安徽合肥市第一中学2025-2026学年第二学期期末教学质量监测高一数学试题

合肥一中2025-2026学年度第二学期期末教学质量检测 高一数学试题 （参考答案与评分标准） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】A 2．【答案】D 3．【答案】C 4．【答案】B 5．【答案】D 6．【答案】C 7．【答案】C 8．【答案】B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．【答案】ABD 10．【答案】AB 11．【答案】ABD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12．【答案】0.88． 13．【答案】． 14．【答案】． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．【答案】（1）；中位数为92.5；（2）． 【解析】（1），解得； 3分 设中位数为，前两个矩形的面积之和为， 前三个矩形的面积之和为， 所以，则，解得， 所以估计准确率的中位数为； 6分 （2）由（1）知，准确率在，两组频率比为， 由比例分配的分层随机抽样方法， 分别从，两组的学生中抽取2人，3人， 8分 记中抽取的2人为，，中抽取的3人为，，， 设“这2份中至少有1份的准确率在”为事件， 则， ∴事件发生的概率为， 因这2份中至少有1份的准确率在的概率为． 13分 16．【答案】（1）证明见解析；（2）1． 【解析】（1）证明：∵在平行四边形中，，， 又．且， 面，面， ∴平面平面； 6分 （2），，， ， 由（1）得，又，面， ∴三棱锥的体积 ． 15分 17．【答案】（1）；（2）的最小值为，相应的值为． 【解析】（1）由题意，笔试和面试各题是否答对相互独立， ∴甲笔试满分的概率为，则， 又，． 5分 （2）由题意，甲至少答对3道题才能够进入面试， ∴甲能够进入面试的概率为：， ，则，则， 整理得， 10分 ，， ，当且仅当，即时，等号成立，∴甲能够进入面试的概率的最小值为，相应的值为． 15分 18．【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】（1）因为，所以，即，所以或（舍去）， 所以，结合，得． 5分 （2）如图，∵在中，，，， ∴由正弦定理可得， ，又， ， ， 又为的平分线，且， ，又，， ． 11分 （3），， 为锐角三角形，，，， ，即的范围为 17分 （此题也可转化为边长之比，用余弦定理限定锐角三角形，求其范围） 19．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3），此时为线段上靠近的三等分点． 【解析】解：（1）证明：延长，交于点，延长，交于点连接， 因为平面，平面， 所以，，所以， 即是线段上靠近的三等分点，又因为平面，所以，， 可得，即是线段上靠近的三等分点， 因为为中点，可得是线段上靠近的三等分点，所以， 所以，即， 又因为平面，平面， 所以平面； 5分 （2）在直角梯形中，，，，， 可得， 同理可得，即为等腰三角形， 又因为为中点，所以，即，在平面中，，，，可得，，所以， 又因为平面与平面， 所以是平面与平面的夹角的平面角， 因为，，所以， 即平面与平面的夹角的正弦值为； 11分 （3），，，，平面， 所以平面， 因为，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 在三棱锥中，设的外心为， 的外心为， 过点作直线平面， 过点作直线平面，，交于点，此时，， 即三棱锥的外接球球心为， 在中，，，， 设外接圆半径为，则， 解得，所以， 在平面中，四边形为矩形，即， 在中，，设外接圆半径为， 由正弦定理得，，即， 又因为， 所以要让三棱锥的外接球半径最小，即只要让最小， 因为在上动，， 所以， 即三棱锥的外接球半径的最小值为， 因为，，所以四边形是平行四边形， 所以，此时为线段上靠近的三等分点． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 合肥一中2025-2026学年度第二学期期末教学质量监测 高一数学试题 （考试时长：120分钟 满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知平面向量，，若，则（ ） A． B． C． D． 2．设，，则（ ） A． B． C． D． 3．已知圆锥的底面直径和母线均为8，则该圆锥的侧面积为（ ） A． B． C． D． 4．已知，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，下列结论不正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 5．有4个分别标有数字1，2，3，4的相同小球，从中不放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是3”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，则下列选项正确的是（ ） A．甲与乙互斥 B．丙与丁对立 C．甲与丙相互独立 D．乙与丁相互独立 6．在中，，，则的面积为（ ） A． B．3 C． D．6 7．已知样本数据，，，的平均数为9，方差为12，现这组样本数据增加一个数据，此时新样本数据的平均数为10，则新样本数据的方差为（ ） A．17.8 B．18.8 C．19.8 D．20.8 8．已知平面内三个不同的单位向量，，，满足，，，则可能的取值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某城市连续7天的最低温度（单位：）为3，5，2，0，5，7，6，则这组数据的（ ） A．众数为5 B．极差为7 C．中位数为6 D．40%分位数为3 10．设有下面四个命题，其中的真命题为（ ） A．若复数，则 B．若复数满足，则 C．若复数，则为纯虚数的充要条件是 D．若，则 11．如图，正方体中，顶点在平面内，其余顶点在的同侧，顶点，，到的距离分别为，1，2，则（ ） A．平面 B．平面平面 C．直线与所成角比直线与所成角大 D．正方体的棱长为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12．事件、相互独立，，，则___________． 13．如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一铅垂平面内，飞机在点到，点的俯角分别为，，飞行后，在点到，点的俯角分别为，，则测得两山顶，间距离为_________． 14．已知三棱锥满足，，，且，，，则异面直线与所成夹角的余弦值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 学校正在研究基于“合一小虎”的人工智能答疑系统，更方便地帮助学生解决学习中碰到的问题．为了测试答疑系统的准确性，现利用“合一小虎”解答了50份不同的模拟试卷，收集其准确率，整理得到其频率分布直方图． （1）求图中的值及这组数据的中位数； （2）若采用样本量比例分配的分层随机抽样从，两组中抽取5份，再从这5份中随机抽取2份，求这2份中至少有1份的准确率在的概率． 16．（15分） 如图，在平行四边形中，，，以为折痕将折起，使点到达点的位置，且． （1）证明：平面平面； （2）为线段上一点，为线段上一点，且，求三棱锥的体积． 17．（15分） 同学甲参加一项招聘考试，分为笔试和面试两个环节，笔试成绩合格后才能进入面试．笔试共有2道专业理论题与2道岗位实践题，每道专业理论题的难度系数（考生能够正确作答的概率）均为，每道岗位实践题的难度系数均为，考生至少答对3道题才能进入面试，否则被淘汰出局；已知甲笔试得满分的概率为，笔试各题是否答对相互独立． （1）当时，求； （2）求甲能够进入面试的概率的最小值及相应的值． 18．（17分） 在中，已知． （1）求角； （2）若，，为上一点，为的平分线，求． （3）若，试确定的取值范围，使为锐角三角形． 19．（17分） 如图是一个正三棱柱（以为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为．已知，，，．是的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成角的正弦值； （3）若点在线段上，求三棱锥的外接球半径的最小值及此时的位置． 学科网（北京）股份有限公司 $