精品解析：吉林省长春市经开区2025-2026学年七年级下学期7月期末数学试题

2025-2026学年度下学期期末学情调研 七年数学 本试卷包括四道大题，共24小题，共6页，全卷满分120分．考试时间为120分钟． 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 下列方程中，是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二元一次方程的定义判断，二元一次方程需满足三个条件，是整式方程，共含有两个未知数，所有含未知数的项的次数都是1． 【详解】解：选项A，，含有两个未知数，所有含未知数的项的次数都是1，且为整式方程，符合二元一次方程的定义，故本选项符合题意； 选项B，，项的次数为2，不符合定义，故本选项不符合题意； 选项C，，项的次数为2，不符合定义，故本选项不符合题意； 选项D，，只含有1个未知数，不符合定义，故本选项不符合题意． 2. 如图所示为某不等式的解集，这个解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：由得． 3. 三角形的下列线段中，能将三角形的面积分成相等两部分的是（ ） A. 中线 B. 角平分线 C. 高 D. 以上都不对 【答案】A 【解析】 【分析】根据等底等高的三角形的面积相等解答． 【详解】解：∵三角形的中线把三角形分成两个等底同高的三角形， ∴三角形的中线将三角形的面积分成相等两部分． 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的面积，主要利用了“三角形的中线把三角形分成两个等底同高的三角形”的知识，本知识点是中学阶段解三角形的面积经常使用，一定要熟练掌握并灵活应用． 4. 如图，，若，，则的长度为（ ） A. 9 B. 6 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，由全等三角形的性质推出，，即可求出的长． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 故选：D． 5. 如图，小江同学作了一个帆船形状的几何图形，已知，，．则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质以及三角形外角定理求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 二、多项选择题（每小题3分，共9分） 6. 下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中是轴对称图形的有（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A．该图形是轴对称图形，符合题意； B．该图形不是轴对称图形，不符合题意； C．该图形不是轴对称图形，不符合题意； D．该图形不是轴对称图形，不符合题意． 7. 已知四条线段，，，．从中选取三条线段，能够组成一个三角形的有（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】BC 【解析】 【分析】利用“三角形任意两边之和大于第三边”的性质，对每个选项中的三条线段进行验证，只需比较较短两条线段的和与最长线段的大小，即可判断能否组成三角形． 【详解】解：选项A：三边为，，，较短两边的和为，等于最长边，不满足三边关系，不能组成三角形； 选项B：三边为，，，较短两边的和为，，满足三边关系，能组成三角形； 选项C：三边为，，，较短两边的和为，，满足三边关系，能组成三角形； 选项D：三边为，，，较短两边的和为，，不满足三边关系，不能组成三角形． 8. 如图，正方形网格中有一对全等图形．将其中一个图形经过下列变换，可以和另一个图形重合的有（ ） A. 一次平移加一次旋转 B. 一次平移加一次轴对称 C. 一次旋转加一次轴对称 D. 一次旋转 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据平移、旋转和轴对称的性质进行判断． 【详解】解：A. 将一个图形一次平移加一次旋转，可与另一个图形重合，即先把上方梯形向右、向下平移到下方图形附近，再绕对应顶点旋转一定角度，可完全重合； B. 将一个图形一次平移加一次轴对称，可与另一个图形重合，即先平移使两个图形对齐到同一竖直线，再作竖直对称轴翻折，能重合； C. 将一个图形一次旋转加一次轴对称，可与另一个图形重合，即先选取合适中心点旋转，再作轴对称变换，可重合； D. 将一个图形一次旋转，无法与另一个图形重合． 三、填空题（每小题3分，共18分） 9. 若，则__________．（填“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质即可判断两个式子的大小关系. 【详解】解：∵， ∴ . 10. 关于x的一元一次方程2x＋m＝6的解为x＝2，则m的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】将代入方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得． 【详解】解：由题意，将代入方程得：， 解得， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解、解一元一次方程，掌握理解方程的解的概念（使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫做方程的解）是解题关键． 11. 如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和与外角和定理，掌握多边形内角和公式与外角和的性质是解题的关键，设多边形的边数为，根据内角和是外角和的2倍建立方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， ∴， 解得， 故答案为：． 12. 方程组的解中x与y的值相等，则k=________． 【答案】25 【解析】 【分析】将与组成方程组，求出的值，再代入即可求出的值． 【详解】根据题意得：， 解得：， 将，代入得： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了用消元法解方程组．先求出已知方程组的解，再将解代入第三个方程，即可求出k的值． 13. 如图，在中，，，根据尺规作图痕迹，可求得__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形内角和定理可解得，由尺规作图的痕迹可以判断，是的平分线，即可求出答案． 【详解】解：在中，，， ∴， 根据尺规作图痕迹，可以判断是的平分线， ∴． 14. 如图，和的平分线交于点，连接，的外角的平分线与的延长线交于点，交于点．下列四个结论①；②；③；④．其中所有正确的结论有____________________．（填序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据已知推出平分，求出，继而得到，可判断①；根据角平分线和三角形外角的性质求出，得出，可判断②；求出，，可判断③；根据，，可判断④． 【详解】解：∵和的平分线交于点， ∴平分，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故结论①正确； ∵，， 又∵， ∴， ∴， ∵根据题意不能说明， ∴， ∴，故结论②错误； ∵，， ∴， ∵， ∴，故结论③正确； ∵， ， ∴，故结论④正确； 综上所述，所有正确的结论有①③④． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，平行线的判定，解题的关键是掌握三角形角平分线的性质． 四、解答题（本大题10小题，共78分） 15. 解下列方程（组）： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据“移项，合并同类项，系数化为”的步骤进行解答即可； （2）根据①②求出，再代入①求出的值即可． 【小问1详解】 解：移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：； 【小问2详解】 解： ①②，得：， 解得：， 把代入①，得：， 解得：， ∴方程组的解为． 16. 求不等式组的整数解． 【答案】，整数解为 【解析】 【分析】不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分，即可求出整数解． 【详解】解：， 解不等式①得：； 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：， ∴整数解为：． 17. 在甲地劳动的有人，在乙地劳动的有人．现在从乙地调一部分人到甲地去支援，使在甲地的人数为在乙地的人数的倍，应从乙地调多少人到甲地去？ 【答案】应从乙地调人到甲地去 【解析】 【分析】设乙地调人到甲处，根据从乙地调一部分人到甲处，使甲处人数乙处人数的倍，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设乙地调人到甲处，根据题意得： ， 解得：， 答：应从乙地调人到甲地去． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系，列出方程． 18. 如图，图①、图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的顶点均在格点（网格线的交点）上． 按要求分别在图①、图②、图③中画三角形． （1）把向上平移2个单位长度，得到．其中与、与是对应点． 在图①中画出； （2）在图②中画出，使与关于直线对称； （3）在图③中画出，使与关于线段的中点成中心对称． 【答案】（1） 解：如图，即为所求； （2） 如图，即为所求， （3） 如图，即为所求， 【解析】 【分析】此题考查了平移、轴对称、中心对称的作图，读懂题意，准确作图是关键． （1）按照平移方式找到对应点，顺次连接即可； （2）按照对称轴找对应点，顺次连接即可； （3）按照中心对称的定义找到对应点，顺次连接即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 阅读感悟： 代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性如下例题： 例：已知实数、满足，证明：． 证明：因为且，均为正， 所以 ， （不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变） 所以．（不等式的传递性） 解决问题： （1）请将上面的证明过程填写完整； （2）若，，尝试证明：． 【答案】（1）， （2） 证明：∵，， ∴； 又∵，， ∴； ∴． 【解析】 【分析】（1）由不等式的性质得到，，再利用不等式的传递性求解即可； （2）根据不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变得到，，进而不等式的传递性可证得结论． 【小问1详解】 证明：因为且m，n均为正， 所以，（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变）， 所以．（不等式的传递性） 【小问2详解】 略 20. 如图，在中，BD是AC边上的高，． （1）求的度数； （2）若CE平分交BD于点E，，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据高的定义可得为直角，结合即可求得的度数； （2）首先根据外角的性质求出的度数，再结合角平分线的定义求出的度数． 【小问1详解】 解：在中， 是边上的高， ， ， ． 【小问2详解】 解：∵∠BEC是的外角， ∴， ∵，， ∴， 平分， ． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定义等知识点，解题的关键是掌握三角形的外角的性质． 21. 某学校为打造书香校园，计划购进甲、乙两种课外书．购买2本甲种书和1本乙种书共需100元；购买3本甲种书和2本乙种书共需175元． （1）求甲、乙两种书的单价； （2）学校决定购买甲、乙两种书共60本，且两种书的总费用不超过2500元，那么该校最多可以购买多少本乙种书? 【答案】（1）甲种书为每本元，乙种书为每本元 （2）本 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用； （1）等量关系式：购买2本甲种书的费用购买1本乙种书的费用100元；购买3本甲种书的费用购买2本乙种书的费用175元；据此列出方程组，解方程组，即可求解； （2）不等关系式：购买甲种书的费用购买乙种书的费用元；据此列出不等式，解不等式，即可求解； 找出等量关系式和不等关系式是解题的关键． 【小问1详解】 解：设甲种书为每本元，乙种书为每本元，由题意得 ， 解得：， 答：甲种书为每本元，乙种书为每本元． 【小问2详解】 解：设购买乙种书每本，购买甲种书（）本，由题意得 ， 解得：， 为整数， 取， 答：该校最多可以购买本乙种书． 22. 定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“和谐解”． 例如：方程的解为，这个解能使不等式成立，则称“”为方程和不等式的“和谐解”． （1）是方程和下列不等式_________的“和谐解”．（填序号） ①；②；③． （2）若关于，的二元一次方程组和不等式有“和谐解”，求的取值范围． （3）若关于的方程和关于的不等式组有“和谐解”，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）③； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）把分别代入不等式，根据“和谐解”定义逐一判断即可求解； （2）将方程组中的两个方程相减，化简得的整体，代入不等式求解即可； （3）先解参数方程，用n表示x，再把x代入不等式组，解关于n的不等式组即可． 【小问1详解】 解：把代入不等式①，不等式不成立， 故不是方程和不等式的“和谐解”； 把代入不等式②，不等式不成立， 故不是方程和不等式的“和谐解”； 把代入不等式③，不等式成立， 故是方程和不等式的“和谐解”． 【小问2详解】 解： ，得， ． ， ， ． 【小问3详解】 解：解方程得． 把代入不等式组得 解不等式①得； 解不等式②得． 不等式组的解集为． 即的取值范围为． 23. 在中，，，，．将绕着点顺时针旋转得到，直线和直线相交于点． （1）如图①，若交于点，则的长为_________． （2）如图②，当点落在边上时，请探究和的位置关系，并说明理由． （3）尺规作图：在图③中，作于点，在的反向延长线上作，连接、．（不写作法，保留作图痕迹，） （4）问题（3）中，的面积为_________． 【答案】（1） （2）解：，理由如下： 由旋转的性质可得， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即； （3） （4） 【解析】 【分析】（1）利用等面积法求解即可； （2）根据旋转的性质得到，则可证明；再由，得到，则，据此可得结论； （3）根据垂线和线段的尺规作图方法作图即可； （4）同理可得的长，进而求出的长，再根据三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵，交于点， ∴， ∵，，， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：由（1）可得， ∵， ∴， ∴． 24. 如图，在中，，，，将沿方向平移至的位置，连接．点从点出发，沿折线的方向以每秒的速度向终点运动，设点的运动时间为秒． （1）_________；_________；与的位置关系是_________． （2）当点在上运动（不与点重合）时，的长为_________．（用含的代数式表示） （3）连接，当将四边形的周长分成两部分时，求的值． （4）作点关于直线的对称点，当点在直线的上方时，连接，当与四边形的边垂直时，直接写出的度数． 【答案】（1）56；2； （2） （3）或 （4）或或 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质可得答案； （2）用点P运动的路程减去的长即可得到答案； （3）分两种情况：点P在上和点P在上，讨论求解即可； （4）分三种情况：、和时，分别画出示意图，讨论求解即可． 【小问1详解】 解：由平移的性质可得，； 【小问2详解】 解：由题意得，； 【小问3详解】 解：由平移的性质可得， 当点P在上时 ∵，即，且， ∴， ∴当将四边形的周长分成两部分时，只存在这种情况， ∴， 解得； 当点P在上时， 同理可得只存在， ∴， 解得； 综上所述，t的值为或； 【小问4详解】 解：如图所示，当时，设交于点H， ∵， ∴， ∵， ∴， 由轴对称的性质可得； 如图所示，当时，则，根据，此时， 由轴对称的性质可得； 如图所示，当点P在上，且时，设交于点H， ∵， ∴， 由平移的性质可得， ∴， ∴， 由轴对称的性质可得； 综上所述，的度数为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度下学期期末学情调研 七年数学 本试卷包括四道大题，共24小题，共6页，全卷满分120分．考试时间为120分钟． 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 下列方程中，是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示为某不等式的解集，这个解集是（ ） A. B. C. D. 3. 三角形的下列线段中，能将三角形的面积分成相等两部分的是（ ） A. 中线 B. 角平分线 C. 高 D. 以上都不对 4. 如图，，若，，则的长度为（ ） A. 9 B. 6 C. 4 D. 3 5. 如图，小江同学作了一个帆船形状的几何图形，已知，，．则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（每小题3分，共9分） 6. 下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中是轴对称图形的有（ ） A. B. C. D. 7. 已知四条线段，，，．从中选取三条线段，能够组成一个三角形的有（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 8. 如图，正方形网格中有一对全等图形．将其中一个图形经过下列变换，可以和另一个图形重合的有（ ） A. 一次平移加一次旋转 B. 一次平移加一次轴对称 C. 一次旋转加一次轴对称 D. 一次旋转 三、填空题（每小题3分，共18分） 9. 若，则__________．（填“”或“”） 10. 关于x的一元一次方程2x＋m＝6的解为x＝2，则m的值为______． 11. 如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数为______． 12. 方程组的解中x与y的值相等，则k=________． 13. 如图，在中，，，根据尺规作图痕迹，可求得__________． 14. 如图，和的平分线交于点，连接，的外角的平分线与的延长线交于点，交于点．下列四个结论①；②；③；④．其中所有正确的结论有____________________．（填序号） 四、解答题（本大题10小题，共78分） 15. 解下列方程（组）： （1）． （2）． 16. 求不等式组的整数解． 17. 在甲地劳动的有人，在乙地劳动的有人．现在从乙地调一部分人到甲地去支援，使在甲地的人数为在乙地的人数的倍，应从乙地调多少人到甲地去？ 18. 如图，图①、图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的顶点均在格点（网格线的交点）上． 按要求分别在图①、图②、图③中画三角形． （1）把向上平移2个单位长度，得到．其中与、与是对应点． 在图①中画出； （2）在图②中画出，使与关于直线对称； （3）在图③中画出，使与关于线段的中点成中心对称． 19. 阅读感悟： 代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性如下例题： 例：已知实数、满足，证明：． 证明：因为且，均为正， 所以 ， （不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变） 所以．（不等式的传递性） 解决问题： （1）请将上面的证明过程填写完整； （2）若，，尝试证明：． 20. 如图，在中，BD是AC边上的高，． （1）求的度数； （2）若CE平分交BD于点E，，求的度数． 21. 某学校为打造书香校园，计划购进甲、乙两种课外书．购买2本甲种书和1本乙种书共需100元；购买3本甲种书和2本乙种书共需175元． （1）求甲、乙两种书的单价； （2）学校决定购买甲、乙两种书共60本，且两种书的总费用不超过2500元，那么该校最多可以购买多少本乙种书? 22. 定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“和谐解”． 例如：方程的解为，这个解能使不等式成立，则称“”为方程和不等式的“和谐解”． （1）是方程和下列不等式_________的“和谐解”．（填序号） ①；②；③． （2）若关于，的二元一次方程组和不等式有“和谐解”，求的取值范围． （3）若关于的方程和关于的不等式组有“和谐解”，请直接写出的取值范围． 23. 在中，，，，．将绕着点顺时针旋转得到，直线和直线相交于点． （1）如图①，若交于点，则的长为_________． （2）如图②，当点落在边上时，请探究和的位置关系，并说明理由． （3）尺规作图：在图③中，作于点，在的反向延长线上作，连接、．（不写作法，保留作图痕迹，） （4）问题（3）中，的面积为_________． 24. 如图，在中，，，，将沿方向平移至的位置，连接．点从点出发，沿折线的方向以每秒的速度向终点运动，设点的运动时间为秒． （1）_________；_________；与的位置关系是_________． （2）当点在上运动（不与点重合）时，的长为_________．（用含的代数式表示） （3）连接，当将四边形的周长分成两部分时，求的值． （4）作点关于直线的对称点，当点在直线的上方时，连接，当与四边形的边垂直时，直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $