精品解析：吉林松原市前郭县2025—2026学年度第二学期期末质量检测七年级数学试卷

前郭县2025-2026年度第二学期期末质量检测七年级数学试卷 （满分120分 时间120分钟） 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 在，，，，，中，无理数的个数是（ ）． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 2. 下列各项调查适合普查的是（ ） A. 夏季冷饮市场上冰淇淋的质量 B. 公民保护环境的意识 C. 调查某学校七年级（2）班每位同学所穿鞋子的尺码 D. 某品牌灯泡的使用寿命 3. 在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 点为直线外一点，点，，为直线上三点，，，，则点到直线的距离为（ ）． A. 等于 B. 等于 C. 小于 D. 不大于 5. 如图，小明家相对于学校的位置，下列描述最准确的是（ ） A. 北偏东，处 B. 南偏西，处 C. 北偏东，处 D. 距离学校处 6. 若关于x的不等式组的解集为，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 如图，直线，相交于点，，若，则的大小为__________． 8. 命题“如果a+b=0，那么a，b互为相反数”的条件为_____． 9. 点在第二象限，则点所在的象限是第__________象限． 10. 如图，，，若，则的大小为__________． 11. 小明发现，，，…，根据小明的发现解决问题：已知，，则的值为__________． 三、解答题（每小题6分，共18分） 12. 计算： 13. 如图，点A，B，C在同一条直线上，，，求证：． 14. 已知的算术平方根是3，的立方根是2，是的整数部分，求的平方根． 四、解答题（每小题7分，共21分） 15. 甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母看错了，得到了方程组的解为，乙把字母看错了，得到方程组的解为．求的值． 16. 已知关于，的方程组的解满足不等式组，求满足条件的整数的值． 17. 小明制作了一张边长为的正方形贺卡想寄给朋友，现有一个面积为的长方形信封如图所示，信封长和宽的比为． （1）求此长方形信封的长和宽； （2）小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算说明理由． 五、解答题（每小题8分，共16分） 18. 如图，在三角形中，点，，，平移三角形，使得点平移到点的位置，得到三角形． （1）画出三角形并直接写出，的坐标； （2）求三角形的面积； （3）若连接线段，，请直接写出线段与的关系． 19. 倡导经典诵读，传承中华文化，某校为了了解七年级学生一个季度借阅图书数量，随机抽取了40名学生进行调查，并绘制成如下不完整的统计图表． 【收集、整理数据】 七年级学生一个季度借阅图书频数分布表 图书数量/本 频数 4 10 8 12 【描述数据】 根据以上信息，解答下列问题： （1）下面的抽样方法中，最具代表性和广泛性的是__________；（填字母） A．抽取40名男生一个季度借阅图书数量组成样本 B．抽取40名成绩较好的学生一个季度借阅图书数量组成样本 C．在全校七年级随机抽取40名学生一个季度借阅图书数量组成样本 （2）补全频数分布直方图； （3）若该校七年级共有480名学生，估计该校七年级学生中一个季度借阅图书数量不少于13本且少于21本的学生人数． 六、解答题（每小题10分，共20分） 20. 【问题解决】如图1，已知，，，求的度数． （1）小乐想到了以下方法，请帮忙完成推理过程． 解：过点作 （_____________________________） __________ __________ （2）【问题迁移】如图2，已知，点，，是线段，内部三点，请直接写出，，，，之间的数量关系； （3）【联想拓展】如图3，已知，若点在的上方，则，，之间有何数量关系？并说明理由． 21. 为提升身体素质，某校七年级学生举行趣味运动会，需要购买适合学生使用的跳绳和毽子．经调查，已知2根跳绳和5个毽子共需90元，4根跳绳和7个毽子共需156元． （1）每根跳绳和每个毽子的价格各是多少元； （2）商场在“六一”期间开展促销活动，优惠方案如下表： 优惠活动一（打折促销） 跳绳九折优惠，毽子八五折优惠 优惠活动二（买一赠一） 买一根跳绳赠送一个毽子 学校欲购买跳绳与毽子共50个，且计划购买的毽子个数不少于跳绳个数的4倍，若要使活动二更优惠，请通过计算策划购买方案． 七、解答题（每小题12分，共12分） 22. 在平面直角坐标系中，如图1，第一象限内有一点，过点作线段垂直于轴，垂足为，实数、满足．，将线段向左平移使点和点重合得到线段，连接与轴相交于点，动点从点出发，沿折线运动，运动到点停止运动，速度为每秒2个单位长度，设运动时间为秒． （1）直接写出点的坐标： （2）当点在线段上运动时，请直接用含的代数式表示在这一运动过程中线段的长（规定：点与点重合时，线段的长为0．），并直接写出的取值范围： （3）若点运动的同时，在线段上有一动点从点出发向点运动，速度为每秒1个单位长度，当轴时，点的坐标是多少； （4）如图2，轴上有一点，在点沿折线运动过程中是否存在值，使三角形的面积为2.5？若存在，求出的值，并直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 前郭县2025-2026年度第二学期期末质量检测七年级数学试卷 （满分120分 时间120分钟） 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 在，，，，，中，无理数的个数是（ ）． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据无理数定义，逐个判断给出的数，统计无理数个数即可． 【详解】无理数定义为无限不循环小数， ∵是整数，是整数，是分数，都属于有理数； 是无限不循环小数，属于无理数； 是开方开不尽的数，属于无理数； 是无限不循环小数，属于无理数. ∴ 无理数共个． 2. 下列各项调查适合普查的是（ ） A. 夏季冷饮市场上冰淇淋的质量 B. 公民保护环境的意识 C. 调查某学校七年级（2）班每位同学所穿鞋子的尺码 D. 某品牌灯泡的使用寿命 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答． 【详解】解：．夏季冷饮市场上冰淇淋的质量适合抽样调查，故该选项不符合题意； ．公民保护环境的意识适合抽样调查，故该选项不符合题意； ．调查某学校七年级（2）班每位同学所穿鞋子的尺码适合普查，故该选项符合题意； ．某品牌灯泡的使用寿命适合抽样调查，故该选项不符合题意； 故选：C． 3. 在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出不等式的解集，并在数轴上表示解集即可． 【详解】解：， 移项，合并同类项，得， 在数轴上表示解集为： 4. 点为直线外一点，点，，为直线上三点，，，，则点到直线的距离为（ ）． A. 等于 B. 等于 C. 小于 D. 不大于 【答案】D 【解析】 【分析】掌握垂线段最短的性质，根据该性质判断点到直线的距离的范围即可． 【详解】∵ 点到直线的距离定义为点到直线的垂线段的长度，且垂线段是点到直线上所有点连线中最短的， 已知，，，是三条线段中最短的． 若垂直于直线，则点到直线的距离就是； 若不垂直于直线，则点到直线的垂线段长度小于，即小于， ∴ 点到直线的距离不大于． 5. 如图，小明家相对于学校的位置，下列描述最准确的是（ ） A. 北偏东，处 B. 南偏西，处 C. 北偏东，处 D. 距离学校处 【答案】B 【解析】 【分析】确定观测点为学校，明确上北下南左西右东的方位规则，根据学校处正西与正北方向夹角为，进而计算出正北方向与小明家所在方向的夹角，结合已给出的两点距离，匹配对应的方位描述选项即可． 【详解】解：由图可知，小明家在学校的南偏西方向，小明家所在方向与正南方向向西的夹角为， 因此，小明家在学校南偏西，处． 6. 若关于x的不等式组的解集为，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根据不等式组的解集求参数的范围，先解不等式组，再根据不等式组的解集，得到关于参数的不等式，进行求解即可． 【详解】解：解，得：， ∵不等式组的解集为：， ∴， ∴； 故选B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 如图，直线，相交于点，，若，则的大小为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据对顶角相等和平角的性质求解即可． 【详解】解：∵直线，相交于点， ∴， ∵，， ∴， ∵，即， ∴． 8. 命题“如果a+b=0，那么a，b互为相反数”的条件为_____． 【答案】a+b=0 【解析】 【分析】根据命题的题设和结论解答即可． 【详解】解：命题“如果a+b=0，那么a，b互为相反数”的条件为a+b=0； 故答案为：a+b=0． 【点睛】本题考查命题，一般，“如果…”是题设，“那么…”是结论． 9. 点在第二象限，则点所在的象限是第__________象限． 【答案】二 【解析】 【分析】根据第二象限内点的横坐标为负，纵坐标为正，判断，的正负，再得到点横纵坐标的正负，结合各象限内点的坐标特征即可求解． 【详解】解：点在第二象限， ，， ，， ， 点的横坐标为负，纵坐标为正，符合第二象限内点的坐标特征， 点在第二象限． 10. 如图，，，若，则的大小为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线的性质得到，再结合垂直定义，求出． 【详解】解：， ． 又， ． ． 11. 小明发现，，，…，根据小明的发现解决问题：已知，，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】观察已知等式总结规律：被开方数的小数点向左或向右移动位，其算术平方根的小数点对应向左或向右移动位，结合已知条件计算即可得到结果． 【详解】解：由题可得被开方数的小数点每向左移动位，算术平方根的小数点向左移动位， ，是将的小数点向左移动位得到， 是将的小数点向左移动位，即． 三、解答题（每小题6分，共18分） 12. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 13. 如图，点A，B，C在同一条直线上，，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质．熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 由，可证，则，进而可得． 【详解】略 14. 已知的算术平方根是3，的立方根是2，是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【解析】 【分析】根据算术平方根与立方根的定义列二元一次方程组求出的值，再利用二次根式的估算得到的值，代入求解即可． 【详解】解：由题意，得， 解得 ， ， ， ， 的平方根是 的平方根是． 四、解答题（每小题7分，共21分） 15. 甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母看错了，得到了方程组的解为，乙把字母看错了，得到方程组的解为．求的值． 【答案】 【解析】 【分析】甲看错但解满足含的方程，代入甲的解求，乙看错但解满足含的方程，代入乙的解求，最后代入计算的值即可． 【详解】解：由题意，得 把代入中，得， 解得， 把代入中，得， 解得， ． 16. 已知关于，的方程组的解满足不等式组，求满足条件的整数的值． 【答案】满足的整数解有 【解析】 【分析】根据关于，的二元一次方程组求得，再根据不等式组求出的取值范围，最终确定整数的值． 【详解】解：由题意，得， ①②，得， ②①，得， ∵， ∴，解得， 取整数， ∴满足的整数解有． 17. 小明制作了一张边长为的正方形贺卡想寄给朋友，现有一个面积为的长方形信封如图所示，信封长和宽的比为． （1）求此长方形信封的长和宽； （2）小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算说明理由． 【答案】（1）长方形信封的长宽为2． （2） 小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封， 理由：， ，即信封的宽大于正方形贺卡的边长． 小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封． 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用以及无理数的估算，解题的关键是掌握由算术平方根的定义求出正方形贺卡的边长． （1）设长方形信封的长为，宽为，根据面积列方程求解即可； （2）先求出贺卡的边长，再比较即可； 【小问1详解】 解：信封长和宽的比为， 设长方形信封的长为，宽为． 根据题意，得． 为正数， 长方形信封的长为宽为2． 【小问2详解】 略 五、解答题（每小题8分，共16分） 18. 如图，在三角形中，点，，，平移三角形，使得点平移到点的位置，得到三角形． （1）画出三角形并直接写出，的坐标； （2）求三角形的面积； （3）若连接线段，，请直接写出线段与的关系． 【答案】（1）；； （2）6 （3）且 【解析】 【分析】（1）先根据点平移到确定平移规律，再利用平移规律写出坐标并作图； （2）利用三角形面积公式求解； （3）根据平移性质写出结论． 【小问1详解】 解：根据点平移到确定平移规律： 横坐标变化：，纵坐标变化：， 即向右平移个单位，向上平移个单位， ∵，： ，． 画图见答案 【小问2详解】 解：∵，，， ∴． 【小问3详解】 解：平移的性质：图形平移后，对应点的连线平行且相等． 所以线段与的关系：且． 19. 倡导经典诵读，传承中华文化，某校为了了解七年级学生一个季度借阅图书数量，随机抽取了40名学生进行调查，并绘制成如下不完整的统计图表． 【收集、整理数据】 七年级学生一个季度借阅图书频数分布表 图书数量/本 频数 4 10 8 12 【描述数据】 根据以上信息，解答下列问题： （1）下面的抽样方法中，最具代表性和广泛性的是__________；（填字母） A．抽取40名男生一个季度借阅图书数量组成样本 B．抽取40名成绩较好的学生一个季度借阅图书数量组成样本 C．在全校七年级随机抽取40名学生一个季度借阅图书数量组成样本 （2）补全频数分布直方图； （3）若该校七年级共有480名学生，估计该校七年级学生中一个季度借阅图书数量不少于13本且少于21本的学生人数． 【答案】（1）C （2）补全频数分布直方图，如图： （3）借阅量不少于13本且少于21本的学生人数是240人． 【解析】 【分析】（1）根据抽样的代表性、普遍性和可操作性可知，方案三符合题意； （2）根据抽取了40名学生求出a的值，即可补全频数分布直方图； （3）用总数乘借阅图书数量不少于13本且少于21本的学生人数的比例即可． 【小问1详解】 解：由题意得：抽取的样本最具代表性和广泛性的是在全校七年级随机抽取40名学生一个季度借阅图书数量组成样本， 故答案为：C； 【小问2详解】 解：， 补全频数分布直方图，略； 【小问3详解】 解：（人） 答：借阅量不少于13本且少于21本的学生人数是240人． 六、解答题（每小题10分，共20分） 20. 【问题解决】如图1，已知，，，求的度数． （1）小乐想到了以下方法，请帮忙完成推理过程． 解：过点作 （_____________________________） __________ __________ （2）【问题迁移】如图2，已知，点，，是线段，内部三点，请直接写出，，，，之间的数量关系； （3）【联想拓展】如图3，已知，若点在的上方，则，，之间有何数量关系？并说明理由． 【答案】（1）两直线平行，内错角相等；； （2） （3）解：，理由如下： 如图所示，过点作， ， ， ， ． 又， ． 【解析】 【分析】（1）利用平行线的性质和角的等量代换求解； （2）分别过点作，利用两直线平行，内错角相等和角的等量代换求解； （3）过点作，利用平行线的性质与三角形的外角等于不相邻的两内角之和求解． 【小问1详解】 解：过点作， （两直线平行，内错角相等）， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图所示，分别过点作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ， ∴， ， ∴， 即． 【小问3详解】 解：见答案 21. 为提升身体素质，某校七年级学生举行趣味运动会，需要购买适合学生使用的跳绳和毽子．经调查，已知2根跳绳和5个毽子共需90元，4根跳绳和7个毽子共需156元． （1）每根跳绳和每个毽子的价格各是多少元； （2）商场在“六一”期间开展促销活动，优惠方案如下表： 优惠活动一（打折促销） 跳绳九折优惠，毽子八五折优惠 优惠活动二（买一赠一） 买一根跳绳赠送一个毽子 学校欲购买跳绳与毽子共50个，且计划购买的毽子个数不少于跳绳个数的4倍，若要使活动二更优惠，请通过计算策划购买方案． 【答案】（1）每根跳绳25元，每个毽子8元 （2）解：设购买根跳绳，则购买个毽子，由题意，得： 优惠活动一：元， 优惠活动二：元， 由题意，得，解得， 取整数， ，， 有两种方案： 方案一：跳绳9根，毽子41个； 方案二：跳绳10根，毽子40个． 【解析】 【分析】（1）设每根跳绳元，每个毽子元，根据题意列出方程组进行求解即可； （2）设购买根跳绳，则购买个毽子，根据题意，列出不等式组，求出整数解即可. 【小问1详解】 解：设每根跳绳元，每个毽子元，由题意，得 ，解得； 答：每根跳绳25元，每个毽子8元； 【小问2详解】 略 七、解答题（每小题12分，共12分） 22. 在平面直角坐标系中，如图1，第一象限内有一点，过点作线段垂直于轴，垂足为，实数、满足．，将线段向左平移使点和点重合得到线段，连接与轴相交于点，动点从点出发，沿折线运动，运动到点停止运动，速度为每秒2个单位长度，设运动时间为秒． （1）直接写出点的坐标： （2）当点在线段上运动时，请直接用含的代数式表示在这一运动过程中线段的长（规定：点与点重合时，线段的长为0．），并直接写出的取值范围： （3）若点运动的同时，在线段上有一动点从点出发向点运动，速度为每秒1个单位长度，当轴时，点的坐标是多少； （4）如图2，轴上有一点，在点沿折线运动过程中是否存在值，使三角形的面积为2.5？若存在，求出的值，并直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）当时，；当时， （3） （4）存在，，；， 【解析】 【分析】（1）根据可得，再求出解可得答案； （2）分两种情况：当时，；当时，，即可得出答案； （3）由题意，得点Q的横坐标是，再根据轴时，点P与点Q的横坐标相等，若点P在线段上，，则，求出解，并判断；若点P在线段上，，则，求出解，并得出坐标； （4）当点P在线段上运动时，，则，再根据面积相等求出解，进而得出答案；当点P在线段上运动时，，则，然后根据面积相等求出答案即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 解得， ∴点 【小问2详解】 解：当时，； 当时，， ∴t的取值范围是； 【小问3详解】 解：由题意，得点Q的横坐标是， 当轴时，点P与点Q的横坐标相等， 若点P在线段上，，则， 解得，此时，不合题意，舍去； 若点P在线段上，，则， 解得， 当时，， ∴点P的坐标为； 【小问4详解】 解：存在． 当点P在线段上运动时，，则． 令， 解得， 此时点P的坐标为； 当点P在线段上运动时，， ∴， 令，解得， 此时点P的坐标为， 所以存在t值，当时，点P的坐标为；当时，点P的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $