21.1 认识一元二次方程（教学课件）数学新教材华东师大版九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的概念、一般形式、系数识别及根的概念，通过复习七年级一元一次方程的定义与一般形式，对比引出新知，搭建前后知识联系的学习支架。 其亮点在于以绿地面积、年平均增长率等实际问题引入，培养数学眼光，通过典例分析方程判断、化为一般形式等步骤发展数学思维的推理能力，结合花边宽度问题强化数学语言的模型意识。课堂小结结构化梳理知识，助力学生构建体系，教师可借清晰流程提升教学效率。

【新教材】华东师大版·九年级上册 第21章 一元二次方程 21.1认识一元二次方程 认识一元二次方程 章节导读 21.1认识一元二次方程 21.2一元二次方程的解法 公式法 因式分解法 一元二次方程在利润等问题中应用 一元二次方程的认识 配方法 21.3实践与探索 直接开平方法 一元二次方程根的判别式 一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程在几何等问题中的应用 2 学 习 目 标 1 2 3 理解一元二次方程的概念，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式. 能找到一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项. 能够判定一个数是否是一元二次方程的根，能从实际问题中抽象出一元二次方程. 复习回顾 在七年级下册第5章，我们学习了一元一次方程。什么是一元一次方程？它的一般形式是怎样的？ 含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程. 它的一般形式是：(为常数，). 回顾训练 下列哪些是一元一次方程？ 一元一次方程 二元一次方程 一元一次不等式 分式方程 新知探究 问题1 绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为 900 平方米的矩形绿地，并且长比宽多 10 米，那么绿地的长和宽各为多少？ 认识一元二次方程 分析：我们可以通过列方程解决这类实际问题。 回顾：列方程的一般步骤？ 1.审； 2.设； 3.列； 4.解； 5.验； 6.答. 新知探究 问题1 绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为 900 平方米的矩形绿地，并且长比宽多 10 米，那么绿地的长和宽各为多少？ 认识一元二次方程 分析：我们可以通过列方程解决这类实际问题。 如图，如果设绿地的宽为 m，则绿地的长为 . 由于矩形绿地面积为900平方米.你能根据题意，列出方程吗？ 整理得： 新知探究 问题2 学校图书馆去年年底有图书 5 万册，预计到明年年底增加到 7.2 万册. 求这两年的年平均增长率. 认识一元二次方程 分析：设这两年的年平均增长率为 . 去年年底图书数_____万册； 今年年底图书数_________万册； 根据题意得： 明年年底图书数_ ________万册； 整理得： 新知探究 认识一元二次方程 显然不是 这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？ ； 这两个方程是一元一次方程吗？ 思考 未知数的最高次数是2 这两个方程有什么共同特点呢？ 1. 等号两边都是整式 2. 只含有一个未知数 3. 未知数的最高次数是 2 称为一元二次方程 一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2的整式方程叫做一元二次方程 . 归纳总结 认识一元二次方程 归纳总结 一元二次方程的一般形式： (是已知数，) 新知探究 一元二次方程的一般形式： (是已知数，) 一元二次方程的一般形式 二次项 一次项 常数项 叫作二次项系数 叫作一次项系数 叫作常数项系数 你能指出问题1和问题2中两个方程的二次项系数、一次项系数和常数项吗？试一试吧！ 为什么? 新知探究 一元二次方程的一般形式： (是已知数，) 一元二次方程的一般形式 当时， ， 当时， ， 当时， 当时， ， 总结：只要满足即可，可以为任意实数.即一元二次方程可以没有一次项和常数项。 一元一次方程； 一元二次方程； 一元二次方程； 一元二次方程； 一元二次方程的特殊形式 典例分析 一元二次方程的相关概念 例1 判断下列式子，哪些是一元二次方程？ ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥; ②中“含有两个未知数； ⑤整理后，二次项被抵消，未知数的最高次数是 1. ④中分母含有未知数，是分式方程； ⑥根号内含有未知数，不是整式方程。 ③中的值有可能为 0 ； 判断是否是一元二次方程的步骤： 首先看是不是整式方程，再化为一般形式。 必须满足三个条件： ①只含有一个未知数 ②未知数最高次数是2 ③等号两边都是整式（分母或根号内不含未知数） 注意：二次项系数是否限定范围，不要遗忘取0的情况。 方法技巧 典例分析 一元二次方程的相关概念 例2 将一元二次方程化为一般形式，并指出方程的二次项系数、一次项系数和常数项。 解：去括号得 移项得 合并同类项得 系数化为1得 二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为3。 要确定一元二次方程的系数和常数项，必须要将方程转化为方程的一般形式，同时包含系数前面的符号。 方法总结 新知探究 一元二次方程的根 例：已知关于的一元二次方程的一个根是3，则的值 . 把未知数的值分别代入方程的左右两边，如果能使方程的左右两边相等，则这个值是一元二次方程的解（或根）. 已知方程的根求字母的值，只需要把方程的根代入方程中，得到一个关于这个字母的方程，然后解这个方程，就能得到字母的值. 方法技巧 解：由题意把 代入方程 ， 得. 解得. 典例分析 例3 已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是 。 一元二次方程的根 分析：见根就代，得到关于未知数的方程，是解决类似问题的常用方法. 解：因为是一元二次方程的一个根， 将代入方程，得 所以. 随堂练习 1.将下列一元二次方程化为一般形式，并指出方程的二次项系数、一次项系数和常数项： （1）； （2）； （3） ； （4）. 基础过关(P19) 随堂练习 2.关于x的方程是一元二次方程，则 ，此时该一元二次方程为 ，一次项系数是 ，二次项系数是 ，常数项是 . 能力提升 解：因为原方程为一元二次方程， 所以，解得，所以。 随堂练习 3.关于的方程 ， 当 　　时，是一元二次方程； 当 　　时，是一元一次方程． 能力提升 解：因为原方程为一元二次方程，所以，解得。 因为原方程为一元二次方程，所以且，解得。 随堂练习 4.若关于的一元二次方程 ，有一个根为 0，求的值. 能力提升 解：将 代入方程得 ， 解得 . ∵ ， ∴ . 综上可知 . 不要忽视了二次项系数不为0哦 随堂练习 5.如图，在一张矩形床单的四周绣上宽度相等的花边，中间剩下部分的面积为1.6 ㎡，已知床单的长是2 m，宽是1.4 m，求花边的宽度。设花边的宽度为 m，根据题意可列方程为 。 能力提升 课堂小结 概念 一元一次方程的区别和联系 找准项及系数 （≠0） 区别：字母指数, 联系：系数不能为0 确定一元二次方程的系数和常数项，必须要将方程化为一般形式，同时包含前面的符号. 一元二次方程 形式 根 能使方程的左右两边相等，则这个值是一元二次方程的根. ①含有一个未知数 ②未知数的最高次数是2 ③等号两边都是整式. 感谢聆听! 【新教材】华东师大版·九年级上册 $