3.4 函数的应用(一) 同步练 2026-2027学年 高中数学高一上学期人教A版 必修第一册

**基本信息** 聚焦函数应用，分层设计基础巩固（图像识别、分段计算）、中档综合（最值求解、多情境分析）、提升建模（复杂实际问题）三阶路径，强化数学眼光、思维与语言的核心素养培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|一次函数图像、分段函数查表、图像与情境对应|单选为主，直观情境（如快递公司邮费），培养几何直观与推理意识| |中档|二次函数最值、阶梯函数计算、函数图像比较（多选）|单选/多选/填空，综合应用（如花店获利、赛跑分析），提升运算能力与模型意识| |提升|幂函数应用、成本利润模型、实际问题函数建模|填空/解答题，复杂情境（如加密解密、厨余垃圾处理），发展模型观念与创新意识|

3.4 函数的应用(一) 1. 某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员某月没有销售量时的月收入是 (　B　) A. 2 100元 B. 2 000元 C. 2 400元 D. 1 800元 【解析】设营销人员某月没有销售量时的月收入是a元，依题意，解得a＝2 000，B正确. 2. 北京某快递公司邮寄质量在1 000克以内的包裹的费用标准如下表： 运送 距离x(km) (0，500] (500，1 000] (1 000，1 500] (1 500，2 000] … 邮费y(元) 5.00 6.00 7.00 8.00 … 如果某人在北京通过该快递公司邮寄900克的包裹到距该快递公司1 300 km的某地，那么他应付的邮费是(　C　) A. 5.00元 B. 6.00元 C. 7.00元 D. 8.00元 【解析】当0＜x≤2 000时，邮费y与运送距离x之间的函数解析式为y＝∵1 300∈(1 000，1 500]，∴当x＝1 300时，y＝7，C正确. 3. 向一杯子中匀速注水时，杯中水面的高度h随时间t变化的函数h＝f(t)的图象如图所示，则杯子的形状是(　A　) 　 A.　　 B.　　 C.　　 D. 【解析】从题图中看出，在时间段[0，t1]，[t1，t2]内水面高度是匀速上升的，在[0，t1]上升慢，在[t1，t2]上升快，A正确. 4. 小婷经营一花店，每天的房租、水电等固定成本为100元，每束花的进价为6元，若日均销售量Q(单位：束)与销售单价x(单位：元)的关系为Q＝100－5x，则当该店每天获利最大时，每束花的定价为(　B　) A. 15元 B. 13元 C. 11元 D. 10元 【解析】设每天获利y元，则y＝(100－5x)·(x－6)－100＝－5(x－13)2＋145，由x＞0，Q＝100－5x≥0，得0＜x≤20，故当x＝13时，每天获利最大. 5. (2024·山东烟台高一期中) 某地民用燃气执行“阶梯气价”，按照用气量收费，具体计费方法如下表所示.若某户居民去年缴纳的燃气费为868元，则该户居民去年的用气量为(　C　) 每户每年用气量 单价 不超过200 m3的部分 3.2元/m3 超过200 m3但不超过300 m3的部分 3.8元/m3 超过300 m3的部分 4.8元/m3 A. 180 m3 B. 220 m3 C. 260 m3 D. 320 m3 【解析】设该户居民去年的用气量为x m3，缴纳的燃气费为y元，则当0≤x≤200时，y＝3.2x，令3.2x＝868，解得x＝271.25，不合题意；当200＜x≤300时，y＝3.2×200＋3.8×(x－200)＝3.8x－120，令3.8x－120＝868，解得x＝260，符合题意；当x＞300时，y＝3.2×200＋3.8×(300－200)＋4.8×(x－300)＝4.8x－420，令4.8x－420＝868，解得x＝＜300，不合题意.综上，x＝260. 6. (多选)甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的函数关系如图所示，则下列说法中，正确的有(　BD　) A. 甲比乙先出发 B. 甲和乙跑的路程一样多 C. 甲、乙两人的速度相同 D. 甲先到达终点 【解析】由题图可知，甲和乙同时出发，A错误；∵s甲＝s乙，∴甲和乙跑的路程一样多，B正确；∵甲和乙跑的路程一样多，但是甲用的时间比乙用的时间少，∴甲的速度大于乙的速度，C错误，D正确. 7. (多选)已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元，某食品加工厂对饼干采用两种包装，其包装费用、销售价格如表所示： 型号 小包装(100克) 大包装(300克) 包装费 0.5元 0.7元 销售价格 3.00元 8.4元 则下列说法中，正确的有(　BD　) A. 买小包装实惠 B. 买大包装实惠 C. 卖3小包比卖1大包盈利多 D. 卖1大包比卖3小包盈利多 【解析】大包装饼干300克8.4元，则平均每100克2.8元，小包装饼干100克3元，则买大包装饼干实惠，B正确；卖1大包饼干盈利8.4－0.7－1.8×3＝2.3(元)，卖1小包饼干盈利3－0.5－1.8＝0.7(元)，则卖3小包饼干盈利0.7× 3＝2.1(元)，故卖1大包饼干比卖3小包饼干盈利多，D正确. 8. 果蔬批发市场批发某种水果，不少于100千克时，批发价为每千克2.5元.小王携带现金3 000元到市场采购这种水果，并以此批发价买进.如果购买的水果为x千克，小王付款后的剩余现金为y元，那么y与x之间的函数关系式为　 y＝3 000－2.5x(100≤x≤1 200)　.  【解析】由题意可知y＝3 000－2.5x，且最少买100千克，最多买＝1 200(千克)，∴y与x的函数关系式为y＝3 000－2.5x(100≤x≤1 200). 9. 一种带有密钥系统可以保证信息的安全传输，其加密、解密原理如下：发送方根据加密密钥把明文转为密文(加密)，接收方根据加密密钥把密文转为明文(解密).现在已知加密密钥为y＝xα(α为常数)，如“4”通过加密后得到密文“2”.若接收方接到密文“3”，则解密后得到的明文是　9　.  【解析】由题目可知加密密钥y＝xα(α为常数)是一个幂函数，∴要想求得解密后得到的明文，就必须先求出α的值.由题意得2＝4α，解得α＝，则y＝.由 ＝3，得x＝9. 10. 众所周知，大包装商品的成本要比小包装商品的成本低.某种品牌的饼干，其100克装的售价为1.6元，400克装的售价为4.8元.假定该商品的售价由生产成本、包装成本、利润三部分组成，生产成本与饼干质量成正比且系数为m，包装成本与饼干质量的算术平方根成正比且系数为n，利润率为20%，则该种饼干900克装的合理售价为　9.6　元.  【解析】设饼干的质量为x克，则其售价y(单位：元)与x之间的函数解析式为y＝(mx＋n)(1＋0.2).由题意得1.6＝(100m＋n)(1＋0.2)，即＝50m＋5n①，4.8＝(400m＋n)(1＋0.2)，即100m＋5n＝1②.由①②解得m＝，n＝，∴y＝，则当x＝900时，y＝9.6，故该种饼干900克装的合理售价为9.6元. 11. 某市经测算，2024年6月每日处理厨余垃圾的成本P(单位：元)与日处理量x(单位：吨)之间的函数解析式可近似地表示为P＝且每处理1吨厨余垃圾，可得到价值为100元的化工产品的收益. (1)设纯收益为y元，请写出函数y＝f(x)的解析式(纯收益＝总收益－成本)； (2)该公司每日处理厨余垃圾多少吨时，获得的日纯收益最大? 解：(1)由题意可得f(x)＝100x－P＝⇒ (2)当0≤x≤20时，f(x)＝60x单调递增，可得f(x)的最大值为f(20)＝1 200；当20＜x≤30时，f(x)＝－x2＋24x＋1 000＝－(x－24)2＋1 288，当x＝24时，f(x)的最大值为1 288. ∵1 288＞1 200，∴该公司每日处理厨余垃圾24吨时，获得的日纯收益最大. 12. (2024·鲁迅中学高一检测)某单位有员工1 000名，平均每人每年创造利润10万元.为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x(x∈N*)名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造的利润为10万元(a＞0)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%. (1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1 000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业? (2)在保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1 000名员工创造的年总利润的条件下，要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少? 解：(1)由题意，得10(1 000－x)(1＋0.2x%)≥10×1 000，即x2－500x≤0.又x＞0，∴0＜x≤500，即最多调整出500名员工从事第三产业. (2)从事第三产业的员工创造的年总利润为10x万元，从事原来产业的员工的年总利润为10(1 000－x)万元，则10x≤10(1 000－x)，∴ax－≤1 000＋2x－x－x2，∴ax≤＋1 000＋x，即a≤＋1在x∈(0，500]时恒成立.∵≥2＝4，当且仅当 ，即当x＝500时，等号成立，∴a≤5.又a＞0，∴0＜a≤5，∴a的取值范围为(0，5]. 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.4 函数的应用(一) 1. 某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员某月没有销售量时的月收入是 (　 　) A. 2 100元 B. 2 000元 C. 2 400元 D. 1 800元 2. 北京某快递公司邮寄质量在1 000克以内的包裹的费用标准如下表： 运送 距离x(km) (0，500] (500，1 000] (1 000，1 500] (1 500，2 000] … 邮费y(元) 5.00 6.00 7.00 8.00 … 如果某人在北京通过该快递公司邮寄900克的包裹到距该快递公司1 300 km的某地，那么他应付的邮费是(　 　) A. 5.00元 B. 6.00元 C. 7.00元 D. 8.00元 3. 向一杯子中匀速注水时，杯中水面的高度h随时间t变化的函数h＝f(t)的图象如图所示，则杯子的形状是(　 　) 　 A.　　 B.　　 C.　　 D. 4. 小婷经营一花店，每天的房租、水电等固定成本为100元，每束花的进价为6元，若日均销售量Q(单位：束)与销售单价x(单位：元)的关系为Q＝100－5x，则当该店每天获利最大时，每束花的定价为(　 　) A. 15元 B. 13元 C. 11元 D. 10元 5. (2024·山东烟台高一期中) 某地民用燃气执行“阶梯气价”，按照用气量收费，具体计费方法如下表所示.若某户居民去年缴纳的燃气费为868元，则该户居民去年的用气量为(　 　) 每户每年用气量 单价 不超过200 m3的部分 3.2元/m3 超过200 m3但不超过300 m3的部分 3.8元/m3 超过300 m3的部分 4.8元/m3 A. 180 m3 B. 220 m3 C. 260 m3 D. 320 m3 6. (多选)甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的函数关系如图所示，则下列说法中，正确的有(　 　) A. 甲比乙先出发 B. 甲和乙跑的路程一样多 C. 甲、乙两人的速度相同 D. 甲先到达终点 7. (多选)已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元，某食品加工厂对饼干采用两种包装，其包装费用、销售价格如表所示： 型号 小包装(100克) 大包装(300克) 包装费 0.5元 0.7元 销售价格 3.00元 8.4元 则下列说法中，正确的有(　 　) A. 买小包装实惠 B. 买大包装实惠 C. 卖3小包比卖1大包盈利多 D. 卖1大包比卖3小包盈利多 8. 果蔬批发市场批发某种水果，不少于100千克时，批发价为每千克2.5元.小王携带现金3 000元到市场采购这种水果，并以此批发价买进.如果购买的水果为x千克，小王付款后的剩余现金为y元，那么y与x之间的函数关系式为　 　.  9. 一种带有密钥系统可以保证信息的安全传输，其加密、解密原理如下：发送方根据加密密钥把明文转为密文(加密)，接收方根据加密密钥把密文转为明文(解密).现在已知加密密钥为y＝xα(α为常数)，如“4”通过加密后得到密文“2”.若接收方接到密文“3”，则解密后得到的明文是　 　.  10. 众所周知，大包装商品的成本要比小包装商品的成本低.某种品牌的饼干，其100克装的售价为1.6元，400克装的售价为4.8元.假定该商品的售价由生产成本、包装成本、利润三部分组成，生产成本与饼干质量成正比且系数为m，包装成本与饼干质量的算术平方根成正比且系数为n，利润率为20%，则该种饼干900克装的合理售价为　 　元.  11. 某市经测算，2024年6月每日处理厨余垃圾的成本P(单位：元)与日处理量x(单位：吨)之间的函数解析式可近似地表示为P＝且每处理1吨厨余垃圾，可得到价值为100元的化工产品的收益. (1)设纯收益为y元，请写出函数y＝f(x)的解析式(纯收益＝总收益－成本)； (2)该公司每日处理厨余垃圾多少吨时，获得的日纯收益最大? 12. (2024·鲁迅中学高一检测)某单位有员工1 000名，平均每人每年创造利润10万元.为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x(x∈N*)名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造的利润为10万元(a＞0)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%. (1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1 000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业? (2)在保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1 000名员工创造的年总利润的条件下，要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少? 学科网（北京）股份有限公司 $