精品解析：湖南省长沙市浏阳市2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题

2025年上学期期末质量监测试卷 八年级数学学科 注意事项： 1．本试卷共25道题（其中选择题10道，主观题15道），考试时间120分钟，总分120分，考试形式为闭卷； 2．答题前，请考生在答题卡上将自己的班级、姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上信息； 3．选择题请用2B铅笔填涂，非选择题用签字笔在答题卡对应题号位置作答； 4．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 5．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁． 一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在等题卡中填涂符合题意的选项，本大题共大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，这个图形被称为赵爽弦图，赵爽弦图是我国古代数学的骄傲．借助赵爽弦图可以证明的结论是（ ） A. B. C. D. 4. 在四边形中，对角线、相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（ ） A. a=5，b=12，c=13 B. C. ∠B=50°，∠C=40° D. ∠A：∠B：∠C=3：4：5 6. 如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形，若测得A，C两点之间的距离为，B，D两点之间的距离为，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 某青年创业伙伴公司现有10名员工，每人年收入数据如上表，则他们年收入数据的众数与中位数分别为（ ） 年收入/万元 4 6 8 10 人数/人 2 2 5 1 A. 8，6 B. 6，7 C. 8，8 D. 8，5 8. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，函数的图象与函数的图象交于点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C由点A沿x轴向右运动，连接，点D为的中点，在点C运动过程中，长的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是__________． 12. 小明调查了班内20名同学本学期购买课外书的花费情况，并将结果绘制成统计图，那么这20名同学购买课外书的平均花费是________元． 13. 李老师准备选一名同学代表班级参加“计算挑战赛”，对甲、乙、丙、丁四位同学最近五次的计算测试成绩统计如右表．如果按照成绩优异且发挥稳定的标准，则应选___________同学． 类别 甲 乙 丙 丁 平均分 90 93 98 98 方差 2 2 14. 对于一次函数的以下四个理解：①图象经过一、二、三象限；②点在该函数的图象上；③图象与直线平行；④图象与坐标轴围成的三角形面积为2．其中正确的结论是__________．（填写所有正确的代号） 15. 如图，的顶点与的中点均在数轴上，且，两点在数轴上对应的数分别为，，当时，则的长为______． 16. 如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为12，则BE的长为______． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 千法万法不如通法，公式法就是解一元二次方程的通法．请你用公式法解方程：． 18. 计算：． 19. 已知一次函数的图像经过点（3，5）与（，）． （1）求这个一次函数的解析式； （2）点A（2，3）是否在这个函数的图象上，请说明理由． 20. 树人学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．已知楼梯台阶侧面图如图所示，，，． （1）求的长； （2）若已知楼梯宽，每平方米地毯35元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 21. 已知点在第一象限，且满足，点的坐标为，设的面积为． （1）用含的解析式表示，写出的取值范围，并画出函数的图象； （2）当点的横坐标为5时，的面积为多少？ （3）的面积能等于25吗？为什么？ 22. 理论源于实践，理论指导实践．请你阅读以下案例，尝试用所学知识解决实际问题． 东区有肥料，西区有肥料．现要把这些肥料全部运往南，北两区，从东区往南，北两区运肥料的费用分别为30元/t和35元/t；从西区往南、北两区运肥料的费用分别为24元/和32元/．已知南区需要肥料，北区需要肥料． （1）设从东区往南区运吨肥料，则从东区往北区运__________吨肥料，从西区往南区运_______吨肥料，从西区往北区运__________吨肥料；（用含的式子表示，并化简结果） （2）的取值范围是______________； （3）设调运的总运费为元，求关于的函数解析式以及调运总费用最少的方案． 23. 如图，在四边形中，，，，，点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度向点A运动，点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点P运动时间为t秒． （1）当点P运动停止时，______，线段的长为______； （2）①用含t的式子填空：______，______，______； ② t为何值时，四边形为矩形，求出t的值； （3）在运动的过程中，是否存在某一时刻t，使以P，D，C，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由． 24. 菱形与矩形都是特殊的平行四边形，将他们放在同图形是种有趣的结合，请你从知识关联的角度思考下列问题． 如图，菱形的对角线，相交于点，且，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若四边形的周长为36，， ①求矩形的面积： ②求平行线与间的距离． 25. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B的坐标分别为，，点D为对角线中点，点E在x轴上运动，连接，把沿翻折，点O的对应点为点F，连接． （1）当点F在第四象限时(如图1)，求证：． （2）当点F落在矩形的某条边上时，求的长． （3）是否存在点E，使得以D，E，F，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年上学期期末质量监测试卷 八年级数学学科 注意事项： 1．本试卷共25道题（其中选择题10道，主观题15道），考试时间120分钟，总分120分，考试形式为闭卷； 2．答题前，请考生在答题卡上将自己的班级、姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上信息； 3．选择题请用2B铅笔填涂，非选择题用签字笔在答题卡对应题号位置作答； 4．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 5．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁． 一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在等题卡中填涂符合题意的选项，本大题共大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．根据最简二次根式的定义，逐一判断选项，即可得到答案． 【详解】解： A、，不是最简二次根式，故此选项错误； B、，不是最简二次根式，故此选项错误； C、，不是最简二次根式，故此选项错误； D、是最简二次根式，故此选项正确． 故选：D． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减和乘除运算．根据二次根式的加减和乘除运算法则计算即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故本选不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、与不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意； 故选：B ． 3. 如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，这个图形被称为赵爽弦图，赵爽弦图是我国古代数学的骄傲．借助赵爽弦图可以证明的结论是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，根据中间边长为的正方形面积等于边长为c的正方形面积减去4个直角边为a和b的直角三角形的面积列式求解即可． 【详解】解：由题意得，中间小正方形的边长为，大正方形的边长为c， 则， ∴， ∴， 故选：A． 4. 在四边形中，对角线、相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解答的关键． 根据平行四边形的判定逐项判断即可． 【详解】A、，， 四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； B、，， 四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； C、，， 四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； D、由，无法判定是平行四边形，故此选项符合题意； 故选：D 5. 满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（ ） A. a=5，b=12，c=13 B. C. ∠B=50°，∠C=40° D. ∠A：∠B：∠C=3：4：5 【答案】D 【解析】 【分析】根据直角三角形的判定方法进行排除选项即可． 【详解】A、由a=5，b=12，c=13可得：，∴△ABC是直角三角形，不符合题意； B、由可得△ABC是直角三角形，故不符合题意； C、由∠B=50°，∠C=40°可得△ABC是直角三角形，故不符合题意； D、由∠A：∠B：∠C=3：4：5可设，所以∠A+∠B≠∠C，所以△ABC不是直角三角形，故符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查直角三角形的判定定理及勾股定理逆定理，熟练掌握直角三角形的判定定理及勾股定理逆定理是解题的关键． 6. 如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形，若测得A，C两点之间的距离为，B，D两点之间的距离为，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的判定和性质， 作于E，于F，连接，交于点O，根据题意先证出四边形是平行四边形，再由 得平行四边形是菱形，再根据菱形的性质求面积即可． 【详解】解：如图，作于E，于F，连接，交于点O， 由题意知，，， ∴四边形是平行四边形． ∵两张纸条等宽， ∴． ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴四边形的面积为： 故选：C． 7. 某青年创业伙伴公司现有10名员工，每人年收入数据如上表，则他们年收入数据的众数与中位数分别为（ ） 年收入/万元 4 6 8 10 人数/人 2 2 5 1 A. 8，6 B. 6，7 C. 8，8 D. 8，5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查求众数和中位数．根据一组数据中出现次数最多的是众数；排序后，位于中间一位或两位的平均数为中位数，进行求解即可． 【详解】解：出现次数最多的是8，故众数为8； 第5个和第6个数据都为8，故中位数为：； 故选：C． 8. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键；因此此题可根据“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程”进行排除选项即可． 【详解】解：A、不是一元二次方程，故不符合题意； B、由可化简为，不是一元二次方程，故不符合题意； C、当时，则方程是一元二次方程，故不符合题意； D、由可变形为，是一元二次方程，故符合题意； 故选D． 9. 如图，函数的图象与函数的图象交于点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．先利用正比例函数解析式确定A点坐标，然后观察函数图象得到，当时，直线都在直线的上方，即可求解． 【详解】解：设A点坐标为， 把代入， 得，解得， 则A点坐标为， 所以当时，， ∵函数的图象经过点， ∴时，， ∴不等式的解集为． 故选：B． 10. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C由点A沿x轴向右运动，连接，点D为的中点，在点C运动过程中，长的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数与x轴、y轴分别交于A，B两点即可求出A、B点的坐标，延长到，使，连接，求出，分析出当时，长最小，此时长最小，证明，即可求出，进而得出． 【详解】解：直线与x轴、y轴分别交于A，B两点， 当时，；当时，， ∴， ∴， 延长到，使，连接， 点D为的中点， 是的中位线， ， 当时，长最小，此时长最小， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，垂线段最短以及垂直平分线的性质，勾股定理等知识．掌握时，的长最小是解题的关键． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数求解即可． 【详解】解：要使式子在实数范围内有意义，则， 即． 故答案为： 12. 小明调查了班内20名同学本学期购买课外书的花费情况，并将结果绘制成统计图，那么这20名同学购买课外书的平均花费是________元． 【答案】69 【解析】 【分析】利用加权平均数的定义即可得. 【详解】解：这20名同学购买课外书的平均花费是元， 故答案为：69. 【点睛】本题主要考查加权平均数，从扇形统计图中得出解题所需数据并熟练掌握加权平均数的定义是解题的关键. 13. 李老师准备选一名同学代表班级参加“计算挑战赛”，对甲、乙、丙、丁四位同学最近五次的计算测试成绩统计如右表．如果按照成绩优异且发挥稳定的标准，则应选___________同学． 类别 甲 乙 丙 丁 平均分 90 93 98 98 方差 2 2 【答案】丁 【解析】 【分析】本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 此题有两个要求：①成绩较好，②状态稳定．于是应选平均数大、方差小的运动员参赛． 【详解】解：由表知四位同学中丙、丁的平均成绩较好， 又丁的方差小于丙， 所以丁的成绩好且稳定， 故答案为：丁． 14. 对于一次函数的以下四个理解：①图象经过一、二、三象限；②点在该函数的图象上；③图象与直线平行；④图象与坐标轴围成的三角形面积为2．其中正确的结论是__________．（填写所有正确的代号） 【答案】④ 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数与坐标轴的交点问题，掌握一次函数的图象和性质是解题关键．根据一次函数的系数与图象的关系，可判断①；求出时的函数值，可判断②；根据一次函数的k值可判断③；根据一次函数与坐标轴的交点，可判断④． 【详解】解：①函数的图象经过一、二、四象限，结论错误，不符合题意； ②当时，，即它的图象必经过点，不经过点，结论错误，不符合题意； ③函数中，中，两直线不平行，结论错误，不符合题意； ④当时，，当时，， ∴与坐标轴的交点为和，即该直线和两坐标轴围成的三角形面积为，结论正确，符合题意； 综上可得：正确的有④ 故答案为：④． 15. 如图，的顶点与的中点均在数轴上，且，两点在数轴上对应的数分别为，，当时，则的长为______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查数轴上两点之间的距离，直角三角形斜边中线等于斜边一半．根据数轴上两点之间的距离得到，由直角三角形斜边中线等于斜边一半即可求解． 【详解】解：由题意可得， ，点为的中点， ， 故答案为：8． 16. 如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为12，则BE的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点B作交DC的延长线交于点F，证明≌推出，，可得，由此即可解决问题； 【详解】解：过点B作交DC的延长线交于点F，如右图所示， ， ， ， ，， ， ， ≌ ， ， ， 即， ， 故答案为． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 千法万法不如通法，公式法就是解一元二次方程的通法．请你用公式法解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查公式法解一元二次方程，利用公式法求解即可． 【详解】解：， ∵，，， ∴， ∴， ∴，． 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的计算，涉及零次幂、负整数指数幂，熟练掌握二次根式的化简，绝对值的计算是解题的关键． 根据实数的混合运算法则进行化简即可求解． 【详解】解： 19. 已知一次函数的图像经过点（3，5）与（，）． （1）求这个一次函数的解析式； （2）点A（2，3）是否在这个函数的图象上，请说明理由． 【答案】（1）；（2）点A（2，3）在这个函数的图象上，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）首先设出函数关系式y=kx＋b（k≠0），根据待定系数法把（3，5）与（−4，−9）代入y=kx＋b，即可求出一次函数的解析式， （2）求出x=2时y的值，即可作出判断． 【详解】解：（1）设这个一次函数的解析式为：（k≠0）， ∵的图像过点（3，5）与（，）， ∴ ， 解得， 所以一次函数解析式为； （2）点A（2，3）在这个函数的图象上， 理由：当x=2时，， ∴点A（2，3）在这个函数的图象上． 【点睛】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数图象上点的坐标特征，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx＋b． 20. 树人学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．已知楼梯台阶侧面图如图所示，，，． （1）求的长； （2）若已知楼梯宽，每平方米地毯35元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 【答案】（1）的长为 （2）需要花费686元地毯才能铺满所有台阶 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）由勾股定理列式计算即可； （2）由长方形面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵，，， 在中，由勾股定理得：， 答：的长为； 【小问2详解】 解：地毯长为：， 已知楼梯宽，每平方米地毯35元， ∴地毯的面积为， ∴需要花费（元）， 答：需要花费686元地毯才能铺满所有台阶． 21. 已知点在第一象限，且满足，点的坐标为，设的面积为． （1）用含的解析式表示，写出的取值范围，并画出函数的图象； （2）当点的横坐标为5时，的面积为多少？ （3）的面积能等于25吗？为什么？ 【答案】（1），图象见解析 （2）的面积为9 （3）的面积不能大于24，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质、三角形面积，坐标所在的象限，熟练掌握以上知识点是关键． （1）根据，将代入整理可得，根据条件确定x的取值范围即可，然后画出函数图象即可； （2）将代入（1）中的解析式计算即可； （3）根据面积逆推x值，再根据x的取值范围进行判断即可． 【小问1详解】 解：和P点的坐标分别是、， ， 点P在第一象限，， ， ， ， ； ， 解得：； 又点P在第一象限， ， 即x的范围为：， ， 函数图象如图所示：； 【小问2详解】 ， ∴当时，． 即当点P的横坐标为5时，的面积为9； 【小问3详解】 的面积不能大于24．理由如下： ，， 随x的增大而减小， 又时，， 当． 即的面积不能大于24． 22. 理论源于实践，理论指导实践．请你阅读以下案例，尝试用所学知识解决实际问题． 东区有肥料，西区有肥料．现要把这些肥料全部运往南，北两区，从东区往南，北两区运肥料的费用分别为30元/t和35元/t；从西区往南、北两区运肥料的费用分别为24元/和32元/．已知南区需要肥料，北区需要肥料． （1）设从东区往南区运吨肥料，则从东区往北区运__________吨肥料，从西区往南区运_______吨肥料，从西区往北区运__________吨肥料；（用含的式子表示，并化简结果） （2）的取值范围是______________； （3）设调运的总运费为元，求关于的函数解析式以及调运总费用最少的方案． 【答案】（1）；；； （2） （3），从东区城运往南区0吨，运往北区250吨；从西区运往南区280吨，运往北区70吨，此时总运费最少，最少的运输费用是元． 【解析】 【分析】此题考查了一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，根据已知得出城和城运往各地的肥料吨数是解题的关键． （1）根据题意列表，列代数式即可得出结果； （2）由运量不能为负数，建立不等式组，即可求解； （3）根据题意得总费用与之间的函数关系式，再利用一次函数的增减性即可求解； 【小问1详解】 解：设从东区往南区运吨肥料，分析列表如下（单位：吨）： 东区 西区 合计 南区 北区 合计 ∴从东区往北区运吨肥料，从西区往南区运吨肥料，从西区往北区运吨肥料； 故答案为：；；； 【小问2详解】 解：根据题意得： ， 解得：； 故答案为：； 【小问3详解】 解：由题意可得： 整理得： ∵，随的增大而增大，， ∴当时，， ∴从东区城运往南区0吨，运往北区250吨；从西区运往南区280吨，运往北区70吨，此时总运费最少，最少的运输费用是元． 23. 如图，在四边形中，，，，，点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度向点A运动，点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点P运动时间为t秒． （1）当点P运动停止时，______，线段的长为______； （2）①用含t的式子填空：______，______，______； ② t为何值时，四边形为矩形，求出t的值； （3）在运动的过程中，是否存在某一时刻t，使以P，D，C，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）①；；；② （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定，一元一次方程的几何应用： （1）分别计算出点P和点Q到达终点的时间，进而得到停止时间，据此求出对应的的长即可； （2）①根据题意列出对应的代数式即可；②根据题意可得当四边形是平行四边形时，四边形是矩形，则，据此列出方程求解即可； （3）根据题意可得四边形为平行四边形，则，据此列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴点P运动9秒后停止，即， ∴， 故答案为：；； 【小问2详解】 解：①由题意得，， ∵， ∴， 故答案为：；；； ②∵， ∴当四边形是平行四边形时，四边形是矩形， ∴此时有， ∴， 解得； 【小问3详解】 解：∵以P，D，C，Q为顶点的四边形为平行四边形，且， ∴此时四边形为平行四边形， ∴， ∴， 解得． 24. 菱形与矩形都是特殊的平行四边形，将他们放在同图形是种有趣的结合，请你从知识关联的角度思考下列问题． 如图，菱形的对角线，相交于点，且，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若四边形的周长为36，， ①求矩形的面积： ②求平行线与间的距离． 【答案】（1）见解析 （2）①66；② 【解析】 【分析】（1）根据菱形性质得，，，再根据得四边形是平行四边形，然后根据即可得出结论； （2）①设，，则矩形的面积为：，由四边形的周长为36得，则，再由勾股定理得，由此即可得出矩形的面积； ②过点O直线垂直于于点Q，交于点P，则平行线与间的距离为，证明和全等得，则，再由三角形的面积公式求出，即可得出平行线与间的距离． 【小问1详解】 证明：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； 【小问2详解】 ①解：设，， ∴矩形的面积为：， ∵四边形的周长为36， ∴， ∴， ∴，即， 在中，， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积66； ②解：过点O直线垂直于于点Q，交于点P，如图所示： ∴平行线与间的距离为， 在菱形中，，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， 由三角形的面积公式得：， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，平行四边形的判定，平行线之间的距离，理解菱形的性质，平行线之间的距离，熟练掌握矩形的判定与性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理和三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B的坐标分别为，，点D为对角线中点，点E在x轴上运动，连接，把沿翻折，点O的对应点为点F，连接． （1）当点F在第四象限时(如图1)，求证：． （2）当点F落在矩形的某条边上时，求的长． （3）是否存在点E，使得以D，E，F，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 证明：由折叠可知，， 点为中点， ， ， ， ， ， ； （2）6或7.5 （3）点或或或 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质及等边对等角，得到，利用平行线的判定即可得证； （2）分情况讨论，当时，，此时点与点重合；当点与点重合时，利用勾股定理即可解答； （3）分情况讨论，当四边形为平行四边形时，，且；当四边形为平行四边形时，；当四边形为平行四边形时，，利用勾股定理即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当时，，此时点与点重合， ， ，四边形是矩形， ， ； 如图①，当点与点重合时，，， 在中，， 即， 解得， ； 综上，的长为6或； 【小问3详解】 解：存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 如图②，当四边形为平行四边形时，，且， ，， ， 是的中点，， ， ， 或； 如图③，当四边形为平行四边形时，， ， ， ， 在中，， ； 如图④，当四边形为平行四边形时，， ， ，， 在中，， ． 综上，点坐标为点或或或． 【点睛】本题考查四边形的综合应用，主要考查矩形的性质，平行四边形的性质，坐标与图形的性质，掌握矩形的性质，平行四边形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $