27.1 反比例函数的概念 课件 2026--2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦反比例函数概念，通过铁路列车速度、矩形草坪边长、手机流量使用等现实情境导入，引导学生观察变量关系，从具体实例中抽象出y=k/x（k≠0）的形式，搭建从实际问题到函数概念的学习支架。 其亮点在于以“问题链”驱动探究，结合抽象能力和模型观念，通过辨析反比例关系与函数的区别、推导三种表达式，培养学生数学思维。典型例题与当堂检测结合生活实例，强化应用意识，课堂总结系统梳理定义、表示及待定系数法步骤。学生能提升抽象与建模能力，教师可直接利用结构化资源优化教学。

第二十七章 反比例函数 27.1 反比例函数的概念 1.结合具体情境用实例体会反比例函数的意义，能正确识别反比例函数； 2.能根据已知条件确定反比例函数的解析式； 3.能根据实际问题中的条件建立反比例函数模型，发展抽象能力和模型观念. 2 新知引入 同一条铁路线上，由于不同车次列车的运行时间有长有短，所以它们平均速度有快有慢. 由 s＝vt 可知，在路程 s 一定的前提下，平均速度 v 与运行时间 t 成反比例. 从函数角度看，平均速度 v 随运行时间 t 的变化而变化的规律，可表示为 这类函数就是本章要研究的反比例函数. 思考：这些解析式有什么共同特点？ v = ，y = ，Q = . 上述解析式都具有 y = 的形式，其中 k 是非零常数. 一般地，形如 y = （k为常数，k≠0）的函数叫作反比例函数，其中 x 是自变量，其取值范围是不等于0的一切实数. 注意：在 y = 中，当x=0 时，分式 无意义. 探索新知 思考 在下列问题中，变量之间具有函数关系吗？如果有，它们的解析式有什么共同特点？ (1) 京沪高铁全程为 1 318 km，某次列车的平均速度 v (单位：km/h) 随此次列车的全程运行时间 t (单位：h) 的变化而变化； 路程一定时，两个变量 t 与 v 成反比例关系，变量 v 随着变量 t 的变大而变小. 而且对于 t 的每一个确定的值，v 都有唯一确定的值与其对应，所以 v 与 t 间具有函数关系，解析式为 探索新知 思考 在下列问题中，变量之间具有函数关系吗？如果有，它们的解析式有什么共同特点？ (2) 某住宅小区要种植一块面积为 1000 m2 的矩形草坪，草坪相邻两边的长 y (单位：m) 随另一边长 x (单位：m)的变化而变化； 面积一定时，两个变量 y 与 x 成反比例关系，变量 y 随着变量 x 的变大而变小. 而且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，所以 y 与 x 间具有函数关系，解析式为 新知探究 感知函数关系 1.写出每个问题中两个变量之间的函数解析式 . 2.思考每个问题中是否存在函数关系，依据是什么 ？ 情境 问题1 京沪高铁全程为，某次列车的平均速度（单位：）随全程运行时间（单位：）的变化而变化； 想一想 速度、路程与时间之间有什么关系？ 路程=速度时间 路程固定为1318km，故平均速度与全程运行时间的关系式为 情境 问题2 某住宅小区要种植一块面积为的矩形草坪，草坪的一边长（单位：）随另一边长（单位：）的变化而变化； 新知探究 想一想 矩形的面积是如何计算的呢？ 矩形面积=长宽 矩形面积固定为，故草坪的一边长与另一边长的关系为： 长 探索新知 在下列问题中，变量之间具有函数关系吗？如果有，它们的解析式有什么共同特点？ (3) 李明计划在一段时间内使用完 5 GB 手机流量，平均每天使用的流量 Q (单位：GB) 随使用完流量的总时间 t (单位：天) 的变化而变化. 流量一定时，两个变量 Q 与 t 成反比例关系，变量 Q 随着变量 t 的变大而变小. 而且对于 t 的每一个确定的值，Q 都有唯一确定的值与其对应，所以 Q 与 t 间具有函数关系，解析式为 思考 探索新知 观察以上三个解析式，你觉得它们有什么共同特点？ 都具有分式的形式. 其中分子是常数. 一般地，形如 (k 为常数，k≠0) 的函数，叫作反比例函数. 其中 x 是自变量，y 是 x 的函数. 为什么？ 因为 x 作为分母，不能等于零，因此自变量 x 的取值范围是所有非零实数. 反比例关系 反比例函数 区 别 如果 ab=k（k 为常数，k≠0），那么a与b这两个量成反比例关系. 例如：若 y+2 与 x−5 成反比例，则 y+2=（k 为常数，k≠0）. 反比例函数是描述了变量之间成反比例关系的一种数学函数，是形如 y = ​（k 为常数，k≠0）的函数. 联 系 反比例函数是反比例关系的一种特殊形式，成反比例关系不一定是反比例函数，但反比例函数中的两个变量一定成反比例关系. 例如：y= 表示 y 与 x2​ 成反比例，但 y 不是关于 x 的反比例函数. 辨析 反比例关系与反比例函数的区别和联系 情境 问题3 李明计划使用完手机流量，平均每天使用的流量（单位：）随总使用时间（单位：天）的变化而变化。 新知探究 想一想 总流量、每天使用的流量、时间三者之间有什么关系？ 总流量=每天使用的流量时间 每天使用的流量 总流量固定为，故平均每天使用的流量与总使用时间的关系为： ①都是分式形式； 新知探究 反比例函数概念 探究 观察下列这三个解析式，它们在形式上有什么共同点？ ②分子是一个不为 0 的常数； ③分母是自变量。 如果我们用 表示分子的常数，用 表示自变量，用 表示因变量，你能写出它们的一般形式吗？ 一般地，形如 （ 为常数，）的函数，叫做反比例函数。其中 是自变量， 是 的函数。 探索新知 反比例函数除了可以用 (k≠0) 的形式表示，还有没有其他表示方式？ 反比例函数的三种表达方式：(注意 k≠0) ② y=k ③ xy = k ① 注意：反比例函数是反比例关系的一种特殊形式，成反比例关系不一定是反比例函数，但反比例函数中的两个变量一定成反比例关系. 典型例题 例 已知 y 是 x 的反比例函数，且当 x＝2 时，y＝6. (1) 写出 y 关于 x 的函数解析式； (2) 当 x＝4 时，求 y 的值. 分析：因为 y 是 x 的反比例函数，所以设 ，把 x＝2，y＝6 代入上式，就可求出常数 k 的值. 解：(1) 设 . 因为当 x＝2 时，y＝6，所以 6＝ . 解得 k＝12. 因此 . (2) 把 x＝4 代入 ，得 y＝ ＝3. 下列函数： ① ；② ；③ xy8=0；④ +1；⑤ ；⑥ ； ⑦ ；⑧ （a 为常数）. 其中  是  的反比例函数的有___________________.（填序号） 例1 ①②③⑦⑧ 易错：在反比例函数y=kx－1(k≠0)中，自变量x的指数是1，要与正比例函数y=kx (k≠0)相区别 反比例函数的常见形式： ①y = ；②y=kx－1；③xy=k.（k为常数，k≠0） 用函数解析式表示下列问题中变量之间的关系，并指出它们各是什么函数. (1)当圆锥的体积是 50 cm3 时，它的高 h (cm) 与底面圆的面积 S (cm2 ) 之间的关系； (2)我国某磁悬浮列车最高速度可达 600 km/h，该列车以最高速度行驶路程 s (km) 与它行驶的时间 t (h) 之间的关系； 解：(1) 依题意，得 50=Sh，则 h=，该函数是反比例函数. (2) 依题意，得 s=600t，该函数是正比例函数. 例2 用函数解析式表示下列问题中变量之间的关系，并指出它们各是什么函数. (3)当做功是 50 J 时，力 F (N) 与物体在力 F 的方向上移动的距离 s (m) 之间的关系； (4)用长为 20 m 的篱笆围成一个矩形菜园（篱笆全部用完），设菜园的一边长为 x (m)，菜园的面积 S (m2 ) 与 x (m) 之间的关系. W=Fs （ W：功(J) ；F：力(N)；s：在力的方向上移动的距离(m) ） 解：(3) 依题意，得 F=，该函数是反比例函数. (4) 依题意，得 S=x(10－x)，即 S=－x2+10x，该函数是二次函数. 例2 新知探究 思考 如果 ,解析式会变成什么？还是反比例函数吗？ 时，是常数函数，不存在反比例关系 ，若为0，则无意义 想一想 在反比例函数中， 可以取 吗？为什么？ 由分式有意义的条件可知： 反比例函数也可表示为以下形式 ②负指数式：（ 为常数，） ①乘积式：（ 为常数，） 新知巩固 反比例函数概念 1．有下列函数：①，②，③，④；⑤，⑥，其中是的反比例函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】利用反比例函数的定义，一般地，形如的函数是反比例函数，对每个式子逐一判断即可得出结论． 【解答】解：反比例函数形式为：， 则①、 ③、 ④是反比例函数， ②、 ⑤、 ⑥不是反比例函数 故①③④是反比例函数， 故选：C． 21 当堂检测 B 当堂检测 B 例3 已知 y 是 x 的反比例函数，且当 x=2 时，y=6. (1) 写出 y 关于 x 的函数解析式； (2) 当 x=4 时，求 y 的值. 分析：因为y是x的反比例函数，所以设 y= . 把 x=2，y=6 代入上式，就可求出常数 k 的值. 解：(1) 设 . 因为当 x=2 时，y=6， 所以 解得 k = 12. 因此 (2) 把 x=4 代入 y， 得 用待定系数法求反比例函数的解析式 在反比例函数 （ 为常数，）中，只有一个待定系数 ，因此只要给出一对  的对应值，就可以求出待定系数  的值，从而确定反比例函数的解析式. 实质是代入一对 x，y 的对应值解方程 课堂总结 本节课你学到了什么？ 26 用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤 一设：根据题意，设反比例函数的解析式为 （）； 二代：把 x，y 的一对对应值代入  中，得到一个关于 k 的方程； 三解：解方程，求出  的值； 四写：将  的值代入所设解析式中，即得到该反比例函数的解析式. 反比例函数的概念 概念、三种表示方式 用待定系数法求反比例函数解析式 建立反比例函数模型 1.下列函数中是反比例函数的是( ) A. B. C. D. 解析：∵反比例函数的定义为形如（k是不为0的常数，）的函数， A选项，是正比例函数，不符合反比例函数定义，故此选项不符合题意； B选项，可变形为，其中，符合反比例函数定义，故此选项符合题意； 1.下列函数中是反比例函数的是( ) A. B. C. D. 解析：C选项，是二次函数，不符合反比例函数定义，故此选项不符合题意； D选项，的分母是，不是单独的自变量x，不符合反比例函数定义，故此选项不符合题意. 故选：B. $