盾，故不存在事件A、B彼此互斥与相互独立同时成立，故D错误. 6. 如图，在四面体中，，，且，D为四面体外一点，要使，需要添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取的中点，连接，证明出平面，要使，其中平面，故需平面，只需，又为的中点，故时，满足要求. 【详解】取的中点，连接， 因为，所以， 因为，，，平面， 所以平面，又平面，所以， 因为，平面，所以平面， 要使，其中平面，故需平面， 连接，则平面，故只需， 又为的中点，故时，满足要求. 故选：C. 7. 在正方体中，点是棱的中点，点在四边形内部运动包括边界设直线与直线所成的角为，则当平面时，的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过确定点的位置，找出角，表示出的正切值，求解取值范围. 【详解】取的中点分别为，连接， 可以证明平面平面， 故当点在线段上运动时，平面. 因为，所以直线与直线所成的角即为直线与直线所成的角，所以，连接，显然. 令正方体的棱长为2，，， 则，又， 所以，所以. 故选：B 8. 半径2的圆O的内接正五边形中，P是圆上的动点，则（ ） A. 36 B. 40 C. 44 D. 48 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的加减法则将进行转化，再结合正五边形的对称性与圆的性质进行计算. 【详解】， ， ， ， ，， 正五边形，， . 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，，则（ ） A. B. 在复平面内对应的点位于第二象限 C. 的虚部为2i D. 【答案】AD 【解析】 【详解】由题意，复数，，则，故A正确； ，其在复平面内对应的点的坐标为，在第四象限，故B错误； ，虚部为2，故C错误； ， ， 所以，故D正确. 10. 设全集，平面内共16个整数点，定点，记样本空间，从中随机取一点，定义三个事件：，，，从全集中随机取一点，定义三个事件，，，下列说法正确的是（ ） A. B. 事件相互独立 C. D. 三事件两两独立但不相互独立 【答案】ACD 【解析】 【分析】ABC选项，首先确定样本空间的元素个数，利用古典概型求出各事件的概率，根据事件独立的定义判断；D选项，先得到，根据事件独立的定义判断. 【详解】中有15个元素，事件，则， ，选项A正确； 事件，则， ，， 事件不相互独立，选项B错误； 事件，包含，共四个点， ， ，选项C正确； 事件，包含八个点， ， 事件，包含八个点， ， 事件，包含八个点，， 事件且，包含四个点， ，事件独立， 同理事件且， ，事件独立， 事件且， ，事件独立， 事件且且，即 且， ， 所以事件两两独立但不相互独立，选项D正确. 11. 现有3个半径为2且完全相同的小球，若要将这3个小球放入封闭型容器中（容器壁的厚度忽略不计），则这个容器可以是（ ） A. 底面边长为，高为4的正三棱锥 B. 底面边长为7，高为12的正三棱柱 C. 直径为9的球体 D. 长为8，宽为4，高为的长方体 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A，因为球的直径为4，而正三棱锥的高为4，显然不可能放入3个半径为2的球，故A错误； 对于B，边长为7的正三角形的内切圆半径为， 则当3个小球沿三棱柱高的方向纵向排列时，其最高长度为，故B正确； 对于C，当3个小球两两外切时，3个球心构成边长为4的正三角形， 则该正三角形的外接圆半径为， 因为，所以3个小球可以放入该球体，故C正确； 对于D，易知在长为8，宽为4，高为的长方体底部恰好可以放2个小球， 第3个小球放置在2个小球上且与2个小球均相切，作出纵截面的示意图如图， 此时3个小球的球心构成边长为4的等边三角形，则点到的距离为， 又，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，且，则____． 【答案】 【解析】 【详解】已知，则，解得． 13. 如图，四面体ABCD中，，M、N分别为AB、CD的中点.若异面直线AC与BD所成角的大小为，则MN的长为_________ 【答案】或 【解析】 【分析】取的中点，连接、，利用三角形中位线定理将异面直线、平移至中，结合余弦定理求解的长． 【详解】取的中点，连接、． 因为、分别为、的中点，所以为的中位线， 则，且． 同理，因为、分别为、的中点， 所以为的中位线，则，且． 因为，， 所以（或其补角）即为异面直线与所成的角． 又因为异面直线与所成角的大小为， 所以或． 在中，由余弦定理得：． 当时，， 解得； 当时，， 解得． 综上所述，的长为或． 14. 直角三角形DEF的三个顶点分别在等边三角形ABC的边AB，BC，CA上，且，，求的最小值________． 【答案】 【解析】 【分析】设，易得，且相似比.设，则.可得的边长为.在中由正弦定理，表示出，结合三角函数辅助角公式可求得面积的最大值，从而求得的最小值． 【详解】如图，设，则； 所以. 又，所以，且相似比. 设，则. 所以的边长为，于是，． 在中. 由正弦定理，有. 所以， 从而， 其中.等号成立时． 所以的最小值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知棱长为2的正方体中，M、N分别为CD和AD的中点． （1）求证：四点M，N，，共面； （2）若沿着平面将正方体截成两部分． ①请判断几何体是否是台体（说明理由）； ②求截得的较小与较大部分体积比． 【答案】（1）连接AC，由正方体的性质可知：， ∴四边形为平行四边形，∴， 又∵，分别是，的中点，∴，且， ∴，∴四点共面； （2）①几何体是台体，理由如下： 由四点共面，且， 故可延长、使得，则、， 又平面、平面， 且平面平面，故， 故、、三线共点， 由，分别是，的中点， 则，且， 故与相似， 又由正方体性质可得平面平面， 故几何体是台体； ② 【解析】 【分析】（1）结合正方体性质可证得，即可得四点共面； （2）①利用棱台定义：上下底面平行且相似、各侧棱延长后交于一点判断即可得；②借助棱台体积公式计算可得几何体体积，再求出正方体体积后作差可得剩余部分体积，即可得截得的两部分的体积之比. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①是，理由略. ② ， ，， 则， 所以截得的较小与较大部分体积比为. 16. 为了解学生对A，B两家餐厅的满意度情况，现从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了50人，每人分别对这两家餐厅的满意度进行打分（分数区间为），将其分数记为满意指数．根据打分结果按，，，分组，得到如图所示的频率分布直方图，其中B餐厅的满意指数在内的学生有15人． （1）求图中a，b的值；利用样本估计总体思想，比较A，B两家餐厅满意指数的平均数大小； （2）若B餐厅满意指数频率分布直方图中第三组满意指数的方差，第四组满意指数的方差，求在B餐厅用过餐的第三组与第四组所有学生的满意指数的方差． 【答案】（1） ； （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中频率之和为1及频数与频率的关系求解参数，利用组中值估算平均数并比较大小； （2）先确定两组数据的样本量及平均数，再利用分层抽样中方差的合成公式计算总方差. 【小问1详解】 由题意可知，样本容量，组距为2， 对于B餐厅，满意指数在内的学生有15人，则该组频率为， 由频率分布直方图可知，，解得， 因为所有小矩形的面积之和为1，所以，解得， A餐厅满意指数的平均数为， B餐厅满意指数的平均数为 ， 因为，所以A餐厅满意指数的平均数大于B餐厅满意指数的平均数. 【小问2详解】 由（1）可知，B餐厅第三组的频率为，该组人数，组中值为7，即平均数，方差， 第四组的频率为，该组人数，组中值为9，即平均数，方差， 这两组所有学生的总人数为， 这两组所有学生满意指数的平均数为， 则总方差， 故在B餐厅用过餐的第三组与第四组所有学生的满意指数的方差. 17. 如图，四棱锥中，，. （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明：因为在四棱锥中，， 所以四边形为等腰梯形，，则， 所以，则由余弦定理得， 在中，，于是， 因此，又，即， 而平面， 则平面，又平面，所以平面平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）利用等腰梯形的性质及余弦定理分别求出，再利用勾股定理的逆定理及线面垂直的判定、面面垂直的判定推理得证. （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在平面内过作，由（1）得直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面与平面的法向量分别为， 则，令，得， ，令，得， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18. 在正三棱台中，，，点O为的重心． （1）求证：， （2）棱上是否存在一点P使得平面？若存在，求出线段比值，不存在说明理由 （3）若侧棱上有一动点D，求直线BD与平面所成角θ的正弦值的取值范围． （请用几何法求解，向量坐标法不计分） 【答案】（1）连接并延长交于M，由于点O为正的重心． 故M为的中点，则； 设点为正的重心．连接并延长交于E，则E为的中点， 根据正三棱台的性质得，即共面； 连接，则平面，平面，故; 又平面，故平面， 平面，故，即； （2）棱上存在一点P使得，， （3） 【解析】 【分析】（1）首先取中点M，连接，可证平面，进而证明结论； （2）假设存在点P，根据线面平行的判定定理，可利用面面平行的性质，结合棱台上下底面对应边平行、重心分中线的比例关系，确定P的位置并计算比值； （3）设，求出点D到平面的距离的表达式，以及表示出的长度，因为线面角的正弦值等于点到平面的距离与斜线长度的比值，可得，再根据参数的取值范围，进而得到正弦值的范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 棱上存在一点P使得，， 延长交于一点S，由， 知，则， 则三棱锥为棱长是6的正四面体， 过O作交于G，点O为的重心，则， 过G作交于P，由，平面，平面， 故平面，同理平面， 平面，故平面平面， 而平面，故平面， 此时四边形为平行四边形，, 则. 【小问3详解】 由（2）知三棱锥为棱长是6的正四面体， 根据正四面体性质可知，平面，即平面， 平面，即可得平面平面，平面平面， 作垂直于平面，则垂足落在上， ，则，， 故,， 设，, 由于，故，则， 在中，， 则， 则直线BD与平面所成角θ的正弦值, 令，则，而， 由于在上单调递增，故， ， 故，即. 19. 在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且，点D是线段AB的中点，点E在线段BC上，且，线段CD与线段AE交于点M （1）求角B （2）若，，求 （3）①若为锐角三角形且，求中AC边上的高线的取值范围． ②过点M的动直线交的边AB和BC分别交于点P、Q，，请用适当的方法探究出角α与的边a，b，c和角A，B，C之间的一个等量关系并写出，无需证明． 【答案】（1） （2） （3）①；②（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）因为已知边与角的混合等式，所以用正弦定理将边转化为角，结合三角形内角消去角A，整理后用辅助角公式求解角B； （2）首先根据已知边长和点的位置，用向量法或坐标法确定点M的位置；再求出向量的模长和数量积，最后用向量夹角公式计算； （3）①先由正弦定理将a，c用角表示，结合锐角三角形条件确定角的范围；再根据向量关系求出的面积与面积的比例，最后由面积公式推导的表达式，结合角的范围求取值范围.②利用向量运算可得，再结合正弦定理得到，整理即可得到一个等量关系. 【小问1详解】 在中， ，则， 而，代入上式： 则，而， 故，即， 所以，结合， 得； 【小问2详解】 以B为原点，BC为x轴，过点B作垂线为y轴，如图，建立平面直角坐标系， 则，即， D是线段AB的中点，则，由，可知E为靠近C的三等分点， 则， 则直线的方程为，即 直线的方程为，即， 联立，解得，即， 则，， ， 故. 【小问3详解】 ①作交于，则N为的中点，且, 而，故，则≌，则， 故， 故，由知， 故， 又，故，， 而，则 故， 由正弦定理知，得， 由为锐角三角形，得,解得， 故 ， ，故，则， 故； ②由题意得 ， 因为共线，故，即； 在中，，即， 即，代入，得， 故一个等量关系可以为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合肥八中2025-2026学年第二学期高一年级期末检测 数学试题卷 命题人：江鹏 审题人：王雪春 甘梦尧 注意事项： 1．你拿到的试卷满分150分，考试时长120分钟． 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 高三（2）班有女生20人，男生30人，用分层抽样的方法从该班所有学生中抽取一个容量为10的样本，则男生应抽取（ ） A. 3人 B. 4人 C. 5人 D. 6人 2. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 设l是一条直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 4. 若两个非零向量，满足，则向量与的夹角是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法中，正确的是（ ） A. 已知上下底面半径分别为，的圆台有内切球的充要条件是圆台的母线长为 B. 已知数据2，3，5，7，8，9，10，11则该组数据的第三四分位数为9 C. 一组样本数据的频率分布直方图是单峰形状且向右拖尾，该组数据平均数小于中位数 D. 若，则存在事件A、B彼此互斥与相互独立同时成立 6. 如图，在四面体中，，，且，D为四面体外一点，要使，需要添加的条件是（ ） A. B. C. D. 7. 在正方体中，点是棱的中点，点在四边形内部运动包括边界设直线与直线所成的角为，则当平面时，的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 半径2的圆O的内接正五边形中，P是圆上的动点，则（ ） A. 36 B. 40 C. 44 D. 48 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，，则（ ） A. B. 在复平面内对应的点位于第二象限 C. 的虚部为2i D. 10. 设全集，平面内共16个整数点，定点，记样本空间，从中随机取一点，定义三个事件：，，，从全集中随机取一点，定义三个事件，，，下列说法正确的是（ ） A. B. 事件相互独立 C. D. 三事件两两独立但不相互独立 11. 现有3个半径为2且完全相同的小球，若要将这3个小球放入封闭型容器中（容器壁的厚度忽略不计），则这个容器可以是（ ） A. 底面边长为，高为4的正三棱锥 B. 底面边长为7，高为12的正三棱柱 C. 直径为9的球体 D. 长为8，宽为4，高为的长方体 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，且，则____． 13. 如图，四面体ABCD中，，M、N分别为AB、CD的中点.若异面直线AC与BD所成角的大小为，则MN的长为_________ 14. 直角三角形DEF的三个顶点分别在等边三角形ABC的边AB，BC，CA上，且，，求的最小值________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知棱长为2的正方体中，M、N分别为CD和AD的中点． （1）求证：四点M，N，，共面； （2）若沿着平面将正方体截成两部分． ①请判断几何体是否是台体（说明理由）； ②求截得的较小与较大部分体积比． 16. 为了解学生对A，B两家餐厅的满意度情况，现从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了50人，每人分别对这两家餐厅的满意度进行打分（分数区间为），将其分数记为满意指数．根据打分结果按，，，分组，得到如图所示的频率分布直方图，其中B餐厅的满意指数在内的学生有15人． （1）求图中a，b的值；利用样本估计总体思想，比较A，B两家餐厅满意指数的平均数大小； （2）若B餐厅满意指数频率分布直方图中第三组满意指数的方差，第四组满意指数的方差，求在B餐厅用过餐的第三组与第四组所有学生的满意指数的方差． 17. 如图，四棱锥中，，. （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 18. 在正三棱台中，，，点O为的重心． （1）求证：， （2）棱上是否存在一点P使得平面？若存在，求出线段比值，不存在说明理由 （3）若侧棱上有一动点D，求直线BD与平面所成角θ的正弦值的取值范围． （请用几何法求解，向量坐标法不计分） 19. 在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且，点D是线段AB的中点，点E在线段BC上，且，线段CD与线段AE交于点M （1）求角B （2）若，，求 （3）①若为锐角三角形且，求中AC边上的高线的取值范围． ②过点M的动直线交的边AB和BC分别交于点P、Q，，请用适当的方法探究出角α与的边a，b，c和角A，B，C之间的一个等量关系并写出，无需证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $