精品解析：湖南省长沙市浏阳市多校联考2025-2026学年八年级下学期7月期末数学试题

2026年上学期期末质量监测试卷 八年级数学 温馨提示： 1．本试卷分试题和答题卡两部分，试卷共6页．满分120分，时量120分钟． 2．答案一律在答题卡上书写，在试题卷上作答无效． 一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 已知在实数范围内有意义，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 关于正比例函数，下列结论正确的是（ ） A. 图象必经过点 B. 图象经过第一、三象限 C. 不论取何值，总有 D. 随的增大而减小 4. 根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 5. 在特殊平行四边形章节小结时，某小组同学画出了如下关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（ ） A. ①有一个角是直角 B. ②有一组对边相等 C. ③有一组邻边相等 D. ④对角线相等 6. 某篮球队5名场上队员的身高（单位：cm）分别是：190，194，198，200，202，现用一名身高为的队员换下场上身高为的队员．与换人前相比，下列对5名场上队员身高的平均数和方差描述正确的是（ ） A. 平均数变小，方差变小 B. 平均数变小，方差变大 C. 平均数变大，方差变小 D. 平均数变大，方差变大 7. 如图的条形图描述了某车间工人日加工零件的情况．这些工人日加工零件数的中位数是（ ） A. 5 B. 5．5 C. 6 D. 9 8. 下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点在边上，将沿翻折，使点的对应点落在边上，若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．小聪根据图象得到下列结论，其中结论不正确的是（ ） A. B. 关于x的方程的解为 C. 关于，的方程组的解为 D. 关于的不等式的解为 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 化简的结果是_______． 12. 若三角形三边长之比为：：，则这个三角形中的最大角的度数是 ___ 13. “五有四化”主题教学模式提倡从“理解”、“归纳”、“运用”、“综合”、“参与”等五个维度按对学生的学习过程进行课堂评价．若2401班马骐骥同学在课堂上的诊断维度得分如下所示，则该学生的课堂评价成绩为__________． 14. 如图，在中，，对角线，则的面积为 _____． 15. 在平面直角坐标系中，将一次函数的图象沿轴向上平移3个单位长度，则得到的新的一次函数的图象与轴的交点坐标是__________． 16. 如图，已知中，，，，将绕点顺时针旋转得到，是中点，连接，则的长为________． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 已知一次函数，当时，；当时，． （1）在坐标系中画出函数图象并求出解析式； （2）若点在该函数的图象上，求． 19. 如图，在三角形支架中， （1）求的长； （2）判断支架外框的形状，并说明理由． 20. 随着科技的发展，人工智能渐渐走进了人们的生活，现对“豆包”、“”两款人工智能软件进行调查评分，再从中各随机抽取了20个用户的得分数据，进行整理、描述和分析（分数均不低于80分，用表示，共分成四组：A：，B：，C：，D：），下面给出了部分信息： “豆包”得分是：82，86，87，88，89，90，91，92，93，93，93，94，94，94，94，94，95，96，97，98． “”得分在C组中的数据是：91，92，94，94，94，94． 根据以上信息，解答下列问题： “豆包”和“”得分统计表 软件 平均数 中位数 众数 豆包 92 93 92 97 （1）填空：_______，_______，_______； （2）定义：将一组数据从小到大排列，中位数处于这组数据“位置的中心”，中位数也称为第50百分位数，记作，前半部分数据的中位数记作，称为下四分位数，后半部分数据的中位数记作，称为上四分位数．根据定义，写出“豆包”得分的下四分位数_________； （3）若本次调查有1000名用户对“豆包”进行了评分，有1200名用户对“”进行了评分，估计其中对这两款人工智能软件非常满意（）的总用户数． 21. 如图，在中，，、分别是边、中点，连接并延长到点，使，连接、、． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）求证：四边形是矩形． 22. 如图，，平分，且交于点，平分，且交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形． （2）过点作，垂足为点，连接，若，，求的长． 23. 【教材升华】一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻开始4min内只进水不出水，在随后的内既进水又出水，接着关闭进水管直到容器内的水放完，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示． （1）当时，求关于的函数解析式； （2）进水管每分钟进水、出水管每分钟出水各多少升？ （3）多少分钟时该容器内的水恰好为10升． 24. 如图，已知直线：与轴，轴分别交于，两点，过点的直线与轴负半轴交于点，且． （1）求直线的函数表达式； （2）如图，若将沿线段方向平移得到点的对应点为点，点的对应点为点，连接，过点的直线，恰好将四边形的面积分成相等的两部分，求直线的表达式； （3）如图，若直线：与轴正半轴交于点，与直线交于点，若，求的值． 25. 正方形中， E是边上的点， 且，连接． （1）如图1，直接写出 ； （2）如图2， 连接， 证明： （3）如图3， 连接交于点 H， 连接， 证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上学期期末质量监测试卷 八年级数学 温馨提示： 1．本试卷分试题和答题卡两部分，试卷共6页．满分120分，时量120分钟． 2．答案一律在答题卡上书写，在试题卷上作答无效． 一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 已知在实数范围内有意义，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式在实数范围内有意义的条件，利用被开方数为非负数求解即可． 【详解】解：根据题意，得， ∴． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质与运算，根据二次根式的性质和运算法则逐项分析即可． 【详解】A．，而非，故错误． B．与不是同类二次根式，不能合并，故错误． C．根据二次根式乘法法则，（），故，正确． D．根据二次根式除法法则，（），故，故错误． 故选C． 3. 关于正比例函数，下列结论正确的是（ ） A. 图象必经过点 B. 图象经过第一、三象限 C. 不论取何值，总有 D. 随的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】根据正比例函数的性质即可判断各选项正误． 【详解】解：对于正比例函数，，逐一分析选项： A．当时，， 图象经过点，不经过， 选项A错误； B．， 正比例函数图象经过第二、四象限，不经过第一、三象限， 选项B错误； C．当时，，当时，， 不是对任意都有， 选项C错误； D．，随的增大而减小， 选项D正确． 故选：D． 4. 根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定、平行线的判定等知识．根据平行四边形的判定定理判断即可． 【详解】解：A、根据对角线互相平分能判断该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； B、根据两组对边分别相等能判断该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； C、根据图可判断出，一组对边相等，另一组对边平行，不能判断该四边形是平行四边形，本选项符合题意； D、由两组内错角相等，可得两组对边分别平行，根据两组对边分别平行能判断四边形是平行四边形，故本选项不符合题意． 故选：C． 5. 在特殊平行四边形章节小结时，某小组同学画出了如下关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（ ） A. ①有一个角是直角 B. ②有一组对边相等 C. ③有一组邻边相等 D. ④对角线相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形，菱形，正方形的判定，根据矩形，菱形，正方形的判定方法，进行判断即可． 【详解】解：A、①有一个角是直角的平行四边形是矩形，填写正确，不符合题意； B、②有一组邻边相等的平行四边形是菱形，填写错误，符合题意； C、③有一组邻边相等的矩形是正方形，填写正确，不符合题意； D、④对角线相等的菱形是正方形，填写正确，不符合题意； 故选B． 6. 某篮球队5名场上队员的身高（单位：cm）分别是：190，194，198，200，202，现用一名身高为的队员换下场上身高为的队员．与换人前相比，下列对5名场上队员身高的平均数和方差描述正确的是（ ） A. 平均数变小，方差变小 B. 平均数变小，方差变大 C. 平均数变大，方差变小 D. 平均数变大，方差变大 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平均数和方差，解题的关键是掌握平均数和方差的定义．分别计算出原数据和新数据的平均数和方差，再进行比较即可得出答案． 【详解】解：原数据的平均数为， 新数据的平均数为， 原数据的方差为， 新数据的方差为， 所以平均数变大，方差变小． 故选：C． 7. 如图的条形图描述了某车间工人日加工零件的情况．这些工人日加工零件数的中位数是（ ） A. 5 B. 5．5 C. 6 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查条形统计图和中位数的定义，先根据条形图计算总人数，确定中位数所在的位置，再找出对应的数据即可求解． 【详解】解：由图可知，工人总人数为：，  是偶数，  中位数是排序后第个和第个数据的平均数，  日加工零件数为、、的人数之和为，  第个和第个数据均落在日加工零件数为的组别中，即这两个数据均为，  中位数为． 8. 下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图形面积的不同表示方法建立等式，看能否推导出，若不能则符合题意． 【详解】解：A、大正方形的面积边长为的正方形面积边长为的正方形面积个长宽分别为、的长方形面积， ，该式属于完全平方公式， 图中不涉及斜边，不能用来证明勾股定理，符合题意； B、梯形面积3个三角形面积之和， ， 整理得， 能证明勾股定理，不符合题意； C、大正方形面积中间小正方形面积个直角三角形面积， ， 整理得， 能证明勾股定理，不符合题意； D、大正方形面积中间小正方形面积个直角三角形面积， ， 整理得， 能证明勾股定理，不符合题意． 故选A． 9. 如图，点在边上，将沿翻折，使点的对应点落在边上，若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由翻折得出，，求出，根据勾股定理求出，进而求出结论． 【详解】解：四边形是平行四边形，，， ，， 点在边上，将沿翻折，使点的对应点落在边上， ，， ， ， ， ． 10. 如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．小聪根据图象得到下列结论，其中结论不正确的是（ ） A. B. 关于x的方程的解为 C. 关于，的方程组的解为 D. 关于的不等式的解为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次方程，一次函数与一元一次不等式的关系． 根据一次函数的图象及性质，一次函数与二元一次方程组、与一元一次方程、与一元一次不等式的关系对各项判断即可解答． 【详解】解：∵由图象可知：一次函数与x轴的交点为， ∴当时，，即， 故结论A正确； ∵由图象可知：一次函数与（）的图象相交于点， ∴关于x的方程的解为， 故结论B正确； ∵由图象可知：一次函数与（）的图象相交于点， ∴关于x，y的方程组的解为， 故结论C正确； ∵由图象可知：一次函数图象不在（）的图象上方时， ∴的解为 故结论D错误； 故选：D． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 化简的结果是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解： 故答案为：． 12. 若三角形三边长之比为：：，则这个三角形中的最大角的度数是 ___ 【答案】##度 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理的逆定理，正确把握直角三角的判定方法是解题关键．直接利用勾股定理的逆定理，若一个三角形的三条边长分别为，且满足(其 中为最长边)，则这个三角形是直角三角 形，得出三角形的形状进而得出答案． 【详解】解：∵三角形三边长之比为：：，可设三边长分别为，，， ∵， 又∵， ∴， ∴此三角形是直角三角形， ∴这个三角形中最大角的度数是． 故答案为：． 13. “五有四化”主题教学模式提倡从“理解”、“归纳”、“运用”、“综合”、“参与”等五个维度按对学生的学习过程进行课堂评价．若2401班马骐骥同学在课堂上的诊断维度得分如下所示，则该学生的课堂评价成绩为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据雷达统计图读取该学生在“理解”、“归纳”、“运用”、“综合”、“参与”五个维度的具体得分，然后结合题目给出的权重比例，利用加权平均数公式列式计算即可求解． 【详解】解：由雷达统计图可知，该学生在五个维度的得分分别为： 理解分，归纳分，运用分，综合分，参与分， 根据题意，该学生的课堂评价成绩为：． 14. 如图，在中，，对角线，则的面积为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】证明四边形是菱形，勾股定理求得，进而求得，再根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接交于， 在中，， 四边形是菱形， ， 又对角线， ， 在中，， ， 菱形的面积为． 15. 在平面直角坐标系中，将一次函数的图象沿轴向上平移3个单位长度，则得到的新的一次函数的图象与轴的交点坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据平移规律求出平移后的函数解析式，再令求出对应的的值，即可得到与轴的交点坐标． 【详解】解：将一次函数的图象沿轴向上平移个单位长度， 根据“上加下减”的一次函数平移规律，得到新的一次函数解析式为， x轴上的点纵坐标为，令， 可得， 解得， 新的一次函数的图象与轴的交点坐标是． 16. 如图，已知中，，，，将绕点顺时针旋转得到，是中点，连接，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】取中点，连接，结合是中点由中位线定理可得，，进而得，由是中点可求长，由旋转得长，即可得长，最后在中利用勾股定理求长即可． 【详解】解：如图，取中点，连接， 又∵是中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵是中点， ∴， 由旋转得， ∴， 在 中， ． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 18. 已知一次函数，当时，；当时，． （1）在坐标系中画出函数图象并求出解析式； （2）若点在该函数的图象上，求． 【答案】（1）如图所示即为所求， ， （2） 【解析】 【分析】（1）按题意作图，根据待定系数法求解函数解析式，即可； （2）由（1）可得函数解析式，把代入函数解析式，即可求出． 【小问1详解】 解：由题意可得， ， 解得：， ∴函数解析式为：． 【小问2详解】 解：由（1）可得函数解析式为： ∴当时，． 19. 如图，在三角形支架中， （1）求的长； （2）判断支架外框的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2）为直角三角形，理由如下： 由（1）知，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴ ∴是直角三角形． 【解析】 【分析】（1）对和运用勾股定理求解即可； （2）证明三边长满足，由勾股定理的逆定理可知，为直角三角形． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 在中，，， ∴ 在中，， ∴ ∴的长为； 【小问2详解】 略 20. 随着科技的发展，人工智能渐渐走进了人们的生活，现对“豆包”、“”两款人工智能软件进行调查评分，再从中各随机抽取了20个用户的得分数据，进行整理、描述和分析（分数均不低于80分，用表示，共分成四组：A：，B：，C：，D：），下面给出了部分信息： “豆包”得分是：82，86，87，88，89，90，91，92，93，93，93，94，94，94，94，94，95，96，97，98． “”得分在C组中的数据是：91，92，94，94，94，94． 根据以上信息，解答下列问题： “豆包”和“”得分统计表 软件 平均数 中位数 众数 豆包 92 93 92 97 （1）填空：_______，_______，_______； （2）定义：将一组数据从小到大排列，中位数处于这组数据“位置的中心”，中位数也称为第50百分位数，记作，前半部分数据的中位数记作，称为下四分位数，后半部分数据的中位数记作，称为上四分位数．根据定义，写出“豆包”得分的下四分位数_________； （3）若本次调查有1000名用户对“豆包”进行了评分，有1200名用户对“”进行了评分，估计其中对这两款人工智能软件非常满意（）的总用户数． 【答案】（1），， （2） （3）对这两款人工智能软件非常满意的总用户数约为680人． 【解析】 【分析】（1）根据众数定义求出a的值，求出“”得分在C组中所占的比例，即可求出m的值；先求出“”得分中，组合的用户数，结合组数据根据中位数的定义即可求出的值； （2）根据下四分位数的定义进行解答即可； （3）用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：“豆包”得分出现次数最多的是94， ∴众数； “”得分在C组中所占的比例为， ∴ ∴； “”得分在A组的用户数为，在B组的用户数为：， 则“”得分从低到高排列后排在第和第的得分分别为，， 故； 【小问2详解】 解：排在第5，6位数分别是89，90， ∴“豆包”得分的下四分位数为； 【小问3详解】 解：（人） 答：对这两款人工智能软件非常满意的总用户数约为680人． 21. 如图，在中，，、分别是边、中点，连接并延长到点，使，连接、、． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）求证：四边形是矩形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线定理可得，再由，可得，即可求证； （2）先证明四边形是平行四边形，再结合等腰三角形的性质可得，即可求证． 【小问1详解】 证明：∵、分别是边、中点， ∴，即， ∵，即， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 证明：∵点是边中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，点D为的中点， ∴， ∴四边形是矩形． 22. 如图，，平分，且交于点，平分，且交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形． （2）过点作，垂足为点，连接，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：， ，， 平分，平分， ，， ，， ，， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得出，，再根据角平分线的定义得出，，求出，，则，，然后证四边形是平行四边形，即可得出结论； （2）利用勾股定理求出，，再利用直角三角形斜边中线的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图， 四边形是菱形， ，，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、平行线的性质、角平分线的定义、勾股定理、直角三角形斜边中线的性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质和勾股定理是解答本题的关键． 23. 【教材升华】一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻开始4min内只进水不出水，在随后的内既进水又出水，接着关闭进水管直到容器内的水放完，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示． （1）当时，求关于的函数解析式； （2）进水管每分钟进水、出水管每分钟出水各多少升？ （3）多少分钟时该容器内的水恰好为10升． 【答案】（1） （2）进水管每分钟的进水量为，出水管每分钟的出水量为； （3）2分钟或分钟时该容器内的水恰好为10升． 【解析】 【分析】（1）设关于的函数解析式为，将代入计算即可； （2）根据函数图象即可求出进水管每分钟的进水量，设出水管每分钟的出水量为，由函数图象列方程求解即可； （3）结合（2）可知水管放完水的时间为分钟，分两种情况作答即可． 【小问1详解】 解：设关于的函数解析式为， 将代入得， 解得：， ∴关于的函数解析式为； 【小问2详解】 解：由函数图象得：进水管每分钟的进水量为：， 设出水管每分钟的出水量为，由函数图象得，， 解得：； 【小问3详解】 解：∵出水管每分钟的出水量为， 关闭进水管后出水管放完水的时间为：（分钟）， 当该容器内的水恰好为时： 情况一：进水时： 解得：（分钟）； 情况二：关闭进水管后： （分钟）； 综上所述，2分钟或分钟时该容器内的水恰好为10升． 24. 如图，已知直线：与轴，轴分别交于，两点，过点的直线与轴负半轴交于点，且． （1）求直线的函数表达式； （2）如图，若将沿线段方向平移得到点的对应点为点，点的对应点为点，连接，过点的直线，恰好将四边形的面积分成相等的两部分，求直线的表达式； （3）如图，若直线：与轴正半轴交于点，与直线交于点，若，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（）由求出，，根据，得到，再用待定系数法可得直线的函数表达式； （）设的中点为，由将沿线段方向平移得到，知四边形是平行四边形，故直线经过点的中点，求出，，再用待定系数法可得直线的表达式； （）过点作直线交于点，过点作轴，交过点和轴的平行线于点，交过点和轴的平行线于点，设点、点，可得直线：过定点，证明，得到，，解方程组得到点，代入即可求解． 【小问1详解】 解：在中，令得，令得， ，， ， ， ， 设直线的函数表达式为，把、代入得： ， 解得， ∴直线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：设的中点为，如图： ∵将沿线段方向平移得到， ，， ∴四边形是平行四边形， ∵直线恰好将四边形的面积分成相等的两部分， ∴直线经过平行四边形的对称中心，即直线经过点的中点， ，， ， ，， ∴直线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度， ∴， 设直线的表达式为，把、代入得： ， 解得， ∴直线的表达式为； 【小问3详解】 解：过点作直线交于点，过点作轴，交过点和轴的平行线于点，交过点和轴的平行线于点，如图： 设点、点， 在中，令得， ∴直线：过定点， ，直线， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ， ，， ， 解得， ∴点， 将点的坐标代入，得， 解得， 的值为． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，图象的平移，一次函数几何应用，平行四边形的判定和性质，全等三角形判定与性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 25. 正方形中， E是边上的点， 且，连接． （1）如图1，直接写出 ； （2）如图2， 连接， 证明： （3）如图3， 连接交于点 H， 连接， 证明： 【答案】（1） （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点； （1）在上截取，连接，易得，证明，得到，即可； （2）连接，易得，由（1）可得：，进而得到，即可得证； （3）连接，证明，进而得到，，证明，得到，进而得到，三线合一即可得到． 【小问1详解】 解：在上截取，连接， ∵正方形， ∴，， ∵， ∴，，即：， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 连接， ∵，， ∴， 由（1）可知：，， ∴， ∴； 【小问3详解】 连接， ∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $