27.1反比例函数的概念 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦反比例函数概念及解析式确定，通过高铁速度与时间、矩形草坪边长、手机流量使用三个现实情境导入，引导学生分析变量关系得出解析式，再归纳共同形式形成概念，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点是以现实情境为载体发展数学眼光，通过辨析练习和推理判断培养数学思维，用待定系数法和模型建立强化数学语言表达。梯度设计的例题与练习帮助学生系统掌握，教师可直接用于教学，提升学生抽象能力与模型观念。

第二十七章 反比例函数 27.1反比例函数的概念 1.结合具体情境用实例体会反比例函数的意义，能正确识别反比例函数； 2.能根据已知条件确定反比例函数的解析式； 3.能根据实际问题中的条件建立反比例函数模型，发展抽象能力和模型观念. 学习目标 2 思考 在下列问题中，变量之间具有函数关系吗？如果有，它们的解析式有什么共同特点？ (1) 京沪高铁全程为1 318 km，某次列车的平均速度v（单位：km/h）随此次列车的全程运行时间t（单位：h）的变化而变化； 在问题(1)中，有两个变量t与v，当一个量t变化时，另一个量 v 随着 t 的变化而变化，而且对于 t 的每一个确定的值，v 都有唯一确定的值与其对应，所以这两个变量之间具有函数关系. 解析式为v = . 课堂导入 思考 在下列问题中，变量之间具有函数关系吗？如果有，它们的解析式有什么共同特点？ (2) 某住宅小区要种植一块面积为1 000 m²的矩形草坪，草坪相邻两边的一边长y（单位：m）随另一边长x（单位：m）的变化而变化； 在问题(2)中，有两个变量y与x，当一个量x变化时，另一个量y随着x的变化而变化，而且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，所以这两个变量之间具有函数关系. 解析式为y = . 课堂导入 思考 在下列问题中，变量之间具有函数关系吗？如果有，它们的解析式有什么共同特点？ (3) 李明计划在一段时间内使用完5 GB手机流量，平均每天使用的流量Q（单位：GB）随使用完流量的总时间t（单位：天）的变化而变化. 在问题(3)中，有两个变量Q与t，当一个量t变化时，另一个量Q随着t的变化而变化，而且对于t的每一个确定的值，Q都有唯一确定的值与其对应，所以这两个变量之间具有函数关系. 解析式为Q = . 课堂导入 思考：这些解析式有什么共同特点？ v = ，y = ，Q = . 上述解析式都具有 y = 的形式，其中 k 是非零常数. 知识点1 反比例函数的概念 新知讲解 一般地，形如 y = （k为常数，k≠0）的函数叫作反比例函数，其中 x 是自变量，其取值范围是不等于0的一切实数. 注意：在 y = 中，当x=0 时，分式 无意义. 知识点1 反比例函数的概念 新知讲解 反比例关系 反比例函数 区 别 如果 ab=k（k 为常数，k≠0），那么a与b这两个量成反比例关系. 例如：若 y+2 与 x−5 成反比例，则 y+2=（k 为常数，k≠0）. 反比例函数是描述了变量之间成反比例关系的一种数学函数，是形如 y = ​（k 为常数，k≠0）的函数. 联 系 反比例函数是反比例关系的一种特殊形式，成反比例关系不一定是反比例函数，但反比例函数中的两个变量一定成反比例关系. 例如：y= 表示 y 与 x2​ 成反比例，但 y 不是关于 x 的反比例函数. 辨析 反比例关系与反比例函数的区别和联系 知识点1 反比例函数的概念 新知讲解 下列函数： ① ；② ；③ xy8=0；④ +1；⑤ ；⑥ ； ⑦ ；⑧ （a 为常数）. 其中  是  的反比例函数的有___________________.（填序号） 例1 ①②③⑦⑧ 易错：在反比例函数y=kx－1(k≠0)中，自变量x的指数是1，要与正比例函数y=kx (k≠0)相区别 反比例函数的常见形式： ①y = ；②y=kx－1；③xy=k.（k为常数，k≠0） 知识点1 反比例函数的概念 新知讲解 用函数解析式表示下列问题中变量之间的关系，并指出它们各是什么函数. (1)当圆锥的体积是 50 cm3 时，它的高 h (cm) 与底面圆的面积 S (cm2 ) 之间的关系； (2)我国某磁悬浮列车最高速度可达 600 km/h，该列车以最高速度行驶路程 s (km) 与它行驶的时间 t (h) 之间的关系； 解：(1) 依题意，得 50=Sh，则 h=，该函数是反比例函数. (2) 依题意，得 s=600t，该函数是正比例函数. 例2 知识点1 反比例函数的概念 新知讲解 用函数解析式表示下列问题中变量之间的关系，并指出它们各是什么函数. (3)当做功是 50 J 时，力 F (N) 与物体在力 F 的方向上移动的距离 s (m) 之间的关系； (4)用长为 20 m 的篱笆围成一个矩形菜园（篱笆全部用完），设菜园的一边长为 x (m)，菜园的面积 S (m2 ) 与 x (m) 之间的关系. W=Fs （ W：功(J) ；F：力(N)；s：在力的方向上移动的距离(m) ） 解：(3) 依题意，得 F=，该函数是反比例函数. (4) 依题意，得 S=x(10－x)，即 S=－x2+10x，该函数是二次函数. 例2 知识点1 反比例函数的概念 新知讲解 例3 已知 y 是 x 的反比例函数，且当 x=2 时，y=6. (1) 写出 y 关于 x 的函数解析式； (2) 当 x=4 时，求 y 的值. 分析：因为y是x的反比例函数，所以设 y= . 把 x=2，y=6 代入上式，就可求出常数 k 的值. 解：(1) 设 . 因为当 x=2 时，y=6， 所以 解得 k = 12. 因此 (2) 把 x=4 代入 y， 得 新知讲解 知识点2 用待定系数法求反比例函数解析式 用待定系数法求反比例函数的解析式 在反比例函数 （ 为常数，）中，只有一个待定系数 ，因此只要给出一对  的对应值，就可以求出待定系数  的值，从而确定反比例函数的解析式. 实质是代入一对 x，y 的对应值解方程 新知讲解 知识点2 用待定系数法求反比例函数解析式 用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤 一设：根据题意，设反比例函数的解析式为 （）； 二代：把 x，y 的一对对应值代入  中，得到一个关于 k 的方程； 三解：解方程，求出  的值； 四写：将  的值代入所设解析式中，即得到该反比例函数的解析式. 新知讲解 知识点2 用待定系数法求反比例函数解析式 已知 y 是 x 的反比例函数，当 x=6 时，y=－. 跟踪训练 (1)求 y 关于 x 的函数解析式； (2)当 x= -8 时，求 y 的值； (3)当 y=12 时，求 x 的值. 己经明确“y是x的反比例函数”或“y与x成反比例”时，可直接设函数的解折式为 y 解：(1)设（）. 因为当时，，所以，解得, 所以. (2)当x=-8时，. (3)当y=12时，12，所以. 易错：代入-8时，不要漏掉解析式中原有的负号 新知讲解 知识点2 用待定系数法求反比例函数解析式 1.用函数解析式表示下列问题中变量之间的关系： （1）一个游泳池的容积为2 000 m3，游泳池注满水所用时间 t（单位：h）随注水速度v（单位：m3/h）的变化而变化； （2）学校准备将1 000 m² 实践田平均划分给一些班级，每班分得的实践田面积y（单位：m2）随班级个数 x 的变化而变化； （3）在某次物理实验中，电路中的电压 U 为3 V，则该电路中的电流I（单位：A）随电阻R（单位：Ω）的变化而变化 . 解：(1)  （v>0）. (2)  y（x为正整数）. (3) （R > 0）. 随堂练习 2.已知 y 是x的反比例函数，当 x=－2 时，y=4. 求这个函数的解析式和自变量的取值范围. 解：设 y（k ≠ 0）. ∵ 当x=-2时，y=4， ∴ 4 = ，解得 k=8， ∴ y=. 自变量x的取值范围是不等于0的一切实数. 随堂练习 解：对应的函数值 y 缩小到原来的 . 理由如下： 已知反比例函数 （k>0），当自变量  扩大到原来的 a 倍(a2，且 a 为正整数)时，记相应的自变量及函数值分别为x′，y′， 则x. 将 x′代入反比例函数解析式，得 y′ y . 因此，对应的函数值 y 缩小到原来的 . 3. 已知反比例函数 （k>0），当自变量  扩大到原来的  倍（a≥2，且  为正整数）时，对应的函数值  将如何变化？请说明理由. 随堂练习 4. 已知 y－3 与 x 成反比例，并且当x=2时，y=6. (1)求y关于x的函数解析式，y是x的反比例函数吗？ 解：(1) 设 y-3（k≠0）， 因为当 x=2时，y=6 ，所以 6-3 ， 解得 k=6. 所以y-3， 整理，得 y +3. 形如 y（k 为常数，k≠0）的函数是反比例函数，而 y +3多了常数项 3，因此 y 不是 x 的反比例函数. 随堂练习 4. 已知 y－3 与 x 成反比例，并且当x=2时，y=6. (2)当 x=-8 时，求y的值. (3)当 y=12 时，求x的值. 解：(2) 将 x=-8 代入解析式 +3， . (3)将 y=12 代入解析式  +3， 得 12， 所以 . 随堂练习 一般地，形如 y = （k为常数，k≠0）的函数 ①y = ；②y=kx－1；③xy=k.（k为常数，k≠0） 三种形式 概念 确定解析式 用待定系数法求反比例函数的解析式 设、代、解、写 反比例函数 实际问题 抽象 课堂小结 $