精品解析：吉林省长春市东北师范大学附属中学2025-2026学年七年级下学期期末数学试题

2025−2026学年 东北师大附中初中部初一年级数学学科试卷 第二学期期末考试 时长：120分钟 分值：120分 一．选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列汽车电子控制装置显示的图案中，是中心对称图形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 根据中心对称图形的定义即可判断． 【详解】解：A、该图形不是中心对称图形，不符合题意； B、该图形是中心对称图形，符合题意； C、该图形不是中心对称图形，不符合题意； D、该图形不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 2. 已知，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、不等式两边同时减去，则，正确； B、不等式两边同时除以，则，错误； C、不等式两边同时减去，则，错误； D、不等式两边同时乘以，则，错误． 3. 已知三角形的两边长分别为和，则第三边长的取值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：设第三边长为， ∵三角形两边长分别为和， ∴，即， 选项中只有符合该范围． 4. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．先解一元一次不等式组，再在数轴上表示即可． 【详解】解：， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的解集在数轴上表示是： 故选：C． 5. 如图，工人师傅要在竖直墙壁上的点处用电钻打孔，墙壁厚（即，平行于地面），点与地面的距离为，要使钻头从墙壁对面距地面的点处打出（）．工人师傅的具体做法如下：在与地面平行的方向上截取，再过点作，连结，然后沿着的方向打孔，要使钻头正好从满足要求的点处打出，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】证明即可． 【详解】解：，， ， 都与地面平行， 三点共线， ， 在和中， ， ， ． 6. 下列多边形中，不能够单独铺满地面的是（　　） A. 正三角形 B. 正四边形 C. 正五边形 D. 正六边形 【答案】C 【解析】 【分析】由镶嵌的条件知，在一个顶点处各个内角和为360°． 【详解】∵正三角形的内角=180°÷3=60°，360°÷60°=6，即6个正三角形可以铺满地面一个点， ∴正三角形可以铺满地面； ∵正四边形的内角=360°÷4=90°，360°÷90°=4，即4个正四边形可以铺满地面一个点， ∴正四边形可以铺满地面； ∵正五边形的内角=180°－360°÷5=108°，360°÷108°≈3.3， ∴正五边形不能铺满地面； ∵正六边形的内角=180°－360°÷6=120°，360°÷120°=3，即3个正六边形可以铺满地面一个点， ∴正六边形可以铺满地面． 故选C． 【点睛】几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角． 7. 某中学为了绿化校园，计划购买海棠树和丁香树（两种树都购买），海棠树每棵元，丁香树每棵元，若刚好花费元，则该校购买海棠树和丁香树的方案共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】A 【解析】 【分析】根据总花费列等量关系，结合正整数条件求解可行方案数． 【详解】解：设购买海棠树棵，丁香树棵，均为正整数． 由题意得． 化简得． 变形得． ∵为正整数． ∴为正整数，且． 即是3的正整数倍，且． ∴可取3，6，9． 对应的值为10，6，2，均符合题意． 共有3种购买方案． 8. 如图①，已知，点为内一定点，点、分别是、上的动点．如图②，分别作点关于、的对称点、，连接，交于点，交于点，连结、，所得的的周长最小，此时的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图②：由题意可得，由轴对称的性质结合等边对等角可得，，由三角形外角的定义及性质结合三角形内角和定理可得，利用三角形内角和定理易得，再利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵点关于、的对称点、， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴，解得：． 二．填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 不等式的最大整数解是________ 【答案】0 【解析】 【分析】先求解不等式得到解集，再从解集中找出最大的整数即可． 【详解】解：解不等式，得， ∵小于的最大整数为， 即该不等式的最大整数解是． 10. 如图，将沿方向平移个单位长度得到，连接，若四边形的周长为，则的周长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平移的性质得到，，再根据三角形周长公式计算得到答案． 【详解】解：∵将沿方向平移个单位长度得到， ∴，， ∵四边形的周长为， ∴， ∴， ∴的周长． 11. 如图，、、是四边形的三个外角，若，则的度数是________． 【答案】##80度 【解析】 【分析】根据四边形外角和计算即可． 【详解】解：已知、、是四边形的三个外角，， ∵四边形的外角和是，如图， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 12. 如图，将绕点顺时针旋转得到，若，，则的度数是________ 【答案】##40度 【解析】 【分析】根据旋转的性质得到，进而得到，利用进行求解即可． 【详解】解：绕点顺时针旋转得到， ， ， ， ， ， 解得：． 13. 甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为，．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为的纸条，则根据题意可列出关于，的方程组为________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，得到，根据形成长为65的纸条，可得或，即可得到方程组. 【详解】解：由题意，重叠部分的长可表示为或，故， 形成长为65的纸条，故可得或； 故可得方程组或. 14. 如图，在中，，是的角平分线，于点，交于点，过点作，交于点，连结．给出下面四个结论：①；②；③平分；④是等腰三角形．上述结论中，正确结论的序号是________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】对于①，根据同角的余角相等得到； 对于②，通过证明，进而得到； 对于④，通过证明垂直平分，得到，，，进而得到，是等腰三角形； 对于③，根据平行线的性质和，是等腰三角形，若平分，则是等边三角形，由于题目中无条件可以证明是等边三角形，进而得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，故①正确； ∵是的角平分线， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，故②正确； 如图，连接， 由②知， ∵是的角平分线， ∴垂直平分， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，是等腰三角形，故④正确； 由④知，是等腰三角形， ∴， 若平分，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形，题目中无条件可以证明是等边三角形，故③错误． 综上，正确结论的序号是①②④． 三．解答题：本题共10小题，共78分． 15. 解方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， 将①代入②，得， 即， 解得， 将代入①，得． ∴方程组的解为． 【小问2详解】 解：， ，得， 解得， 将代入①，得， 即， 解得， ∴方程组的解为． 16. 解不等式（组）： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：； 【小问2详解】 解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 17. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图并填空： （1）画出关于直线成轴对称的； （2）画出绕点顺时针旋转后的，点运动的路径长为________． 【答案】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求， 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质，画出即可； （2）根据旋转的性质，画出，确定点的运动路径，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：旋转过程中，点的运动路径为以点为圆心，圆心角为，为半径的弧， ∴点运动的路径长为. 18. 如图，点C、E、B、F在一条直线上，于B，于E，，． 求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，利用证得，再根据全等三角形的性质可得是解题的关键． 【详解】证明：证明：∵，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴即． 19. 列一元一次方程解应用题：某款纯电动汽车的充电数据为：家用慢充每小时可补充续航，快充每小时可补充续航．若该车需要用慢充和快充配合（两种充电方式不可同时进行），总共充电小时，恰好使总续航增加，且充电方式切换的时间忽略不计，求慢充的时间． 【答案】慢充的时间为小时 【解析】 【分析】设慢充的时间为小时，则快充的时间为小时，根据总续航增加列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：设慢充的时间为小时，则快充的时间为小时， 根据题意得：， 解得：， 答：慢充的时间为小时． 20. 如图，是中边上的高． （1）尺规作图：用无刻度的直尺和圆规作的角平分线，交于点； （2）在（1）的条件下，若，求的度数． 【答案】（1）如图，线段就是所要求作的的角平分线． （2） 【解析】 【分析】（1）根据尺规作一个角的平分线的基本作图方法，作图即可； （2）先根据直角三角形两锐角互余求出，再根据角平分线定义求出，最后根据三角形外角的性质求出结果即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：是中边上的高， ， ， ， ， ， 是的角平分线，， ， ． 21. 国家卫健委在全民健康调查中发现，近年来的肥胖人群快速增长．为加强对健康饮食的重视，特发布各地区四季健康饮食食谱．现有、两种食品，每份或食品的核心营养素如下： 食品类别 能量（单位：） 蛋白质（单位：） 脂肪（单位：） （1）要从这两种食品中摄入能量和蛋白质，应选用、两种食品各多少份？ （2）若每份午餐选用这两种食品共份，从、两种食品中摄入的脂肪总量不超过，则至少选用种食品多少份（食品份数要求取整数）？ 【答案】（1）应选用种食品份，种食品份 （2）至少选用种食品份 【解析】 【分析】（1）设应选用种食品份，种食品份，然后根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设应选用种食品份，然后根据题意列一元一次不等式求得m的取值范围，再确定m的最小整数值即可． 【小问1详解】 解：设应选用种食品份，种食品份， 根据题意，得， 解得， 答：应选用种食品份，种食品份． 【小问2详解】 解：设应选用种食品份， 根据题意，得，解得． 为整数， ． 答：至少选用种食品份． 22. 定义：若两个一元一次不等式只有两个相同的整数解，则称这两个一元一次不等式互为“理想不等式”．例如：不等式和不等式的解集分别为和，相同的整数解为和，∴称不等式和不等式互为“理想不等式”． （1）在不等式；中，和不等式互为“理想不等式”的是____．（填序号） （2）若关于的不等式和互为“理想不等式”，求的取值范围． （3）若方程的解是关于的不等式组的一个整数解，且该不等式组中两个不等式互为“理想不等式”，则的取值范围是____． 【答案】（1）②； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）分别求解两个不等式：①化简得，解集为，与的公共整数解仅有1个，不符合定义；②解集为，与的公共整数解为2、3，共2个，符合“理想不等式”定义； （2）解不等式得；解得．两式公共解集为，由恰好2个整数解（2和3），列不等式，解得； （3）解方程得．解不等式组得解集为，因解集含整数5且仅有2个整数解，分两类讨论：整数解为4、5时，得；整数解为5、6时，得，合并得． 【小问1详解】 解：解不等式 解得， 与的公共解集为，整数解只有1个，不符合“两个相同整数解”的定义，故舍去； 解不等式 解得， 与的公共解集为，整数解为、，共2个，符合定义， ∴和不等式互为“理想不等式”的是②； 【小问2详解】 解： 解得， 解得， ∴两个不等式的公共解集为， 由题意得，公共整数解有且只有2个， ∴公共整数解为和， ∴， ∴； 【小问3详解】 解： 解得， ∴是不等式组的一个整数解， ， 解第一个不等式得， 解得， 解第二个不等式得， 解得， ∴不等式组的解集为， 由题意得，不等式组的整数解有且只有2个，且是其中一个整数解， 当整数解为4、5时， 最小整数为4，则， ∴， 最大整数为5，则， ∴， ∴此时b的取值范围为； 当整数解为5、6时， 最小整数为5，则， ∴， 最大整数为6，则， ∴， ∴此时b的取值范围为， ∴b的取值范围为． 23. 小明最近学习了等腰三角形的相关知识，他发现，在一些几何题中，经常需要通过作辅助线构造等腰三角形来解决问题． （1）【方法初探】如图①，在中，，，于点，，，求的长． 小明发现，在该三角形中，有两个内角存在倍关系，若延长至点，使，连接（如图②），即可构造等腰三角形，利用倍角关系，可证出也是等腰三角形，再利用“等腰三角形的三线合一”的性质可以解决问题．根据以上分析，可求出的长为____ （2）【拓展延伸】如图③，在中，，平分，交于点．求证：． 以下是小明的部分证明过程： 证明：延长至点，使，连接． ， ， ， ， ， ，． 请你帮助小明补全上述证明过程． （3）【综合应用】如图④，在四边形中，，，．连接、，若，，则________． 【答案】（1） （2）平分， ， ， ， ， ∴， ，， ． （3） 【解析】 【分析】（1）延长至点，使，连接，则，证明是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一即可求解； （2）根据角平分线的定义得，证明，则，即可得证； （3）延长，，交于点，则，，都是等腰三角形，再利用等面积法即可求出的长． 【小问1详解】 解：延长至点，使，连接． ∴， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，延长，，交于点， 设，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴． 24. 如图①，在长方形中，，，，动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向终点运动，点为边上一点，且，连结，将线段绕点顺时针旋转得到线段．设点的运动时间为秒． （1）用含的代数式表示线段的长； （2）如图②，当点落在边的延长线上时，求线段的长； （3）当点在边上运动时，若，求的值； （4）连接，当为轴对称图形时，的值为________（写出两个即可）． 【答案】（1）当时，；当时，； （2）； （3）的值为或； （4）或或 【解析】 【分析】（1）动点P沿折线运动，需分两段表示：当时，点P在边上，由得；当时，点P在边上，总路程减去边长，得； （2）由旋转性质得，，结合直角推出等角，用证，得．因F在延长线上，故； （3）点P在边上时，分两种位置：P在段，；P在段，．分别代入列方程，解得或； （4）为轴对称图形等价于等腰三角形，分三类讨论：①，对应；②，P在段时，P在段时，共三个符合条件的t值． 【小问1详解】 解：当时，， ∴； 当时，， ∴； 【小问2详解】 解：由旋转可知，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：当点在边上运动时，， 当时，点在线段上，如图，则， ， 解得； 当时，点在线段上，如图，则， ， 解得， 综上所述，的值为或； 【小问4详解】 解：当为轴对称图形时，为等腰三角形， 当时，点在边上，此时，作于点，如图， ∵，， ∴， 由旋转可知，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 解得； 当时，点在线段上，如图， 由旋转得，，， ， ，即， ， 解得； 当时，点在线段上，如图， ， ， 解得， 综上所述，的值为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025−2026学年 东北师大附中初中部初一年级数学学科试卷 第二学期期末考试 时长：120分钟 分值：120分 一．选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列汽车电子控制装置显示的图案中，是中心对称图形的为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知三角形的两边长分别为和，则第三边长的取值可以是（ ） A. B. C. D. 4. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，工人师傅要在竖直墙壁上的点处用电钻打孔，墙壁厚（即，平行于地面），点与地面的距离为，要使钻头从墙壁对面距地面的点处打出（）．工人师傅的具体做法如下：在与地面平行的方向上截取，再过点作，连结，然后沿着的方向打孔，要使钻头正好从满足要求的点处打出，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 下列多边形中，不能够单独铺满地面的是（　　） A. 正三角形 B. 正四边形 C. 正五边形 D. 正六边形 7. 某中学为了绿化校园，计划购买海棠树和丁香树（两种树都购买），海棠树每棵元，丁香树每棵元，若刚好花费元，则该校购买海棠树和丁香树的方案共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 8. 如图①，已知，点为内一定点，点、分别是、上的动点．如图②，分别作点关于、的对称点、，连接，交于点，交于点，连结、，所得的的周长最小，此时的度数是（ ） A. B. C. D. 二．填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 不等式的最大整数解是________ 10. 如图，将沿方向平移个单位长度得到，连接，若四边形的周长为，则的周长为________． 11. 如图，、、是四边形的三个外角，若，则的度数是________． 12. 如图，将绕点顺时针旋转得到，若，，则的度数是________ 13. 甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为，．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为的纸条，则根据题意可列出关于，的方程组为________． 14. 如图，在中，，是的角平分线，于点，交于点，过点作，交于点，连结．给出下面四个结论：①；②；③平分；④是等腰三角形．上述结论中，正确结论的序号是________． 三．解答题：本题共10小题，共78分． 15. 解方程组： （1） （2） 16. 解不等式（组）： （1） （2） 17. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图并填空： （1）画出关于直线成轴对称的； （2）画出绕点顺时针旋转后的，点运动的路径长为________． 18. 如图，点C、E、B、F在一条直线上，于B，于E，，． 求证：． 19. 列一元一次方程解应用题：某款纯电动汽车的充电数据为：家用慢充每小时可补充续航，快充每小时可补充续航．若该车需要用慢充和快充配合（两种充电方式不可同时进行），总共充电小时，恰好使总续航增加，且充电方式切换的时间忽略不计，求慢充的时间． 20. 如图，是中边上的高． （1）尺规作图：用无刻度的直尺和圆规作的角平分线，交于点； （2）在（1）的条件下，若，求的度数． 21. 国家卫健委在全民健康调查中发现，近年来的肥胖人群快速增长．为加强对健康饮食的重视，特发布各地区四季健康饮食食谱．现有、两种食品，每份或食品的核心营养素如下： 食品类别 能量（单位：） 蛋白质（单位：） 脂肪（单位：） （1）要从这两种食品中摄入能量和蛋白质，应选用、两种食品各多少份？ （2）若每份午餐选用这两种食品共份，从、两种食品中摄入的脂肪总量不超过，则至少选用种食品多少份（食品份数要求取整数）？ 22. 定义：若两个一元一次不等式只有两个相同的整数解，则称这两个一元一次不等式互为“理想不等式”．例如：不等式和不等式的解集分别为和，相同的整数解为和，∴称不等式和不等式互为“理想不等式”． （1）在不等式；中，和不等式互为“理想不等式”的是____．（填序号） （2）若关于的不等式和互为“理想不等式”，求的取值范围． （3）若方程的解是关于的不等式组的一个整数解，且该不等式组中两个不等式互为“理想不等式”，则的取值范围是____． 23. 小明最近学习了等腰三角形的相关知识，他发现，在一些几何题中，经常需要通过作辅助线构造等腰三角形来解决问题． （1）【方法初探】如图①，在中，，，于点，，，求的长． 小明发现，在该三角形中，有两个内角存在倍关系，若延长至点，使，连接（如图②），即可构造等腰三角形，利用倍角关系，可证出也是等腰三角形，再利用“等腰三角形的三线合一”的性质可以解决问题．根据以上分析，可求出的长为____ （2）【拓展延伸】如图③，在中，，平分，交于点．求证：． 以下是小明的部分证明过程： 证明：延长至点，使，连接． ， ， ， ， ， ，． 请你帮助小明补全上述证明过程． （3）【综合应用】如图④，在四边形中，，，．连接、，若，，则________． 24. 如图①，在长方形中，，，，动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向终点运动，点为边上一点，且，连结，将线段绕点顺时针旋转得到线段．设点的运动时间为秒． （1）用含的代数式表示线段的长； （2）如图②，当点落在边的延长线上时，求线段的长； （3）当点在边上运动时，若，求的值； （4）连接，当为轴对称图形时，的值为________（写出两个即可）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $