精品解析：湖南长沙市周南中学2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题

长沙市周南中学2026年上学期高一年级数学科期末考试试题 时量：120分量：150 命题人、审题人：谭周涛、代志强 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，且互斥，则（ ） A. 0.5 B. 0.3 C. 0.8 D. 0 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 在三棱锥中，E，F分别是棱，的中点，则与平面的位置关系为（ ） A. 异面 B. 平行 C. 相交 D. 无法判断 5. 已知某圆锥的底面积为，轴截面为等边三角形，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知是上的偶函数，当时，是增函数，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 7. 若函数的部分图象如下图所示，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知函数，若关于x的方程有6个根，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则下列叙述正确的是（ ） A. z的实部为1 B. z的共轭复数为 C. D. 复平面内表示复数z的点在第二象限 10. 下列结论正确的是（ ） A. “”的否定是“” B. “”是“”的必要不充分条件 C. 小张5次数学周测成绩为80，84，84，86，86，则这组数据的平均数为86 D. 若是幂函数，则 11. 已知平面向量 ，则下列结论正确的是（ ） A. 若与共线，则实数 B. 一定有最小值 C. 一定存在一个实数，使得 D. 若，则在上的投影向量的坐标为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若对数函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是______． 13. 天气预报端午假期甲地的降雨概率是，乙地的降雨概率是，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则甲、乙两地都不降雨的概率______． 14. 《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵；将底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马；将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在堑堵中，，，AB＝8，则鳖臑外接球的表面积为___，阳马体积的最大值为___． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 某校高一年级教师为了精准掌握学生的数学学习情况，进行了数学质量监测，最高分为140分，最低分为40分．现从中随机抽取了40名学生的成绩，并以，， ，为分组，制成了如下的频率分布直方图． （1）求图中a的值，并估计这40名学生成绩的30%分位数x； （2）现采用分层抽样的方式从成绩不低于100分的同学中抽取3人，再从这3人中选择2人分享学习经验，求所选的2名学生的成绩来自不同组的概率． 16. 如图，在边长为的正方形中． （1）求； （2）若为边上一动点，且，问当为何值时，可使最小，并求出的最小值． 17. 已知函数 （1）求函数的对称轴方程； （2）将函数的图象向右平移 个单位长度后得到的图象，求函数的解析式； （3）若函数在区间 上没有零点，求的取值范围． 18. 如图，在直三棱柱 中，已知，， ，分别是线段，上的动点(不含端点)，． （1）求证： （2）当三棱锥 的体积取得最大值时，求平面与平面 的夹角的余弦值． 19. 在中，角所对的边分别为，且． （1）求． （2）若为边的中点，，求的最大值． （3）奥古斯丁•路易斯•柯西（Augustin Louis Cauchy，1789年－1857年）是法国著名数学家．柯西在数学领域的造诣极高，诸多数学定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式，其中柯西不等式在求解不等式证明的相关问题中广泛应用．现保持（1）的条件不变，若是内一点，过点分别作的垂线，垂足分别为，借助三维柯西不等式：，其中，当且仅当时，等号成立．当取得最小值时，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长沙市周南中学2026年上学期高一年级数学科期末考试试题 时量：120分量：150 命题人、审题人：谭周涛、代志强 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】集合， 则. 2. 已知，且互斥，则（ ） A. 0.5 B. 0.3 C. 0.8 D. 0 【答案】C 【解析】 【详解】因为互斥，所以， 所以. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由于，所以， 则 4. 在三棱锥中，E，F分别是棱，的中点，则与平面的位置关系为（ ） A. 异面 B. 平行 C. 相交 D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【详解】因为，分别是棱，的中点， 所以， 因为平面，平面， 所以平面. 5. 已知某圆锥的底面积为，轴截面为等边三角形，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆锥的底面积求出底面半径，再由轴截面为等边三角形求得圆锥的母线长，再代入圆锥的侧面积公式求解. 【详解】因为底面积为，所以圆锥的底面半径为2，轴截面为等边三角形， 所以该圆锥的母线长为4， 所以. 6. 已知是上的偶函数，当时，是增函数，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用是上的偶函数可知，，再根据在区间上单调递增即可判断大小. 【详解】利用是上的偶函数可知，， 由于，又在区间上单调递增， 则, 故. 7. 若函数的部分图象如下图所示，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由得的图像关于对称，进而得周期，即可求解. 【详解】由图可得：，，所以的图像关于对称， 所以，所以，所以. 8. 已知函数，若关于x的方程有6个根，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先作出函数的图像，结合图像可把问题转化为在上有两个不同实根，，数形结合即可求得答案． 【详解】作出函数图像如图所示： 令，则可化为， 若有6个根， 结合图像可知方程在上有2个不相等的实根， 不妨设，， 则，解得， 故m的取值范围为. 故选：D． 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则下列叙述正确的是（ ） A. z的实部为1 B. z的共轭复数为 C. D. 复平面内表示复数z的点在第二象限 【答案】ABC 【解析】 【分析】先应用复数的除法及乘法化简，再结合实部定义判断A，应用共轭复数判断B，应用模长求解判断C，应用几何意义判断D. 【详解】已知， z的实部为1，A选项正确； z的共轭复数为，B选项正确； ，C选项正确； 复平面内表示复数z的点在第一象限，D选项不正确 10. 下列结论正确的是（ ） A. “”的否定是“” B. “”是“”的必要不充分条件 C. 小张5次数学周测成绩为80，84，84，86，86，则这组数据的平均数为86 D. 若是幂函数，则 【答案】AD 【解析】 【详解】由命题的否定的定义可知“”的否定是“”，A选项正确； 当时，一定成立，即“”是“”的充分条件，当时，取，此时，所以“”是“”的非必要条件. 所以“”是“”的充分不必要条件，B选项错误； 这组数据的平均数为，C选项错误； 若是幂函数，则，所以，所以，D选项正确. 11. 已知平面向量 ，则下列结论正确的是（ ） A. 若与共线，则实数 B. 一定有最小值 C. 一定存在一个实数，使得 D. 若，则在上的投影向量的坐标为 【答案】BCD 【解析】 【详解】平面向量 ， 若与共线，则，解得，故A错误； ， 当时，取得最小值，所以一定有最小值，故B正确； 若，则， 所以 ，即， 所以，所以，解得. 当时，， 所以，所以C正确； 若，则，所以在上的投影向量，故D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若对数函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用对数函数单调性列出不等式求解即得. 【详解】由对数函数在区间上单调递增，得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 13. 天气预报端午假期甲地的降雨概率是，乙地的降雨概率是，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则甲、乙两地都不降雨的概率______． 【答案】 【解析】 【分析】利用相互独立事件及对立事件的概率公式求得结果. 【详解】设甲地降雨为事件A，乙地降雨为事件B，则两地都不降雨为， 且与相互独立， 所以 故答案为： 14. 《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵；将底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马；将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在堑堵中，，，AB＝8，则鳖臑外接球的表面积为___，阳马体积的最大值为___． 【答案】 ①. ②. 64 【解析】 【分析】将鳖臑外接球即为堑堵的外接球，从而求出外接球直径为，得到外接球表面积，利用基本不等式得到，求出体积的最大值 【详解】鳖臑外接球即为堑堵的外接球，可将堑堵补成长方体， 则外接球直径为， ∴其表面积为． ∵，当且仅当时取等号， 所以， ∴阳马的体积为． 故答案为：，64 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 某校高一年级教师为了精准掌握学生的数学学习情况，进行了数学质量监测，最高分为140分，最低分为40分．现从中随机抽取了40名学生的成绩，并以，， ，为分组，制成了如下的频率分布直方图． （1）求图中a的值，并估计这40名学生成绩的30%分位数x； （2）现采用分层抽样的方式从成绩不低于100分的同学中抽取3人，再从这3人中选择2人分享学习经验，求所选的2名学生的成绩来自不同组的概率． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】小问1，根据频率直方图小矩形面积和为1，可将a的值求出，进而求出30%分位数x小问2，先将不低于100分的两组的比例关系求出，得到分别从这两组抽出的人数，结合古典概型公式求出概率. 【小问1详解】 因为可求出， 第一个小矩形的概率为，第一个和第二个小矩形面积和为， 所以30%分位数. 【小问2详解】 分数在与两组内人数的比例关系为，采用分层抽样的方式从成绩不低于100分的同学中抽取3人， 所以在区间内抽取了2人，分别设为m,n在区间内抽取了1人,设为A； 则包含的基本事件有（m,n）,(m,A)，(n,A)共三种，设所选的2名学生的成绩来自不同组为事件B， 则满足事件B的基本事件有(m,A)，(n,A)共2种， 所以. 16. 如图，在边长为的正方形中． （1）求； （2）若为边上一动点，且，问当为何值时，可使最小，并求出的最小值． 【答案】（1） （2） 当时，最小，最小值为 【解析】 【分析】（1）以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算即可求解. （2）由可得，，得到，求出二次函数 的最小值即可. 【小问1详解】 以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系， 由正方形边长为，得，，， 则，， 故. 【小问2详解】 由，，， 得， 则，， 故. 由于二次函数开口向上，对称轴为， 代入得最小值为， 即时，取最小值. 17. 已知函数 （1）求函数的对称轴方程； （2）将函数的图象向右平移 个单位长度后得到的图象，求函数的解析式； （3）若函数在区间 上没有零点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦型函数对称轴的性质，令相位等于求解即可； （2）根据三角函数图象平移“左加右减”的规则代入化简，结合诱导公式得到的解析式； （3）先求在给定区间的值域，无零点等价于不在的值域内，由此得到的取值范围。 【小问1详解】 对于，正弦函数的对称轴满足相位等于， 令， 移项得，解得， 即的对称轴方程为. 【小问2详解】 将的图象向右平移个单位，根据图象平移“左加右减”的变换规则， 得， 化简相位：， 利用诱导公式，得， 故. 【小问3详解】 函数在上没有零点，等价于方程在该区间上无解， 令，当时，， 由正弦函数的单调性，在上单调递增，在上单调递减， 故的最小值为，最大值为，即， 因此， 要使无解，则或， 即的取值范围为. 18. 如图，在直三棱柱 中，已知，， ，分别是线段，上的动点(不含端点)，． （1）求证： （2）当三棱锥 的体积取得最大值时，求平面与平面 的夹角的余弦值． 【答案】（1）由题意，两两垂直，故可以为原点，建立如图空间直角坐标系， 设（），则，，，， 所以，. 因为， 所以，即. （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标表示证明垂直. （2）先根据三棱锥 的体积取得最大值，确定、点的位置，再利用空间向量求二面角的余弦. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为， 而，所以当时，取得最大值，此时取得最大值. 此时，，. 所以，，，. 设平面的法向量为， 则，令，可得. 设平面的法向量为， 则，令，可得. 设平面与平面 的夹角为， 则. 19. 在中，角所对的边分别为，且． （1）求． （2）若为边的中点，，求的最大值． （3）奥古斯丁•路易斯•柯西（Augustin Louis Cauchy，1789年－1857年）是法国著名数学家．柯西在数学领域的造诣极高，诸多数学定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式，其中柯西不等式在求解不等式证明的相关问题中广泛应用．现保持（1）的条件不变，若是内一点，过点分别作的垂线，垂足分别为，借助三维柯西不等式：，其中，当且仅当时，等号成立．当取得最小值时，求的面积． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用切化弦及正弦定理边化角，和角的正弦求解. （2）由余弦定理及基本不等式求得，再利用向量数量积的运算律求解. （3）由三维分式型柯西不等式，余弦定理，基本不等式，函数的单调性即可求解. 【小问1详解】 在中，由，得， 由正弦定理得，而， 则，又， 因此，而，所以. 【小问2详解】 由（1）及余弦定理，当且仅当时取等号， 由为边中点，得， 所以， 所以当且仅当时，取得最大值. 【小问3详解】 ， 又，， 则，由三维分式型柯西不等式有， 当且仅当，即时取等号， 由余弦定理，得，即， 由，得，当且仅当时取等号， 因此，令，， ，函数在上单调递减， 当且仅当，即时， 因此当时，取得最小值，此时， 则当与时，取得最小值， 此时的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $